无锡数学 二次函数单元测试卷(解析版)

无锡数学 二次函数单元测试卷（解析版）
一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝ x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
【答案】（1） （2） ； （3） 或 或
【解析】
【分析】
（1）先确定A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）先求出AB、BC的长并说明△BOC是等腰直角三角形，再求出点P到BC的高d为 ，则 ，再根据二次函数的性质即可确定最大值；
（3）先求出 ，过点 作直线 的平行线交直线 于点 则，再说明四边形 是平行四边形，得到 ；再过点 作 轴，交 轴于点 交 于点 结合题意说明 为等腰直角三角形，求得 ；设 ，则 ， ，最后分点 在 轴上方时、点 在 轴下方且 时和 三种情况解答即可．
∵点 为顶点的四边形是平行四边形，
∴
过点 作 轴，交 轴于点 交 于点
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
设 ，
则 ， ，
点 在 轴上方时，此时
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x， x2﹣ x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝ PH•（xB﹣xC），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝ x﹣2，
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为y＝ （x﹣4）②，
联立①②并解得：x＝4（舍去）或 ，
当x＝ 时，y＝﹣ ，故点Q（ ，﹣ ）；
②当点Q在BC上方时，
同理可得：点Q的坐标为（﹣ ， ）；
综上，点Q的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
【详解】
解： 因为直线 经过 两点，且点 在 轴上，点 在 轴上，
∵
∴抛物线 经过点 ，点 ，点 ，
∴ ，解得
所以抛物线的解析式为 ．
∵
∴ 为等腰直角三角形，
∴
由题意得
点 到 的距离
所以
；
∵二次函数 的函数图象开口向下，零点为 和
∴ 时，
∴ 即 时， 的面积最大，且最大值为 ；
由题意得
过点 作直线 的平行线交直线 于点 则
2．如图，抛物线 与 轴交于 两点(点 位于点 的左侧)，与 轴的负半轴交于点 ．
求点 的坐标．
若 的面积为 ．
①求这条抛物线相应的函数解析式．
②在拋物线上是否存在一点 使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0）；（2）① ；②存在，点 的坐标为 或 ．
【解析】
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝ ＝ ＝tan∠ROC＝ ，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB＝ ＝ x＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝ ×QR•BC＝ BR•QK，即 2x•2x＝ KQ• x，
解得：KQ＝ ，
∴sin∠RBQ＝ ＝ ＝ ，则tanRBH＝ ，
在Rt△OBH中，OH＝OB•tan∠RBH＝4× ＝ ，则点H（0，﹣ ），
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即 x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），
抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝ ，
故抛物线的表达式为y＝ x2﹣ x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x， x2﹣ x﹣2），则点H（x， x﹣2），
【分析】
（1）直接令 ，即可求出点B的坐标；
（2）①令x=0，求出点C坐标为（0，a），再由△ABC的面积得到 (1−a)•(−a)＝6即可求a的值，即可得到解析式；
②当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y=3x，则直线与抛物线的交点为P；当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y=-3x，则直线与抛物线的交点为P；分别求出点P的坐标即可．
则直线 的函数解析式为
则
(舍去)，
点 的坐标为
综上可得，点 的坐标为 或
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．
3．如图，抛物线 经过 轴上的点 和点 及 轴上的点 ，经过 两点的直线为 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点 从 出发，在线段 上以每秒 个单位的速度向 运动，同时点 从 出发，在线段 上以每秒 个单位的速度向 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 秒，求 为何值时， 的面积最大并求出最大值．
（3）过点 作 于点 ，过抛物线上一动点 （不与点 重合）作直线 的平行线交直线 于点 ．若点 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的横坐标．
【详解】
解： 当 时，
解得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点 位于点 的左侧，与 轴的负半轴交于点
点 坐标为 ．
由 可得，点 的坐标为 ，点 的坐标为
的面积为
．
点 的坐标为 点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为
则
．
当点 在 轴上方时，直线 直线
直线 的函数解析式 为
则
(舍去)，
点的 坐标为 ；
当点 在 轴下方时，直线 与直线 关于 轴对称，
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝ x2﹣ x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
S＝S△PHB+S△PHC＝ PH•（xB﹣xC）＝ ×4×（ x﹣2﹣ x2+ x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，
∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，