初中数学分式计算题及答案知识讲解

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新人教版初中数学——分式方程-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——分式方程知识点归纳及典型题解析1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤： ①设未知数； ②找等量关系； ③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例1 解分式方程：312242x x x -=--．【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．典例2 方程33122x x x-+=--的解为_______________．【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解．故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=2．方程24222x x x x =-+--的解为 A ．2B ．2或4C ．4D ．无解考向二分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解. （3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6B ．0C ．1D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -，由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4，解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9，故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．典例4 若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________．【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．3．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为 A ．－12B ．12C ．2D ．2-4．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a =A ．1B ．3C ．-1D ．-3考向三分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-= 【答案】A【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+．故选A ．典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(x x+=+，解得 2.5x =元．故选B ．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++6．在“双十一”购物节中，某儿童品牌玩具淘宝专卖店购进了A 、B 两种玩具，其中A 类玩具的进价比B 玩具的进价每个多3元，经调查发现：用900元购进A 类玩具的数量与用750元购进B 类玩具的数量相同（1）求A 、B 的进价分别是每个多少元？（2）该玩具店共购进了A 、B 两类玩具共100个，若玩具店将每个A 类玩具定价为30元出售，每个B 类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则该淘宝专卖店至少购进A 类玩具多少个？1．下列关于x 的方程： ①153x -=，②121x x =-，③()111x x x -+=，④31x a b =-中，是分式方程的有 A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个2．方程2131x x 的解为 A ．3x B ．4x C ．5xD ．5x3．解分式方程11222x x x-+=-- A ．2x =是方程的解 B ．3x =是方程的解 C ．4x =是方程的解 D ．无解 4．若关于x 的方程223ax a x =-的解为x =1，则a 等于 A ．0.5B ．-0.5C ．2D ．-25．若代数式12x -和321x +的值相等，则x 的值为 A ．x =-7B ．x =7C ．x =-5D ．x =36．若关于x 的方程3111k x x=---有增根，则k 的值为 A ．3 B ．1 C ．0D ．1-7．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m = A ．1- B ．3- C ．0D ．2-8．关于x 的方程2211x a ax x++=--的解不小于0，则a 的取值范围是 A ．2a ≤且1a ≠ B ．2a ≥且3a ≠ C ．2a ≤D ．2a ≥9．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+-B ．906022x x =-+ C ．90602x x += D ．60902x x+=10．若分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，则m 的值是A ．-1或1B ．-1或2C ．1或2D ．1或-211．已知关于x 的分式方程212x ax +=--的解为非负数，则a 的取值范围是 A ．a ≤2B ．a <2C ．a ≤2且a ≠-4D ．a <2且a ≠-412．一项工程，甲队单独做需20天完成，甲、乙合作需12天完成，则乙队单独做需多少天完成？若设乙单独做需x 天完成，则可得方程A ．1112012x += B ．2012x x +=1 C ．111220+=xD ．1112012x +=13．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程得A ．1501503012x x -=． B ．1501503012x x +=． C ．1501150212x x-=．D ．1501150212x x+=． 14．整数a 满足下列两个条件，使不等式-2≤352x +<12a +1恰好只有3个整数解，使得分式方程13522ax x x x-----=1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为 A ．2B ．3C ．5D ．615．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“……”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为 A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某中学为了创建“最美校园图书屋”新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍，已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是 A ．20元B ．18元C ．15元D ．10元17．分式方程xx 412=+的解为_______________． 18．若关于x 的分式方程33x ax x+--=2a 无解，则a 的值为__________． 19．关于x 的方程123(2)(3)x x x ax x x x ++-=-+-+的解为非正数，则a 的取值范围为__________． 20．分式72x -与2x x-的和为4，则x 的值为_______________． 21．已知x =3是方程211kx k x x---=2的解，那么k 的值为__________． 22．某物流仓储公司用A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20 kg ，A 型机器人搬运1000 kg 所用时间与B 型机器人搬运800 kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_______________．23．解下列方程：（1）1233x x x=+--；（2）2316111x x x +=+--；（3 （4）241111x x x +=---．24．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用1500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用2700元购进第二批，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元，求第二批玩具每套的进价是多少元？25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？26．某商店计划购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价是甲种商品进价的九折，用3600元购买乙种商品要比购买甲种商品多买10件．（1）求甲、乙两种商品的进价各是多少元？（2）该商店计划购进甲、乙两种商品共80件，且乙种商品的数量不低于甲种商品数量的3倍．甲种商品的售价定为每件80元，乙种商品的售价定为每件70元，若甲、乙两种商品都能卖完，求该商店能获得的最大利润．A ．x =1B ．x =-1C ．x =2D ．x =-2A ．x =-1B ．x =1C ．x =2D ．x =-23．解分式方程21x x -+212x-=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（） A ．x +2=3B ．x -2=3C ．x -2=3（2x -1）D ．x +2=3（2x -1）A ．m ≤3B ．m <3C ．m >-3D ．m ≥-35．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．120150= D ．120150=7．方程1x -+21x -=1的解是__________．8．一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相同，则江水的流速为__________km /h ．9．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A -B -C 横穿双向行驶车道，其中AB =BC =6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.2倍，求小明通过AB 时的速度．设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：__________．10．解分式方程：21x-=251x-．12．端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？13．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．14．列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．15．为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.16．列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．1．【答案】A【解析】方程两边同乘以1x -得到12(1)3x --=-，故选A ． 2．【答案】C【解析】去分母得：2x =（x -2）2+4，分解因式得：（x -2）[2-（x -2）]=0，解得：x =2或x =4，经检验x =2是增根，分式方程的解为x =4，故选C ． 3．【答案】B【解析】方程21111a x x -=++两边同时乘以(1)x +，可得211a x -=+，因为方程21111a x x -=++有增根，所以最简公分母10x +=，即增根是1x =-，把1x =-代入整式方程，可得12a =．故选B ． 4．【答案】D【解析】把x =1代入原方程得：23314a a +=-，去分母得，8a +12=3a -3，解得a =-3，故选D ． 5．【答案】C【解析】设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书(15)x +本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得10801080615x x=-+，故选C ．6．【解析】（1）设B 类玩具的进价为x 元，则A 类玩具的进价是(3)x +元，由题意得：9007503x x=+，解得：15x =，经检验：15x =是原方程的解．所以15+3=18（元）．答：A 类玩具的进价是18元，B 类玩具的进价是15元．（2）设购进A 类玩具a 个，则购进B 类玩具(100)a -个，由题意得：1210(100)1080a a +-≥，解得：40a ≥，答：该淘宝专卖店至少购进A 类玩具40个．1．【答案】C【解析】关于x 的方程①153x -=，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．关于x 的方程②121x x =-，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程③()111x x x -+=，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程④31x a b =-中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C ． 2．【答案】C【解析】方程两边同乘()(31)x x +-，可得()213x x -=+，即223x x -=+，即5x =，检验：当5x =时，1)03()(x x -≠+，所以5x =是原方程的根，故选C ． 3．【答案】D【解析】方程两边分别乘以x -2得：1-x +2（x -2）=-1，去括号整理得：x =2，经检验x =2是方程的增根，故原方程无解．故选D ． 4．【答案】B【解析】把x =1代入方程223ax a x =-得：2213a a =-，解得：a =-0.5，经检验a =-0.5是原方程的解，故选B ． 5．【答案】B【解析】根据题意得：13221x x =-+，去分母得：3x -6=2x +1，解得：x =7，经检验x =7是分式方程的解．故选B ． 6．【答案】A【解析】将方程的两边同时乘以(1)x -，可得31x k =-+，解得4x k =-，根据方程有增根可得1x =，即41k -=，所以3k =．故选A ． 7．【答案】B【解析】去分母，可得32(1)x m x =++，解得2x m =+，因为分式方程3211x mx x =+++无解，所以12130x m m +=++=+=，解得3m =-，故选B ． 8．【答案】A 【解析】2211x a ax x++=-- 方程两边同时乘以（x -1）得：x +a -2a =2（x -1），解得：x =2-a ，∵方程的解不小于0，∴2-a ≥0，解得：a ≤2， ∵分式方程分母不为0，∴2-a ≠1，解得：a ≠1，即a 的取值范围是：a ≤2且a ≠1，故选A ． 9．【答案】A【解析】因为船在静水中的速度为x 千米/时，所以由题意可得906022x x =+-，故选A ． 10．【答案】D【解析】方程两边都乘x （x +1），得2x 2-（m +1）=（x +1）2， ∵最简公分母x （x +1）=0， ∴x =0或x =-1．当x =0时，m =-2；当x =-1时，m =1．故选D ． 11．【答案】C 【解析】212x ax +=--，去分母可得：22x a x +=-+，移项可得：22x x a +=- ，合并同类项可得：32x a =-，系数化为1可得：23ax -=，根据分式方程的解为非负数和分式有解可得：203a -≥，且223a-≠，解得：a ≤2且a ≠-4，故选C ． 12．【答案】D【解析】设乙单独做需x 天完成，由题意得：1112012x +=，故选D ． 13．【答案】C【解析】设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得：1501150212x x-=．．故选C ． 14．【答案】C【解析】由不等式组-2≤352x +<12a +1，可知-3≤x <33a -， ∵x 有且只有3个整数解，∴-1<33a -≤0，∴0<a ≤3，由分式方程可知：x =-64a -，将x =-64a -代入x -2≠0，∴a ≠1，∵关于x 的分式方程有整数解，∴6能被a -4整除， ∵a 是整数，∴a =2、3、5、6、7、10、-2； ∵0<a ≤3，∴a =2或3，∴所有满足条件的整数a 之和为5，故选C ．【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)x -米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成，故选C ． 16．【答案】A【解析】设文学类图书平均价格为x 元/本，则科普类图书平均价格为1.2x 元/本，依题意得：12000120001001.2x x-=，解得：x =20，经检验，x =20是原方程的解，且符合题意．故选A ． 17．【答案】2x =【解析】方程x x 412=+两边都乘以x ，可得24x +=，解得2x =，检验：当2x =时，0x ≠，即2x =是原方程的解，故答案为：2x =． 18．【答案】1或12【解析】去分母得：x -a =2a （x -3），整理得：（1-2a ）x =-5a ，当1-2a =0时，方程无解，故a =12；当1-2a ≠0时，x =521aa -=3时，分式方程无解，则a =3，则a 的值为：1或12；故答案为：1或12．19．【答案】a ≤3且a ≠-12【解析】去分母，得：（x +1）（x +3）-x （x -2）=x +a ，解得x =35a -，由题意知35a -≤0且35a -≠-3，解得：a ≤3且a ≠-12，故答案为：a ≤3且a ≠-12．【解析】首先根据分式72x -与2xx-的和为4，可得7422x x x +=--，去分母，可得748x x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解，故x 的值为3．故答案为：3．21．【答案】2【解析】当x =3时，有321223k k --=，去分母得：9k -4k +2=12，5k =10，解得：k =2，故答案为：2． 22．【答案】100080020x x=+ 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得100080020x x =+，故答案为：100080020x x=+．23．【解析】（1）去分母，可得126x x =--，解得7x =，经检验7x =是分式方程的解，所以方程1233x x x=+--的解为7x =．（2）去分母，可得3316x x -++=，解得2x =，经检验2x =是分式方程的解，所以方程2316+=的解为2x =．（3 即5（4）2111x x =---，去分母得2241(1)x x =-++，化简得321x =+，解得1x =，经检验1x =为方程的增根，所以方程无解．24．【解析】设第一批玩具每套的进价是x 元，则1500x×1.5=270010x +，解得：x =50．经检验：x =50是原方程的解，则第二批玩具每套的进价是x +10=60（元）．答：第二批玩具每套的进价为60元．25．【解析】（1）设乙种款型T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，根据题意：78006400301.5x x+=，解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，1.560x =．答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）6400160x=，16030130-=（元）， 13060%6016060%(402)160[1(160%)0.5](402)⨯⨯+⨯⨯÷-⨯-+⨯⨯÷468019206405960=+-=（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．26．【解析】（1）设甲种商品的进价为x 元/件，则乙种商品的进价为0.9x 元/件，36003600100.9x x+=，解得，x =40，经检验，x =40是原分式方程的解， ∴0.9x =36，答：甲、乙两种商品的进价各是40元/件、36元/件．（2）设甲种商品购进m 件，则乙种商品购进（80-m ）件，总利润为w 元， w =（80-40）m +（70-36）（80-m ）=6m +2720， ∵80-m ≥3m ， ∴m ≤20，∴当m =20时，w 取得最大值，此时w =2840，答：该商店获得的最大利润是2840元．经检验x=-1是原方程的根；故选B．2．【答案】A【解析】方程两边同时乘以x（x-1）得，x（x-5）+2（x-1）=x（x-1），解得x=-1，把x=-1代入原方程的分母均不为0，故x=-1是原方程的解．故选A．3．【答案】C【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．7．【答案】x=-2【解析】2121 1(1)(1)xx x x--=-+-，去分母，得（2x-1）（x+1）-2=（x+1）（x-1），去括号，得2x2+x-3=x2-1，移项并整理，得x2+x-2=0，所以（x+2）（x-1）=0，解得x=-2或x=1，经检验，x=-2是原方程的解．故答案为：x=-2．8．【答案】10【解析】设江水的流速为x km/h，根据题意可得：12030x+=6030x-，解得：x=10，10．【解析】两边都乘以（x+1）（x-1），得：2（x+1）=5，解得：x=32，检验：当x=32时，（x+1）（x-1）=54≠0，∴原分式方程的解为x=32．11．【答案】x=2【解析】方程两边都乘以（x+1）（x-1），去分母得x（x+1）-（x2-1）=3，即x2+x-x2+1=3，解得x=2．检验：当x=2时，（x+1）（x-1）=（2+1）（2-1）=3≠0，∴x=2是原方程的解，故原分式方程的解是x=2．12．【解析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：96x+720.6x=27，解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．14．【解析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均15．【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为x km/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x km/h．根据题意得24027011.5x x-=，解得x=60，经检验，x=60是原分式方程的解，1.5x=90．答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60 km/h和90 km/h．16．【解析】设小明的速度是x米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x米/分钟，根据题意可得：1200x-4=30003x，解得：x=50，经检验得：x=50是原方程的根，故3x=150，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．。

(完整版)初中数学分式章节知识点及典型例题解析

分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2—a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为( ) （A ） 2 （B ） 3 (C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +。

(2）下列式子,哪些是分式？5a -； 234x +；3y y ; 78x π+;2x xy x y +-；145b-+。

2、分式有，无意义,总有意义:(1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义；例2:分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义. 例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ,y 满足关系时，分式x yx y-+无意义; 例6:无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ．122+x x B 。

12+x x C 。

133+x x D 。

25xx - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（）A. 2 B 。

—1或—3 C 。

-1 D 。

3同步练习题：3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了，那么要舍去.例1：当x 时,分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零，则a 的值为( ) A. 2± B 。

分式习题精讲含详细解答答案

1.分式的定义及性质1-1.若分式mx x +-212不论x 取任何实数总有意义，则m 的取值范围为（ D ） A. 1≥m B. m ＞1 C. 1≤m D.m ≠1分析：分式有意义的条件是分母不为0.只要m x x +-22≠0，即可，而m x x +-22=()1122-++-m x x =()112-+-m x ，要使()112-+-m x ≠0，因为()012≥-x ，所以只需要m －1≠0,即m ≠1。

1-2.若()()30622----x x 有意义，那么x 的范围是（ D ）。

A. x ＞2B. x ＜3C. x ≠3或x ≠2D. x ≠3且x ≠2 1-3.已知分式的值为正或负，或1，-1，或0.求字母的取值。

① 当x 时，分式21+x 的值为正。

解：由题意得21+x ＞0，根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知x+2与1同号，所以x+2＞0，所以x ＞-2. ② 当x 时，分式112+-x x的值为负。

解：由题意得112+-x x ＜0，因为x 2+1＞0,根据实数运算法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，可知1-x 与x 2+1异号，所以1-x ＜0，所以x ＞1. ③ 当x 时，分式22-+x x 的值为－1。

解：由题意得22-+x x =－1，所以x+2与x －2互为相反数，所以x+2＋x －2=0，所以x =－x ，所以x ≤0总结：以上题型为：已知分式的值为正或负，或为1，－1等常数，求x 的值。

这种题型的解法是：运用转化的思想。

A.若分式的值为正或负，则转化成解分式不等式，解分式不等式的方法是运用实数运算法则将分式不等式转化成整式不等式，再解整式不等式。

B.或分式的值为1，－1等常数时，则转化成求解分式方程，解分式方程的方法是先转化成整式方程，再解整式方程。

最后记得要检验是否有增根。

附加练习：④ 当x ＞5 时，分式52-x 的值为正。

初中数学分式计算题和答案解析

.WORD.格式.分式计算题精选一．选择题（共2小题）1．（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方B C D2．（2011•齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）二．填空题（共15小题）3．计算的结果是_________ ．4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k= _________5．已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= _________6．计算（x+y）•= _________ ．7．化简，其结果是_________ ．8．化简：= _________ ．9．化简：= _________ ．10．化简：= _________ ．11．若分式方程：有增根，则k= _________ ．12．方程的解是_________ ．13．已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为_________ ．14．若方程有增根x=5，则m= _________ ．15．若关于x的分式方程无解，则a= _________ ．16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为_________ ．17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为_________ ．三．解答题（共13小题）18．计算：19．化简：．20．A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．（1）哪种玉米的单位面积产量高？21．化简：= _________ ． 22．化简：．23．计算：． 24．计算．25．解方程：． 26．解方程：27．解方程：=0．28．①解方程：2﹣=1；②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．29．解方程：（1）（2）．30．解方程：（1）﹣=1；（2）﹣=0．2014寒假初中数学分式计算题精选参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2012•台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方B C D花时间比去时节省了根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×，×，，得出方程是解题关键．2．（2011•齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（）=有增根，﹣二．填空题（共15小题）3．计算的结果是．÷（﹣故答案为：4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k= 3+==5+==75．（2003•武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109 ．10+中，根据规律可得6．（1998•河北）计算（x+y）•= x+y ．=7．（2011•包头）化简，其结果是．=故答案为：8．（2010•昆明）化简：= ．=×．9．（2009•成都）化简：= ．﹣=．10．（2008•包头）化简：= ．﹣]=÷=，故答案为．11．（2012•攀枝花）若分式方程：有增根，则k= 1 ．，根据分式方程有增根得出=2∵分式方程12．（2012•太原二模）方程的解是x=2 ．13．（2012•合川区模拟）已知关于x的方程只有整数解，则整数a的值为﹣2，0或4 ．=，由方程只有整数解，可得x=，14．若方程有增根x=5，则m= ﹣5 ．15．若关于x的分式方程无解，则a= 0 ．16．已知方程的解为m，则经过点（m，0）的一次函数y=kx+3的解析式为y=﹣x+3 ．17．小明上周三在超市花10元钱买了几袋牛奶，周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2袋牛奶，若设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方程为．解：周三买的奶粉的单价为：，周日买的奶粉的单价为：．所列方程为：三．解答题（共13小题）18．（2010•新疆）计算：=19．（2009•常德）化简：．=20．（2006•大连）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．（1）哪种玉米的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？，单位面积产量是，单位面积产量是＜÷×倍．21．（2005•南充）化简：= ．=22．（2002•苏州）化简：．=23．（1997•南京）计算：．=[+﹣24．（2012•白下区一模）计算．=﹣×﹣．25．（2010•孝感）解方程：．26．（2011•衢江区模拟）解方程：y=+2y的值，再代入=y，则原方程化为y=+2y．时，有．是原方程的根．．27．（2011•龙岗区三模）解方程：=0．28．①解方程：2﹣=1；②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．）=x+1）÷×29．解方程：（1）（2）．，是原方程的解．30．解方程：（1）﹣=1；（2）﹣=0．。

初二数学分式方程试题答案及解析

初二数学分式方程试题答案及解析1.若关于的分式方程有增根，则．【答案】2．【解析】方程两边都乘（x﹣3），得m =2+x﹣3，∵原方程有增根，∴最简公分母，x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=2．故答案是2．【考点】分式方程的增根．2.某蔬菜店第一次用400元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用700元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元．（1）第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元？（2）蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有2% 的损耗，第二次购进的蔬菜有3% 的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于944元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元？【答案】（1）4；（2）7.【解析】（1）设第一次所购该蔬菜的进货价是每千克x元，则第二次购进时的价格为（x-0.5）元，根据两次购买的数量之间的关系建立方程求出其解即可；（2）先根据（1）的结论分别求出两次购买的数量，设该蔬菜每千克售价为y元，由销售问题的数量关系建立不等式求出其解即可．试题解析：（1）设第一次所购该蔬菜的进货价是每千克x元，则第二次购进时的价格为（x-0.5）元，根据题意，得，解得：x=4．经检验x=4是原方程的根，答：第一次所购该蔬菜的进货价是每千克4元；（2）由（1）知，第一次所购该蔬菜数量为：400÷4=100第二次所购该蔬菜数量为：100×2=200设该蔬菜每千克售价为y元，根据题意，得[100（1-2%）+200（1-3%）]y-400-700≥944．解得：y≥7．答：该蔬菜每千克售价至少为7元．【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．3.某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】方案（3）最节省．【解析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．试题解析：设规定日期x天完成，则有：，解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：甲单独20天，乙单独25天完成．方案（1）：20×1.5=30（万元），方案（2）：25×1.1=27.5（万元），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．【考点】分式方程的应用．4.列分式方程解应用题为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于2013年9月11日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约2.5千米.该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了25%，行驶时间平均减少了1.5分钟.该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶多少千米？【答案】20.【解析】设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度为（1+25%）x千米/小时，根据实行潮汐车道前后的时间关系建立方程求出其解即可．试题解析:设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴原分式方程的解是x=20．答：设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶20千米．考点: 分式方程的应用.5. 2011年雨季，一场大雨导致一条全长为550米的污水排放管道被冲毁，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，问原计划每天铺设多少米管道？(列方程解应用题)【答案】原计划每天铺设10m管道【解析】设原计划每天铺设x米管道，根据实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，表示出现在每天铺设的米数，根据现在比原计划提前5天，用全长除以每天铺设的米数分别表示出原计划及现在的时间，两时间相减等于5即可列出所求的方程, -=5,解方程x=10.试题解析：设原计划每天铺设xm的管道,则实际每天铺设（1+10%）xm的管道,由题意列方程:-=5,化简得1.1×550-550=5×1.1x,x =10,检验：当x=10时，1.1x≠0,∴ x=10是原方程的根,答：原计划每天铺设10m管道.【考点】由实际问题抽象出分式方程．6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）90天（2）甲、乙合作完成最省钱【解析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）把在工期内的情况进行比较．解：（1）设乙队单独完成需x天．（1分）根据题意，得：×20+（+）×24=1解这个方程得：x=90．（4分）经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．（5分）（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）y=1．解得y=36，（6分）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）．乙单独完成超过计划天数不符题意，甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）=198（万元）．（7分）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7.若关于x的方程有正数解，则k的取值为A．k＞1B．k＞3C．k≠3D．k＞1且k≠3【答案】D【解析】先解方程得到用含k的代数式表示x的形式，再结合方程有正数解及分式的分母不能为0求解即可.解方程得由题意得且解得且故选D.【考点】解分式方程点评：此类问题是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.8.解方程：【答案】x="3"【解析】先去分母，再移项、合并同类项，化系数为1，注意解分式方程最后要写检验.经检验x=3是原方程的解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.9.某超市用5000元购进一批新品种的苹果试销，由于销售状况良好，超市决定再用11000元购进该种苹果，但这次进货价比试销时多了0.5元，购进苹果数量是试销时的两倍。

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为零，如果 B 的值为零，那么分式就没有意义。

例如：1/x ，（x ＋ 1)／（x 2) 都是分式，而 1/2 （分母 2 为常数，不含字母）就不是分式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

即对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。

例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，x 1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 。

三、分式的值为零的条件分式的值为零需要同时满足两个条件：分子为零，分母不为零。

即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为零。

例如：若分式(x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0 ，解得 x ＝ 2 。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝（A×C)／（B×C) ，A/B ＝（A÷C)／（B÷C)（C 为不等于零的整式）例如：化简分式 2a/（3b) ，可以将分子分母同时乘以 2 ，得到 4a/（6b) ；或者将分子分母同时除以 a ，得到 2/（3b/a) 。

五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

确定公因式的方法：1、如果分子分母都是单项式，先找出系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂。

2、如果分子分母是多项式，先因式分解，再找公因式。

例如：约分（2x ＋ 2)／（x²＋ 2x ＋ 1) ，先将分子因式分解为 2(x ＋ 1) ，分母因式分解为（x ＋ 1)²，然后约去公因式 x ＋ 1 ，得到 2/（x ＋ 1) 。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。

初中数学专题：分式的运算及化简求值

7．(黔南中考)先化简再求值：(x－1 y－x＋1 y)÷x2－yy，其中 x，y 满足 |x－1|＋(y＋2)2＝0.
解：∵x，y 满足|x－1|＋(y＋2)2＝0， ∴x－1＝0，y＋2＝0.∴x＝1，y＝－2. 原式＝（xx－＋yy）－（x＋ x＋yy）·x－ 2yy＝x＋1 y. 当 x＝1，y＝－2 时，原式＝1－1 2＝－1.
8．(毕节中考)先化简，再求值：(x2－x2－2x＋ x 1＋xx22＋－24x)÷1x，且 x 为满足－3＜x＜2 的整数．
解：原式＝[x（（xx－－11））2＋（x＋x（2）x＋（2x）－2）]·x＝(x－x 1＋ x－x 2)·x＝2x－3.
∵x 为满足－3＜x＜2 的整数， ∴x＝－2，－1，0，1. ∵x 要使原分式有意义， ∴x≠－2，0，1. ∴x＝－1. 当 x＝－1 时，原式＝2×(－1)－3＝－5.
3．计算： (1)(x＋1 1＋x－1 1)·(x2－1)；解：原式＝（xx＋－11）＋（x＋ x－11）·(x＋1)(x－1) ＝2x.
(2)(x＋3 1－1x)÷x22＋x22－x＋x 1；解：原式＝[x（x3＋x 1）－x（xx＋＋11）]·x22＋x22－x＋x 1 ＝x3（x－x＋x－1）1 ·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x（2xx－＋11）·x（（x2＋x－1）1）2 ＝x＋x2 1.
(3)m2＋m2m2 ＋1÷(1－m＋1 1)；解：原式＝（mm＋21）2÷mm＋＋1－1 1 ＝（mm＋21）2·mm＋1 ＝mm＋1.
(4)(2－1 x＋1)÷xx2－－34·x2＋4xx＋4. 解：原式＝32－－xx·（x＋2）x－（3x－2）·（x＋x 2）2 ＝x＋x 2.
4．(遵义中考)先化简，再求值：x－x y÷(x－2xyx－y2)，其中 x＝2，y ＝－1.

分式专题(含答案)

分式专题一、分式定义,注意:判别分式得依据就是分母中还有字母,分母不等于零。

1、在式子y x y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中,分式得个数就是( )个2、下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-,yx 2915-中,就是分式得有( )个二、分式基本性质 1、填空:()yx xy ba -=---..............;2.在括号内填入适当得代数式,使下列等式成立:2xy =22()2ax y ; 322()x xy x y --=()x x y -.3、把分式xyyx -中得x 、y 得值都扩大2倍,则分式得值( ) A 不变 B 扩大2倍 C 扩大4倍 D 缩小一半 4、已知31=b a ,分式ba ba 52-+得值为 ; 5、若32,234a b c a b ca b c -+==++则=_______. 6、不改变分式52223x yx y -+得值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果就是( ) 三、分式无意义与有意义, 1、当x 时,分式3213+-x x 无意义;2.在分式2242x x x ---中,当x ______时有意义.3.当x____时,分式||2x x -有意义.4、式子2(3)12x -+--中x 得取值范围就是_______.5、当x_____________时,式子23+x x ÷322--x x 有意义四、分式值为零,1、当x 时,分式392--x x 得值为0;2.使分式234x ax +-得值等于零得条件就是x____.3.在分式2242x x x ---中,当x ____时分式值为零..__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1.约分:34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---,xx x 52522--2.分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a a b -,④12x -中,最简分式有( )个六、通分 1、分式222439xx x x --与得最简公分母就是___ ___________、 2、分式y x 21,323x y ,232xy x+得最简公分母就是( )3、把下列各组分式通分 (1)243,2b acbd c (2) 七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷得结果就是( ) 2、22332p mn p n nm ÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅; 3、aa a -+-21422; 4、112---x x x ; 5、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6.339322++--m m m m 7 、先化简,再对a 取一个您喜欢得数,代入求值.221369324a a a a a a a +--+-÷-+-. 8、先化简:⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个您喜欢得数a 代入求值. 9、先化简,再求值:1312-÷+x x x x ,其中31+=x . ,412-a 21-a10、已知220x -=,求代数式222(1)11x x x x -+-+得值.11、先化简,再求值: 3x ＋3 x ·⎝⎛⎭⎫ 1 x －1 ＋ 1 x ＋1 ÷ 6x,其中x ＝1.12、先化简,再求值:232224xx x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程,易错点:分式方程检验 1、解方程: (1)256x x x x -=--. (2)21411x x x +---=1. (3)12212+=++-x xxx x , (4)6122x x x +=-+. (5)14143=-+--x x x ,(6)22333x x x -+=--, 2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+,求A,B 得值.3、已知分式方程21x ax +-=1得解为非负数,求a 得范围. 4、已知关于x 得方程12-=-+x ax 得根就是正数,求a 得取值范围。

初中数学-《分式与分式方程》测试题含解析

初中数学-《分式与分式方程》测试题班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分共36分） 1．在2a b -，x x 1+，5πx +，a ba b+-中，是分式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为（） A ．y x my nx ++元 B ．y x ny mx ++元 C ．y x n m ++元 D ．12x y m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元3．当x ＝2时，下列分式中，值为零的是（） A ．2322+--x x x B ．942--x x C ．21-x D ．12++x x4．下列分式是最简分式的是（） A ．11m m -- B ．3xy y xy - C ．22x y x y -+ D ．6132mm -5．若34y x =，则x yx+的值为（） A ．1 B ．47 C ．54 D ．746．计算⎪⎭⎫⎝⎛-÷-x x x x 11所得的正确结论是（） A.11x - B.1 C. 11x + D.－1 7．a ÷b ×b 1÷c ×c 1÷d ×d1等于（）A ．aB ．222dc b a C ．d a D ．ab 2c 2d 28．计算22193m m m --+的结果为：（） A ．13m + B ．－13m - C ．－13m + D ．13m - 9．分式121x x +-的分子分母都加1，所得的分式22x x +的值比121x x +-（）A ．减小了B ．不变C ．增大了D ．不能确定 10．若241()w 1a 42a+⋅=--，则w=（） A.a 2(a 2)+≠- B.a 2(a 2)-+≠ C.a 2(a 2)-≠ D.a 2(a 2)--≠- 11．关于x 的方式方程232x mx +=-的解是正数，则m 可能是（） A ．﹣4 B ．﹣5 C ．﹣6 D ．﹣7 12．如果关于x 的方程2435x a x b++=的解不是负值，那么a 与b 的关系是（） A ． a ＞35b B ． b≥35a C ．5a≥3b D ．5a=3b 二、填空题:（每小题3分共12分）13．化简：23410ab ba = ．14．已知31=+a a ，则221a a +的值是。

分式经典例题及答案

分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不等于0；②分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

二、典型例题A．x=-2 B．x= 0 C．x=1或2 D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：∴{ x-1=0 ①{ x+2≠0 ②，解得x=1．故选D．___________________________________________________________ __________________________A．x=1B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x≠5 B．x≠-5 C．x＞5D．x＞-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；故选A．___________________________________________________________ __________________________A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x ＜2 D．x＞2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x＞0，且（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x＞0 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0 ①{ x-1≠0 ②，解得x≥0且x≠1，故选C．___________________________________________________________ __________________________例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为0，则分式的值为零，故错误；B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式，分式的值不变，故错误；C、正确；D、当x取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．故选C．___________________________________________________________ __________________________A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，故选B．___________________________________________________________ __________________________分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．___________________________________________________________ __________________________分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：则x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0，∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。

初二数学分式练习题及概念

初二数学分式练习题及概念分式作为初中数学的一项重要内容，是初二学生需要掌握和熟练运用的知识点之一。

本文将为初二学生提供一些分式的练习题，并介绍相关概念，以帮助学生更好地理解和掌握分式的概念和运算。

一、练习题1. 计算下列各分式的值：a) $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$b) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$c) $\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}$d) $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$2. 将下列各分式化简为最简形式：a) $\frac{12}{16}$b) $\frac{18}{24}$c) $\frac{20}{25}$d) $\frac{15}{35}$3. 计算下列各分式的和的倒数：a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$b) $\frac{3}{5} - \frac{2}{3}$c) $\frac{4}{7} \times \frac{2}{3}$d) $\frac{5}{6} \div \frac{6}{7}$4. 求下列适当分数的整数部分和小数部分：a) $\frac{7}{2}$b) $\frac{11}{3}$c) $\frac{23}{5}$d) $\frac{37}{10}$二、概念解析1. 分式的定义分式是指一个整体被分成几个相等的部分中的一部分或几部分。

通常由分子和分母两部分组成，分子表示整体中的一部分，分母表示整体被分成的部分数。

2. 分式的化简化简分式是将分式写成最简形式的过程。

可以通过约分、分子分母的公因式提取来实现。

最简形式的分式是分子和分母没有公因数的分式。

3. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

具体运算的规则如下：a) 加法和减法：两个分式相加或相减，要求分母相等，然后将分子相加或相减后保留分母即可。

b) 乘法：两个分式相乘，将两个分式的分子相乘，分母相乘后得到新分式的分子和分母。

分式的运算(含答案)

分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知，求的值。

分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。

解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。

化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。

最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。

这是解决条件求值问题的一般方法。

解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。

解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。

分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：〔1〕乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

〔意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘〕。

用式子表示：bd ac d c b a =•〔2〕除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示： 2、应用法则时要注意：〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；〔2〕当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：〔其中n 为正整数，a ≠0〕2、注意事项：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；〔3〕最后结果要化到最简。

三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：2、注意事项：〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

〔二〕异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项：〔1〕在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

〔2〕若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。

分式运算典型例题精解

分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）x 1；（2）2x ；（3）y x xy +2；（4）33yx -；（5）11－x ；（6）π1中，属于整式的有：；属于分式的有：。

. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x 为时，分式()()()322-++x x x 有意义．错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。

例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a ba b a b-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a - B ．a b a - C ．a ba + D ．b -（2）化简2244xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x -（3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11---x x x，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。

初二数学分式试题答案及解析

初二数学分式试题答案及解析1.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A、，分母的所有项都变号，故A错误；B、分子分母都乘以或除以同一个不为0的数分式的值不变，故B错误；C、分子分母都除以（x-y），故C错误；D、分子分母都除以（x-1），故D正确．故选D．【考点】分式的基本性质．2.若分式的值是0，则x = __________.【答案】 1【解析】由x2-1=0可得x=±1，又x+1≠0，所以x≠-1,所以x=1【考点】分式值为0的条件3.已知【答案】【解析】∵∴x=2y∴原式=【考点】分式的化简求值4.（1）已知计算结果是，求常数m的值；（2）已知计算结果是，求常数A、B的值．【答案】（1）3；（2）.【解析】先把拨给条件进行通分，然后利用恒等式的性质进行计算即可求值. （1）∵=，又∵=，∴（2）∵，又∵=，∴．∴．【考点】1.分式的化简；2.解二元一次方程组.5.若，则x的取值范围是_______．【答案】x＜1．【解析】由绝对值的定义和分式有意义的条件入手求解．试题解析：由题意得x-1≤0且x-1≠0即x≤1，且x≠1所以x＜1．考点: 分式的基本性质．6.如果分式有意义，那么的取值范围是（）A．＞1B．＜1C．≠1D．=1【答案】C【解析】由题,1-x≠0, x≠1,选C.分式有意义的条件是分母不为零,由题,1-x≠0, x≠1,选C.【考点】分式有意义的条件.7.计算：﹣．【答案】【解析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解：原式===．点评：此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．8.将分式约分时，分子和分母的公因式是．【答案】2a【解析】观察分子分母，提取公共部分即可．解：分式约分时，分子和分母的公因式是：2a．故答案为：2a．点评：此题主要考查了约分，注意：找出分子分母公共因式时，常数项也不能忽略．9.在式子中，分式的个数有（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解：分式有：，，9x+工3个．故选B．点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．10.把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（）.A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大9倍D．不变【答案】A【解析】由题意把、代入原分式，再把化简结果与原分式比较即可作出判断.解：由题意得则分式的值扩大3倍故选A.【考点】分式的基本性质点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式的基本性质，即可完成.11.已知=，则的值为__________。

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。

在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。

一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。

分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。

分式也可以是正数、负数或者零。

分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。

2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。

3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。

解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。

具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。

例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。

解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。

三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。

具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。

例如：将12/18简化为最简分式。

解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。

四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。

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