多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.…3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.]5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2》5．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ）(A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____. @A. 20(,)a a adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B.ln33(,)y edy f x y dx ⎰⎰C.ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D.3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 10(,)dy f x y dx ⎰⎰B.10(,)dy f x y dx ⎰C.110(,)dx f x y dy ⎰⎰D.10(,)dx f x y dy ⎰⎰》10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ．22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B.22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ．22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ．222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）%（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;【14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n 的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）)(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )》A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.》2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=@6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
考研数学三(多元函数微积分学)-试卷4
考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．（分数：2.00）A.B.C.D. √D．5.累次积分可以写成（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D可见A、B、C均不正确，故选D．6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(（分数：2.00）A.B.C. √D.C．7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)．B.f(2)．√C.一f(2)．D.0．解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积分值为零．因此故选项A正确．9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )（分数：2.00）A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则（分数：2.00）填空项1:__________________14.设z=(x+e y ) x，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．16.设函数dz| (1,1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）解析：解析：根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为的定义可知，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有f x’(0，1)=2,f y’(0，1)=一1，所以dz| (0,1)=2dx 一dy．18.设函数z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy确定（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2—2ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得z(1，2)=0．在(z+y) x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得19.设函数z=z(x，y)由方程z=e 2x-3z +2y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在z=e 2x-3z +2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．20.设函数y=y(x)由方程y=1一xe y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一e）解析：解析：将x=0代入方程y=1一xe y，得y=1．方程两边对x求导，得y’=一e y一xe y y’．y’(1+xe y )=一e y，因此21.设f(u，v)（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学--练习题
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1) ()211(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin ;x y x yxy→∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xy x→ (4)()(,)0,0limx y →2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x yf x y xy=+的极限不存在。
二、填空题3. 若 22(,)f x y y x y +=-，则 (,)f x y = ；4.函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知 2(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当 23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若 2xy Z e yx =+，则 Z y∂=∂ ；8. 设 (,)ln()2y f x y x x=+，则 '(1,0)y f =；9. xyZ xe Z ==二元函数全微分d ； 10. arctan()Z xy =设，则dz= .11.1,0xyx y Z e Z====二元函数全微分d三、选择题12.设函数 ln()Z xy =，则Z x∂=∂ ( )A1yBx yC 1xDy x13.设 2sin(),Z xy = 则Z x∂=∂ ( )A 2cos()xy xyB 2cos()xy xy -C 22cos()y xy -D 22cos()y xy14.设 3xy Z =，则Z x∂=∂ ( )A 3xy yB 3ln 3xyC 13xy xy - D3ln 3xyy四、计算与应用题15. (1) 22e x yz +=, 求(0,1),(1,0)xy z z ''； (2) arctan y z x=, 求(1,1),(1,1)xy z z ''--；16.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和17.已知 2242(3),x y Z Z Z x y xy+∂∂=+∂∂设求和18.22exyz x y=+，求y xz z '';。
[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc
![[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/a434bd7b0912a21614792990.png)
7 (15年)设函数f(u，v)满足 依次是
8 (15年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x， 围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续．则 f(x，y)dxdy=
9 (16年)已知函数f(x，）I1＞0．
（B）I2＞0．
（C）I3＞0．
（D）I4＞0．
6 (14年)设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足
（A）u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．
（B）u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．
（C）u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得．
二、填空题
12 (12年)设 其中函数f(u)可微，则
13 (14年)设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则
14 (15年)若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______．
15 (17年)设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_____．
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11年)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
（B）fx'+fy'=0．
多元函数微积分复习题
多元函数微积分复习题、单项选择题1 •函数f x,y 在点X o , y o 处连续是函数在该点可微分的（B ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•2 •设函数f x,y 在点x o ,y o 处连续是函数在该点可偏导的（D ）（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件； （C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•3.函数f x, y 在点x o ,y o 处偏导数存在是函数在该点可微分的（B ）.（A ） 充分而不必要条件； （B ） 必要而不充分条件；（C ） 必要而且充分条件；（D ）既不必要也不充分条件•4 .对于二元函数z = f （x, y ）,下列结论正确的是（）.CA. 若 Ijm =A )则必有 Iim f (X ) y) = A 且有 Iim f (X ) y) = A;X % X r X Qy >y oy 泌B. 若在（X 0,y °）处'z 和2∙z 都存在,则在点（x °, y °）处z =f （x,y ）可微;CX Cy C.若在（x 0,y 0）处和2∙z 存在且连续,则在点（x 0, y 0）处z =f （x,y ）可微; CX Cy5. 二元函数Z r f （X,y ）在点（X 0,y °）处满足关系（）.C A. 可微（指全微分存在）二可导（指偏导数存在）=连续； B. 可微=可导=连续；C. 可微二•可导，或可微=连续，但可导不一定连续；D.可导=连续，但可导不一定可微.J4科・6. 向量a =3,7-2, b = 1,2,-1 ,则 aLb = （ A ）（A ） 3 （B ）-3（C ）-2（D ） 2D.若 -2三和:X -2-2:Z α ■y√2 Z5.已知三点 M( 1, 2, 1), A (2, 1, 1), B (2 !, 1, 2),贝U MMAB = ( C)(A) -1 ； (B) 1(C) 0 ；(D) 27—⅛ T6.已知三点M(0, 1, 1), A (2, 2,1), B C 2, 1, 3),则 IMA ABl = ( B)(A) - .2;(B)2、2 (C)一 2 ;(D)-2;7 .设D 为园域x 2寸乞2ax (a 0),化积分 F(x,y)d 匚为二次积分的正确方法r>是D2aa2a : 2a -x 2A. O dx f(x, y)dy0 - _aB.20dxf (x, y)dya2acosθC. Od a f(「cos ),「sinV)JdJ2a cos --ID.2小 O 一 f(τcosγ TSin RTd T^23 ln X8 .设I = j dx 0 f (x, y)dy ,改变积分次序，则I= ____________ ■ Bcos -,9.二次积分『川山f(Pcos^, P s in 日)P d P 可以写成 ____________________ . D 1 y -ydy 0 f(x,y)dx B. 1 1dx 0f(x, y)dyD.10 .设门是由曲面x 2 y^2z 及z =2所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分I=川f (x, y, z)dxdydz 表示为三次积分，I= ____________ . CΩP2 (1).A . d r d 「2 f(「cosd 「sin=z)dzj 0J 0』0 ∖ Z2兀 2 £B. d » ! d 「2 f (「cos=,「sin P Z)「dz*0‘0‘0∖ ' , ZA. C.ln3e y 0 dy 0 f(x, y)dx B. ln33dy 0 f(x, y)dx D.ln33dy e yf(x, y)dx3InXI dy 0 f (x, y)dx11今2dy 0 f(x, y)dx1x -x 2dx 0 f (x, y)dyA. C.2兀 2 2C . 0 dr 0 d ；Iff( TCOSd,「sinr, Z) TdZ^2"2兀 2 2D . d d「f(「cosv,「sinv,z) 'dz■ o .0 ■ o11.设L为x0y面内直线段，其方程为贝U P x, y dx =L(A) a(C) 012 .设L为x0y面内直线段，其方程为(A) a(C) 0 L:y=a, c_x_d ,贝U Px, ydy =L(B) C(D) dQQ13.设有级数a U n,则lim Un= 0是级数收敛的心n→c(A) 充分条件；(B) 充分必要条件；(C) 既不充分也不必要条件；(D) 必要条件；QQ14.幂级数' nχnn珀的收径半径R =(A) 3 (B) 0(C) 2 (D) 115.幕级数a -X n的收敛半径R-n三n(A) 1 (B) 0(C) 2 (D) 3OO OO16 .若幕级数a n X n的收敛半径为R ,则7a n X n 2的收敛半径为n =0 n=0(A) R (B) R2(C) 、R (D) 无法求得OO17.若IimU n= 0,则级数X U n ()F n三DA. 收敛且和为B.C. 发散D. 收敛但和不一定为可能收敛也可能发散QQ18.若Vu n为正项级数，则()n =1L : x = a, c^ymd ,(B) C(D) dQQQQC.若V U n 2 ,则VU n 也收敛D.nJ n 二OO19. 设幕级数a C n X n 在点X =3处收敛,则该级数在点x = -1处（）An 4A.绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定20. 级数J Sn 巴（Xn 0）,则该级数（） Bn4n!A.是发散级数B.是绝对收敛级数 C.是条件收敛级数 D. 可能收敛也可能发散：、填空题1•设 f(χ, y)=sinx+(y-1)ln(χ2+y 2),则 f x '(0,1) = ____________ 1___.2. _______________________________________________ 设 f (x, y )=cosx+ (y -1 $n (χ2 + y 2 ),贝U f x (0,1) = ___________________________ 0 _____ 3•二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是!∣f X, y dxdy = f 'cos[ 's in ； ∣'d d -DD 4 5 68. 设积分区域D 为仁X 2 ∙ y 2乞4 , .. 2dxdy 6-4 .三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 111 f x, y, Z dxdydz ： 111 f H cos∖ ? Sin Z ∣ ： d 「d 「dzΩΩ5 .柱面坐标下的体积元素_dv = T dd z6 .设积分区域 D : x 2 y 2 -a 2,且 dxdy =9二，则 a = _3DA.若 Iim U n=0,则VU n 收敛n =1B.若VU n 收敛,则u n 2收敛Bn 4nJ若V U n 发散,n 4则 Iim Un=7. 设D 由曲线Q =asin^, = a 所围成, 3则 11dxdy a 24D19. 设f X, y 在［0 , 1］上连续，如果0 f X dx =3,1 1则 0 dx 0 f X f ydy= _______ 9.2 2 219. 积分y dx χe~y dy 的值等于20. 设 D 为园域 χ2+y 2≤a 2,若 川 χ2 + y 2 )dxdy = 8兀，则 a= _________ . 2D21. 设 I=出2dxdydz,其中 0 : x 2 + y 2+z 2 兰 a 2, z^0,则 I= _____________ . → a 3Ω 310. 设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则XydS= 2 .L设L 为连接(1,0)与(0, 1) 贝U J (x - y )ds = _____L两点的直线段,.012. 等比级数J aq nn =1(a = 0)当 qc1时，等比级数aq n =4收敛.13 .当_P>1—时,o° IP-级数a -P 是收敛的.14.当QQ时，级数V-1心丄是绝对收敛的.n P15 .若 f (X , y) = J χy +∙x则 f χ(2,1)=16.若2f(x, y)=xy 3(X -1)arccos-,贝U f 2x (1,y)=3y 217 .设Z XyI y In XdX XIn Zdy^ydZ Z 18.设 z=y lnx ,则—2 =CXln y(ln y -1) InX2 y X1 .4 尹 - e"4),二、计算题1.求过点-2,0,1 且与平面2x-5y ∙4z -8=0平行的平面方程•解：已知平面的法向量n= (2, -5, 4),所求平面的方程为2( X +2)-5( y -0)+4( Z -1)=0 即 2 X -75y +4z = 02•求经过两点M i ( -1 , -2, 2)和M 2 (3, 0, 1)的直线方程。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。
考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2010年)设函数z＝z(χ，y)由方程F()＝0确定，其中F为可微函数，且F′2≠0，则【】A．χ．B．z．C．－χ．D．－z．正确答案：B解析：由隐函数求导公式得知识模块：多元函数微积分2．(2010年) 【】A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：多元函数微积分3．(2011年)设函数f(χ)，g(χ)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f′(0)＝g′(0)＝0，则函数z＝f(χ)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是【】A．f〞(0)＜0，g〞(0)＞0．B．f〞(0)＜0，g〞(0)＜0．C．f〞(0)＞0，g〞(0)＞0．D．f〞(0)＞0，g〞(0)＜0．正确答案：A解析：则AC＝B2＞0 故z＝f(χ)g(y)在(0，0)点取极小值．应选A．知识模块：多元函数微积分4．(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有型＜0，则使不等式f(χ1，y1)＜f(χ2，y2)成立的一个充分条件是【】A．χ1＞χ2，y1＜y2B．χ1＞χ2，y1＞y2C．χ1＜χ2，y1＜y2D．χ1＜χ2，y1＞y2正确答案：D解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型可知，f(χ，y)关于变量χ是单调增的，关于变量y是单调减的．因此，当χ1＜χ2，y1＞y2时，f(χ1，y1)＜f(χ2，y1)，f(χ2，y1)＜f(χ2，y2) 则f(χ1，y1)＜f(χ2，y2) 故应选D．知识模块：多元函数微积分5．(2012年)设区域D由曲线y＝sinχ＝±，y＝1围成，则(χy5－1)dχdy ＝【】A．πB．2C．－2D．－π正确答案：D解析：作辅助线y＝－sinχ(－≤χ≤0)．如图，将区域D分为两部分D1和D2，其中D1关于χ轴对称，D2关于y轴对称，而χy5分别关于变量χ和y 都是奇函数，则知识模块：多元函数微积分6．(2013年)设z＝f(χy)，其中函数f可微，则【】A．2yf′(χy)．B．－2yf′(χy)．C．f(χy)．D．－f(χy)．正确答案：A解析：知识模块：多元函数微积分7．(2013年)设Dk是圆域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1)在第k象限的部分，记IK＝(y－χ)dχdy(k＝1，2，3，4)，则【】A．I1＞0．B．I2＞0．C．I3＞0．D．I4＞0．正确答案：B解析：由于D1和D3关于直线y＝χ对称，则而在D2上，y－χ＞0，在D4上y－χ＜0，则I2＞0，I4＜0 故应选B．知识模块：多元函数微积分8．(2014年)设函数u(χ，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足≠0及＝0，则【】A．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B．u(χ，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C．u(χ，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得D．u(χ，y)的最小值在D的内部取得，最大值都在D的边界上取得正确答案：A解析：由题设可知，B≠0，A＋C＝0，则AC－B2＜0 故函数u(χ，y)在区域D内无极值点，因此，u(χ，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．故应选A．知识模块：多元函数微积分9．(2015年)设函数f(u，v)满足f(χ＋y，)＝χ2－y2，则依次是【】A．，0B．0，C．－，0D．0，－正确答案：D解析：故应选D．知识模块：多元函数微积分10．(2015年)设D是第一象限中由曲线2χy＝1，4χy＝1与直线y＝χ，y＝χ围成的平面区域，函数f(χ，y)在D上连续，则(χ，y)dχdy＝【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设知积分域D如图所示，曲线2χy＝1，4χy＝1在极坐标下方程分别为2r2cosθsinθ＝1，4r2cosθsinθ＝1 即，直线y＝χ，y ＝χ在极坐标下的方程为，则故应选B．知识模块：多元函数微积分填空题11．(2014年)设z＝z(χ，y)是由方程e2yz＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则dz＝_______．正确答案：－(dχ＋dy)．解析：将χ＝y＝代入e2yz＋χ＋y2＋z＝得知识模块：多元函数微积分12．(2015年)若函数z＝z(χ，y)由方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1确定，则dz｜(0，0)＝________．正确答案：－(dχ＋2dy)．解析：将χ＝0，y＝0代入eχ＋2y＋3z＋χyz＝1中得e3z＝1，则z＝0 方程eχ＋2y＋3z＋χyz＝1两端微分得eχ＋2y＋3z(dχ＋2dy＋3dz)＋yzdχ＋χzdy＋χydz＝0 将χ＝0，y＝0，z＝0代入上式得dχ＋2dy＋3dz＝0 则dz｜(1，0)＝－(dχ＋2dy)．知识模块：多元函数微积分13．(2011年)设平面区域D由直线y＝χ，圆χ2＋y2＝2y及y轴所围成，则二重积分χydσ＝_______．正确答案：解析：知识模块：多元函数微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
感谢观看
Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
多元函数微积分复习试题.doc
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微分的( B )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .2 ．设函数 f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可偏导的（ D )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .3．函数f x, y在点x0, y0 处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ).(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .4 ．对于二元函数z f (x, y) , 下列结论正确的是 ( C ).A. 若lim A , 则必有 lim f (x, y) A 且有 lim f (x, y) A;x x0 x x y y0 0y y0B. 若在( x0, y0)处z和z都存在 , 则在点 (x0 , y0 ) 处 z f ( x, y) 可微; x yC. 若在( x0, y0)处z和z存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 z f (x, y) 可微; x yD. 若 2 z 和2z都存在 , 则. 2 z 2 z .x2 y2 x2 y25．二元函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足关系( C ).A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ;B.可微可导连续;C.可微可导 , 或可微连续 , 但可导不一定连续 ;D.可导连续 , 但可导不一定可微 .r r1,2, 1 rr（ A ）6. 向量 a 3, 1, 2 , b ，则 a gb(A) 3 (B) 3 (C) 2 (D) 25．已知三点 M （1， 2， 1），A （2，1，1），B （2，1， 2） ，则 MA? AB =（ C）(A) -1 ； (B) 1 ； (C) 0 ； (D) 2 ；6．已知三点 M （0，1，1）， A （ 2， 2， 1），B （2，1，3） ，则 | MA AB |=（ B ）(A) 2;(B)2 2 ;(C)2 ;(D)-2;7 ．设 D 为园域 x 2 y 22ax (a0) , 化积分F (x, y)d 为二次积分的正确方法D是_____D____.A.2 a aB.2a 2 a x2dxf ( x, y)dy2 dxf (x, y)dyaC.a 2 acos f ( cos ,sin ) ddaD.2d2a cos f ( cos , sin ) d23 ln x 8．设 Idx1f (x, y)dy , 改变积分次序 , 则 I______.Bln3 dy eyB. ln3 A. f (x, y)dxdy 00 ln3 dy3 D.3C.f ( x, y)dxdy3e yln x f ( x, y)dx f ( x, y)dx19． 二次积分2 dcos f (cos , sin) d可以写成 ___________. D1dyy y2f (x, y)dxB.1 1 y 2A. 0 dy f ( x, y) dx0 01dx1D.1 dxx x2C.f ( x, y)dyf (x, y)dy10 ．设是由曲面 x 2 y 2 2z 及 z 2 所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分If ( x, y, z) dxdy dz 表示为三次积分， I ________.C2A ．2 1 2f ( cos , sin , z) dzdd222B.2 f ( cos ,sin, z) dz0 ddC ．2d 2 2f ( cos, sin , z)dz0 d22D ．2 d 22 cos , sin , z ) dz0 df (11．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : xa, cy d ，则 P x, y dx（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d12．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : ya, cx d ，则 P x, y dy（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d13．设有级数u n , 则 lim u n0 是级数收敛的（ D）n 1n(A) 充分条件； (B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件 ;14．幂级数nx n 的收径半径 R =（ D）n 1(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115．幂级数1 x n 的收敛半径 R （ A）n 1n(A) 1(B) 0(C) 2(D) 316 ． 若幂级数a n x n 的收敛半径为 R ，则a n x n 2 的收敛半径为（ A）n 0n 0(A) R(B)R 2(C)R(D)无法求得17.若 lim u0, 则级数u n ()Dn nn 1A. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D.可能收敛也可能发散18. 若u n为正项级数, 则(B)n 1A. 若 lim u n 0 , 则u n收敛B. 若u n收敛, 则u n2收敛n n 1 n 1 n 1C. 若u n2,则u n也收敛D. 若u n发散, 则 lim u n 0n 1 n 1 n 1 n19.设幂级数C n x n在点x3处收敛 ,则该级数在点x 1 处( A )n 1A.绝对收敛B. 条件收敛C.发散D.敛散性不定20. 级数sin nx, 则该级数 ( B )( x 0)n 1n!A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设f ( x, y) sin x ( y 1)ln( x2 y 2 ) ，则 f x (0,1) ___1___.2．设f x, y cos x y 1 ln x 2 y2，则 f x' ( 0,1) =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dxdy f cos , sin d dD D4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz5 ．柱面坐标下的体积元素dv d d d z6 ．设积分区域D : x2 y 2 a2, 且 dxdy 9 , 则a 3 。
多元函数微积分练习题共6页
练习题一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二 多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
微积分期末复习多元函数重积分
多元函数 重积分复习一、客观题： 1．判断1）．已知),(2),(),(lim ),(0b a f xb x a f b x a f b a x f x x '=--+∂∂→存在，则 （ √ ）2）．若二元函数),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z 在点的两个偏导数存在，则在点==可微。
( × ）3）．若二元函数的两个偏导在点不可微，则在点),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。
数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 4）．若二元函数.),(),(),().(0000不可微在点则的两个偏导数不连续，在点y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。
数yzx z ∂∂∂∂, （ × ） 2.选择题1）. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微分,是),(y x f 在),(00y x 处连续的_________条件.A ． 充分条件 B. 既充分又必要条件 C ． 必要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：A2）．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的________. A. 必要条件 B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 答案：D3）．设函数),(y x f z =在（0，0）处存在偏导数，且,0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(===f f f y x 那么 。
A. ),(lim 0y x f y x '→→ 必定存在 B ．),(y x f 在（0，0）处必连续C. 0=dz D ．0,0),(lim 220==+→→dz yx y x f y x 则若答案：D4）．设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）。
第八章 多元函数微积分
第八章 多元函数微积分试题三一、填空题(2⨯10=20分)1. 母线平行于Y 轴，且通过曲线⎩⎨⎧2x 2+y 2+z 2=16x 2-y 2+z 2=0的柱面方程是 。
[解析]：方程不含y 时，表示母线平行于Y 轴的柱面。
消去y 2得到3x 2+2z 2=16，为所求的柱面方程 2. 设(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)=(x 2-y 2)-sin2xyx 2+y2, 则 f(x+y,x-y)= 。
[解析]：f(x+y ,x-y)= ((x+y)2-(x-y)2)-sin 2(x+y)(x-y) (x+y)2+(x-y)2 = 4xy-sin 2(x 2-y 2)(x 2+y 2)3. 设f(x,y)= ⎩⎪⎨⎪⎧xy x 2+y 2 当x 2+y 2≠00 当x 2+y 2=0，则 f x '(0,0)= 。
[解析]： f 'x (x 0,y 0)= lim ∆x →0f(∆x+x 0,y 0)-f(x 0,y 0)∆x , f x '(0,0)= lim ∆x →0f(∆x,0)-f(0,0)∆x = lim ∆x →00-0∆x =0 4. 设z=f[x,g(x,y)], y=φ(x)，f, g, φ 均为可微函数，则dzdx = 。
[解析]：根据复合函数求导数规则，dzdx = f '1 +f '2 (g 'x +g 'y •φ')5. 已知 xlny+ylnz+zlnx = 1，则∂z ∂x •∂x ∂y •∂y∂z= 。
[解析]：根据隐函数求导数规则，∂z ∂x •∂x ∂y •∂y ∂z = (- F 'x F 'z )•(- F 'y F 'x )•(- F 'zF 'y ) = -16. 设z=f (arctan y x )，f 为可微函数，且f '(x)=x 2, 则 ∂z∂x |(1,1) = 。
第七章-多元函数微积分简介-自测题
第七章-多元函数微积分简介-自测题第七章 多元函数微积分简介 自测题一．选择题1．二元函数z=f(x,y)在点(0,x y )处可微的充分条件是 （ ）A f(x,y)在点（0,x y ）处连续；B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（）的某邻域存在；C 220000(,)(,),0x y f x y x f x y y x y ''∆∆-∆∆+∆→z-当时，是无穷小量；D2222(,)(,)0f x y x f x y yx y x y''∆∆-∆∆+∆∆+∆z-，当时，是无穷小量。
2．22221()sin ,(,)0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩222200x y x y +≠+=，。
则在原点（0,0）处f(x,y) ( )A 偏导数不存在；B 不可微C 偏导数存在且连续D 可微3．设x ϕ（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知22F f,(,)F x y x y x y∂∂≠∂∂∂∂则是 （ ） A f(x,y)+x ϕ（） B f(x,y)+ψ（y ）C f(x,y)+x ϕ（）+ψ（y ）D f(x,y)+ x ϕ（）ψ（y ）4．已知3222（axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是 （ ） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y（ ）(A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续；(C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续6．函数z f x y =(,)在点(,)x y 0处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ ）(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 7．设函数z x y =-+122，则点(,)00是函数 z 的（ ）（A ）极大值点但非最大值点； （B ）极大值点且是最大值点；（C ）极小值点但非最小值点； （D ）极小值点且是最小值点。
第七章 多元函数微积分
高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域 （ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第三节 偏导数 第四节 全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于 （ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ） （A ）221()f x y y -； （B ）4f yf y '+； （C ）0； （D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分 解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第五节 多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ） （A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。
第七章-多元函数微积分简介-自测题
(C)充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件第七章 多元函数微积分简介 自测题．选择题1．二元函数 z=f(x,y) 在点 ( x 0,y 0 )处可微的充分条件是 ( ) A f(x,y) 在点( x 0,y 0 )处连续；B f x (x,y), f y (x,y)在( x 0 , y 0)的某邻域存在；C z- f x(x 0,y 0) x f y(x 0,y 0) y,当 x 2y 20 时，是无穷小量；6．函数 z f(x,y) 在点 (x 0,y 0) 处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )2． z-f x(x 0,y 0) x f y (x 0,y 0) y ，x 2(x 2 f (x,y) 0,y 2)sin x 2 1y 2 ,2x 2 x偏导数不存在； x 22y 22y0时，0，则在原点 0。
B 不可微C 偏导数存在且连续 3．设 ( x)为任意一个 x 的可微函数， y)为任意一个是无穷小量。
0,0)处 f(x,y) (可微y 的可微函数，若已知 2F,则F(x, y)是x y x yA f(x,y)+ ( x )B f(x,y)+ ( y)C f(x,y)+ ( x )+ y )D f(x,y)+ ( x) 4．已知( axy 3-y 2cosx ) dx+(1+bysinx+3x 2y 2)dy 为某一函数 f(x,y) 的全微分，则 的值分别是 ( A -2 和 2， B )2 和 -2 ，C -3 和 3D 3 和 -3.xy2xy 20 ，5．设函数 f(x,y)22x2 y 2则f(x,y)2xy 2(A) 处处连续；(B) 处处有极限， 但不连续； (C) 仅在点连续；(D) 除( 0,0)点外处处连(y) a 和b (A) 必要而非充分条件；(B) 充分而非必要条件；7．设函数z 1 x2y2，则点(0,0) 是函数z 的(A )极大值点但非最大值点；(B)极大值点且是最大值点；( C)极小值点但非最小值点；(D)极小值点且是最小值点。
多元函数微积分复习试题
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( C ).A. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B)(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_____D____.A. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 1(,)x Idx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I= BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰B. ln330(,)y edy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( B )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛C. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( A )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( B )A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;(C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若0lim x xy y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处zx∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22zy ∂∂.5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). CA. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;B. 可微⇒可导⇒连续;C. 可微⇒可导, 或可微⇒连续, 但可导不一定连续;D. 可导⇒连续, 但可导不一定可微.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-，则a b = （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) (C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_________. DA. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = B A. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰C. ln33(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 10(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 2212000(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:，则()=⎰Ldx y x P , （ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P , （ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n n u ,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的 （ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n n nx 的收径半径R = （ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R （ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n n x a 的收敛半径为 （ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛 BC. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( ) AA. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( ) BA. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则)1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 。
7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2Ddxdy =⎰⎰6π9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ，则()()⎰⎰11dy y f x f dx =_____9________.10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ .11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 ().___________=-⎰Lds y x 012．等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞=11n pn 是收敛的.14．当_________时,级数()∑∞=--1111n p n n是绝对收敛的. 1ρ> 15．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18．设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x- 19. 积分2220y x dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 41(1)2e --,20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰, 则_______.a = 221.设2I dxdydz Ω=⎰⎰⎰, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I = 343a π三、计算题1. 求过点()2,0,1- 且与平面25480x y z -+-=平行的平面方程.解: 已知平面的法向量n=（2，-5，4），所求平面的方程为2（x +2）-5（y -0）+4（z -1）=0 即 2 x -75y +4z = 02．求经过两点M 1（1-，2-，2）和 M 2（3，0，1）的直线方程。
. 解: →21M M = (4, 2 ,1- ) 所求直线方程为122421x y Z ++-==- 3．求过点 ( 0, -3, 2) 且以n =( 3, -2, 1 )为法线向量的平面方程.解: 所求的平面方程为()()()3023120x y z --++-=即 3280x y z -+-=4．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2解:,1yf xz=∂∂ ()()1211112f f x y f f y yx z y y x z ''+''+'='∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂5．设x y y x arctan ln 22=+, 求dxdy解: 方程两边对x 求导得()2222221122211xyy x x y y y x y x y x -'⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+='++⋅+ 由此得 yx yx y -+='6．设()y xy f z ,=，其中f 具有二阶连续偏阶导数，求22xz∂∂。
解:u yf xz=∂∂, ()()u u u u f y f x y yf x x z x xz 222=∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂7．设y z z x ln =, 求.xz∂∂解: 方程y z z xln ln -=两边同时对x 求导得x z z z x z xz ∂∂=∂∂-12, zx z x z +=∂∂8．设()by ax f z ,=，其中f 具有连续的二阶偏导数，求yx z∂∂∂2解:1f a xz'=∂∂"=⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂=∂∂∂1212abf af y y x z9．设 .,0sin 2dxdy xy e y x 求=-+ 解: 方程两边对x 同时求导得2cos 20x y y e y xyy ''⋅+--=由此得 yxy y e y x cos 22--='10．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x 23, 其中D 是由直线2,0,0=+==y x y x所围成的闭区域。