矩阵的秩与线性方程组
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利用MATLAB实现 线性代数的运算及应用
3.1 矩阵的秩 3.2 线性方程组解的判定
顾回
第一章 矩阵及其应用 第二章 行列式
回顾: 根据克拉默法则
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
由阶梯形矩阵有三个非零 R(A) 3. 行可知
求 A的一个最高阶非零子式 . R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 . 考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A1 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵，
故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形 矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩
阵的秩. 3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 6 4 1 4
A
~
0 0
4 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 0 0
R( A1) 3, A1 中必有 3 阶非零子式.
计算A1的前三行构成的子式
3 2 5 6 0 11 3 2 6 3 2 6 20520 5
6 11
的阶数称为矩阵A的秩,记作R( A).
易 (1)R(A) min(m, n) 知: (2)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A) r
(3)若矩阵A的所有r 1阶子式全为零,则R(A) r
(4)规定零矩阵的秩为0
(5) 满秩矩阵, 降秩矩阵
对n阶方阵A (aij ), 若 | aij | 0,则R( A) n, 称A 为满秩矩阵;若 | aij | 0,则R( A) n, 称A为降秩 矩阵.
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项bi i 1,2,,n
线性方程组的一般形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn代表n个未知量；
定定义义14 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
二、矩阵的秩的概念
定义5 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非零子式
2
16 0.
25
A1 (a1,a2 ,a4 )
3 2 0 5 0
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
这个子式也是 A 的一个最高阶非零 子式.
1 2 2 1 1
例 5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
aij (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
称为方程组的系数；
b1, b2 , , bm
称为常数项。方程的个数 m
没有限制，可以：m n，方程组是否有解？ m n，方形线性方程组，Cramer法则；
m n，显然，可解。解是怎样的？
第一节 矩阵的秩
一、矩阵的k阶子式的概念
0
2
1
3
0
2
1
3
,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为
2，
RA 2.
此方法简 单！
三、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过初等变换， 两个矩阵的秩是否相同？
定理1 初等变换不改变矩阵地秩。
◆初等变换求矩阵秩的方法：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
解
1 0
3 2 0,
2
计算A的3阶子式，
1 3 2
1 32
1 2 2
0 2 1 0, 0 2 3 0, 0 1 3 0,
2 0 1
2 0 5
2 1 5
3 2 2
2 1 3 0,
RA 2.
015
另 解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 3
00
3 2 0, 4
R(B) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
已知
A
Biblioteka Baidu1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的. 矩阵的
秩
例1
求矩阵
A
1 1
2 2
3 3
的秩.
2 3 1
解
在 A中， 1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例2
3.1 矩阵的秩 3.2 线性方程组解的判定
顾回
第一章 矩阵及其应用 第二章 行列式
回顾: 根据克拉默法则
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
由阶梯形矩阵有三个非零 R(A) 3. 行可知
求 A的一个最高阶非零子式 . R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 . 考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A1 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵，
故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形 矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩
阵的秩. 3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 6 4 1 4
A
~
0 0
4 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 0 0
R( A1) 3, A1 中必有 3 阶非零子式.
计算A1的前三行构成的子式
3 2 5 6 0 11 3 2 6 3 2 6 20520 5
6 11
的阶数称为矩阵A的秩,记作R( A).
易 (1)R(A) min(m, n) 知: (2)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A) r
(3)若矩阵A的所有r 1阶子式全为零,则R(A) r
(4)规定零矩阵的秩为0
(5) 满秩矩阵, 降秩矩阵
对n阶方阵A (aij ), 若 | aij | 0,则R( A) n, 称A 为满秩矩阵;若 | aij | 0,则R( A) n, 称A为降秩 矩阵.
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项bi i 1,2,,n
线性方程组的一般形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn代表n个未知量；
定定义义14 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
二、矩阵的秩的概念
定义5 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非零子式
2
16 0.
25
A1 (a1,a2 ,a4 )
3 2 0 5 0
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
这个子式也是 A 的一个最高阶非零 子式.
1 2 2 1 1
例 5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
aij (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
称为方程组的系数；
b1, b2 , , bm
称为常数项。方程的个数 m
没有限制，可以：m n，方程组是否有解？ m n，方形线性方程组，Cramer法则；
m n，显然，可解。解是怎样的？
第一节 矩阵的秩
一、矩阵的k阶子式的概念
0
2
1
3
0
2
1
3
,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为
2，
RA 2.
此方法简 单！
三、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过初等变换， 两个矩阵的秩是否相同？
定理1 初等变换不改变矩阵地秩。
◆初等变换求矩阵秩的方法：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
解
1 0
3 2 0,
2
计算A的3阶子式，
1 3 2
1 32
1 2 2
0 2 1 0, 0 2 3 0, 0 1 3 0,
2 0 1
2 0 5
2 1 5
3 2 2
2 1 3 0,
RA 2.
015
另 解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 3
00
3 2 0, 4
R(B) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
已知
A
Biblioteka Baidu1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的. 矩阵的
秩
例1
求矩阵
A
1 1
2 2
3 3
的秩.
2 3 1
解
在 A中， 1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例2