九类常见递推数列求通项公式方法
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递推数列通项求解方法
类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠）
思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦
(12)
1(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q
p a p p p
--⎛⎫+=+
⋅+ ⎪
--⎝⎭。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1
q
p μ=
-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1
111n n q q a a p p p -⎛⎫+
=+ ⎪--⎝⎭
，即1111n n q q
a a p p p -⎛⎫=++ ⎪
--⎝
⎭。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）：
()123232(23)3222333n n n n a a a a ---⎡⎤=+=++=+++=⎣⎦……
1223(122n -=++++…211332)12232112n n n --+⎛
⎫+=+⋅+=- ⎪
--⎝⎭
。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，
∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即1
23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）：
123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-=
…1
11
()n i a f n -==+
∑。
思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、
23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1
11
()n n i a a f n -=-=∑，即
1
11
()n n i a a f n -==+∑。
例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。
解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1)
(1)
(2)(1)]2
n
i n n n n n n =++-+-+=
=
∑。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、
212a a -=，将各式叠加并整理得12
n n i a a n =-=∑，12
1
(1)
2
n n
n i i n n a a n n ==+=+==
∑∑。
1n n +思路1（递推法）：
123(1)(1)(2)(1)(2)(3)n n n n a f n a f n f n a f n f n f n a ---=-⋅=-⋅-⋅=-⋅-⋅-⋅=…
(1)(2)(3)f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。
思路2（叠乘法）：
1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12
(2)n n a
f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)a
f a =，将各式叠乘并整理得1
(1)(2)(3)n a f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅。
例3 已知11a =，11
1n n n a a n --=
+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123112123
1111
n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==⋅=⋅⋅=+++-…
2
(1)
n n =
+。
方法2（叠乘法）：
111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、322
4
a a =、2113a a =，将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (21)
43
⋅⋅，即123
11
n n n n a n n n ---=
⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=
+。
11n n n +-思路（特征根法）：为了方便，我们先假定1a m =、2a n =。递推式对应的特征方程
为2
x px q =+，当特征方程有两个相等实根时， ()1
2n n p a cn d -⎛⎫=+⋅ ⎪
⎝⎭
(c 、d 为待定系
数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程有两个不等实根时1x 、2x 时，
1112n n n a ex fx --=+(e 、f 为待定系数，可利用1a m =、2a n =求得)；当特征方程的根
为虚根时数列{}n a 的通项与上同理，此处暂不作讨论。
例4 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-,求n a 。
解：递推式对应的特征方程为26x x =-+即2
60x x +-=，解得12x =、23x =-。设11
12n n n a ex fx --=+，而12a =、23a =，即
2233e f e f +=⎧⎨-=⎩，解得9515e f ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，即11912(3)55n n n
a --=⋅+⋅-。