中值法——手工快速开平方

中值法——手工快速开平方

【题目】

假设a²=53,509,225，求a。

【分析】

按照教科书上的开平方的方法，对位数不多的数来讲，还比较实用，但对于位数较多的数字或小数位数较多的数来讲，此方法就比较繁琐，并且还有可能出错，并且一出错就得重头计算。经过笔者不断总结、分析，找到一个非常好的方法，暂且叫做“中值法”吧。

一个实数的平方根为绝对值相等的一正一负两个数，所以，a应该是两个值。

【中值法步骤】

1、确定区间[a1,a2]，使a1²≤a²≤a2²。一般区间可考虑整数，如[100,200]、[500,600]等。

2、取区间中间值a3，即a3=(a1+a2)÷2。

3、计算a的初值a4，即a4=(a3+a²÷a3)×0.5

4、计算a的准确值。a5=(a4+a²÷a4)×0.5，如果a5与a4相差很小，根据a²的个位数，判断a的个位数，确定a的准确值。

如果a²是一个完全平方数（及a为整数），到上面第4步时，结果就已经出来了；如果不是一个完全平方数（即a是一个小数），并且需要精确到小数点后n位，则重复第3、4步，直到小数位数达到需要的n位，就可以了。

【解题】

1、判断a区间。明显

7,000＜a²＜8,000

2、取区间中间值。

（7,000+8,000）÷2=7,500

3、计算初值。

（7,500+53,509,225÷7,500）×0.5=7,317.281,667

4、确定准确值。

（7,317.281,667+53,509,225÷7,317.281,667）×0.5=7,315.000,356

这个结果与初值相差不大。且a²的个位为5，所以，a值就是7,315和 -7,315。

【例题1】

已知a²=2,345,678,911，求a（如果a为小数，保留4位小数，且

a>0）

1、判断a区间。明显

40,000＜a²＜50,000

2、取区间中值。

（40,000+50,000）÷2=45,000

3、计算初值。

（45,000+2,345,678,911÷45,000）×0.5=48,563.099,01

4、确定准确值。

（48,563.099+2,345,678,911÷48,563.099,01）×0.5=48,432.385,83

此数与上数还有一定差距，且a²个位为1，与48,432接近的数中，

只有48,431的个位为1，但48,431²≠2,345,678,911，所以，这个不是完全平方数。

5、

（48,432.385,83+2,345,678,911÷48,432.385,83）×0.5=48,432.209,44

此数已经与上数非常接近，所以，a=48,432.209,4（保留四位小数）【说明】

1、采用此方法，一般在4步到6步就能计算出结果，且不怕过程计算错误，尤其对不完全平方数，能精确到非常高的位数。

2、区间的确定技巧。

将数字从右到左，每两位分成一段，确定最高位上的开方区间，后面每两位看成一个0，就得出了区间，且最高位的区间一般设置为连续的两个整数，便于取中间值。

例如：

（1）294,743，从右往左每两位分为一段，即29,47,43，并且29的开方区间为[5,6]（因为5²=25，与5连续的整数为6），将47和43换成0，得到区间为[500,600]

（2）3,982,087，从右往左每两位分为一段，即3,58,20,87，得到最高位3的开方区间为[1,2]，并将58、20、87换成0，得到区间为[1000,2000]

当然，区间的确定也可以设置为一个相对准确一点的区间，不一定非要设置成上述形式，比如上面（2）中，就可以再设置次高位58的开方数区间为[7,8]，这样区间就是[1,700,1,800]（这就可以看出来了，

虽然最后结果不在区间内，但仍然能计算出准确结果，这就是这种方法的优点）

【例题2】

已知37,298,013的平方根为正数，求这个平方根（如果是小数，保留3位小数点）。

1、判断平方根的区间。37,29,80,13，所以区间为[6,500,6,600]

2、取区间中值。6,550

3、计算平方根初值。

（6,550+37,298,013÷6,550）×0.5=6,122.176,565

4、确定准确值。

（6,122.176,565+37,298,013÷6,122.176,565）×0.5=6,107.228,214

与上数差距较大，继续计算。

5、

（6,107.228,214+37,298,013÷6,107.228,214）×0.5=6,107.209,919

与上数差距非常小，所以，最后结果就是6,107.228

此题中，虽然结果不在区间内，但仍然计算出了准确结果，并且未舍小数位数前得数与实际结果已经非常接近了，误差在±0.000,000,5