【精选】2020年中考考点讲练案第12讲 二次函数(教师版)

第12讲 二次函数

【考点导引】

1.理解二次函数的有关概念．

2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．

3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】

1. 二次函数2

y ax bx c =++，配方为2

2424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，对称轴是a ＝2b

a

-

，与y 轴交点坐标是(0，c )，与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根，当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．

2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝a

b

2-

，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为：

（1）上下平移：抛物线y =a (x －h )2+k 向上平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k +m ；抛物线y =a (x －h )2+k 向下平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k －m ．

（2）左右平移：抛物线y=a(x －h)2+k 向左平移n （n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x －h+n)2+k ；抛物线y=a(x －h)2+k 向右平移n （n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x －h －n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理． 【解题策略】

1. （1）二次函数y ＝2ax bx c ++（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系：

，， 的代数式

决定图象特征

说明

决定抛物线的开口方向 ＞0

开口向上 ＜0 开口向下

决定抛物线与y 轴交点

的位置，交点坐标为

＞0 与y 轴交点在轴上方 ＝0

抛物线过原点

（2）二次函数y ＝ax bx c ++（≠0）的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程ax bx c ++＝0（≠0）的两个根．

2. 在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面、全程的答案，弄清楚运动过程中的变量和常量，其次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是x =2，根据不同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间t 或者自变量x 的代数式表示出来，然后考虑构建方程、不等式或函数关系式；

3. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝a

b

2-

，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种：

（1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小；

（2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小； （3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】

类型一：二次函数的图象及性质

【例1】( 2019甘肃省兰州市) （5分）已知，点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）

A. 2> y 1> y 2

B. 2 > y 2 > y 1

C. y 1> y 2>2

D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．

【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.，所以2> y 1> y 2 .故选A. 【点评】比较两个二次函数值大小的方法：

(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判

断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． 类型二：利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号

【例2】(2019，四川成都，3分）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（ ）

A.0>c

B.042

<-ac b C.0<+-c b a D.图象的对称轴是直线3=x

【答案】D

【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。A 选项中，C 表示的是二

次函数c bx ax ++=2y 与x 轴的交点，由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. B 选项中，表示△，函数图象与x 轴有两个交点，所以△>0，即。C 选项中，令x 曲-1，可得y=a －b ＋c ，即x=－1时函数的取值。观察图象可知x ＝－1时y ＞0，所以a －b ＋c ＞0. 最后D 选项中，根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1，0）.（5，0）两点的中垂线，2

5

1+=x ，x ＝3即为函数对称轴。故选D 。 类型三：二次函数图象的平移

【例3】（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y ＝2（x +2）2+3 B ．y ＝2（x ﹣2）2+3 C ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3 D ．y ＝2（x +2）2﹣3

【答案】B

【解答】解：将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝2（x ﹣2）2+3， 故选：B ．

类型四：确定二次函数的解析式

【例4】.(2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米（即最高点O 到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）