矩阵的秩与线性方程组
有关矩阵的秩及其应用
r (AB)≤min {r (A), r (B)}
定理 3 设 A 是 m×n 矩阵，P 是 m 阶可逆矩阵，Q 是 n 阶可逆矩阵，则
r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ) 推论 设 A 是是 m×n 矩阵，则 r (A) = r，当且仅当存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，
r
A− O
C
AB B
− −
CD D
=
r(
A
−
C
)
+
r(B
−
D)
。
定理 6 （Frobenius 不等式）
设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，C 是 s×t 矩阵。则
r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B)
证明：由分块矩阵的乘法得
AB B
ABC O
证明：由定理 1 得
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ k
r( A1 + A2 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 + A3 + " + Ak ) ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + r( A3 + A4 + " + Ak ) "" ≤ r( A1 ) + r( A2 ) + " + r( Ak ) =k 定理 2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。即：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×s 矩阵，则
a1
A2
=
a2
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧
矩阵的秩与线性方程组线性代数的应用技巧矩阵是线性代数中的重要概念，对于解决线性方程组以及其他相关问题非常有用。
在矩阵的运算中，秩是一个重要的指标，它可以帮助我们判断矩阵的性质以及求解线性方程组的解。
一、矩阵的秩的定义矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大线性无关行数，用r(A)表示。
换言之，矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，行阶梯形矩阵中非零行的个数。
二、线性方程组的解与矩阵的秩的关系线性方程组可以用矩阵来表示，对于一个m×n的矩阵A和一个n×1的矩阵B，线性方程组可以表示为AX=B。
1. 当矩阵A的秩小于n时，即r(A) < n，存在自由变量，线性方程组有无穷多个解。
这是因为秩小于n时，矩阵A的行向量之间存在线性相关性，会导致方程组中存在冗余的方程，从而使得方程组的解不唯一。
2. 当矩阵A的秩等于n时，即r(A) = n，不存在自由变量，线性方程组有唯一解。
这是因为秩等于n时，矩阵A的行向量之间线性无关，不会存在冗余的方程，方程组的解是唯一的。
三、矩阵的秩的计算方法1. 初等行变换法：通过初等行变换把矩阵A化为行阶梯形矩阵，然后矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的个数。
2. 矩阵的秩与其特征值的关系：矩阵A与其特征值λ有关，矩阵A 的秩等于特征值λ不等于0的个数。
四、矩阵的秩在实际应用中的意义矩阵的秩在很多实际问题中都有广泛的应用，包括物理、工程、经济等领域。
1. 线性回归分析：在线性回归分析中，我们可以通过计算相关系数矩阵的秩来判断自变量之间的相关性。
如果相关系数矩阵的秩小于自变量的个数，说明自变量之间存在冗余，可以进行变量选择。
2. 图像处理：在图像处理中，我们可以使用矩阵的秩来判断图像的压缩比例或图像的清晰度。
秩越小的矩阵代表图像的冗余信息越多，而秩越大的矩阵则代表图像的信息丢失越少，图像越清晰。
3. 线性规划：在线性规划中，我们可以通过计算约束矩阵的秩来判断约束条件是否完全满足，进而判断解的可行性。
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组与矩阵的秩线性方程组是数学领域中的一个重要概念，与之密切相关的是矩阵的秩。
本文将介绍线性方程组和矩阵的基本概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、线性方程组的定义及性质线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，一般表示为:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ为系数，xₙ为未知数，bᵢ为常数，m为方程组的数量，n为未知数的数量。
线性方程组的性质包括可解性和解的唯一性。
对于一个线性方程组，当其中的方程数量与未知数数量相等，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组可解且解唯一；当方程数量大于未知数数量时，方程组可能无解；当方程数量小于未知数数量时，方程组可能有无穷多解。
二、矩阵的定义及性质矩阵是一个按照行和列排列的数表，用来表示线性方程组的系数。
一个m×n的矩阵A可表示为：A = [a₁₁ a₁₂ ... a₁ₙa₂₁ a₂₂ ... a₂ₙ...aₙ₁ aₙ₂ ... aₙₙ]矩阵的基本性质包括矩阵的加法、数乘和乘法运算。
两个矩阵的加法定义为矩阵对应元素相加，数乘定义为矩阵的每个元素乘以一个常数。
矩阵的乘法定义为矩阵的行与列的线性组合。
矩阵的秩是矩阵的一个重要概念，表示矩阵中非零行的最大线性无关组的元素个数。
通常用r(A)表示矩阵A的秩。
矩阵的秩具有以下性质：1. r(A) ≤ min(m, n)，即矩阵的秩不会超过矩阵的行数和列数的最小值。
2. 当r(A) = m时，矩阵的列向量线性无关，矩阵的列满秩；当r(A) = n时，矩阵的行向量线性无关，矩阵的行满秩。
3. 矩阵的秩与其行列式的性质相关，当矩阵满秩时，其行列式不为0，反之亦然。
三、线性方程组与矩阵的关系及应用线性方程组可用矩阵的形式表示，设A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量，则线性方程组可以表示为Ax = b。
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
线性方程组与矩阵秩的若干问题
引理4 对任意 ( AB)、( BC )，有
0 r BC AB B
r ( AB) r ( BC r (( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB))) r ( B) r ( ABC )
定理2 在Frobenius不等式中，对任意 ( AB) 、
( BC )，有
r ( ABC ) r ( AB) r ( BC ) r ( B) ( I ( BC )( BC ) ) B( I ( AB) ( AB)) 0
参考文献
[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出 版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版 社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技 大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius 等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65.
Sylvester不等式：
r ( A) r ( B) n 剟r ( AB) min(r ( A), r ( B))
Frobenius不等式：
r ( AB) r ( BC ) r ( B) „ r ( ABC )
问题：
在这两个不等式中等号成立的条件是什么？
即以下等式成立的条件分别是什么？
这样， L1 与 L2 的位置关系取决于线性方程组
a1 x b1 y c1 z d1 0 a x b y c z d 0 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 0 a4 x b4 y c4 z d 4 0
3.3矩阵的秩与方程组的解
1 1 2 8 02 1 1
有唯一解 0 0 1 5 R(A|b) =R(A)=n
12112
有无数解 0 0 1 4 3
00000
R(A|b) =R(A)<n
(一)线性方程组 Amn X b 解的情况，可以归纳为
（1）R (A )R (A|b) ，方程组无解 （2）R (A )R (A |b ) r n ，方程组有唯一解 （3）R (A )R (A |b ) r n ，方程组有无穷多解
x3 x4 4x4
3
x5 1 x5 a
x2 x3 3 x4 2 x5 1
（1） 无解（2）有解，并求出解
解
1 1 1 2
1 0
1 4
1 3
1 a
r1 r2
1 0
1
1
1
1
11
32
1 a 1
0 1 1 3 2 1
0 1 1 3 2 1
3.3(2) 矩阵秩与线性方程组的解
行阶梯形线性方程组的有三中基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0=1
free variables
x1x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5
x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3
行阶梯阵的形状与线性方程组的解.
（A）r=n时，方程组AX=b有唯一解
（B）m＝n时，方程组AX＝b有唯一解
（C）r<n时，方程组AX＝b有无穷多解
（D）r＝m时，方程组AX＝b有解
（二）当 b=0 得齐次线性方程组 Amn X 0 ，解的情况 可以归纳为
3.2矩阵的秩与线性方程组有解的判定
2
5
4、 设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于其阶 数，故称可逆矩阵 为满秩矩阵.
一般地，若R( A) min(m , n), 则称A为满秩矩阵 , 若R( A) min(m , n), 则称A为降秩矩阵 .
1) 无解的充要条件R( A) R A, b ; 2) 有唯一解的充要条件R( A) R A, b n ;
3) 有无穷多解的充要条件 ( A) R A, b n . R
RA RB Ax b无解
RA RB n Ax b有唯一解
一矩阵秩的概念二矩阵秩的求法数是唯一确定的梯形矩阵中非零行的行梯形行阶把它变为行阶变换总可经过有限次初等行任何矩阵称为矩阵阶行列式中所处的位置次序而得变它们在不改元素阵的秩等于零并规定零矩的秩记作称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵那末全等阶子式如果存在的话且所有中有一个不等于设在矩阵定义子式的最高阶数中不等于零的显然有显然有
R( A) 2.
1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 0 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
例2 另解
1 3 2 2 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5
6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间
6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ⨯∈，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。
类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。
注：)(F M A n m ⨯∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设)(F M A n m ⨯∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。
分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ⨯⨯⨯===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。
由题述关系PA B =得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m im i im i i p p A p p ααβ 111),,(),,( =),,2,1(;11m i p p m im i =++αα即B 的每个行向量都可以由A 的行向量线性表示；因为P 可逆，有B P A 1-=，同上得A 每个行向量都可以由B 的行向量线性表示，这样这两组向量等价。
矩阵秩的研究与应用
矩阵秩的研究与应用.doc矩阵秩是线性代数中的重要概念，它描述了矩阵所代表的线性方程组中线性无关的方程个数，也可以理解为矩阵列向量的线性无关个数。
在实际应用中，矩阵秩有着广泛的应用，例如解线性方程组、求解线性变换的性质、压缩数据、识别图像等方面。
1. 解线性方程组线性方程组的求解是矩阵秩应用最为广泛的领域之一。
一个m×n的矩阵A表示一个有m个方程、n个未知数的线性方程组，如果这个矩阵的秩rank(A)等于n，则方程组有唯一解；如果rank(A)<n，方程组有无穷多解；如果rank(A)<m，方程组无解。
例如线性方程组2x + 3y + z = -1x - y + 2z = 73x - y + kz = 0其增广矩阵为$$\begin{bmatrix}2 &3 & 1 & -1 \\1 & -1 &2 & 7 \\3 & -1 & k & 0 \\\end{bmatrix}$$对其进行行变换，得到$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 7-k \\0 & 1 & 0 & -4 \\0 & 0 & 1 & 3k-3 \\\end{bmatrix}$$可以看出，当k≠1时，方程组有唯一解；当k=1时，方程组有无穷多解。
2. 求解线性变换的性质线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了一个向量空间中任意两个向量之间的关系。
对于一个n维向量空间V，由线性变换T所产生的变换矩阵A是一个n×n的矩阵，可以用矩阵乘法的形式计算。
矩阵A的秩可以用来判断T的性质。
例如，如果矩阵A的秩为n，则T是一个满秩线性变换，它将V映射为一个n维的向量空间，保留了V的所有维度；如果矩阵A的秩小于n，则T 是一个非满秩线性变换，它将V映射到低维向量空间中。
矩阵的秩与方程组解的判定
1 2 2 1 1
B
2 2
4 4
8 2
0 3
2 3
3 6 0 6 4
r2 2r1 1 2 2 1 1
r3 2r1 0 0 4 2 0
r4 3r1
0 0
0 0
2 1 5 6 3 1
r2 2 1 2 2 1 1 r3 r2 0 0 2 1 0
0 0 0 0 5 r4 3r2 0 0 0 0 1
证 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 则R( A) R(B).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
当A ri rj B或 A rik B时， 在 B 中总能找到与Dr 相对应的子式 Dr ,.
由于 Dr Dr 或 Dr Dr 或 Dr kDr ,
因此 Dr 0，从而 R(B) r. 当A ri krj B时，分三种情况讨论：
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
第三章 矩阵的秩
Ax = b
b=0,齐次线性方程组 齐次线性方程组 b≠0,非齐次线性方程组 非齐次线性方程组
定理 1 线性方程组 = b有解⇔ r( A) = r( A| b). Ax 证明： 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 不妨设r(A)=r,利用初等行变换把增广 r(A)=r 初等行变换 矩阵化为行阶梯形 矩阵化为行阶梯形
推论2 推论2
当
m<n
时，齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ am1 x1 + am2 x2 +⋯+ amn xn = 0
必有非零解。 必有非零解。
1 A 矩阵， r A中必成立（） 例 已知 为m× n矩阵，且 ( A) = r，则 中必成立（）
丞相买鸡与不定方程 《张丘建算经》是我国南北朝时期写成的一本数 张丘建算经》 学书，距现在有1500多年了，里面共有 个问题， 多年了， 个问题， 学书，距现在有 多年了 里面共有92个问题 其中有一道著名的“百鸡问题” 其中有一道著名的“百鸡问题”： 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三； 今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三； 鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。 鸡雏三，直钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡 母雏各几何？ 翁、母雏各几何？
(4)a = b = 0, r( A) = 0.
(1)a ≠ b且a + (n −1)b ≠ 0, r( A) = n.
对于m个方程 个未知数的线性方程组 对于 个方程n个未知数的线性方程组 个方程 a11 x1 + a12 x2 +⋯+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +⋯+ a2n xn = b2 ........................................... a x + a x +⋯+ a x = b m n n m m1 1 m2 2
矩阵的秩与行列式的关系
定理3.3若A是n阶方阵，则R( A) n的充分必要条件 是A为非奇异的。
定理3.4对任何矩阵A，有R( A) R( AT )
西安建大
三、 初等方阵
回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）；
小结：
矩阵的秩 初等方阵
定理3.5方阵可逆的充要条件是它可以表示成有 限个初等方阵的乘积。
定理3.6 m n维矩阵A~B的充要条件是存在
m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B
西安建大
第二讲 矩阵的秩的求法和 矩阵的标准形
一、等价矩阵具有相同的秩 二、矩阵秩的求法. 三、矩阵秩的性质 四、矩阵的秩与行列式的关系
0
00
0
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
1 1 2 1 4
(2)每个台阶只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯 线的竖线后面的第一个元素
0
0
0
2 0 0
1 0 0
1 5 0
0
3
0
为非零元，即非零行的第一
个非零元．
西安建大
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
西安建大
0 0 0 1 1 1
0
1
工程数学线性代数复习资料
工程数学（线性代数）复习资料一、矩阵和行列式1、了解矩阵的相关概念；矩阵的加、减、数乘以矩阵和矩阵的乘法；会求逆矩阵；2、了解行列式相关性质及利用行列式的性质进行运算；3、理解n 级排列的定义，会求排列的逆序数并判断是奇排列还是偶排列；4、会利用克莱姆法则判断方程组的解并解方程。
二、向量空间1、了解向量的相关概念；熟悉向量的运算；2、理解向量组线性相关和线性无关的定义；并能判断向量组线性相关和线性无关；3、了解向量组秩的概念并能求出其秩。
三、矩阵的秩与线性方程组1、了解矩阵秩的概念并能利用矩阵的初等行变换求矩阵秩；2、利用高斯消元法解线性方程组；3、利用矩阵的秩来判断齐次解线性方程组和非齐次解线性方程组解的结构。
四、特征值与特征向量1、熟悉特征值与特征向量的基本概念、性质及运算；2、了解相似矩阵的概念、方阵可对角化的充要条件；3、了解内积、正交向量组与正交矩阵的概念；能利用施密特正交化方法把向量组化成正交单位向量组。
附复习题一、单项选择题1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．42．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A3．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 4．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则（ABC ）T =（ B ） A ．A T B T C T B ．C T B T A T C ．C T A T B T D ．A T C T B T6．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ D ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合7．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关 D ．A 的行向量组线性相关8．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3500030000200041A ，则A 的特征值是（ C ） A ．2,2,1,1 B ．3,2,1,1 C ．3,3,2,1 D ．3,2,2,1 9．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．1510．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B） A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110111 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111 11．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 12．设A ，B 为可逆矩阵，则分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为（ A ）． A ．1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭ C 1100A B --⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭ 13．设A ，B 均为方阵且可逆，满足AXB C =则下列命题中正确是（ C ） A ．11X A B C --= B ．11X CA B --= C ．11X A CB --=D ．11X B CA --=14．设A ，B 均为n 阶方阵且可逆，A 为A 的行列式，则下列命题中不正确是（ B ）A ．TA A =B ．A A λλ= C ．AB A B = D ．11AA-=15．设A 、B 、C 均为n 阶方阵，则下列命题中不正确是（ C ） A ．()()A B C A B C ++=++ B ．()()AB C A BC = C ．AB BA = D ．()A B C AB AC +=+ 16．设A 、B 为n 阶方阵，满足0AB =，则必有（ B ）A ．0A =或0B = B ．0A =或0B =C ．0BA =D ．0A B +=17.3阶行列式j i a =011101110---中元素21a 的代数余了式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．218．设A 为m n ⨯矩阵，且非奇次线性方程组Ax b =有唯一解，则必有（ C ）A ．m n =B ．秩()A m =C ．秩()A n =D ．秩()A n <19．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ A ） A ．A -1C -1 B ．C -1A -1 C ．AC D ．CA 20．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4 21．设向量组4321,,,αααα，下列命题中正确是（ C ） A ．12233441,,,αααααααα++++线性无关 B ．12233441,,,αααααααα----线性无关 C ．12233441,,,αααααααα+++-线性无关 D ．12233441,,,αααααααα++--线性无关22．矩阵563101,121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值是（ A ） A ．1232λλλ=== B ．1231λλλ=== C ．1231,2λλλ=== D ．1233λλλ=== 23．排列()1,2,3,,12,2,,6,4,2⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n 的逆序数为（ C ） A ．()1+n n B ．()1-n n C ．2n D ．n24．排列（1，8，2，7，3，6，4，5）是（ A ）A ．偶排列B ．奇排列C ．非奇非偶D ．以上都不对 25．齐次线性方程组0=AX 有零解的充要条件是（ A ） A ．0≠A B ．0=A C ．1=A D ．1≠A二、填空题1．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =（ 0 ） 2．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A TA |=（ 4 ）3．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为 （ 0 ）4．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵B=A-E ，则矩阵B 的秩r(B )=（ 2 ）5．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= （ 4 ）6．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为（ 0 ）7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a a A 使()3=A R ，则a （2,1≠≠a a ） 8．设矩阵A =⎪⎭⎫ ⎝⎛--311102，B =⎪⎭⎫ ⎝⎛753240，则A T B = 33335791119--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭9．方程组12340x x x x +=⎧⎨-=⎩的基础解系为（11100ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 20011ξ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）.10．设向量组α1=（6，4，1，-1，2），α2=（1，0，2，3，4），α3=（1，4，-9，-6，22）α4=（7，1，0，-1，3），则向量组的秩为 （ 4 ）11．设A 可逆，A λ可逆，则A λ1()A λ-=（11A λ-）.12.设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则TAP =3274⎛⎫⎪⎝⎭. 13.设矩阵A=020003400⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=001/41/20001/30⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 14.111122220000000a b c d a b c d =（()()512211221a b a b c d c d ∂=--） 15.使排列1274569j k 为偶排列，则j =（ 8 ）k =（ 3 ）.16．已知3阶行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a =6，则333231232221131211a a a a a a a a a =（16）. 17．若0λ=是方阵A 的一个特征值，则()det A =（ 0 ）.18．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121，则A 2-2A +E =2211--⎛⎫⎪-⎝⎭.19.若向量组()11,1,0t ∂=+，()21,2,0∂=，()230,0,1t ∂=+线性相关，则t =（ 1 ）.20.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =（-2）.21.若向量组U 与向量组（1，2，3，4），（2，3，4，5），（0，0，1，2）等价，则U 的秩（3）. 22.设A 为3阶方阵，()det 3A =-，则()det 2A -=（ 24 ）23.方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当λ=（ 1 ）时有无穷多解。
为什么秩相等同解
为什么秩相等同解“秩相等同解”是线性代数中的一个重要概念，它指的是两个矩阵秩相等时，它们对应的线性方程组有相同的解。
这个概念的理解和应用对于解决线性代数问题非常重要。
首先，我们需要理解秩的概念。
秩是一个矩阵的重要属性，它表示矩阵的行（或列）向量中线性无关的最大数量。
对于一个矩阵A，它的秩r可以定义为A的行（或列）向量中线性无关的最大数量。
换句话说，秩反映了矩阵的“简朴性”。
如果一个矩阵的秩为r，那么它最多有r个线性无关的行（或列）向量。
接下来，我们来看看秩与线性方程组解的关系。
在线性方程组Ax=b中，如果A是一个m×n矩阵，x是一个n维向量，b是一个m维向量，那么该方程组有解的充分必要条件是A的秩等于b的秩。
这个条件也可以理解为，A的行（或列）向量与b的行（或列）向量之间存在一一对应的关系。
现在我们可以解释为什么秩相等同解了。
如果两个矩阵A和B的秩相等，那么它们对应的线性方程组Ax=b和Bx=b有相同的解。
这是因为A和B的行（或列）向量之间存在一一对应的关系，所以它们的方程组的解也必然相同。
举个例子，假设有两个矩阵A和B，它们的秩都是r。
那么我们可以找到一个可逆矩阵P，使得PA=B。
由于P是可逆的，所以我们可以将Ax=b转化为PAx=Pb。
由于PA=B，因此Ax=b和Bx=b实际上是同一个方程组，只是用了不同的符号表示而已。
因此，Ax=b和Bx=b有相同的解。
秩相等同解的概念可以帮助我们更好地理解和解决线性代数问题。
比如，在解线性方程组时，如果两个方程组的系数矩阵秩相等，那么它们有相同的解。
在处理矩阵时，我们可以通过计算矩阵的秩来判断两个矩阵是否等价或者两个方程组是否有相同的解。
此外，在矩阵的初等变换中，秩也可以帮助我们判断变换前后的矩阵是否等价。
总之，“秩相等同解”是线性代数中一个非常有用的概念。
它帮助我们理解了矩阵和线性方程组之间的关系，也为我们解决线性代数问题提供了一种新的思路和方法。
秩和方程组解的关系
秩和方程组解的关系在线性代数中，一个方程组由一系列线性方程组成，而秩和方程组解的关系是解决这些方程的一种方法。
秩是指方程组的系数矩阵的秩，也就是矩阵中线性无关的行或列的数量。
而方程组的解是指一组满足所有方程的变量值，使得方程组有解。
对于一个秩为r的方程组，如果它有无穷多个解，则解的数量为n-r，其中n是未知数的数量。
这是因为有些未知数可以自由取任意值，而另外一些未知数则由自由变量的取值决定。
在求解秩和方程组时，首先需要将方程组转化为增广矩阵的形式。
增广矩阵是将系数矩阵和常数向量拼接在一起得到的矩阵，它的最后一列是方程组的常数项。
接着，我们需要对增广矩阵进行初等行变换，使其变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵。
阶梯矩阵是一种特殊的矩阵形式，它的每一行都有严格的零元素，而非零元素出现在每一行的左侧。
简化阶梯矩阵是阶梯矩阵的一种形式，它的主对角线上的元素都为1，且每个主元素的下方都是0。
通过初等行变换将增广矩阵变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵后，我们可以得到方程组的通解。
对于一个秩为r的方程组，如果它的阶梯矩阵或简化阶梯矩阵中有r个非零行，则方程组有唯一解。
否则，方程组有无穷多个解。
当方程组有无穷多个解时，我们可以通过选取自由变量的取值来得到方程组的所有解。
自由变量是指在阶梯矩阵或简化阶梯矩阵中对应的非基本变量，它可以取任意实数值。
每个自由变量的取值都对应着一个解，因此方程组的解的数量为n-r，其中n是未知数的数量，r是方程组的秩。
秩和方程组解的关系是求解线性方程组的一种方法。
通过初等行变换将增广矩阵变为阶梯矩阵或简化阶梯矩阵，可以得到方程组的通解。
当方程组有唯一解时，解是唯一的。
当方程组有无穷多个解时，解的数量为n-r，其中n是未知数的数量，r是方程组的秩。
6．7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间教学目的1．掌握矩阵的秩和它
6．7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间教学目的：1． 掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关系。
2． 准确地确定齐次线性方程组解空间维数。
3． 熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解。
教学内容：1． 阵的秩的几何意义。
设给了数域F 上一个m*n 矩阵A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n en............ (2)1222211211矩阵A 的每一行可以看成F n的一个向量，叫做A 的行向量。
A 的每一列可以看成F m的一个向量，叫做A 的列向量，令a 1，。
，am是A 的列向量，这里a i =（a 1i ，a 2i ，。
，a in ），I=1，。
，m 。
由a 1，a 2，。
，am所生成的F n的子空间￡（a 1，a 2，。
， a m ）叫做矩阵A 的行空间。
类似的，由A 的n 个列向量所生成的F M的子空间叫做A 的列空间。
当m ≠n 时，矩阵A 的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间， 引理6.7.1 设A 是一个n*m 矩阵（i ） 如果B=PA ，P 是一个N 阶可逆矩阵，那么B 与A 有相同的行空间。
（ii ） 如果C=AQ ，Q 是一个n 阶可逆矩阵，那么C 与A 有相同的列空间。
证：我们只证明（I ）,因为（ii ）的证明完全类似。
A=（a ij ）mn , P=(p ij )mm ,B=(b ij )m n .令{a 1，a 2…a m }是A 的行向量，{b 1,b 2,…,b m }是B 的行向量。
B 的第I 行等于P 的第I 行等于P 的第P 的第I 行右乘以矩阵A ：b i =(b i1,b i2…,b in )=(p i1,p i2,…p im )A=p i1a 1+p i2a 2,…+p im a m ，所以B 的每一个行向量都是A 的行向量的线性组合，但P 可逆，所以A=P-1B 。
线性方程组 矩阵的秩
2
a12 a11
1,
,n
a1n a11
1
即存在不全为零的数k2, , kn ，使
也线性相关，
k2
2
a12 a11
1
kn
n
a1n a11
1
0
整理得
a12 a11
k2
a1n a11
knቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
k22
knn 0
因此 1,2, ,n线性相关，它的秩小于n。
a11x1 a12 x2
推论： 齐次线性方程组 a21x1 a22x2
a11 0 A a21 a22
0 a2 n
a11
a22
a2 n
an1 an 2
ann
an 2
ann
其中 0, a2i ,
, ani
i
a1i a11
1,
i 2,3,
a22
,n
由于 A 0, a11 0 ，故n-1阶矩阵
a2 n 0
an 2
ann
由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关， 从而向量组
1,2, ,n 表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全
为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这
n个元素有一个不为0，不妨设 a11 0，则从第二列直到n列
分别加上第一列的倍数
a12 a11
,
,
a1n a11
这样，在把 a12, , a1n 消为零的过程中，行列式 A 化为
下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。
a11 a12
定理3.4.2
nn
矩阵
A
a21
a22
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3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的. 矩阵的
秩
例1
求矩阵
A
1 1
2 2
3 3
的秩.
2 3 1
解
在 A中， 1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例2
利用MATLAB实现 线性代数的运算及应用
3.1 矩阵的秩 3.2 线性方程组解的判定
顾回
第一章 矩阵及其应用 第二章 行列式
回顾: 根据克拉默法则
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
分析：设 B 的行阶梯形矩阵为B~ ( A~,b~),
则 A~ 就是 A的行阶梯形矩阵，
故从 B~ ( A~,b~) 中可同时看出R( A) 及 R(B).
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项bi i 1,2,,n
线性方程组的一般形式
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2
a2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn代表n个未知量；
定定义义14 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
k n），位于这些行列交叉处的 k2 个元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A的 k 阶子式.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cmk Cnk 个.
二、矩阵的秩的概念
定义5 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非零子式
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形 矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩
阵的秩. 3 2 0 5 0
例4
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
1 3
,
求矩阵
A的
1 6 4 1 4
秩，并求 A 的一个最高阶非零子式．
解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 3
00
3 2 0, 4
R(B) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
0
2
1
3
0
2
1
3
,
2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为
2，
RA 2.
此方法简 单！
三、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过初等变换， 两个矩阵的秩是否相同？
定理1 初等变换不改变矩阵地秩。
◆初等变换求矩阵秩的方法：
aij (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n)
称为方程组的系数；
b1, b2 , , bm
称为常数项。方程的个数 m
没有限制，可以：m n，方程组是否有解？ m n，方形线性方程组，Cramer法则；
m n，显然，可解。解是怎样的？
第一节 矩阵的秩
一、矩阵的k阶子式的概念
2
16 0.
25
A1 (a1,a2 ,a4 )
3 2 0 5 0
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
这个子式也是 A 的一个最高阶非零 子式.
1 2 2 1 1
例 5
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
, b
2 3
3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
的阶数称为矩阵A的秩,记作R( A).
易 (1)R(A) min(m, n) 知: (2)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A) r
(3)若矩阵A的所有r 1阶子式全为零,则R(A) r
(4)规定零矩阵的秩为0
(5) 满秩矩阵, 降秩矩阵
对n阶方阵A (aij ), 若 | aij | 0,则R( A) n, 称A 为满秩矩阵;若 | aij | 0,则R( A) n, 称A为降秩 矩阵.
解
1 0
3 2 0,
2
计算A的3阶子式，
1 3 2
1 32
1 2 2
0 2 1 0, 0 2 3 0, 0 1 3 0,
2 0 1
2 0 5
2 1 5
3 2 2
2 1 3 0,
RA 2.
015
另 解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0阶梯形矩阵有三个非零 R(A) 3. 行可知
求 A的一个最高阶非零子式 . R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 . 考察A的行阶梯形矩阵， 记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵A1 (a1,a2 ,a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 6 4 1 4
A
~
0 0
4 0
3 0
1 1 4 8
0 0 0 0 0
R( A1) 3, A1 中必有 3 阶非零子式.
计算A1的前三行构成的子式
3 2 5 6 0 11 3 2 6 3 2 6 20520 5
6 11
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0