8-3非齐次边界条件的处理8-4泊松方程

④ v(0，t ) (t )，v(l，t ) (t ) w(0，t ) 0，w(l，t ) 0 为齐次边界条件 定解问题可化为
wtt a 2 wxx f ( x，t ) vtt a 2vxx w(0，t ) w(l，t ) 0 0) ( x) v( x， 0) w( x， wt ( x， 0) ( x) vt ( x， 0) 可按第二节的方法求解 实际上满足④的v(x,t)很多，最简单的可设 v(x,t)=A(t)x+B(t)
wt a 2 wxx 0 w(0，t ) w(l，t ) 0 w( x， 0) u0 u1 (u2 u1 ) x / l
习题2
ut a 2u xx 0 u (0，t ) At，u (l，t ) 0 u ( x， 0) 0
wt a 2 wxx 0 w(0，t ) w(l，t ) 0 3 2 2 l A x x x w( x， 0) 2 3 2 6a l l l
习题3
utt a 2u xx 0 F0 sin t u (0，t ) 0，u x (l，t ) ES u ( x ， 0 ) ( x ) ， u ( x ， 0 ) ( t ) t
可令 其中
u w [ At f ( x) g ( x)]
x f ( x) 1 l 2 x 3 x 2 x l A g ( x) 3 2 2 6a l l l
F0 u w( x，t ) f ( x) sin t ES
令
其中
f ( x)
a
cos
l
a
sin
x
a
wtt a 2 wxx 0 w(0，t ) wx (l，t ) 0 x F0 a sin w( x， a 0) ( x)，wt ( x， 0) ( x) l YS cos a
§8.4 泊松方程
⊿u=f(x,y,z)
基本思想：
(1) 令u=w+v (特解)，且⊿v=f(x,y,z)
使⊿w=0为拉普拉斯方程；
(2) 利用方程关于x，y，z的对称性，以及解 的迭加性，将问题变为分别关于x，y，z的齐 次边界条件。
§8.3 非齐次边界条件的处理
利用叠加原理，将非齐次边界条件转化为另一函 数的齐次边界条件。 一、一般的处理方法： utt a 2u xx f ( x，t ) ① ② u (0，t ) (t )，u (l，t ) (t ) u ( x， 0) ( x)，ut ( x， 0) ( x ) ③ 首先要将非齐次的边界条件齐次化： 设 u(x,t)=w(x,t)+v(x,t) 要求v(x,t)满足②，可得
由④
v(0，t ) (t )，v(l，t ) (t ) B(t ) (t )，A(t )l B(t ) (t )
v( x，t )
(t ) (t ) x (t ) l
若两端都是第二类非齐次边界条件：
ux (0，t ) (t )，ux (l，t ) (t )
则改设
v(x,t)=A(t)x2+B(t)x
二、特殊处理方法：
当方程是齐次而边界条件是非齐次时，特殊情况 下可选择合适的特解v，令u=w+v，能使关于w的
定解问题为齐次方程和齐次边界条件。不同问题 所设不同。 例：(P175，习题1)求解细杆的导热问题。细杆 长l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度u1和 u2。 ut a 2u xx 0 u (0，t ) u1，u (l，t ) u2 u ( x， 0) 百度文库0 可令 x u w u1 (u2 u1 ) l