“数形结合”在初中数学中的运用(可编辑修改word版)
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想在初中数学教学中的应用
数形结合思想是一种将数学与几何形状相结合的思维方式，通过观察几何形状的特点
和数学关系，来解决数学问题。
在初中数学教学中，数形结合思想可以应用于以下几个方面。
第一，在解决几何问题时，数形结合思想可以帮助学生理解几何形状的性质和关系。
在解决平面图形相关问题时，可以通过观察图形的对称性、边长比例、角度关系等来找到
解决问题的方法。
这样不仅可以提高学生对几何形状的理解，还能培养其观察和分析问题
的能力。
第四，在证明数学定理时，数形结合思想可以帮助学生通过观察几何图形的性质和数
学关系来理解和证明数学定理。
在证明三角形内角和为180度时，可以通过绘制三角形的
外接圆或内切圆来展示角度和边的关系，进而得出结论。
这样可以培养学生的逻辑思维和
证明能力，提高其对数学定理的理解和应用能力。
数形结合思想在初中数学教学中具有重要的应用价值。
通过将数学与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题的方法，培养其观察、分析、解决问题的能力，提高其数学学习的兴趣和自信心。
在教学过程中，教师应该灵活运用这种思维方式，
将抽象的数学知识与具体的几何形状相结合，创设适合学生的情境，激发学生的思维活力，使数学学习更加生动、实践、有意义。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在初中数学中的解题应用
数形结合思想在初中数学中的解题应用初中数学是学生转变学习方式的重要阶段，其中数形结合思想在解题过程中发挥着重要的作用。
数形结合思想是指通过几何形状和图形来解决数学问题，它能够帮助学生更好地理解抽象的数学概念，提高解题的效率和准确性。
本文将探讨数形结合思想在初中数学中的具体应用。
一、面积与周长的关系数形结合思想常常被用来解决与面积和周长相关的问题。
例如，给定一个矩形的周长为24厘米，问它的面积最大是多少？通过数形结合思想，我们可以设矩形的长为x厘米，宽为（24-x）/2厘米，然后利用矩形的面积公式（长乘以宽）求解。
这个例子清晰地展示了数形结合思想在解决面积和周长问题时的运用。
二、图形的相似性质数形结合思想还可以帮助我们研究图形的相似性质。
例如，两个三角形的高相等，我们能否得出它们的底的比例相等？通过数形结合思想，我们可以构建出两个相似的三角形，然后根据相似三角形的性质得出结论。
这个例子展示了数形结合思想在研究图形相似性质时的应用。
三、立体图形的体积计算除了平面图形，数形结合思想也可用于解决立体图形的体积计算问题。
例如，给定一个长方体的体积为216立方厘米，问其边长是多少？通过数形结合思想，我们可以设长方体的边长为x厘米，然后利用长方体的体积公式（长乘以宽乘以高）求解。
这个例子展示了数形结合思想在立体图形体积计算中的运用。
四、数据的统计分析数形结合思想还可用于数据的统计分析。
例如，在一组数据中，标准差较大是否意味着数据的波动性较大？通过数形结合思想，我们可以构建出一个以数据点为顶点的折线图，然后根据折线图的形状和曲线的趋势进行统计分析。
这个例子展示了数形结合思想在数据的分析和解读中的应用。
总结起来，数形结合思想在初中数学中具有广泛的应用。
它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题的效率和准确性。
通过数形结合思想，学生可以在解决面积与周长的关系、图形的相似性质、立体图形的体积计算以及数据的统计分析等方面取得更好的成绩。
谈“数形结合”在初中数学教学中的有效运用
谈“数形结合”在初中数学教学中的有效运用“数形结合”是指在数学教学中，通过数学内容与几何图形相结合的方式进行教学，使学生能够从几何图形的特征和变化中体验到数学的概念、性质和定理，进而加深对数学知识的理解和应用。
在初中数学教学中，有效运用“数形结合”的教学方法能够提高学生的学习兴趣和学习效果，对培养学生的创造力和思维能力也有着积极的促进作用。
“数形结合”能够激发学生对数学的学习兴趣。
数学是一门抽象的学科，对于初中学生来说，抽象性的数学概念和公式往往使他们感到困难和枯燥。
而通过与几何图形相联系，数学的抽象性被转化为直观的图形形象，使学生能够在感性认识的基础上理解数学的抽象概念。
在初中代数学习中，学生需要掌握线性函数的图像和特征。
通过将线性函数的图像与直线图形相结合，让学生直观地感受到线性函数的斜率和截距等概念与图像的关系，从而提高学生对数学的兴趣。
“数形结合”能够加深学生对数学知识的理解和应用。
通过将数学概念与几何图形相联系，可帮助学生更好地理解并应用数学知识。
在初中几何学习中，学生需要学习并应用长方形、正方形、三角形等几何图形的性质和计算方法。
通过将这些几何图形与相应的数学概念相结合，如正方形的边长与面积的关系、三角形的三边关系等，可以帮助学生深入理解这些概念和性质，并能够灵活运用于问题解决中。
通过数形结合的方式进行教学，学生能够从直观的几何图形中去思考数学问题，提高学生的思维的灵活性和创造力。
“数形结合”还能够培养学生的空间想象力和几何推理能力。
几何学习对空间想象和几何推理能力都有一定的要求。
而通过数形结合的教学方法，可以帮助学生加深对几何图形的理解和记忆，并培养学生的空间想象力。
通过观察、分析和推理几何图形的性质和关系，学生能够提高空间想象力和几何推理能力，加深对几何定理和公式的理解。
在初中平面几何学习中，学生需要学习比较常见几何图形的面积和周长，通过以图形为基础的数学问题，学生能够通过观察和推理来判断图形的面积和周长的大小及其变化。
数形结合在初中数学教学中的有效运用
数形结合在初中数学教学中的有效运用数形结合是一种将数学内容和几何图形相结合的教学方法，可以使学生更直观地理解和掌握数学概念。
在初中数学教学中，数形结合可以被有效地运用，有以下几个方面的作用。
一、丰富教学内容例如，在初中数学中，学生学习到平面图形的面积公式，而当教师以“铺地毯”为例，让学生通过观察铺设地毯的方式理解面积，就可以让学生更深入地掌握面积这个概念。
二、促进思维发展数形结合的教学方法可以让学生更加直观地感受到数学的问题，从而促进思维发展。
在观察和解决图形问题的过程中，学生需要进行推理、猜测、验算、实验等操作，这就会极大地激发学生的思维。
例如，在学习平行四边形的性质时，教师可以通过让学生手动构造平行四边形、相似三角形，让学生在实践中探究相似和比例的关系，培养学生的细心、观察和思维。
三、提高解题能力数形结合教学方法可以帮助学生更加深入地理解数学问题，从而提高解题能力。
通过将数学问题转化为几何图形问题，将问题带入具体的实际中，学生可以更好地理解问题，从而快速掌握解题方法。
例如，在学习解两线段长之和与差的问题时，可以将两条直线段分别表示为两个三角形的两边，并认为这两个三角形还可以合并成一个平行四边形，从而帮助学生更好地理解这一问题。
四、提高学习兴趣数形结合教学方法可以使学生通过观察图形、探究性质等活动感到兴奋和愉悦，从而培养学生对数学的兴趣。
通过设计趣味性的几何图形问题，让学生体验到数学学习的乐趣，从而加深对数学学科的理解和热爱。
例如，在教学三角形构造问题时，可以让学生手工剪纸或者拼图，设计出漂亮的三角形图形，让学生在实践中感受到数学的趣味性，提高学习兴趣。
综上所述，数形结合教学方法是一种非常有效的教学方法，能够在初中数学教学中发挥重要作用，引导学生深入理解数学概念和方法，提高学生的解题能力和思维水平，增强学生对数学学科的兴趣和热爱，加强学生的学习效果和学习动力。
数形结合思想在初中数学教学中的妙用
数形结合思想在初中数学教学中的妙用数形结合是一种将数学和几何形状结合起来进行思考的方法，它可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
在初中数学教学中，数形结合思想有着广泛的应用和妙用，下面就结合初中数学的几个章节，具体探讨其在教学中的运用。
一、平面直角坐标系在平面直角坐标系中，使用数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解坐标系中点的位置关系，以及线段、图形的属性，从而提高学生的空间想象力和几何直观性。
例如，教学中可以引导学生绘制平面直角坐标系，然后通过求解两点之间的距离、判断点的所在象限、判定直线斜率等一系列实际问题，让学生在数学计算的基础上，逐渐形成对坐标系中图形形态、位置的直观感受，从而更加深刻地理解数学知识。
二、数列与等差数列在学习数列与等差数列时，数形结合思想可以帮助学生掌握公差、首项和末项的概念，以及成员之间的规律。
例如，教师可以要求学生使用纸条、乒乓球等物体，模拟数列中的成员，然后让学生根据规定的公差、首项和末项等条件来组成数列，通过观察纸条或物体的位置、数量的变化，进一步加深学生对等差数列规律的理解。
三、三角形的性质在学习三角形的性质时，数形结合思想可以帮助学生更好地理解三角形中角度的大小、边长的联系，以及教师所提供的相关定理。
例如，教师可以在黑板或小白板上绘制出不同形态的三角形，让学生通过观察和测量去寻找三角形中的规律和大小关系，进一步掌握相似三角形、勾股定理等概念。
四、平行四边形的性质在学习平行四边形的性质时，数形结合思想可以帮助学生更好地掌握平行四边形中,对角线的特征、各边的关系以及其它相关知识。
例如，教师可以在黑板上绘制平行四边形的示意图，然后引导学生用细木棒、橡皮筋等实物，模拟平行四边形中的对角线、边长等，并通过比较，寻找平行四边形的各种特征和性质的共同点和不同点。
总之，数形结合是一种富有创造力和趣味性的教学方法，在初中数学教学中，注重数形结合的课堂教学将会更加生动有趣，更有益于学生对数学概念的理解和掌握。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。
一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。
通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。
当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。
这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。
二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。
通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。
通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。
图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。
三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。
在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。
通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。
图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。
四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。
数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。
在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。
这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。
数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。
通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。
数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题的数学模型进行图形化的表示，从而帮助理解和解决问题的思维方法。
它将抽象的数学概念与具体的图形结合起来，提供了一种直观的、形象化的解题方式，有助于学生对数学概念的深刻理解和数学问题的解决能力的提高。
在初中数学中，数形结合思想广泛应用于几何、代数、概率统计等多个领域。
在几何中，数形结合思想可以帮助学生理解和推导图形的性质。
在学习线段的垂直平分线时，通过数形结合思想可以将线段的中垂线与线段的垂直平分线联系起来，进而理解在几何中垂直平分线的定义和性质。
在代数中，数形结合思想可以帮助学生解决方程与图形的关系问题。
在解一元一次方程时，通过数形结合思想可以将方程的解与直线的图像联系起来，从而帮助学生理解方程的解即为方程对应直线的横坐标。
在概率统计中，数形结合思想可以帮助学生进行概率计算。
在学习条件概率时，通过数形结合思想可以绘制事件之间的关系图，并通过图形计算得到条件概率，帮助学生理解条件概率的概念和计算方法。
除了在具体的数学概念与图形的应用中，数形结合思想还可以培养学生的数学建模能力。
通过将实际问题抽象为数学模型，并通过图形化的方法进行表示和推导，使学生能够将数学知识应用到实际问题中，培养学生的问题解决能力和创新思维。
数形结合思想在初中数学中的应用可以通过数学问题的解决过程来说明。
对于如下问题：已知一个等边三角形的一个顶点为A，一边在直线y=2x+1上，求这个等边三角形的另外两个顶点B和C坐标。
学生可以首先通过数学方式推导等边三角形的性质，然后将该等边三角形的图形与直线y=2x+1进行结合，通过画图找规律，进一步确定点B和C的坐标。
数形结合思想还可以通过拓展和延伸的方式应用到其他学科中。
在物理学中，通过数形结合思想可以更好地理解和应用力学、电磁学等学科中的数学概念和原理。
数形结合思想在初中数学中的应用能够帮助学生理解和应用数学知识，提高解题能力和创新思维，培养数学建模能力和问题解决能力。
数形结合在初中数学教学中的运用
数形结合在初中数学教学中的运用数学是一门既有抽象性又有实用性的学科，它不仅仅是一门理论学科，更是一门需要与实际生活相结合的学科。
而在初中阶段，数学教学更是要求在抽象概念和实际问题中找到平衡，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
数形结合是数学教学的一种方法，通过结合数学和几何图形，旨在帮助学生更好地理解抽象概念、解决问题和提升数学能力。
本文将探讨数形结合在初中数学教学中的运用方式及其重要性。
1. 利用几何图形解决数学问题在初中数学教学中，通过以几何图形为基础的数学问题，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。
教师可以通过几何图形的逻辑性和形状特点，解决数学问题，如利用平行四边形的特性求解面积和周长问题，利用圆的性质解决圆的面积和周长问题等。
通过这种方式，学生不仅能够学习到几何图形的性质，也能够深入理解数学知识，并学会将抽象的数学知识应用于实际生活中。
教师也可以通过数学知识来描述和分析几何图形。
通过坐标系来描述和分析平面图形的位置和性质，通过数学函数来描述和分析曲线图形的规律和特点等。
通过这种方式，学生不仅能够学习到数学知识，也能够更深入地理解几何图形的特性并学会运用数学工具对其进行分析。
数形结合的教学方法还可以帮助学生更好地理解数学概念。
通过在平面直角坐标系中画出函数的图像，可以让学生更直观地理解函数的性质和变化规律；通过画出三角形与圆形的相交图形，可以帮助学生理解三角函数和圆形几何知识的联系等。
这种方式可以让学生在实际操作中更好地理解数学概念，从而提高他们的学习兴趣和学习效果。
二、数形结合在初中数学教学中的重要性1. 培养学生综合能力数形结合的教学方法可以帮助学生培养综合能力。
通过结合数学知识和几何图形，学生需要综合运用逻辑思维、计算能力和图形分析能力等多方面的能力来解决问题。
这种综合能力的培养不仅能够提高学生的数学水平，也能够促进学生在其他学科领域的学习和应用能力。
2. 提升学生的数学兴趣3. 增强学生的问题解决能力1. 设计生动有趣的教学案例在数学教学中，教师可以艺术化地设计生动有趣的教学案例，通过教学案例中的图形化展示和分析，让学生更好地理解数学概念和性质。
数形结合在初中数学教学中的应用
数形结合在初中数学教学中的应用
在初中数学教学中，数形结合可以帮助学生理解抽象的数学概念。
例如在教学整数的时候，可以通过图形的方式来直观地展示正数和负数，让学生通过图形更直观地理解正数和负数的关系。
通过画图的方式，学生可以更具体地感知到数的大小和方向，帮助他们更轻松地掌握整数的加减乘除运算规则。
通过数形结合，学生能更深入地理解数学知识，也更容易接受和记忆。
数形结合可以激发学生的学习兴趣，增加学习动力。
基于图形的学习方法可以使学习变得更加生动活泼，从而激发学生的学习兴趣。
通过举一些有趣的例子，使用图形的方式展示数学知识内容时，学生更易产生兴趣，愿意主动参与到课堂讨论和学习中来。
相比于枯燥的书本知识，利用图像进行教学可以让学生在轻松愉快的氛围中学习数学知识，从而更好地提升学习效果。
数形结合还可以培养学生的数学思维和创新能力。
通过观察和分析图形、运用数学知识，学生可以培养出锐利的观察力和敏锐的分析能力。
数形结合的教学方法也可以激发学生的创新意识，启发他们寻找数学和图像之间的新颖联系，培养他们的创新能力。
在教学几何问题时，可以引导学生进行探究性学习，在实际的几何图形中让学生自己发现几何定理的特殊性质，从而激发学生的数学创新能力。
数形结合在初中数学教学中的应用有利于帮助学生更好地理解数学知识，激发学生的学习兴趣，增加学习动力，并培养学生的数学思维和创新能力。
在教学实践中应该积极采用数形结合的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
希望教师们能够加强教学理念的更新和教学方法的探索，不断探索和研究数形结合的更多教学方法和实践经验，为初中数学教学注入更多的活力和新意。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用1. 引言1.1 数形结合思想的定义数、格式等。
【数形结合思想的定义】数形结合思想是指在数学教学中，通过将数学与几何图形形式结合起来，让学生在解决问题时不仅考虑数值之间的关系，还要考虑图形之间的联系。
数形结合思想强调通过图形的呈现使抽象的数学概念更具体化，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
通过数形结合思想，学生可以在抽象的数学世界中找到与日常生活和实际问题联系的纽带，从而提高他们对数学的兴趣和理解能力。
数形结合思想不仅仅是数学知识的展示形式，更是一种思维方式，通过观察、分析和推理，学生可以在数学问题中获得更深入的理解和解决问题的能力。
数形结合思想的应用不仅局限于数学教学中，在实际生活和工作中，也能帮助人们更好地理解和处理复杂问题，提高解决问题的效率和准确性。
数形结合思想是数学教学中的重要理念，对学生的数学发展和思维能力有着重要的促进作用。
1.2 数形结合思想的重要性数形结合思想能够帮助学生更好地理解抽象概念。
数学中的许多概念和定理往往是抽象的，通过数形结合思想，学生可以将抽象的概念与具体的图形相结合，从而对数学知识有更深入的理解。
数形结合思想可以激发学生的兴趣和创造力。
通过将数学与几何图形相结合，学生可以在实际问题中运用数学知识进行解决，从而培养他们解决问题的能力和创造性思维。
数形结合思想在初中数学中的重要性不可忽视。
它不仅有助于加深学生对数学知识的理解，还能培养学生的创造力和实际运用能力。
在教学中应该充分重视数形结合思想的应用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高他们的数学素养。
【字数：241】2. 正文2.1 数形结合思想在初中数学中的具体应用数形结合思想在初中数学中的具体应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解数学概念，并提高他们的数学解决问题能力。
以下是数形结合思想在初中数学中的具体应用：1. 图形的面积与周长：通过将图形与数学概念相结合，可以更直观地理解图形的面积与周长的关系。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指数学中的数学问题和几何问题相互转化、相互运用的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下几个方面：一、用几何图形解决代数问题在学习代数知识时，许多问题可以通过几何图形来直观地展现。
在解一元一次方程时，可以通过画图的方式来帮助学生理解方程的意义。
教师可以选取和学生相关的实际问题，用几何图形的方式来解决，这样不仅可以让学生更好地理解代数问题的本质，还可以培养学生的数学建模能力。
在学习几何知识时，代数方法也可以被应用到许多几何问题的解决中。
比如在计算几何图形的面积或周长时，可以通过代数式的运算来得到结果。
这种方法不仅简单直观，而且可以加深学生对代数知识的理解和运用。
三、将数学问题转化为几何问题有些数学问题在代数形式下可能比较抽象，难以理解，而将这些问题转化成几何问题时，学生可能会更容易理解和解决。
比如在概率问题中，可以用几何图形来表示事件的发生，从而让学生更加直观地理解概率的概念和计算方法。
在初中阶段，学生学习的数学知识往往和实际问题有着密切的联系。
几何方法在解决实际问题时，不仅可以用来求解图形的面积、体积等几何问题，还可以帮助学生理解实际问题的本质和解决方法。
比如在解决日常生活中的测量、建模等问题时，几何方法的应用可以让学生更好地理解问题的背后数学原理。
数形结合思想的应用不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以激发学生对数学的兴趣。
但是在教学中，如果不能很好地将数形结合思想融入到教学实践中，可能会达不到理想的效果。
教师在教学中需要灵活地运用数形结合思想，结合具体的教学内容和教学目标，设计出符合学生学习特点的教学方法。
教师需要结合教学内容，合理设计教学活动。
比如在教学一元一次方程时，可以设计一些与生活相关的问题，并通过几何方法来解决，这样可以让学生更好地理解代数方程的实际意义。
教师需要引导学生学会灵活运用数形结合思想。
在解决数学问题的过程中，学生需要通过分析问题，选择合适的数学工具和方法，从而达到数形结合的效果。
数形结合在初中数学教学中的运用
205学习版数形结合是数学教学中的一种常见形式，将数形在不同的情境中进行转换，可有效地化解数学的难点，使得数学的问题变得通俗易懂，借助数形结合模式，有助于学生在初中阶段摸索到数学的规律，利用数形结合一题多解、举一反三，强化思维的发散，运用数形结合，可透彻的领会数学的内涵，应用数学知识到实际的问题中，获得学以致用的能力，具备独立自主的探究思维，将数学的知识整合起来，形成数学的知识模型，走进数学的情境中获得更加深刻的体验。
一、数形结合在初中数学教学的作用：1.有利于培养初中学生数学解题能力。
数量和图形相结合的数学课堂教学形式可以将初中数学课本中涉及到的复杂的数量关系应用更直观的图形形式整理出来，让学生通过对图形的直接分析，便于学生对初中数学课堂教学内容中数量关系的问题进行解答。
首先，在初中数学学习内容的问题解答中，学生可以充分利用数量和图形相结合的方式罗列出问题中所提出的已知条件，便于学生更清楚的分析数学题目中较为难以理解的问题，将数量转化为更直观的图形来展现或是将数学题目中的图形用数字罗列出来。
最后，学生可以充分运用数形结合的方式解题，可以培养学生对初中数学题目的分析能力，加快解题速度。
由此可见，数形结合的教学方式对培养初中生独立思考能力有积极作用，开拓学生对数学题目的解题思路。
2.建立学生对数学学习的自信。
当孩子处于初中这一特殊阶段，学生对于空间想象的思维能力不强，对于初中数学课堂教学中涉及到的几何相关知识问题的解答是非常困难。
但是，充分运用数形结合的形式来分析初中数学几何问题，可以让题目中的数量关系更直观的体现出来，以便于初中生寻找初中数学几何题目中的答案，同时可以让学生对几何图形题目的解答和运算过程变得简单，通过图形就可以清晰地看出问题所在，这种方法方便初中生对数学知识的学习，对学生的解题速度有有很大帮助，建立学生对数学学习的自信心。
同时，初中数形结合的新颖的教学方式，更能够激发学生对数学学习的兴趣，有利于学生在课堂上集中注意力，提高初中生对数学学习的积极性。
数形结合教学模式在初中数学教学中的应用
数形结合教学模式在初中数学教学中的应用随着教育教学的不断发展，各种不同的教学模式不断涌现，而数形结合教学模式是其中一种广受欢迎的教学模式之一，它能够将数学与几何图形相结合，让学生从一个全新的角度去感受和理解数学知识，更好地掌握和运用数学知识。
下面就介绍一下数形结合教学模式在初中数学教学中的应用。
一、数形结合教学模式的基本理念数形结合教学模式是一种将数学和几何图形相结合的教学方法，它的基本理念是将数学知识和图形相结合，使学生能够更加直观地理解和掌握数学的概念和方法，同时也可以增加学生的兴趣和动力，提高学生学习数学的效率和质量。
数形结合教学模式的教学过程主要由以下三个步骤组成：（一）引导学生感受几何图形在数形结合教学中，首先要让学生通过感官的体验来感受几何图形，教师可以通过各种形式的图片、视频等来让学生看到几何图形的形状、大小、特点等。
同时教师也可以通过实物等方式，让学生更加直观地感受几何图形的特性。
（二）掌握数学知识在学生感受到几何图形之后，教师就可以针对所要掌握的数学知识进行讲解，比如学习面积、周长等相关概念。
教师可以通过纸板板书、演示软件、模型等方式来进行讲解。
（三）运用数学知识解决实际问题在学生掌握了数学知识后，教师可以通过一些真实或模拟的问题来让学生运用所学的知识来解决问题。
这样可以让学生更深入地理解所学的知识，并提高学生的实际应用能力。
（一）在初中数学的几何学习中在初中数学的几何学习中，数形结合教学模式可以帮助学生更好地理解各种几何概念和特性，比如平行四边形的性质、直角三角形的勾股定理等。
在数形结合教学中，学生能够通过对几何图形的观察和分析来更加深入地理解几何概念，同时也可以增加学生的实际应用能力。
综上所述，数形结合教学模式是一种十分实用的教学方法，它可以帮助学生更好地理解和学习数学知识，在初中数学的学习中应用要得当，注重实践，才能更好地发挥其教育教学的作用。
数形结合在初中数学教学中的运用
数形结合在初中数学教学中的运用数形结合是指将数学的概念与图形的形象相结合，通过图形的呈现来加深学生对数学概念的理解和记忆。
在初中数学教学中，数形结合方法被广泛应用于各个数学知识点的教学中，具有以下几个方面的运用。
数形结合能够帮助学生理解抽象的数学概念。
数学中有很多抽象的概念，比如线段、角、直线等，在纸上只是一些几何图形的表示，学生很难直接理解其含义。
通过数形结合的方法，将抽象的数学概念与具体的图形相对应，学生能够通过观察图形来理解和记忆这些概念。
在学习角的概念时，可以通过展示不同角的图形来帮助学生理解什么是锐角、直角、钝角等。
数形结合有助于学生掌握计算技巧。
在学习数学运算时，数形结合可以将抽象的计算过程转化为有形的图形表示，使学生更加直观地理解和掌握计算技巧。
在学习面积和周长的计算时，可以通过绘制图形，将抽象的计算过程转化为图形的面积和边长，帮助学生理解计算的具体步骤。
数形结合能够激发学生的兴趣和学习动力。
数学的学习往往枯燥乏味，学生很容易产生学习的厌倦情绪。
而数形结合方法通过图形的形象展示，使抽象的概念变得生动有趣，激发学生的兴趣和学习动力。
在学习三角形的性质时，通过绘制不同的三角形，让学生发现和探究它们的特点和规律，激发学生的好奇心和求知欲。
数形结合还能够帮助学生发展空间思维能力。
空间思维能力是指通过对平面和立体物体的观察、推理和表达，来认识和处理空间关系的能力。
通过数形结合的方法，学生能够在观察和分析图形的过程中，培养空间思维能力，提高解决实际问题的能力。
在学习立体几何的时候，通过绘制立体图形来分析和解决问题，培养学生的空间思维能力。
数形结合在初中数学教学中具有广泛的运用。
它能够帮助学生理解抽象的数学概念，掌握计算技巧，激发学习兴趣，培养空间思维能力等。
教师在教学中应该灵活运用数形结合的方法，进行示范性教学，引导学生积极参与，并通过练习和应用来巩固所学知识，提高学生的数学素养。
“数形结合”在初中数学中的运用
“数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．二、以形助数xml:namespace>几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等．（2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围；互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数xml:namespace>与在数轴上关于对称，换句话说，数轴上实数关于的对称点为）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与轴的交点（函数在时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．。
数形结合在初中数学教学中的有效运用
数形结合在初中数学教学中的有效运用数形结合是指将数学概念和几何图形相结合，通过图形的呈现方式来帮助学生深入理解和掌握数学知识。
在初中数学教学中，数形结合的有效运用可以提高学生的学习效果，增强他们对数学概念的理解和记忆，在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力方面发挥积极的作用。
在初中数学的教学过程中，数形结合可以用于教学的多个方面，包括数学概念的引入、数学定理的证明、解题方法的讲解等等。
在下面的内容中，我将结合一些实际的例子，详细说明数形结合在初中数学教学中的有效运用。
数形结合可以用于数学概念的引入。
以平行线为例，教师可以通过画线段、角度等几何图形，直观地展示平行线的概念，让学生通过观察图形来理解什么是平行线，进一步明确平行线的特点和性质。
通过数形结合的方式，学生不仅能够直观地感受到平行线的概念，而且能够积极参与到教学过程中，提出问题、讨论方案，培养他们的数学思维能力。
数形结合可以用于数学定理的证明。
以勾股定理为例，教师可以通过画直角三角形的示意图，引导学生观察三角形的边长和角度之间的关系，启发学生发现勾股定理的规律。
通过对几何图形的观察和分析，学生能够更加深入地理解和掌握勾股定理的证明过程，而不仅仅停留在记忆公式的层面上。
这种数形结合的教学方法可以提高学生的思维活跃度，培养他们的逻辑思维和推理能力。
数形结合还可以用于解题方法的讲解。
在解决代数方程的问题时，教师可以通过画图的方式帮助学生理解未知数的含义以及方程的解的意义，并通过数形结合的方式引导学生运用图形解方程。
通过画图来解决代数问题，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，而且能够培养他们的综合运用知识解决实际问题的能力。
数形结合还可以用于学生自主探究和合作学习。
在学习面积和体积等概念时，教师可以组织学生进行实际的测量活动，并结合实际的物体和图形进行观察和探索，发现面积和体积的规律和计算方法。
通过数形结合的探究式学习，学生能够主动参与到实际问题的解决过程中，培养他们的观察力、实验能力和问题解决能力。
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(x - x )2 + ( y - y )2 12 1 2 (x - 0)2 + (2x +10 - 0)2 5 5 p ( p - a )( p - b )( p - c )一、以数助形“数形结合”在初中数学中的运用“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系 的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左 右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应 该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微； 数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的 地位．要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例 1． 已知平面直角坐标系中任意两点 A (x 1小y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之间的距离可以用公式AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离．解：设 P (x 小 2x +10) 是直线 y = 2x +10 上的任意一点，它到原点的距离是OP = =当 x = -4 时， OP 小 小 = 2 ．所以原点到直线 y = 2x +10 的距离为2 ．【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化．例 2．已知∆ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求∆ABC 的面积（用含 m 、n 的代数式表示）．【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有 没 有 特 殊 之 处 ． 代 数 运 算 比 较 过 硬 的 人 可 能 利 用 平 方 差 公 式 就 可 以 心 算 出 来 ：(m 2 + n 2 )2 - (m 2 - n 2 )2 = (2m 2 )(2n 2 ) = (2mn )2 ， 也就是说， ∆ABC 的三边满足勾股定理， 即 ∆ABC 是一个直角三角形．“海伦公式”：三角形三边长为 a 、b 、c ，p 为周长的一半，则三角形的面积 S 为：S = ．解：由三边的关系： (m 2 - n 2 )2 + (2mn )2 = (m 2 +n 2 )2 ． 所以∆ABC 是直角三角形．所以∆ABC 的面积= 1⋅ (m 2 - n 2 )(2mn ) = mn (m 2 - n 2 ) ．2【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算5(x + 4)2 + 205 5 c1 在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的．例 3．直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 相交，两交点的横坐标分别为 x 、 x ，直线 y = bx + c121 1 1与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ．求证： x = + ．x x 3 1 2【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于 a 、b 、c 的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦．解：∵直线 y = bx + c 与 x 轴的交点的横坐标为 x 3 ， ∴ bx 3 + c = 0 ．∴ x 3 = - b．1 = - b ． x 3 c∵直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 两交点的横坐标分别为 x 、 x ，12∴ x 、 x 为关于 x 的一元二次方程 ax 2 - bx - c = 0 的两个不等实根．12b c∴ x 1 + x 2 = a， x 1 x 2 = - a．b∴ + x 1 x 2= x 1 + x 2 =a x 1 x 2 - c a= - b ． c ∴ 1 = 1 + 1 ． x 3 x 1 x 2例 4．将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考， 恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出 来的正方形边长应该是 ．现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了．【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数1x 2+ 4 x 2 + 4 (2 - x )2 +1 (x - 0)2 + (0 - 2)2 (x - 2)2 + (0 -1)2 (x - 0)2 + (0 - 2)2 (x - 2)2 + (0 -1)2 32 + 22 13 学思想的一种具体体现．二、以形助数几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面：（1） 利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式； 将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等． （2） 利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如：绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离；数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数a 与b 在数轴上关于a +b 对称，换句话说，2数轴上实数a 关于b 的对称点为2b - a ）；利用函数图像的特点把握函数的性质：一次函数的斜率（倾斜程度）、截距，二次函数的对称轴、开口、判别式、两根之间的距离，等等；一元二次方程的根的几何意义是二次函数图像与 x 轴的交点；函数解析式中常数项的几何意义是函数图像与 y 轴的交点（函数在 x = 0 时有意义）；锐角三角函数的意义就是直角三角形中的线段比例．例 5．已知正实数 x ，求 y = +的最小值．分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点(x 小 0) 到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题．解： y = + ，令 P (x 小 0) 、A （0，2）和 B （2，1），则 y = PA + PB ．作 B 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 B '(2小 -1) ， 则 y 的 最 小 值 为AB ' = = ．1 1例 6．已知tan = ， t an = 2 ，求证：+ = 45︒ ．3【分析】根据正切函数的意义不难构造出满足条件的角、（如图），怎样构造这两个角的和是解决这个问题的关键．将图（1）中下面的图翻转到上图的下面，就形成了如图（2）的图形，角+也就构成了．证明：如图（2），连接 BC ，易证： ∆ABD ≌ ∆CBE ，从而∆ABC 是等腰直角三角形，于是：(2 - x )2 +1 yA21BO1 P2x-1B'⎩ ⎩+= 45︒ ．图（1）图（2）例 7．求函数 y= x +1 + x - 2 + x - 3 的最小值．【分析】如图，设数轴上表示数－1、2、3、x 的点分别为 A 、B 、C 、P （P 为动点），则表示 P 到 A 、B 、C 三点之间的距离之和，即 y = PA + PB + PC ．A-2-1PBCO x 1234x容易看出：当且仅当点 P 和点 B 重合时， PA + PB + PC y最小，所以 y 小 小 = AB + BC = 4 ．例 8．若关于 x 的方程 x 2 + 2kx + 3k = 0 的两根都在－1 和 3 之间，求 k 的取值范围．【分析】令 f (x ) = x 2 + 2kx + 3k ，其图象与 x 轴的横坐标就是方程 f (x ) = 0 的解．由 y = 都在－1 和 3 之间，只须：f (x ) 的图象可知，要使两根 f (-1) > 0 ， f (3) > 0 ， f (- b) = 2af (-k ) ≤ 0 同 时 成x立，由此即可解得-1 < k ≤ 0 或 k ≥ 3 ．其中， f (-1) 表示 x = -1 时的函数值．解：令 f (x ) = x 2 + 2kx + 3k ，由题意及二次函数的图象可知：⎧ f (-1) > 0 ⎧(-1)2 + 2k (-1) + 3k > 0 ⎪ f (3) > 0 即⎪ 2+ 2k ⋅ 3 + 3k > 0 ⎨ ⎪ f (-k ) ≤ 0 ⎨3 ⎪(-k )2 + 2k (-k ) + 3k ≤ 0 解得： -1 < k ≤ 0 或 k ≥ 3 ．【说明】一元二次方程，一元二次不等式均与二次函数有密切的关系，有关二次方程、二次不等式中较繁难的问题运用二次函数的图象来解决常常会起到意想不到的效果．-26 54 32 1-2 -1O1 2 3-1例 9．若a > 0 ，且b >a +c ，求证：方程ax2+bx +c = 0 有两个相异实数根．【分析】首先可以想到的思路当然是证明∆=b2- 4ac > 0 ，但这并不容易．注意到二次方程与二次函数的关系，把“二次方程有两个相异的实根”这个代数命题“翻译”成几何命题就是“二次函数的图象与x 轴有两个交点”．考虑到此时a >0 ，抛物线开口向上，这个几何命题可以进一步等价转化成“二次函数的图象有一部分位于x 轴的下方，再把它翻译成代数命题就是“二次函数至少在某一点上的函数值小于 0”．证明：考查函数y =ax2+bx +c ，∵a > 0 ，∴此抛物线开口向上．又∵ b >a +c ，即a -b +c < 0 ，∴当x =-1 时，二次函数的值f (-1) < 0 ．故抛物线与 x 轴有两个交点，从而方程有两个不等实根．例 10．已知：对于满足0 ≤p ≤ 4 的所有实数p，不等式x2+px > 4x +p - 3 恒成立，求x 的取值范围．【分析】不等式x2+px > 4x +p - 3 可以变形为x2- 4x + 3 >-p(x -1) ．考查二次函数y1=x2- 4x + 3 = (x - 2)2-1和一次函数y =-p(x -1) ．2原不等式的几何意义是“二次函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方”．原题条件的几何意义是“无论实数p取0 ≤p ≤ 4 之内的什么实数，二次函数y1的图象总是在一次函数y2的图象的上方”．把原题所求的问题重新表述一下，就是：当x 取那些实数时，可以保证“无论实数p 取0 ≤p ≤ 4 之内的什么实数，二次函数y1的图象总是在一次函数y2的图象的上方”这个命题正确．现在我们研究这两个函数的图象（如图）：二次函数y1的图象是一条固定不变的抛物线．但是一次函数y2的图象随之p 的变化绕（1，0）旋转，当p = 0 ，y2= 0 时，是与x 轴重合的一条直线；当p = 4 ，y2=-4x + 4 是一条截距为 4 的直线，它与抛物线y1的交点坐标为（－1，8）．当实数q取遍0 ≤p ≤ 4 之内的所有实数时，直线y2所过了图中的阴影区域．结合图形，我们再一次把原问题重新表述一下：当x 取哪些实数时，可以保证“二次函数y1的图象总是在图中的阴影区域的上方”．观察图象，我们不难得到x <-1或x > 3 ，所以原问题的结论就是：x 的取值范围是x <-1或x > 3 ．【说明】本题一开始为什么要对不等式作这样的变形？希望大家在完全理解这道题的解题思路后认真思考一下这个问题，习惯对这类问题的反思在高中数学学习中非常重要．利用函数图象解决不等式问题是一种比较常见的数形结合的方法，这种方法的要点是把不等式变形成两个可以画出图象的函数（值）比较．(x -x )2 + ( y - y )212 1 2 初三数学 “数形结合”习题（1）1. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 两 点 A (x 1小 y 1 ) 和 B (x 2小 y 2 ) 之 间 的 距 离 可 以 用 公 式AB = 计算．利用这个公式计算原点到直线 y = 2x +10 的距离．2. 已知∆ABC 的三边长分别为 m 2 - n 2 、 2mn 和 m 2 + n 2 （m 、n 为正整数，且 m > n ）．求 ∆ABC的面积（用含 m 、n 的代数式表示）．3. 直线 y = bx + c 与抛物线 y = ax 2 相交，两交点的横坐标分别为 x 、 x ，直线 y = bx + c 与 x 轴的121 1 1交点的横坐标为 x 3 ．求证： x = + ．x x 3 1 24. 将如图的五个边长为 1 的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．x2+ 45.已知正实数x ，求y =+ 的最小值．6.已知tan= 1，tan =21，求证：+= 45︒．37.求函数y =x +1 +x - 2 +x - 3 的最小值．8.若关于x 的方程x2+ 2kx + 3k = 0 的两根都在－1 和3 之间，求k 的取值范围．9.若a > 0 ，且b >a +c ，求证：方程ax2+bx +c = 0 有两个相异实数根．(2 -x)2+13 初三数学 “数形结合”习题（2）1. 设 k + b = 0 ，则直线 y = kx + b 与抛物线 y = kx 2 + bx 的位置关系是（）．A. 有两个不重合的交点B ．有且只有一个公共点C ．没有公共点D ．无法确定2. 在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）．A. 3、3、3B.+1、 -1、 2C ．8、15、17D ．3.5、4.5、5.53. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边 20 米处，玩具店位于书店东边 100 米处，小明从书店沿街向东走了 40 米，接着又向东走了－60 米，此时小明的位置在 （）．A. 玩具店B ．文具店C ．文具店西边 40 米D ．玩具店东边－60 米4. 已知实数 a 、b 在数轴上的对应点依次在原点的右边和左边，那么（）．A.ab < bB.ab > bC.a +b > 0D.a -b > 05. 函数 y = x - 3 + x + 5 的最小值为（）．A ．8B ．5C ．3D ．26. 已知函数 y = x 和 y => x 的解集为（）．A ． -2 ≤ x < 2yB ． -2 ≤ x ≤ 2C ． x < 2AD ． x > 2x6 题图BC7 题图37. 如图所示，在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，点 D 在 BC 上， BD = 4 ， AD = BC ， cos ∠ADC = ，则5DC = ， s in B = ．8. 在数轴上数 a 和 3 的对应点分别为点 A 和点 B ，点 A 到原点的距离为 1.5，则点 A 关于点 B 的对称点所对应的数是 ．9. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 米，拱顶距离水面 4 米，桥下的水深为 2 米．为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 米．问水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？23 2x + 2 x + 2 43 2 1-4 -3 -2 -1O 12 3 4-1 -2 -3 -4A CO10. 如图，已知∆ABC 内接于圆 O ，AD 是圆 O 直径交 BC 于 E ．求证： tan B ⋅ tan C =AE．DEAOBECD11. 如图所示，已知矩形 AOBC 中，以 O 为坐标原点，OB 、OA 分别在 x 轴、y 轴上，A （0，4）， ∠OAB = 60︒ ，以 AB 为轴对称后，使 C 点落在 D 点处，求 D 点坐标．yxD12. 已知两点 A （x ，y ）和 B （x ，y ），线段 AB 中点坐标可用公式（ x 1+ x 2，y 1 + y 2）计算．现11 2 2已知 M （－1，2），N （5，14）．（1） 计算 MN 中点的坐标； （2） 试研究：怎样不画图计算出线段 MN 的两个三等分点的坐标？224 41 初三数学“数形结合”习题（2）【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A7．6，8．4.5 或7.5 9．2.76 米4110．提示：可以作AG ⊥BC 于F，交圆O 于G，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可得．（或连结 BD、CD，利用正切函数定义及相似三角形比例线段代换可证得）11．（2 ，－2）12．（1）（2，8）；（2）（1，6）和（3，10）.提示:可推得两个三等分点的坐标公式（2x1+x2 ，2 y1+y2 ）、（x1+ 2x2 ，y1+ 2 y2 ）3 3 3 3311。