“数形结合”在初中数学中的运用(可编辑修改word版)

(x - x )2 + ( y - y )2 1

2 1 2 (x - 0)2 + (2x +10 - 0)2 5 5 p ( p - a )( p - b )( p - c )

一、以数助形

“数形结合”在初中数学中的运用

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系 的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左 右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应 该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的 地位．

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．

例 1． 已知平面直角坐标系中任意两点 A (x 1小

y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之间的距离可以用公式

AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离．

解：设 P (x 小 2x +10) 是直线 y = 2x +10 上的任意一点，它到原点的距离是

OP = =

当 x = -4 时， OP 小 小 = 2 ．

所以原点到直线 y = 2x +10 的距离为2 ．

【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．

例 2．已知∆ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求

∆ABC 的面积（用含 m 、n 的代数式表示）．

【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ：

(m 2 + n 2 )2 - (m 2 - n 2 )2 = (2m 2 )(2n 2 ) = (2mn )2 ， 也就是说， ∆ABC 的三边满足勾股定理， 即 ∆ABC 是一个直角三角形．

“海伦公式”：三角形三边长为 a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积 S 为：

S = ．

解：由三边的关系： (m 2 - n 2 )2 + (2mn )2 = (m 2 +

n 2 )2 ． 所以∆ABC 是直角三角形．

所以∆ABC 的面积= 1

⋅ (m 2 - n 2 )(2mn ) = mn (m 2 - n 2 ) ．

2

【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算

5(x + 4)2 + 20

5 5 c

1 在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．

例 3．直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 相交，两交点的横坐标分别为 x 、 x ，直线 y = bx + c

1

2

1 1 1

与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ．求证： x = + ．

x x 3 1 2

【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于 a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成

有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．

解：∵直线 y = bx + c 与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ， ∴ bx 3 + c = 0 ．

∴ x 3 = - b

．

1 = - b ． x 3 c

∵直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 两交点的横坐标分别为 x 、 x ，

1

2

∴ x 、 x 为关于 x 的一元二次方程 ax 2 - bx - c = 0 的两个不等实根．

1

2

b c

∴ x 1 + x 2 = a

， x 1 x 2 = - a

．

b

∴ + x 1 x 2

= x 1 + x 2 =

a x 1 x 2 - c a

= - b ． c ∴ 1 = 1 + 1 ． x 3 x 1 x 2

例 4．将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考， 恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出 来的正方形边长应该是 ．现在我们只需要在图中找出来一段边长为

的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各

种剪裁方法了．

【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名

字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数

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