高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：

(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域

思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）

又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

1

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。

解析：由f x x ()=

+1

1

，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足

x f x ≠-≠-⎧⎨

⎩

1

1(){}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得

[]3215-∈-x ，

即函数f x ()的定义域为[]-15， 例 4. 已知f x x x ()lg 2

2

2

48

-=-，则函数f x ()的定义域为

______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2

2248-=-，知x x 2

2

8

0->f x ()的定义域为()4，+∞

（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例 5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。

解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得21

22x ∈⎡⎣⎢⎤⎦

⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦

⎥，，解得[]

x ∈24

，

即f x (log )2的定义域为[]

24，

（二）同步练习：

1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2

的定义域。答案：

]1,1[-

2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,

3[-，求)x (f 的定义域。答案：

]9,3[-

3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,

1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。

答案：)

23

,1()0,2

1(⋃- 三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记

)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即

))(())((21x g f x g f <，

故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：

ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数)32(log 22

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予

证明

解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或。单调减区间是),3(+∞ 设

2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 12

12

11--=x x y )32(log 22

22

12--=x x y

---)32(121x x )32(22

2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴

012>-x x 0212>-+x x ∴)32(12

1--x x >)32(222--x x 又底数12

1

0<<

∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在

)1,(--∞上是增函数

［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.