机器人动力学课件
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《机器人动力学》课件 (2)
智能机器人与深度学习的结合
探讨深度学习技术对机器人动力学的影响和应用。
人机协作与机器人动力学的关总结和展望
通过这门课程，你将对机器人动力学有深入的了解，并能应用于实际问题中。 未来，机器人动力学将发展得更加智能和灵活。
运动学正逆问题
掌握如何计算机器人的位置和姿态。
3
动力学方程
深入研究机器人的力学模型和动力学方程。
机器人动力学应用
机器人路径规划
学习如何规划机器人的运动路径 以实现特定任务。
控制方法和策略
了解机器人控制的各种方法和策 略。
实例和案例分析
通过案例分析，了解机器人在不 同领域的应用。
机器人动力学的发展趋势
《机器人动力学》PPT课 件 (2)
机器人动力学是研究机器人运动的科学，本课程介绍了机器人动力学的基础 理论和应用，以及未来发展趋势。
课程介绍
定义
机器人动力学是研究机器人运动的科学。
学习动机
了解机器人动力学的重要性和应用场景。
机器人动力学基础
1
坐标系和参考帧
学习如何定义机器人的坐标系和参考帧。
2
探讨深度学习技术对机器人动力学的影响和应用。
人机协作与机器人动力学的关总结和展望
通过这门课程，你将对机器人动力学有深入的了解，并能应用于实际问题中。 未来，机器人动力学将发展得更加智能和灵活。
运动学正逆问题
掌握如何计算机器人的位置和姿态。
3
动力学方程
深入研究机器人的力学模型和动力学方程。
机器人动力学应用
机器人路径规划
学习如何规划机器人的运动路径 以实现特定任务。
控制方法和策略
了解机器人控制的各种方法和策 略。
实例和案例分析
通过案例分析，了解机器人在不 同领域的应用。
机器人动力学的发展趋势
《机器人动力学》PPT课 件 (2)
机器人动力学是研究机器人运动的科学，本课程介绍了机器人动力学的基础 理论和应用，以及未来发展趋势。
课程介绍
定义
机器人动力学是研究机器人运动的科学。
学习动机
了解机器人动力学的重要性和应用场景。
机器人动力学基础
1
坐标系和参考帧
学习如何定义机器人的坐标系和参考帧。
2
第四章__机器人动力学ppt课件
pdii1npzii1opzji1apzk
pi 0i0j0k
§ 4.2 机械手动力学方程
n
Dij Tra(TcpepjIppiTpT) pmai,xj
n
mp piTkppjpdi•pdjprp(pdipjpdjpj)
pmai,xj
其中 kp
kkp2p2xxxy
kp2xz
kp2xy k2
pyy
力矩T1和T2的动力学表达式的一般形式和矩阵表达式为： T 1 D 1 1 1 D 1 2 D 1 1 1 2 1 D 1 2 2 2 2 D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 （4.1-8) T 2 D 2 1 1 D 2 2 D 2 1 1 2 1 D 2 2 2 2 2 D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2 （4.1-9)
n
D i i m pp i 2 T x k p 2 x p i 2 x T y k p 2 y p i 2 y T z k p 2 zp d z i • p d i 2 p r p • ( p d i p i)
p m i ,jax
如果为旋转关节
n
D i i m p n 2 p T k p 2 x o x 2 p T k x p 2 y a y 2 p T k y p 2 z z p p • z p p 2 p r p • ( p p • n p ) i ( p p • o p ) j ( p p • a p ) k
惯量项和重力项在机器人的控制中特别重要，它们影响到系统的稳定性 和定位精度。向心力和哥氏力仅当机器人高速运动时才有意义。
§ 4.2 机械手动力学方程
4.2.2 动力学方程的简化
1 惯量项Dij的简化
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
机器人动力学ppt
5.2.3机器人静力关系式的推导
可用虚功原理证明。
以图所示的二自由度机械手为研究对象，要产生图 所示的虚位移，推导出图b所示各力之间的关系。
证明: 假设
X [X1,....,X m ]T , Rm1 手爪的虚位移 [1,....,n ]T , Rn1 关节的虚位移
奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二 列矢量，即
x [J1
J
2
]12
由上式可知，J11和J 22分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
0 20 0 0 0 0
J
0
1 0 0 1 0
第六章 机器人动力学PPT
• 如同运动学，动力学也有两个相反问题 （1）正问题 （2）逆问题
2020/6/15
4
动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
第六章 机器人动力学
2020/6/15
1
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
2020/6/15
6.1 机器人动力学研究概述
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
2020/6/15
8
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
2020/6/15
6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学 体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
2020/6/15
4
动力学的两个相反问题
• 动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
• 动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
第六章 机器人动力学
2020/6/15
1
本章主要内容
（1）机器人动力学研究概述； （2）拉格朗日动力学方法； （3） r操作机的动力学分析； （4）二连杆机构的动力学分析； （5）倒立摆系统的动力学分析； （6）机器人动力学方程一般形式； （7）考虑非刚体效应的动力学方程。
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6.1 机器人动力学研究概述
n
T Ti i 1
n
V Vi i 1
n
D Di i 1
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8
6.2.3 拉格朗日函数方法
对于具有外力作用的非保守机械系统，其拉格朗日动力学函
数L可定义为
L T V
式中 T——系统总的动能； V——系统总的势能
若操作机的执行元件控制某个转动变量θ时，则执行元件的总
力矩 应为
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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6
6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学 体系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做
Lagrange 方程，其基本形式为
• 求解动力学方程的目的，通常是为了得到机器人的运 动方程，即一旦给定输入的力或力矩，就确定了系统 地运动结果。
第五章机器人动力学ppt课件
Eki
1 2
mi
T
ci
ci
1 2
i Ti i
Iiii
…1
Ek1
1 2
m1l1212
1 2
I
2
yy1 1
Ek 2
1 2
m2
(d
2 2
21
d
2 2
)
1 2
I
yy
2
21
总动能为：
Ek
1 2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2d22 )12
1 2
m2
d
2 2
(3)系统势能 因为：
g [0 g 0]T
H (q, q) J T (q)U x (q, q) J T (q) 9q)ar (q, q)
G(q) J T (q)Gx (q)
3．关节力矩—操作运动方程 机器人动力学最终是研究其关节输入力矩与其输出的
操作运动之间的关系．由式(4)和(5)，得(6) ：
F M x (q)x U x (q, q) Gx (q) ……4
E p q
g(m1l1 m2d2 )c1
gm2 s1
(5)拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日方
程，得到平面RP机器人的动 力学方程的封闭形式：
d Ek Ek Ep
dt q q q
拉格朗日方程
1
2
(m1l12
I yy1
I yy2
m2
d
2 2
)1
2m2d21d2
m2d2 m2d212 m2 gs1
q)
1 2
qT
D(q)q
式中，D(q是) nxn阶的机器人惯性矩阵
第六章--机器人动力学-PPT
7/27/2024
49
首先介绍一下均匀杆（长度为2L，质量为m） 转动惯量的计算。
当均匀杆绕一端转动时，其转动惯量为：
J 2L l2dl 8 L3
0
3
由
m
2L
得
J 4 mL2 3
通常给出杆相对质心的转动惯量：
Jc
L l2dl 1 mL2
L
3
所以 J J c mL2
7/27/2024
考虑到小车只有水平方向（X）的运动，
故可列写小车运动方程
m0r G0u fx F0 r
7/27/2024
52
（2）摆体部分
Y
2L
c
m1 摆体质量 L 摆体质心c到支点距离 F1 摆体转动摩擦系数 J1c 摆体绕质心转动惯量
2 L f x
X
m1g L
r
J1 摆体绕支点的转动惯量
fx 小车对摆体作用力的水平分量
由已知条件可得
0 r 2m
m2 5kg
r 0
则有 m1r1 m2rg cos D1 10 1 5 2 9.8 1
196kg m2 / s2
N
r
M
m2
r1
m1
o
7/27/2024
25
则 (m1r12 m2r2 ) 2m2rr g cos m1r1 m2r
7/27/2024
6.1 机器人动力学研究概述
本章将在机器人运动学的基础上考虑到力对具有一定质 量或惯量的物体运动的影响，从而引入机器人动力学问 题； 机器人动力学研究机器人动态方程的建立，它是一组描 述机器人动态特性的数学方程； 目前主要采用两种理论来建立数学模型： （1）动力学基本理论，包括牛顿－欧拉方程 （2）拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程 如同运动学，动力学也有两个相反问题
机器人学基础机器人动力学蔡自兴课件
实验参数设置
根据仿真结果，设定实验参数，如运动轨迹、速度、加速度等。
数据采集与分析
采集实验过程中的关节角度、关节力矩、轨迹跟踪误差等数据，与 仿真结果进行对比分析，验证动力学模型的准确性。
05
机器人动力学在智能控制中应用
智能控制算法在机器人动力学中应用
模糊控制
01
利用模糊数学理论，实现对机器人动力学的模糊控制，提高机
动力学建模方法
总结了机器人动力学建模的各种方法，如拉格朗 日方程、牛顿-欧拉方程、凯恩方法等，以及相 应的优缺点和适用范围。
动力学控制策略
回顾了基于动力学的机器人控制策略，包括轨迹 跟踪控制、力控制、阻抗控制等，以及相应的控 制算法和实现方法。
机器人动力学未来发展趋势预测
01
高精度建模与控制
随着机器人应用领域的不断拓展，对机器人动力学建模和控制精度的要
器人的适应性和鲁棒性。
神经网络控制
02
通过神经网络学习机器人动力学模型，实现对其精确控制，提
高机器人的运动性能。
遗传算法优化
03
利用遗传算法优化机器人动力学参数，提高机器人的运动效率
和稳定性。
基于深度学习的机器人动力学控制策略
深度学习模型构建
构建深度学习模型，学习机器人动力学特性，实 现对机器人运动的精确控制。
通过实验或数据分析，辨识机 器人的动力学参数，如质量、
惯性矩等。
动力学仿真与优化
利用仿真软件对机器人进行动 力学仿真，优化机器人的结构
和控制策略。
机器人动力学研究方法
牛顿-欧拉法
基于牛顿第二定律和欧拉方程 ，建立机器人的动力学方程。
拉格朗日法
利用拉格朗日方程描述机器人 的动力学特性，适用于多自由 度系统。
根据仿真结果，设定实验参数，如运动轨迹、速度、加速度等。
数据采集与分析
采集实验过程中的关节角度、关节力矩、轨迹跟踪误差等数据，与 仿真结果进行对比分析，验证动力学模型的准确性。
05
机器人动力学在智能控制中应用
智能控制算法在机器人动力学中应用
模糊控制
01
利用模糊数学理论，实现对机器人动力学的模糊控制，提高机
动力学建模方法
总结了机器人动力学建模的各种方法，如拉格朗 日方程、牛顿-欧拉方程、凯恩方法等，以及相 应的优缺点和适用范围。
动力学控制策略
回顾了基于动力学的机器人控制策略，包括轨迹 跟踪控制、力控制、阻抗控制等，以及相应的控 制算法和实现方法。
机器人动力学未来发展趋势预测
01
高精度建模与控制
随着机器人应用领域的不断拓展，对机器人动力学建模和控制精度的要
器人的适应性和鲁棒性。
神经网络控制
02
通过神经网络学习机器人动力学模型，实现对其精确控制，提
高机器人的运动性能。
遗传算法优化
03
利用遗传算法优化机器人动力学参数，提高机器人的运动效率
和稳定性。
基于深度学习的机器人动力学控制策略
深度学习模型构建
构建深度学习模型，学习机器人动力学特性，实 现对机器人运动的精确控制。
通过实验或数据分析，辨识机 器人的动力学参数，如质量、
惯性矩等。
动力学仿真与优化
利用仿真软件对机器人进行动 力学仿真，优化机器人的结构
和控制策略。
机器人动力学研究方法
牛顿-欧拉法
基于牛顿第二定律和欧拉方程 ，建立机器人的动力学方程。
拉格朗日法
利用拉格朗日方程描述机器人 的动力学特性，适用于多自由 度系统。
第二章-机器人静力分析与动力学PPT课件
机器人动力学主要研究机器人运动特性和受 力之间的关系，目的是对机器人进行控制、 优化设计和仿真。机器人动力学两类问题：
动力学正问题和动力学逆问题。
2021/6/7
2
动力学正问题：已知机械手各关节的作用 力或力矩，求各关节的位移、速度、加速 度、运动轨迹；
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹， 即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节的驱动力和力矩。
度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时 的关节速度。 解：二自由度机械手速度雅可比为
Jl1l1cs11ll22cs1122
因此，逆雅可比为
l2s12
l2c12
J1l1l21 s2 l1cl2 1c 12l2c12
l2s12 l1s1lq2
末端微线位移和微小角位移(微小转动)组
Y
Y
成。有
q1
q 2
dX=J(q)dq
Z
Z
式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为
n自由度机器人速度雅可比。
J(q)
X qT
q1
X
q2 X
q1
q2
Y Y
q1
q2
2021/6/7
Z
Z
q 1
q2
X
qn
假如已知的 1 及 2 是时间的函数，即，1 f1(t) ，2 f2(t) 则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为
q J 1 v
2021/6/7式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
8
[例] 图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速
动力学正问题和动力学逆问题。
2021/6/7
2
动力学正问题：已知机械手各关节的作用 力或力矩，求各关节的位移、速度、加速 度、运动轨迹；
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹， 即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节的驱动力和力矩。
度移动，杆长l1=l2=0.5 m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时 的关节速度。 解：二自由度机械手速度雅可比为
Jl1l1cs11ll22cs1122
因此，逆雅可比为
l2s12
l2c12
J1l1l21 s2 l1cl2 1c 12l2c12
l2s12 l1s1lq2
末端微线位移和微小角位移(微小转动)组
Y
Y
成。有
q1
q 2
dX=J(q)dq
Z
Z
式中：J(q)是6×n维偏导数矩阵，称为
n自由度机器人速度雅可比。
J(q)
X qT
q1
X
q2 X
q1
q2
Y Y
q1
q2
2021/6/7
Z
Z
q 1
q2
X
qn
假如已知的 1 及 2 是时间的函数，即，1 f1(t) ，2 f2(t) 则可 求出该机器人手部在某一时刻的速度 v =f (t)，即手部瞬时速度。
反之，假如给定机器人手部速度，可解出相应的关节速度为
q J 1 v
2021/6/7式中：J–1称为机器人逆速度雅可比。
8
[例] 图示的二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0 m/s的速
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机器人动力学
Dynamics of Robotics
研究机器人的运动特性与力的关系。
有两类问题：
动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩）， 求解机器人的运动（关节位移、速度和加速 度），主要用于机器人的仿真。
动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度
和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），
是实时控制的需要。
比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，
同2时020/3也/24 可用来表示两空间之间力的传递关系。
3
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图5-1所示。
容易求得
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图5-1 两自由度平面机械手
2020/3/24
dx dy
2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器
通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域 内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是 相同的。
3)利用降秩雅可比矩阵求近似反解
在奇异位形附近利用矩阵论中的伪逆矩阵理论，通过定义一 种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。
4)利用具有冗余度的机器人操作器
l2 s12 1 l1s1 l2 s12 0
相应的关节速度：
2020/3/24
因此，在该瞬时两个节的位置分别为
1 30,2 60
速度分别为 1 2rad / s,2 4rad / s
，手部瞬时速度为1m/s。
9
矩阵 A可逆 A 0
且 A可逆时，A1 1 A* A
n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，
示，是关节变量的函数 X x, y, z,x ,y ,z T 是n个关节变量的函数
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq
而且
2020/3/24
10
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。
当θ2=0°或θ2=180°时，机械 手的雅可比行列式为0，矩阵的秩 为1，因此处于奇异状态。在奇异 形位时，机械手在操作空间的自由 度将减少。
2020/3/24
11
奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
l1s1
c1
l
l
2
2 s12 c12
l2 s12 d1
l 2 c12
d
2
4
简写成 ： dx=Jdθ。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，反映了关节 空间微小运动dθ与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表
2020/3/24
6
若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
•
x [J1
J
2
]••12
由上式可知，J11和J 22 分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
比矩阵。 2020/3/24
5
5.1.2机器人速度分析
dX J (q) dq 或
dt
dt
v J (q)q
其中:v―机器人手部在操作空间中的广义速度，v X Ｊ(q)―速度雅可比矩阵
q―机器人关节在关节空间中的速度
从上式可以看出，对于给定的关节变量q，雅可 比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义 速度映射的线性变换。
2020/3/24
7
因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节 不动而某一关节运动产生的端点速度。
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例5-1如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系Xo轴正向以
1.0 m/s速度移动，杆长为 l1 l2 0.5m 。设在某瞬时 1 30,2 60 求相应瞬时的关节速度。
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个
关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它
使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。
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定义：设 A，C若mn
，A且同Cn时m 有
AA A A, A AA A ( AA )H AA , ( A A)H A A
则称 A+ 是A的伪逆矩阵。
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5.2 机器人的静力学
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
因此,逆雅可比矩阵
J 1
1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2 s12
l1s1
l2 s12
J 1v
v [1,0]T
图5-1 两自由度平面 机械手
12
1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
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机器人动力学
Dynamics of Robotics
5.1 工业机器人速度分析 5.2 工业机器人静力分析 5.3 机械手动力学方程
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2
5.1 工业机器人速度分析 5.1.1雅可比矩阵
••
(1 , 2 )
存在
怎样
的关
系
•
1
••
(x, y)
vy
vx
•
2
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可
可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端
执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这
202样0/3/24极大的减少了机器人的可行区。
12
对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为 如下四种方法:
1)回避机器人操作器的奇异位形
预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的 机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到 它的奇异位形。
Dynamics of Robotics
研究机器人的运动特性与力的关系。
有两类问题：
动力学正问题：各关节的驱动力（或力矩）， 求解机器人的运动（关节位移、速度和加速 度），主要用于机器人的仿真。
动力学逆问题：已知机器人关节的位移、速度
和加速度，求解所需要的关节力（或力矩），
是实时控制的需要。
比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，
同2时020/3也/24 可用来表示两空间之间力的传递关系。
3
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图5-1所示。
容易求得
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2s12
将其微分得
写成矩阵形式
图5-1 两自由度平面机械手
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dx dy
2)根据机构的各向同性原理设计机器人操作器
通过设计上的优化，能使得机器人机构在一个比较大的区域 内保持各向同性，即在各个方向的可能误差和施加的力都是 相同的。
3)利用降秩雅可比矩阵求近似反解
在奇异位形附近利用矩阵论中的伪逆矩阵理论，通过定义一 种伪逆雅可比矩阵，将雅可比矩阵降秩处理，求解近似反解。
4)利用具有冗余度的机器人操作器
l2 s12 1 l1s1 l2 s12 0
相应的关节速度：
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因此，在该瞬时两个节的位置分别为
1 30,2 60
速度分别为 1 2rad / s,2 4rad / s
，手部瞬时速度为1m/s。
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矩阵 A可逆 A 0
且 A可逆时，A1 1 A* A
n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，
示，是关节变量的函数 X x, y, z,x ,y ,z T 是n个关节变量的函数
，可写成：X X (q) ，并且是一个6维列矢量。
dX [dX, dY, dZ, x , y , z ]T
反映了操作空间的微小运动，由机器人末端微小线位移和微小
角位移(微小转动)组成。可写为 dX J (q)dq
而且
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对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。
当θ2=0°或θ2=180°时，机械 手的雅可比行列式为0，矩阵的秩 为1，因此处于奇异状态。在奇异 形位时，机械手在操作空间的自由 度将减少。
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奇异位形：由于雅可比矩阵J(q)是关节变量q的函数, 总会存在一些位形,在这些位形处,|J(q)|=0,即J(q)为奇 异矩阵,这些位形就叫奇异位形。
l1s1
c1
l
l
2
2 s12 c12
l2 s12 d1
l 2 c12
d
2
4
简写成 ： dx=Jdθ。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，反映了关节 空间微小运动dθ与手部（手爪）作业空间微小位移dx之间的关系。
机器人末端在操作空间的位置和方位可用末端手爪的位姿X表
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若令J1，J2 分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
•
x [J1
J
2
]••12
由上式可知，J11和J 22 分别是由1和2 产生的手部速度的分量。 而J1是在 2 0时，也就是第二个关节固定时，仅在第一个关节 转动的情况下，手部平移速度在基础坐标系上表示出的向量。 同样，J2是第一关节固定时，仅在第二关节转动的情况下，手部 平移速度在基础坐标系上表示出的向量。
式中： J (q是) 6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人速度雅可
比矩阵。 2020/3/24
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5.1.2机器人速度分析
dX J (q) dq 或
dt
dt
v J (q)q
其中:v―机器人手部在操作空间中的广义速度，v X Ｊ(q)―速度雅可比矩阵
q―机器人关节在关节空间中的速度
从上式可以看出，对于给定的关节变量q，雅可 比矩阵是从关节空间的关节速度向操作空间的广义 速度映射的线性变换。
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因此，机器人速度雅可比的每一列表示其它关节 不动而某一关节运动产生的端点速度。
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例5-1如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系Xo轴正向以
1.0 m/s速度移动，杆长为 l1 l2 0.5m 。设在某瞬时 1 30,2 60 求相应瞬时的关节速度。
一般，奇异位形有两种类型：
工作域边界上的奇异：这种奇异位形出现在机器人 的机械手于工作区的边界上时，也就是在机器人手 臂全部展开或全部折回时出现。这种奇异位形并不 是特别严重，只要机器人末端执行器远离工作区边 界即可。
工作域内部奇异：这种奇异位形出现在两个或多个
关节轴线重合时，这种奇异位形很难处理，因为它
使机器人通过奇异位形时给机械臂增加多余的关节。
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定义：设 A，C若mn
，A且同Cn时m 有
AA A A, A AA A ( AA )H AA , ( A A)H A A
则称 A+ 是A的伪逆矩阵。
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5.2 机器人的静力学
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
因此,逆雅可比矩阵
J 1
1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2 s12
l1s1
l2 s12
J 1v
v [1,0]T
图5-1 两自由度平面 机械手
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1
l1l2 s2
l2c12 l1c1 l2c12
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机器人动力学
Dynamics of Robotics
5.1 工业机器人速度分析 5.2 工业机器人静力分析 5.3 机械手动力学方程
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5.1 工业机器人速度分析 5.1.1雅可比矩阵
••
(1 , 2 )
存在
怎样
的关
系
•
1
••
(x, y)
vy
vx
•
2
两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可
可能出现在工作区的任何位置，并且机器人的末端
执行器在这种奇异位形附近的可操作性会变坏，这
202样0/3/24极大的减少了机器人的可行区。
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对机器人通过奇异位形时轨迹控制方法的研究可以大致分为 如下四种方法:
1)回避机器人操作器的奇异位形
预测奇异位形的可能出现位置,并避免它。理论上对给定的 机器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到 它的奇异位形。