方程与不等式函数
函数与方程不等式之间的关系
函数与方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式是数学中的基本概念，它们之间存在密切的联系。
函数是描述两个变量之间关系的数学模型，通常表示为 y = f(x)，其中 x 和
y 是变量，f 是函数关系。
函数有多种类型，其中一次函数是最简单的一种，表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
方程是含有未知数的等式，用来表示未知数和已知数之间的关系。
一元一次方程是最简单的一类方程，形如 ax + b = 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个方程可以得到未知数的值。
不等式是用不等号连结的两个解析式，表示两个量之间的大小关系。
一元一次不等式是最简单的一类不等式，形如 ax + b > 0 或 ax + b < 0，其中 a 和 b 是已知数，a ≠ 0。
解这个不等式可以得到满足不等式的值的范围。
函数、方程和不等式之间存在密切的联系。
一次函数和一元一次方程、一元一次不等式之间的关系特别重要。
对于一次函数 y = ax + b，当函数的值等于 0 时，自变量 x 的值就是一元一次方程 ax + b = 0 的解。
如果一次函数的值大于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b > 0；如果一次函数的值小于 0，则自变量 x 的值满足一元一次不等式 ax + b < 0。
因此，函数、方程和不等式是相互联系的，可以通过它们之间的关系来理解和解决数学问题。
高一一元二次函数、方程和不等式串讲
高一一元二次函数、方程和不等式串讲高一数学：一元二次函数、方程和不等式串讲一元二次函数、方程和不等式是高中数学中的基础知识，它们在数学中起着重要的作用。
通过这篇文章，我将以人类的视角为你讲述一元二次函数、方程和不等式的概念和应用。
让我们来了解一元二次函数。
一元二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
这个函数的图像通常是一个抛物线，它可以开口向上或向下，取决于a的正负。
一元二次函数在物理、经济学等领域中有着广泛的应用，例如抛射运动和成本收益分析。
接下来，我们将探讨一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次方程的常用方法是配方法、因式分解和求根公式。
解方程的根可以是实数或复数，这取决于方程的判别式b^2 - 4ac的正负。
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，例如几何学中的平面图形问题和物理学中的运动问题。
我们来讨论一元二次不等式。
一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是实数常数，且a不等于零。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，需要考虑不等号的方向。
一元二次不等式在实际问题中的应用也非常广泛，例如优化问题和约束条件下的最优解问题。
通过以上的串讲，我们对一元二次函数、方程和不等式有了更深入的了解。
它们是数学中的重要概念，对于我们理解数学和解决实际问题都非常重要。
希望通过这篇文章，你能够对一元二次函数、方程和不等式有更清晰的认识，并能够灵活应用于实际生活和学习中。
让我们继续努力，掌握更多数学知识，成为数学的行家！。
方程函数不等式三者之间的关系
方程函数不等式三者之间的关系《方程、函数、不等式：数学世界里的奇妙关系》我呀，一直觉得数学就像一个超级大的魔法世界，里面有好多神奇的东西。
方程、函数和不等式就像是这个魔法世界里的三个小魔法师，他们之间有着千丝万缕的关系呢。
先来说说方程吧。
方程就像是一个神秘的宝藏盒，你得找到那把正确的钥匙才能打开它。
比如说3x+5 = 14，这里的x就是我们要找的宝藏。
我们通过各种计算步骤，就像在迷宫里找出口一样，最后得出x = 3。
方程就是在告诉我们，有一些数量之间存在着一种特定的相等关系。
就好比两个人的钱数一样多的时候，我们就可以用方程来表示这个情况。
我和我的小伙伴小明去买文具，我有10元钱，买了一支笔花了x元，还剩5元；小明有8元钱，买了一个本子花了y元，也剩5元。
那我就可以列出方程10 - x = 8 - y，这就把我们俩买东西剩钱一样多这个情况用方程表示出来了。
那函数呢？函数可就更有趣啦。
函数就像是一个超级会变魔术的小精灵。
它有一个输入口和一个输出口。
就拿y = 2x这个函数来说吧，你给这个小精灵一个x的值，它就会按照2倍的规则给你一个y的值。
比如说你给x = 3，小精灵就会吐出y = 6。
函数是在描述两个变量之间的一种对应关系。
我就像个小厨师，x就像是我手里的食材，我按照函数这个菜谱，就能做出y这个菜来。
我和妈妈去买菜的时候，菜的单价是固定的，比如说黄瓜2元一斤。
那买的斤数x和花的钱数y就构成了一个函数关系y = 2x。
我要是买3斤，那就要花6元钱。
这多像函数在起作用呀。
再看看不等式呢。
不等式就像是一个调皮的小捣蛋鬼。
它不像方程那样规规矩矩地说相等，而是说谁大谁小。
比如说2x+3>7，它就像在告诉我，2x+3这个家伙比7要大呢。
不等式有点像一场比赛，比大小的比赛。
就像我们在体育课上跑步比赛一样，谁跑在前面谁就大。
在生活里也有这样的情况。
我和弟弟分糖果，我有x颗糖，弟弟有y颗糖，我比弟弟多，那我就可以列出不等式x>y。
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系
中考数学复习：函数与方程、不等式的关系1．函数与方程的关系（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．2．函数与不等式的关系（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集⇔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．例题讲解例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．解：因为抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax²－x－a，对称轴为x＝12a．①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝12a＜0，如图可知，当12a≤－1时符合题意，所以－12≤a＜0．当－1＜12a＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝12a＞0．如图可知，当12a≥1时符合题意，所以0＜a≤12．当0＜12a＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．综上所述，a的取值范围是－12≤a＜0或0＜a≤12．例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：1 '1b abb a ≥⎧=⎨-<⎩，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．（1）若点P在函数y＝﹣x＋3（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣5≤b′≤2，求k的取值范围；（2）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．解：（1）依题意，y＝﹣x＋3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点必在函数y＝313-21x xx x-+≥⎧⎨-≤<⎩的图象上．∴b′≤2，即当x＝1时，b′取最大值2．当b′＝﹣2时，﹣2＝﹣x＋3．∴x＝5．当b′＝﹣5时，﹣5＝x﹣3或﹣5＝﹣x＋3．∴x＝﹣2或x＝8．∵﹣5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（2）∵y＝x2﹣2tx＋t2＋t＝（x﹣t）2＋t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．1）；点B；5≤k≤8；s≥2．进阶训练1．若关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个不同的实数根m ，n （m ＜n ），方程x 2＋ax＋b ＝1有两个不同的实数根p ，q （p ＜q ），则m ，n ，p ，q 的大小关系为（ ）A ．m ＜p ＜q ＜nB ．p ＜m ＜n ＜qC ．m ＜p ＜n ＜qD ．p ＜m ＜q ＜nB【提示】 函数y ＝x 2＋ax ＋b 和函数y ＝x 2＋ax ＋b －1的图像如图所示，从而得到p ＜m ＜n＜q解：函数y ＝x 2＋ax ＋b 如图所示： xq n m p O2．在平面直角坐标系xOy 中，p （n ，0）是x 轴上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线，交一次函数y ＝kx ＋b 的图像于点M ，交二次函数y ＝x ²－2x －3的图像于点N ，若只有当－2＜n ＜2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的表达式．y ＝－2x ＋1【提示】 依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值n的值为－2【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝32．当n≤x≤1＜32时，函数值y随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2。
方程函数不等式之间关系
◆知识讲解1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax +b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax +b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+ b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；直线y=ax +b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+ b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax +b<0（a≠0）的解．2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．◆例题解析例1 （2006，长河市）我市某乡A ，B 两村盛产柑橘，A•村有柑橘200t ，•B•村有柑橘300t ．现将这些柑橘运到C ，D 两个冷藏仓库，•已知C•仓库可储存240t ，•D•仓库可储存260t ；从A 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 村运往C ，D 两处的费用分别为每吨15元和18元，设从A村运往C仓库的柑橘重量为xt，A，B•两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为y A元和y B元．（1）请填写下表，并求出y B，y A与x之间的函数关系式；（2）试讨论A，B两村中，哪个村的运费较少；（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过480元．在这种情况下，•请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．【分析】（1）根据运输的吨数及运费单价可写出y，y与x之间的函数关系．（2）欲比较y A与y B的大小，应先讨论y A=y B的大小，应先讨论y A=y B或y A>y B或y A<y B 时求出x的取值范围．（3）根据已知条件求出x的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值．【解答】（1）y A=－5x+5000（0≤x≤200），y B=3x+4680（0≤x≤200）．（2）当y A=y B时，－5x+5000=3x+4680，x=40；当y A>y B时，－5x+5000>3x+4680，x<40；当y A<y B时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A=y B即两村运费相等；当0≤x<40时，y A>y B即B村运费较少；当40<x≤200时，y A<y B即A村费用较少．（3）由y B≤4830得3x+4580≤4830．∴x≤50．设两村运费之和为y，∴y=y A+y B，即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y随x增大而减小，∴当x=50时，y有最小值，y最小值=9580（元）．答：当A村调往C仓库的柑橘重为50t，调运D仓库为150t，B村调往C仓库为190t，调往D仓库110t的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元．例2 某家庭今年3个月的煤气量和支付费用见下表：该市的煤气收费方法是：基本费+超额费+•保险费，•若每月用气量不超过最低量am3，则只付3元基本费和每户的定额保险费c元；若用气量超过acm3，则超过的部分每立方米支付b元，并知c≤5元，求a，b，c．【分析】数学能帮助我们解决许多生活中的实际问题，本题要求a，b，c的值，•不妨设每月用气量为x（m2），支付费用为y（元），再根据题意列出x，y的关系表达式，即y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩由此可推断出a，b，c的值．【解答】设每月用气量为xm3，支付费用为y元，根据题意得y=3(0) 3()()c x ab x ac x a+≤≤⎧⎨+-+>⎩∵c≤5，∴c+3≤8因2月份和3月份的费用均大于8，故用气量大于最低限度am3，将x=25，y=14；x=35，y=19分别代入②得143(25) 193(35)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩④－③得：10b=5 ∴b=0.5把b=0.5代入③得a=3+2c又因1月份的用气量是否超过最低限度尚不明确，故当a<4时，将x=4•代入②得4=3+0.5[4－（3+2c）]+c，即4=3.5－c+c不成立则a≥4，此时的付款分式选①，有3+c=4∴c=1把x=1代入a=3+2c得a=5∴a=5，．b=0.5，c=1．【点评】本题要求a，b，c的值，表面看与一次函数无关，•但实际上题中不仅包含函数关系，而且是一个分段函数，求分段函数解析式的关键是分清各段的取值范围，其条件分别在各自的取值范围内使用，若有不确定的情形，须进行分类讨论．1．（2008，武汉）如图1所示，直线y=kx+b经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为_______．图1 图2 图32．（2006，江苏南通）如图2，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．3．如图3所示，L甲，L乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s与时间t的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距______km；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；（3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇；（4）甲行走的路程s与时间t之间的函数关系式_______；（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h与甲相遇，相遇处离乙的出发点____km．并在图中标出其相遇点．4．（2006，山西太原）如图所示的图形都是二次函数y=ax2+bx+a2－1的图像，若b>0，则a 的值等于（）A．152-B．－1 C．152--D．15．如图，一次函数y=kx+6的图像经过A，B两点，则kx+b>0的解集是（）A．x>0 B．x<2C．x>－3 D．－3<x<26．（2004，安徽省）购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，•则这种国债的年利率为（ ） A ．k B ．3k C ．k －1 D ．13k - 7．（2006，浙江舟山）近阶段国际石油迅速猛涨，中国也受期影响，为了降低运行成本，部分出租车进行了改装，改装后的出租车可以用液化气来代替汽油．•假设一辆出租车日平均行程为300km ．（1）使用汽油的出租车，假设每升汽油能行驶12km ，当前的汽油价格为4.6元/L ，•当行驶时间为t 天时，所耗的汽油费用为p 元，试写出p 关于t 的函数关系式；（2）使用液化气的出租车，假设每千克液化气能行驶15～16km ，•当前的液化气价格为4.95元/kg ，当行驶时间为t 天时，所耗的液化气费用为w 元，试求w 的取值范围（用t 表示）；（3）若出租车要改装为使用液化气，每辆需配置成本为8000元的设备，•根据近阶段汽油和液化气的价位，请在（1）（2）的基础上，计算出最多几天就能收回改装设备的成本？•并利用你所学的知识简单说明使用哪种燃料的出租车对城市的健康发展更有益．（用20字左右谈谈感想）．8．（2006，枣庄）已知关于x 的二次函数y=x 2－m x+222m +与y=x 2－m x －222m +，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A ，B 两点； （2）若点A 坐标为（－1，0），试求点B 坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x•值的增大而减小？。
函数、方程与不等式教学设计
函数、方程与不等式教学设计教学基本信息：课题：函数与方程、不等式学段：初中年级九年级是否属于地方课程或校本课程：无信息学科领域：数学教材：初三复课书名：无信息指导思想与理论依据：本课程基于建构主义研究理论，认为研究是一个积极主动的建构过程。
学生应该根据原有知识背景、个人活动经验自主建构自己对数学知识的理解，突出研究者的主体作用。
数学研究过程是一个富有个性、体现多样化研究需求的过程，同时又是与他人交流和反思后生成对数学的理解的过程。
学生在主动建构知识的过程中不断地修正、调整自己的认识，以达到对事物的理解。
课程标准指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识间的关系。
”“教师应揭示知识的数学实质及体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等”；“数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，体会对某些数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”。
教学背景分析：1.教学内容：函数与方程、不等式在初中数学教学中有重要地位，初中代数内容“方程”、“函数”是核心。
同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系。
中考考试说明对于函数一章的C级要求是“能解决函数与其他知识结合的有关试题”。
函数与方程、不等式的综合题，历年来是中考热点之一，主要采用以函数为主线将函数图象、性质和方程及不等式的相关知识进行综合运用，渗透数形结合和转化的思想方法。
函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。
也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系。
例如，代数式2a^2+3a+1，可以看成是函数y=2x+3x+1在x=a时的值；方程ax^2+bx+c=0的根可以看成是函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式…2.教学目标：本节课的复目标不是简单地重复知识，而是整理知识逻辑体系，使各部分知识成为一个有机的整体。
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
用函数的观点看方程与不等式教学设计
用函数的观点看方程与不等式教学设计观美中学张少青函数和方程，函数与不等式，它们是几个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，一个函数若有解析表达式，那么那个表达式就可看成是一个方程；一个二元方程，两个变量存在着对应关系，假如那个对应关系是函数，那么那个方程能够看成是一个函数。
许多有关方程、不等式的问题能够用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题也能够用方程和不等式的方法解决，用函数的观点看方程与不等式，是学生应该学会的一种思想方法。
【教学目标】1、明白得一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，会依照一次函数的图象解决方程与不等式的求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。
3、经历方程和不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。
【教学重点】一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、方程组的关系的明白得。
【教学难点】对应关系的明白得及实际问题的探究建模。
【教学过程】一、创设情境同学们，你们熟悉龟兔赛跑的故事吗？（请一学生简述）请看屏幕，从图象上看出这是几百米赛跑？表示兔子的图象是哪一条？兔子什么时候开始睡觉？什么时候乌龟追上了兔子？由两条直线的交点坐标来确定相应的两个解析式组成的方程组的解，实际上，一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存。
它与我们往常学过的一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组有着必定的联系。
今天我们将研究用函数的观点看方程与不等式。
（设计意图；一、以学生熟悉的龟兔赛跑故事引入，然后用函数图象形象说明了它们赛跑的过程，把一次函数与学生之间的距离拉近了。
二、点明学习本节内容的必要性：（1）函数与方程、方程组、不等式有着必定的联系；（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该把握的思想方法。
）二、探讨1、我们先来看下面的两个问题有什么关系：（1）解方程2x + 20 = 0.（2）当自变量为何值时，函数y = 2x + 20的值为零？问：①关于2x + 20 = 0和y = 2x + 20，从形式上看，有什么相同和不同的地点？②从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？③作出直线y = 2x + 20，看看（1）与（2）是如何样的一种关系？（设计意图：用具体的问题作对比，关心学生明白得；让学生在探究过程中理解两个问题的同一性。
一元一次函数的方程和不等式
一元一次函数的方程和不等式一元一次函数是高中数学中的基础知识点，它可以表示成y=ax+b的形式，其中a和b是常数。
在本文中，我们将探讨一元一次函数的方程和不等式。
一、一元一次函数的方程一元一次函数的方程即求解方程y=ax+b，其中a和b是已知的常数。
我们可以通过以下步骤来解决这类方程：1. 将方程转化为标准形式：将方程移项，使得等式右边为零。
例如，将方程y=3x+5转化为3x+5-y=0。
2. 解方程：通过消元、代入或其他方法求得未知数x的值。
以标准形式3x+5-y=0为例，我们可以通过消元将y表示为其他已知量的函数，然后代入求解。
例如，我们有方程3x+5-y=0，现在我们假设y=2，将其代入方程中，得到3x+5-2=0，简化后可得3x+3=0，进一步简化得3x=-3，最终解得x=-1。
因此，当y=2时，方程3x+5-y=0的解为x=-1。
二、一元一次函数的不等式一元一次函数的不等式即求解不等式y=ax+b中的未知变量x的取值范围。
解决这类问题时，需要注意函数图像和系数a的正负性。
1. 求解大于等于不等式：对于不等式y=ax+b≥0，我们可以绘制函数的图像，找到函数图像位于x轴上方的部分。
当a>0时，函数图像自左向右递增；当a<0时，函数图像自左向右递减。
例如，对于不等式y=2x-3≥0，我们绘制函数y=2x-3的图像，并找到图像位于x轴上方的部分。
从图像可以看出，当x≥1.5时，函数y=2x-3的取值大于等于0。
2. 求解小于等于不等式：对于不等式y=ax+b≤0，我们同样可以绘制函数的图像，找到函数图像位于x轴下方的部分。
当a>0时，函数图像自左向右递增；当a<0时，函数图像自左向右递减。
例如，对于不等式y=-x+4≤0，我们绘制函数y=-x+4的图像，并找到图像位于x轴下方的部分。
从图像可以看出，当x≥4时，函数y=-x+4的取值小于等于0。
三、实际应用一元一次函数的方程和不等式在实际问题中有广泛的应用。
函数、方程与不等式的关系
函数、方程与不等式的关系在数学中，函数、方程和不等式是常见的数学概念。
它们在数学问题的建模和解决中起着重要的作用。
本文将介绍函数、方程和不等式之间的关系，包括它们的定义、特点以及它们之间的相互转换等方面。
一、函数的定义与方程不等式的关系函数是指自变量与因变量之间的一种关系。
函数可以通过方程或不等式来表示和描述。
在代数中，函数通常由一个公式、图表或图形来表示，其中自变量和因变量的关系可以通过一个方程或不等式来表示。
方程是指一个等式，其中包含一个或多个变量，并且通过一个或多个数值来满足等式。
方程可以是一元的或多元的。
一元方程中只有一个未知量，例如：x + 2 = 5多元方程中有两个或更多的未知量，例如：2x + 3y = 7不等式是指一个不等式关系，其中包含一个或多个变量，并且不等号可以是小于、大于、小于等于或大于等于等不等关系。
不等式可以是一元的或多元的。
一元不等式的例子包括：x + 3 > 7多元不等式的例子包括：2x + 3y ≤ 10二、函数、方程与不等式之间相互转换函数、方程和不等式之间存在一定的相互转化关系。
在某些情况下，函数可以通过方程或不等式来表示，而方程和不等式也可以通过函数来表示。
1. 方程转化为函数：当给定一个方程时，我们可以根据方程中的变量和其他已知的数值，构造出一个函数。
例如，对于方程y = 2x + 3，我们可以构造一个函数f(x) = 2x + 3，其中x为自变量，y为因变量。
这样，方程就转化为了函数的表示形式。
2. 函数转化为方程：对于一个给定的函数，我们可以根据函数的定义和性质，得到相应的方程。
例如，对于函数f(x) = 2x + 3，我们可以得到方程y = 2x + 3。
这样，函数就转化为了方程的形式。
3. 方程转化为不等式：在某些情况下，一个方程可以转化为一个不等式。
例如，对于方程2x + 3 ≤ 10，我们可以得到不等式2x + 3 < 10或2x + 3 ≤ 10。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程与不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程与不等式瞧作三个独立的知识点。
实际上,她们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系,并在做题时灵活运用,将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先瞧函数解析式:(0)y ax b a =+≠,这就是一个一次函数,图像就是一条直线。
对于这个函数而言,x 就是自变量,对应的就是图像上任意点的横坐标;y 就是因变量,也就就是函数值,对应的就是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =,上面的解析式也就变成了0ax b +=,也就就是一个一元一次方程了。
我们知道,一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候,令0y =(同理求一个函数图像与y 轴交点的时候,令0x =)。
所以上面的意义可以这样表达:将函数解析式中的y 变为0,那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就就是函数解析式与方程之间的关系,它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下:例如函数23y x =-的图像如右所示:该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2,也就就是在函数解析式23y x =-中,令0y =即可。
令0y =也就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元一次方程230x -=,其解与一次函数与x 轴的交点的横坐标就是相同的。
接下来推广到二次函数:例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示:很容易验证,该函数图象与x 轴的交点的横坐标正就是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象就是通过列表、描点、连线的方式作出来的,虽然比较精确,但过程十分繁琐。
在实际中,很多时候并不要求我们把函数图象作得很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间的关系,我们可不可以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程就是22520x x -+=,先求出这个方程的两个解。
函数方程不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
函数、方程、不等式以及它们图像_课件
2019/10/23
30
解： sik n x k ( ) siknx
k2m k(2m 1)mZ
由①②可知，实数k的取值范围是
{kkm,mZ}
2019/10/23
31
例题5、函数 f ( x ) 在 (1,1) 上有定义，
f ( 1 ) 1 且满足 x,y(1,1)时，有
1
nl im lna(n)nl im 2nlna 0
2019/10/23
24
例题4、已知集合M是满足下列性质的 f ( x ) 的全体：存在非零常数T，对任意 xR，有 f(xT)T(fx)成立。
（1）函数 f(x) x是否属于集合M？说明理由； （2）设函数 f (x) a x (a0,a1)的图像与
y
o c
2019/10/23
x
13
解：
(c 1)2 4(c2 c) 0
1 c
2
c
f (c) 3c2 2c 0
2019/10/23
14
解：
1 c0 3
11c 4 , 8 1c2 1 39
ab(1, 4), a2 b2 (8,1)
2019/10/23
46
解（1）：
当 0m1时，f(x1)f(x2)0，
函数在 [, ] 上是减函数
当 m1时， f(x1)f(x2)0， 函数在 [, ]上是增函数
2019/10/23
47
解（2）：
由(1)可知，当 0m1时，
f (x) 为减函数， 则由其值域为 [lm o m ( g 1 )l,o m m ( g 1 )]
f(x)logm
函数与方程组不等式
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第 十 四 讲
二次函数与一元二次不等式
第 十
五
讲
1. 一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0(或< 0)的解集,即函数 y= ax2+ bx+ c 使其
讲
第
次方程 x2- 6x+ n= 0 的一个解为 x1= 1,则另一个解 x2=
.
十
五
讲
【答案】 5
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
7. (2011·江苏南京)已知函数 y= m x2- 6x+ 1(m 是常数).
第
十
四
(1)求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点;
(3)在(2)的条件下,哪种生产方案获利最大?并求出最大利润.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【解析】 (1)设生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品(10- x)件,于是有
第
十
四
x+ 3(10- x)= 14,解得 x= 8,
讲
第
则 10- x= 10- 8= 2(件)∴应生产 A 种产品 8 件,B 种产品 2 件.
2. 解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0 时,求
相应的取值范围.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
第
3. 每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从
十 四
讲
“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个
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2011年
2010年 2009年
2008年
题型
1
3
6，8 10 11 12 14（不等 式）
15 17 21 24 25
1
1
3
3
15（填空） 7
4
5
10
10
11Βιβλιοθήκη 111314（一元 12（解一 一次方程） 元二次方
程）
8（选择） 15
17
17
21
21
24
24
25
25
1 2 8 6 5 10 11
15（一 元一次 方程） 13 17 21 24 25
.
(2)、方程与不等式（组）
③一元一次不等式组：解法及解集的表示。
（2008年4题）把不等式组 正确的是（ ）
5x－ x3＜＜6－1 的解集表示在数轴上，
A．
B．
C．
D．
（2009年6题）如果点（m，1-2m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A． 0 m 1 2
B．
1 2
m0
y
3A
B
O
2
x
(第8题图)
（2011年4题）下列四个点，在正比例函数 y 2 x 的图象上的
全卷试题分布分析： 数与代数部分约占40分左右； 图形与几何部分约占40分左右； 统计与概率部分占18分左右； 综合与实践部分（第25题）占12分； 各年虽有调整，但变化幅度不大。
数与代数部分（ 50分左右）
选择题5个，填空题3或4个（约24分）
考题对位相对稳定，主要体现在解答题中：
17题：解分式方程或分式的化简与求值（5分） 21题：一次函数的应用（8分） 24题：二次函数的性质，函数建模与几何图形的变换 （10分） 25题：综合实践部分，自主探究题，以图形变换为载 体的代数几何综合题，考察数形结合及图形最值问题 （12分）
(2012年11题)计算：2cos45 3 8 （1 2）0 ________.
（一）选择与填空试题解析 （1）数与式
④整式的计算。以幂的运算为主，同底数幂相乘除， 幂的乘方，积的乘方。
(2012年3题)计算（ 5a3）2的结果是( A、10a5 B、10a6 C、 25a5
) D、25a6
．
对于数与代数的再认识
方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一 些内容：一元一次方程，二元一次方程组 ，一元二次方程，可化为一元一次方程的 分式方程。不等式主要是一元一次不等式 ，和一元一次不等式组。
（3）、函数考点解析
一次函数（正比例函数）：判断点是否在图象上（代 入法）；由已知点坐标求函数解析式（待定系数法）。
(2)、方程与不等式（组）
①一元一次方程、不等式的应用。商品打折或存款 利息问题等。
（2008年15题）一家商店将某种商品按成本价提高50%后，标价为
450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润__________元．
（2011年14题）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊
毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则
（一）选择与填空试题解析 （1）数与式
⑤因式分解：以两步分解为主，先提取公因式再用 公式，先分组再用公式。
（2011年13题）分解因式ab2﹣4ab+4a= ．
x3
（2012年12题）分解因式：
y-2
x
2
y
2
+xy
3
=
．
对于数与代数的再认识
数与式的主要内容，包括有理数、实数、代 数式和二次根式，代数式主要是整式和分 式。这一部分内容的重点应当是强调理解 数的意义，建立数感，理解代数式的表述 功能，建立符号感，同时理解运算的意义 ，强调运算的必要性。
1
选择题
12（填空） 4 8 10
15（规律） 7（解一元二 次方程） 13 17 21 24 25
选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题
填空题 解答题 解答题 解答题 解答题
三、把握中考脉搏，优化复习策略。
（一）选择与填空试题解析
(1) 数与式
①实数的相关概念：正负数的意义，相反数，倒数， 绝对值，平方根，算术平方。
连续五年以来，对于涉及初中阶段的主干知识：
年份考题 题号 核心主干知识 实数的相关概念 科学计数法 整（分)式的运算 不等式（组） 一次函数（正比例） 二次函数 实数的简单运算 因式分解 简单实际问题， （解方程 ）
反比例函数 分式运算（分式方程） 一次函数的应用 二次函数与几何图形 综合实践
2012年
C．
m 0 D．
1- 1 x o
（2010年6题）不等式组 2
的解集是（ ）
3x 1＞1
m1 2
A -1＜ x≤2 B -2≤x＜1 C x＜-1或x≥2 D 2≤x＜-1
（2011年15题）若一次函数y=（2m﹣1）
x+3﹣2m的图象经过 一、二、四象限，则m的取值
范围是
一. 认识数与代数
数与代数内容：数与式、方程与不等式、函数;
数与代数是研究数量关系和变化规律的数学模 型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、 清晰地认识、描述和把握现实世界;
数与代数注重发展学生的数感、符号意识、运 算能力、模型思想。
二、数与代数命题方向。
1.从命题理念看
2.从命题范围、分值、时间、题型看 3.从试卷的结构看 4.从主干知识的考查看 5.从命题趋势看
这款羊毛衫的原销售价为
．
（2012年14题）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知
甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买_________ 瓶
甲饮料．
(2)、方程与不等式（组）
②一元二次方程的解法。
（2008年7题）方程（x 2）2 9 的解是
.
（2010年12题）方程 x²-4x=0 的解是
（2012年）1.如果零上5 ℃记做+5 ℃，那么零下7 ℃ 可记作（ ） A．-7 ℃ B．+7 ℃ C．+12 ℃ D．-12 ℃
（2011年)1.
2 3
的相反数是（
）
A. 2 B. 2
3
3
C. 3 2
D. 3 2
（一）选择与填空试题解析 （1）数与式
②科学记数法：表示绝对值较大的数。注意近似 运算的综合考查。
（2011年3题）我国第六次人口普查显示，全国人
口为1370536875人，将这个总人口数（保留三个有
效数字）用科学记数法表示为（ ）
A、1.37×109
B、1.37×107
C、1.37×108
D、1.37×1010
（一）选择与填空试题解析 （1）数与式
③实数的计算或大小比较。涉及二次根式、负指数 幂、零次幂、特殊角的三角函数值。