河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 空间直线与直线的位置关系学案
空间直线与直线的位置关系教案修订版
空间直线与直线的位置关系教案修订版IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版A版《数学必修2》设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。
在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。
而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。
其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。
教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。
教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
教学目标：1、知识与技能（1）.掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）.会用平面衬托来画异面直线。
（3）.掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观(1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2).增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
2、1、2空间中直线与直线之间的位置关系导学案
§2、1、2空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】 1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握等角定理；4.异面直线所成角的定义、范围及应用；【重点难点】重点：异面直线的概念；难点：用图形表达直线与平面的位置关系；异面直线所成角的计算及等角定理.【学法指导】自主探索与合作交流相结合【学习过程】一.预习自学（阅读p44---p47完成下面填空）1．空间中直线与直线的位置关系（1）异面直线：观察上图理解A1B与C1C之间的关系，并体会异面直线的定义。
（2）空间两条直线的位置关系：相交直线——在同一平面内，；平行直线——在同一平面内，；异面直线——，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.（3）异面直线的画法（4）在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.公理4：（平行线的传递性）（5）等角定理:（6）异面直线a ,b所成的角（异面直线a ,b的夹角）（7）如果两条异面直线a ,b，那么我们就说异面直线a ,b互相垂直，记作所以，在空间里说两条直线互相垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况.二、典例分析：1、如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？E，F，G，H分别是AB，BC， CD，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。
A1AB1BCC113、在正方体中，E 、F 、E 1、F 1、分别为棱的中点，求证：角E A 1F 与角E 1 CF 1相等。
中，观察AB 与哪些棱所在直线为异面直线；它们所成角为多少？观察AB 与哪些面对角线所在直线为异面直线；它们所成角为多少？ 观察AB 与哪些体对角线所在直线为异面直线；它们所成角为多少？ （如果是AB1呢？如果是AC1呢？） 1、2空间中直线与直线之间的位置关系导练 班级： 姓名： 小组：A1、两条异面直线指：（ ）A. 空间中不相交的两条直线；B. 不在同一平面内的两条直线；C. 不同在任一平面内的两条直线；D. 分别在两个不同平面内的两条直线；E. 空间没有公共点的两条直线；F. 既不相交，又不平行的两条直线B2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A ）2对 （B ）3对 （C ）6对 （D ）12对C3、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )（A ） 平行（B ）相交（C ）异面（D ）相交或异面D4、两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线（B ）一定是相交直线（C ）可能是平行直线（D ）可能是异面直线，也可能是相交直线B5 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB, CD , EE , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有 对?B 1B6、在正方体中，与BD1异面的棱有哪些？______________B7如图，已知正方体中。
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 空间直线与直线的位置关系2学案
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 空间直线与直线的位置关系2学案一、学习目标1.异面直线所成的角的定义2.等角定理，3会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
二、学习重、难点学习重点:异面直线所成的角学习难点:找出或作出异面直线所成的角三、学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接:1.异面直线：2.空间中两条直线的位置关系有三种：3公理4：五、学习过程A 问题1在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结论是否仍然成立呢？观察：如图所示,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, ∠ADC 与∠A 1D 1C 1 ,∠ADC 与∠A 1B 1C 1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?A 问题2：（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，（ ） A 问题3：异面直线所成的角的定义:异面直线所成的角的范围：注：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ bC A BB问题4: 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?注：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)B例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和AC所成的角的大小。
（3）哪些棱所在的直线与直线A1B垂直？B 例2.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1。
A 1B 1与C 1C 所成的角 2。
AD 与B 1B 所成的角3.A 1D 与BC 1所成的角4.D 1C 与A 1A 所成的角5.A 1D 与AC 所成的角C 例3在四面体ABCD 中，E ，F 分别是棱AD ，BC 上的点,且 已知AB=CD=3，求异面直线AB 和CD 所成的角.B 问题5求异面直线所成的角的一般步骤是：①作辅助线找角；②指出角（或其补角）； ③求角（解三角形）；④结论。
高一数学必修二2.1.2空间中直线与直线的位置关系导学案(解析版)
2.1.2空间中直线与直线的位置关系一、课标解读（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
二、自学导引问题1、观察长方体模型，归纳空间中两条直线的关系：异面直线：1、定义2、异面直线的画法问题2：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？公理4：问题3：思考教材P47的思考题，∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？等角定理：异面直线所成的角：三、合作探究1、如何理解异面直线的定义？2、求异面直线所成的角的步骤？四、典例精析例1 如图所示，已知E,F,G,H 分别为空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点,求证： （1）E,F,G,H 四点共面（2）若四边形EFGH 是矩形；求证：AC ⊥BD变式训练1.已知11111,D C B A ABCD E E -分别是正方体的棱11,D A AD 的中点，求证： E E 1‖B B 1例2 如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，的中点分别是1111,,C B B A N M .问：（1）理由是否是异面直线？说明和CN AM （2）理由是否是异面直线？说明和11CC B D变式训练 2 如图所示，分别是是异面直线，F E b D C a B A b a ,,,,,,∈∈线段，的中点，和BD AC 的结论的位置关系，并证明你和、和判断b EF a EF .例3 如图所示，正方体1AC 中，的中点，、分别是1111,C B B A F E 求异面直线1DB 与EF 所成角的大小.变式训练3 正方体1111D C B A ABCD -，求所成的角与111D B B AABCDD 1C 1B 1 A 1MN五、自主反馈1、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是( ) A 、2对 B 、3对 C 、6对D 、12对2、过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不过该点的直线是( ) A 、平行线 B 、相交直线 C 、异面直线D 、互相垂直的相交直线 3、平面与平面相交，直线a，直线b，则这三个命题中，不正确的命题个数是( )①a 、b 必为异面直线 ②a 、b 必为平行直线③a 、b 必为相交直线 A 、0B 、1C 、2D 、34、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线中，与AD 1成60°角的有( ) A 、4条 B 、6条 C 、8条D 、10条5、异面直线a 、b 成60°角，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围是( ) A 、［30°，90°］B 、［60°，90°］C 、［60°，120°］D 、［30°，120°］6、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和B1C1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是： A 、23 B 、1010C 、53 D 、54答案2.1.2 空间中直线与直线的位置关系 例1 证明：（1）在中ABD ∆,//,,BD EH AD AB H E ∴的中点，分别是 四点共面同理H G F E FG EH BD FG ,,,,//,//∴∴（2）由（1）知GH AC BD EH //,//同理,GH EH EFGH ⊥∴是矩形，四边形又BD AC ⊥∴例2 （1）不是异面直线，理由：111111//,,C A MN C B B A N M ∴的中点，分别是 C C A A C C D D D D A A 111111//,//,//=∴==而又 AC C A ACC A //1111∴∴是平行四边形四边形 在同一个平面内得到C N M A AC MN ,,,,//∴不是异面直线和CN AM ∴（2）是异面直线，证明略例3 解：连接1111,D B C A ,点，设它们相交于O 1111//,//,,C A EF D B OG OG G DD 则连接的中点取 所成的角或补角与为异面直线EF DB GOA 11∠∴ 111111,C A GO C A O GC GA ⊥∴=的中点，为 901所成的角为与异面直线EF DB ∴变式训练 1. 略2.证明：假设α共面，设为和a EFααα∈∴⊂⊂F E B A a EF ,,,,,则,,αα⊂⊂∴AE BF ,,BF D AE C ∈∈ 又共面，从而b a b D C ,,,αα∈∴∈∴假设不成立这与题设矛盾，∴∴EF与a是异面直线603.自主反馈答案1. C；2、C；3、D；4、C；5、A ；6、D。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系全册精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解空间中两条直线的位置关系；〔2〕理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；〔3〕理解并掌握公理4；〔4〕理解并掌握等角公理；〔5〕异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.〔二〕教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.〔三〕教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师〔肯定〕：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如下图P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师〔肯定〕所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交〞那么“不同在任何一个平面内〞是否可改为“不在一个平面内呢〞学生讨论发现不能去掉“任何〞师：“不同在任何一个平面内〞可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内〞培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解〔1〕公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行〔2〕定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师〔肯定〕下面我们来看培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角〔1〕异面直线所成角的概念.两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).〔2〕异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例3 如图，正方体ABCD–A′B′C′D′.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：〔1〕由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.〔2〕由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.〔3〕直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动〔作平行线〕，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：〔1〕如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.〔2〕如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：〔1〕3条. 分别是BB′，CC′，DD′；〔2〕相等或互补.2．如图，长方体ABCD–学生独立完成答案：.2．〔1〕因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.〔2〕因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.附加例题例1 “a、b为异面直线〞是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的选项是〔〕A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确[解析] ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.应选D例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，那么过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有 条.[解析]如下图，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高一数学：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互共面直线相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 A BCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800 教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
河北省临漳县第一中学高一数学 直线与平面、平面与平面平行的性质学案
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学直线与平面垂直的判定学案一、学习目标:知识与技能：理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题过程与方法：能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面、平面与平面的性质定理二、学习重、难点学习重点: 直线与平面、平面与平面平行的性质及其应用学习难点: 将空间问题转化为平面问题的方法，三、学法指导及要求:1、注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
四、知识链接：1.空间直线与直线的位置关系2.直线与平面的位置关系3.平面与平面的位置关系4.直线与平面平行的判定定理的符号表示5.平面与平面平行的判定定理的符号表示五、学习过程：A问题1：1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？（观察长方体）2）如果一条直线和一个平面平行，如何在这个平面内做一条直线与已知直线平行？（可观察教室内灯管和地面）A问题2: 一条直线与平面平行，这条直线和这个平面内直线的位置关系有几种可能？A问题3：如果一条直线a与平面α平行,在什么条件下直线a与平面α内的直线平行呢？由于直线a与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线B自主探究1：已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b。
求证：a∥b。
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言：线面平行性质定理作用：证明两直线平行思想：线面平行⇒线线平行例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′内的一点P 和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？C'D'CD A B A'P B'例2：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 直线与圆的位置关系学案
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 直线与圆的位置关系学案一、学习目标:（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．二、学习重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、学法指导及要求1、认真研读教材126---128页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，研究最佳答案准备展示,不会的先绕过，做好记号。
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。
（尤其是直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法必需牢记）四、知识链接1、点和圆的位置关系有几种？设点P(x 0，y 0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r 2,圆心(a,b)到P(x 0，y 0)的距离为d ,则点在圆内 (x 0 -a)2+(y 0 -b)2＜r 2 d<r,点在圆上 (x 0 -a)2+(y 0 -b)2 =r 2 d=r,点在圆外 (x 0 -a)2+(y 0 -b)2＞r 2 d>r. 问题:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70KM 处,受影响的范围是半径为30KM 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40KM 处,如果轮船不改变航线,那么这艘轮船是否会受到台风的影响?五、学习过程A 问题1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？A 问题2．在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？221:360240,;,.l x y C x y y l +-=+--=例已知直线和圆心为的圆试判断直线与圆的位置关系如果相交求它们交点的坐标港口轮船B 问题3．你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？222(3,3)421045,.M l x y y l --++-=例已知过点的直线被圆所截得的弦长为求直线的方程()()()224:,3C :x y l y x b l +==+C 例3 .已知圆和直线 ,b 为何值时,直线与圆C 1相交,2相切相离.六、达标检测A1. 1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）A. 4B.C.5D. 5.5 A2、M(3.0)是圆x 2+y 2-8x-2y+10=0内一点，则过点M 最长的弦所在的直线方程是( )A.x+y-3=0B. 2x-y-6=0C.x-y-3=0D.2x+y-6=0B3、直线l: sin cos 1x y αα+=与圆x 2+y 2=1的关系是（ ）A.相交B.相切C. 相离D.不能确定B4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P 为中点的弦所在的直线方程是_______ B 5.已知直线y=x +1与圆224x y +=相交于A ,B 两点，求弦长|AB |的值62。
高一年级数学必修二2.1《空间中直线与直线之间的位置关系》优质教学设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计【教材分析】本节课必修二第二章第一节第一课时的内容，是在初中学习了平面内直线与直线之间的位置关系的基础上，进一步探究空间中直线与直线之间的位置关系之间的关系，需要注意到异面直线，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.【学情分析】学生在学习平面内直线与直线之间的位置关系的基础上进行的，难点在于异面直线的引入，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.这就需要提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力..【教学目标】知识技能目标（1）掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）会用平面衬托来画异面直线。
（3）掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简 单异面直线所成的角。
◆ 过程方法目标（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识◆ 情感态度目标(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2)增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
(3)通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力【重点】异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。
【难点】异面直线所成角的推证与求解【教学方法】互动探究，合作交流.【教学流程】创设情境平面内两条直线的位置关系有？相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）平面内不平行的两直线必相交，在空间中还成立么？通过实例展示,十字路口----立交桥在正方体中, 两条线既不平行，又不相交（非平面问题）归纳新知异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
在教室里找出几对异面直线的例子 （学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 没有公共点⎩⎨⎧ 平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 在同一平面内⎩⎨⎧ 平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？答案 成立．梳理 平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点三 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 知识点四 异面直线所成的角思考 在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案 相等．类型一 空间两直线位置关系的判定例1 如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.反思与感悟(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法①证明两条直线既不平行又不相交．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．跟踪训练1(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析还原的正方体如图所示．是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二平行公理和等角定理的应用例2在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.引申探究1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM 是梯形．证明在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝12A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝12AC.又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．2．若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′.证明如图所示，连接EE′.因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，所以四边形BEE′B′是平行四边形，所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.反思与感悟(1)空间两直线平行的证明方法证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.(2)空间角相等的证明方法①等角定理是较常用的方法．②转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C且GF＝12B1C.又ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB且CD＝AB，A1B1∥AB且A1B1＝AB，由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三求异面直线所成的角例3在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F 分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝12AB，GF∥CD且GF＝12CD，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.课后练习1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为() A．130° B．50°C．130°或50° D．不能确定考点平行公理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.4．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．考点平行公理题点判断、证明线线平行答案矩形解析如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC，且MN＝12AC，PQ∥AC且PQ＝12AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．一、选择题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．3．两等角的一组对应边平行，则()A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对考点平行公理题点利用等角定理求角答案D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直考点平行公理题点判断、证明线线平行答案C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.6．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案A解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD ＝6，则()A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5考点平行公理题点判断、证明线线平行答案A解析取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝12BD，NH∥AC，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5.8．如图，点P ，Q 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线AD 1，BD 的中点，则异面直线PQ 和BC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 C解析 连接AC ，D 1C .由P ，Q 分别为AD 1，BD 的中点，得PQ ∥CD 1.又BC 1∥AD 1，∴∠AD 1C 为异面直线PQ 和BC 1所成的角．∵△ACD 1为等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°.即异面直线PQ 和BC 1所成的角为60°.二、填空题9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(填序号)考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 ③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD 的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用答案5解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________．(填序号)考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．三、解答题12．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．13．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB＝4，SO＝6.(1)求该圆锥的侧面积；(2)若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用解(1)由题意知SO⊥底面ABN，在Rt△SOB中，OB＝12AB＝2，SO＝6，所以SB＝22＋62＝210.所以该圆锥的侧面积S＝π·OB·SB＝410π.(2)取OB 的中点C ，连接MC ，NC ，因为M 为SB 的中点，所以MC 为△SOB 的中位线，所以MC ∥SO ，MC ＝12SO ＝3.又因为SO ⊥底面ABN ，所以MC ⊥底面ABN ，因为NC ⊂底面ABN ，所以MC ⊥NC .因为直线SO 与MN 所成的角为30°，所以∠NMC ＝30°，在Rt △MCN 中，MC MN ＝cos 30°，所以MN ＝MC cos 30°＝332＝2 3. 四、探究与拓展14．设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线( )A ．有无数条B ．有两条C ．至多有两条D ．有一条考点 异面直线所成的角题点 异面直线所成角的应用答案 A解析 如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角．15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A1B 与AC 1所成角的余弦值．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝3a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝2a，∴A1D1＝2a，∴A1D21＋A1B2＝BD21，∴∠BA1D1＝90°，∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝A1BBD1＝a3a＝33.课堂小结◆空间三条直线的位置关系◆平行线的传递性◆异面直线所成的角六、作业布置必修二第二章第一节课后题。
河北省临漳县第一中学高一数学 直线与平面、平面与平面的位置关系学案
河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学直线与平面、平面与平面的位置关系学案一、学习目标:掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面、平面与平面的位置关系。
学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系二、学习重、难点学习重点: 直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法学习难点:直线与平面、平面与平面的位置关系的判断三、学法指导: 通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接：1、空间两直线的位置关系（1）；（2）；（3）2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
推理模式：．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别并且方向，那么这两个角相等4..异面直线：我们把不同在一个平面内两条直线叫做异面直线。
5..异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线，a', b'所成的角的大小与点O的选择无关，把a', b'所成的叫异面直线,a b所成的角五、学习过程：问题1：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？问题2：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？结论:直线与平面的位置关系有且只有三种：问题3：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系?问题4：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？问题5：围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?问题6：平面与平面的位置有几种？分别用文字、图形、符号语言表示？例1下列说法正确的是 ( )A ．直线a 平行于平面α，则a 平行于α内的任意一条直线B ．直线a 与平面α相交，则a 不平行于α内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面α，则a 不垂直于α内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面，则过a 的平面不垂直于α例2 已知直线a 在平面α外，则 （ ）（A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点（C ）a A α⋂= （D ）直线a 与平面α至多有一个公共点六、达标检测：A1..以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b其中正确命题的个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 A 2.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个B3.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂αB4.已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ ）（A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交（C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交B5.平面βα,的公共点多于2个，则（ ）A. βα,可能只有3个公共点B. βα,可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上C. βα,一定有无数个公共点D.除选项A ，B ，C 外还有其他可能 七、小结与反思：。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系教学目标：1. 理解空间直线的概念及其表示方法。
2. 掌握空间直线与直线之间的平行、相交、异面等位置关系。
3. 能够运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题。
教学重点：空间直线与直线的位置关系的判定与运用。
教学难点：理解并掌握空间直线与直线之间的位置关系的概念。
教学准备：教材、黑板、多媒体设备。
教学过程：第一章：空间直线的基本概念1.1 空间直线的定义与表示方法1. 直线是无限延伸的、无宽度的几何图形。
2. 空间直线可以用一个小写字母表示，如直线l。
1.2 空间直线的性质1. 直线上的点可以表示为直线上任一点加上一个向量。
2. 直线上的向量可以表示为直线上两个点的坐标差。
第二章：空间直线与直线的平行关系2.1 空间直线与直线的平行定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在任意一点处的方向向量都相同（或相反），则称l1与l2平行。
2. 记作l1 // l2 或l1 ⊄l2。
2.2 空间直线与直线的平行判定1. 如果两条直线方向向量相同，则它们平行。
2. 如果两条直线方向向量互为相反向量，则它们平行。
第三章：空间直线与直线的相交关系3.1 空间直线与直线的相交定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在某一平面上有且只有一个交点，则称l1与l2相交。
2. 记作l1 ∩l2 = A，其中A为交点。
3.2 空间直线与直线的相交判定1. 如果两条直线不平行，则它们相交。
2. 如果两条直线平行，则它们不相交。
第四章：空间直线与直线的异面关系4.1 空间直线与直线的异面定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们不在任何平面上有交点，则称l1与l2异面。
2. 记作l1 ⊄l2。
4.2 空间直线与直线的异面判定1. 如果两条直线不在任何平面上有交点，则它们异面。
2. 如果两条直线在某个平面上有交点，则它们不异面。
第五章：空间直线与直线的位置关系的运用5.1 运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题1. 判断空间两条直线的位置关系。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系一、教学目标1. 让学生理解空间直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 通过对空间直线与直线位置关系的探讨，提高学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：空间直线与直线的位置关系及其判定。
2. 教学难点：异面直线的概念及其判断。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间直线与直线的位置关系及其判定方法。
2. 运用案例分析法，分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系。
3. 利用多媒体辅助教学，展示空间直线与直线的图形，增强学生的空间想象力。
四、教学准备1. 多媒体教学设备。
2. 教案、PPT课件。
3. 相关案例资料。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题，引导学生思考空间直线与直线之间的位置关系。
2. 讲解知识点讲解空间直线与直线的位置关系，包括平行、相交和异面。
3. 案例分析分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系，巩固所学知识。
4. 课堂练习布置一些有关空间直线与直线位置关系的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展总结本节课的主要内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业布置一些有关空间直线与直线位置关系的作业，巩固所学知识。
六、教学内容与活动1. 教学内容：空间直线与直线的位置关系的判定方法。
运用位置关系解决实际问题。
2. 教学活动：通过实例演示和图形展示，让学生理解并掌握空间直线与直线的位置关系的判定方法。
引导学生运用所学知识解决实际问题，如空间中的线段长度计算、角度计算等。
七、教学评估与反馈1. 教学评估：通过课堂练习和课后作业，评估学生对空间直线与直线位置关系的理解和应用能力。
观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，评估其思维能力和解决问题的能力。
2. 教学反馈：根据学生的练习和作业情况，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
在课堂讨论中，鼓励学生提出问题和建议，及时解答学生的疑问。
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河北省邯郸市临漳县第一中学高一数学 空间直线与直线的位置关系学案
一、学习目标:
1．掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念 。
2．理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题。
二、学习重、难点
学习重点:异面直线的概念、公理4 学习难点:异面直线的概念
三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的教学目标。
四、知识链接:平面的基本性质及其简单的应用——共面问题、点共线问题、线共点问题的证明，同一平面内两条直线有几种位置关系？相交直线——有且仅有一个公共点平行直线——在同一平面内，没有公共点
五、学习过程:
A 问题1空间中的两条直线又有怎样的位置关系呢？
观察教室内日光灯管所在直线与黑板的左右侧所在的直线;天安门广场上旗杆所在的直线与长安街所在的直线，南京万泉河立交桥的两条公路所在的直线，它们的共同特征是什么？
思考：如下图，长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，线段AB ′所在直线与线段CC ′所在直线的位置关系如何？ A 问题2：归纳总结 ，形成概念 异面直线:
A 问题3：空间中两条直线的位置关系有三种：
B 问题4判断：下列各图中直线l 与m 是异面直线吗?
1 2 3
4 5 6 B 问题5辨析
①、空间中没有公共点的两条直线是异面直线 ②、分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线 ③、不同在某一平面内的两条直线是异面直线
④、平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线
A B A B ’ D C D
αl
m l m
α
βαl
m
l αβm
l
m
α
βl m α
β
、 ⑤、既不相交，又不平行的两条直线是异面直线
A 例1：如图2.1.2-1，在正方体1111ABCD A
B
C
D -中,
哪些棱所在的直线与1BA 成异面直线? 图2.1.2-1
A 问题6．思考：在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。
空间中,
如果两条直线都与第三条直线平行,是否也有类似的规律?
观察：如图2.1.2-2,长方体1111ABCD A B C D -中,
AA 1∥1BB , AA 1∥1DD ，那么1BB 与1DD 平行吗?
A 问题7．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥b
b ∥c
注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
A 例2：如图在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是A
B 、B
C 、C
D 、DA 的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
六、达标训练
A1．设直线a 、b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则a 、b 的位置关系是
B2．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面 B3.已知a 、b 是异面直线，c ∥a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线
D.不可能是相交直线
七、小结与反思：
（1）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）
（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平行又不相交） （3）什么是平行公理?它的作用是什么? （平行同一条直线的两条直线互相平行作用：判断两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行问题）
=>a ∥c
A B 1
B
A D 11D
C A
1
C 1
B 1
A 1
D
B。