(优选)符号法则单个折射球面成像
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5·4 球面折射：
n
-i1 A
n`
-i2
-u
u`
P 5·3 近轴光条件下球面反射的理想成象
O
r
C
P`
2、物所处空间：物空间——实物；
旋转为正，逆时针旋转为负。
-s 求象公式，直至最终求得物体经整个光具组所成的象。
5·6 理想成象的两个普适公式：
s`
n`— 象方介质折射率
2、物所处空间：物空间——实物；
由高斯公式求出象。
由图可知： （-x ）+（-f）= -s x`+ f``= s` 代入
高斯公式得： xx`f f`
此式称牛顿公式。与高斯公式一样，可用于任何成象过程。
5·8 近轴物体理想成象的横向放大率： 定 义：近轴物体在近轴光条件下理想成象时，所得象高与 物高之比。 公 式： y ` y
-x -f f`` 沿轴线段：以球面顶点为起点，向左延伸为负，向右延伸为正。
1、入 射 光束：发 散——实物；
C X`
轴线上，该系统称共轴光具组。
特点：所有沿轴线段均以球面顶点为起点。
-s 5·1 球面的几个概念、符号法则：
s`
6·2 逐个球面成象法：
5·3 近轴光条件下球面反射的理想成象
由高斯公式求出象。
sini2
sinu`
P C srrs P `Cs`r A C r
nsi n i1n`si n i2
Ps Ci n uP `C siu`n n` rssiu`n s`rsiu`n n`
n
n
s`rnsi n urs
n` siu`n
显然，s`也是随u（u`）而变的，不同的光线将有不同的s` 值，故球面折射时光束亦不能保持单心性。
光学——球面反射和折射-文档资料
焦距:焦点到球面顶点的距离( f’= r/2 ).
它同样遵守符号法则.
11
所以，球面反射的成象公式又可以写成
111 s s f
球 面 反 射 物 像 公 式
说明：1、它是球面反射成像的基本公式,只在近轴条件 下成立；
2、式中各量必须严格遵从符号法则；
sin u' OA 代入s’表达式并整理，
s'
得
n' n n'n
s' s r
n— 物方介质折射率； n`— 象方介质折射率
17
讨论
n' n n'n s' s r
①当介质和球面一定时(n、n’、r 一定),S’与S一
② 一对应,即:
③ 在近轴光线条件下光束单心性得到保持.
②当介质和球面一定时(n、n’、r 一定)，
3、对凸球面反射同样适用；
4、当光线从右至左时同样适用.
12
[例] 一个点状物放在凹面镜前0.05m处,凹面镜的 曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
[解]：设光线从左至右
已知：s=-0.05m,r=-
0.20m
由球面反射成像公式：
P`
1 1 2 s s r
C
P -s O
-r
s’
得： s2sr sr2 0 0 .2 .0 5 0 .0 05 .2 0.1m
8
由图又可知：
sin u AO
(s)
-u P
sin
u
AO
s
代入 sr(rs) sin(u) 中， sin(u')
单球面物象折射公式及其应用
引言（绪论）光学中以光线概念为基础研究光的传播和成像规律的一个重要分支是几何光学.在几何光学中，折射定律的发现标志着光线传播定律的最终确立，费马原理即是解释、证明和概括光线传播实验定律的途径之一. 本文依据费马原理，推导出了近轴光线条件下的单球面物像折射公式.应用近轴光线条件下的单球面物像折射公式，可以推导出多种情况下的成像公式，为研究复杂的光学系统成像提供了基础性的理论依据，以说明单球面物像折射公式在几何光学中的基础重要性.1 符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用，方便读者阅读.图1 主平面内的球面反射图1中的AOB表示球面的一部分.这部分球面的中心点O称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴，通过主轴的平面称为主平面.主轴对于所有的主平面具有对称性.因此只需讨论一个主平面内光线的反射情况.图1表示球面的一个主平面.在计算任一条光线的线段长度和角度时，对符号作如下规定：（1）线段长度都从顶点算起，凡光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；凡光线和主轴的交点在顶点左方的，线段长度的数值负.物点或像点至主轴的距离，在主轴上方的为正，下方的为负.（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向移动，则该角度为正；若沿逆时针方向转动，则该角度为负（再考虑角度的符号时，不必考虑组成该角的线段的符号）.（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值.例如s表示的某线来表示该线段的几何长度.下讨论都假定光线自左向右传段的值是负的，则应用s播.（4）特俗情况下的，文中均在相应位置另有特殊解释说明.2 单球面物象折射公式的推导2.1 球面折射的一般分析设有两种透明均匀的各向同性的介质，界面∑为球面的一部分，两侧介质折射率分别为n 和'n 且n<'n ，如图2所示，折射球面∑的曲率中心C 与顶点O 的连线为主光轴，简称主轴（∑面关于主轴的旋转对称面）.图2 光在单球面上的折射设主光轴上面顶点O 的左方有一真实发光点P ，他发出的同心光束的任意一条光线自左向右入射到∑面上的M 点，相应的折射与主轴交与'P 点.以球面顶点O 为计量原点，记球面曲率半径,'',,OC s OP s OP r ===,l PM =''l MP =ϕ=∠MOC . 则PMP’的光程为∆'PMP =''l n nl +在PMC ∆和'MCP ∆中应用余弦定理，并注意()ϕπϕ--=c o s c o s()r s PC +-= r s CP -=''可得 ()()ϕcos 222s r r r s r l --+-=()()ϕcos '2''22r s r r r s l -++-=因此，光线PMP 的光程可写成∆'P M P =ϕϕcos )'(2)'('cos )(2)(2222r s r r s r n s r r s r r n -+-++---+ 式（2-1）根据费马原理，光程变化率应为0，即0d d =ϕl 式（2-2） 代入∆'PMP 的表达式进行求导，有ϕϕϕϕcos )'(2)'(sin )'(2'cos )(2)(sin )(22222r s r r s r r s r n s r r s r r s r r n -+-+--=---+-经计算整理后可得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=---)'('1)(1)cos 1(2)'('')(22222222r s n s r n r r s n s s r n s ϕ 式（2-3） 给定s 和ϕ可由式(2-3)定出.一般来说，'s 与ϕ有关，这意味着由同一P 点发出的同心光束中的各条光线，经∑面折射后，不再汇交与一点，即球面折射破坏了光束的同心性，使轴上发光点不能成像.有两种特殊情况值得注意.其一，令式(2-3)两端同时等于零，即222222)'('')(s r s n s s r n ---=0 式（2-4))'('1)(122r s n s r n -+-=0 式（2-5）求解这组联立方程的解，从而把s 和s’同时确定下来，它们均与ϕ无关，此时的P 和'P 是一对特殊的共轭点，称为球面折射的齐明点或不晕点.对一对齐明点，宽光束经球面折射后仍能成像.其二是把光束限制在近轴区域内，即1cos ≈ϕ，此种的讨论，详见下文.2.2 近轴光线的单球面折射2.2.1 物象距公式在近轴光线的条件下，ϕ值很小，在一级近似下，1cos ≈ϕ，因此式(2-3)中的0)cos 1(≈-ϕ,'s 与ϕ近似无关，则有 222222)'('')(r s n s r s n s -=- 式（2-6）将上面等式两端同时开放，经数学处理后，可得如下简单关系式： rn n s n s n -=-''' 式（2-7） 上式表明，在n 、'n 和r 给定的条件下，在近轴区，轴上物点P 经球面∑折射后可在轴上得一相应的像点'P .从球面顶点O 到像点'P 的距离's 称为像距；从球面顶点O 到P 的距离s 称为物距；'n 和n 分别称为像方折射率和物方折射率，式(2-7)称为球面折射近轴成像的物象距公式.此式对凹球面同样成立.2.2.2 焦距公式如果位于主轴上的物点位置改变，则与之共轭的像点在主轴上的位置必有相应改变.轴上无限远处物点的共轭像点称为折射面的像方焦点，记作'F ；面顶点O 到像方焦点'F 的距离称为像方焦距，记作'f ,轴上无限远处像点的共轭物点称为折射球面的物方焦点，记作F ；球面顶点O 到物方焦点F 的距离称为物方焦距，记作f .由前文关于物距、像距的的符号规则可知：当'F 在O 点右方时'f >0,在O 点左方时'f <0；当F 在O 点左方时f>0,在O 点右方时f<0.根据式(2-7)及上述焦点的定义，可知：当 -∞=s 时nn r n s f -=='''' 式(2-8） 当 ∞='s 时 n n nr s f --==' 式(2-9） 可见，折射球面的两个焦距与它的几何形状（r ）及其两侧介质折射率（n ,'n ）有关，由式(2-8)和式(2-9)可得两个焦距之比为 nn f f ''-= 式(2-10) 上式表明，折射球面的两个焦距数值一般不等，但符号相反，因此，相应的两个焦点必定分居球面顶点两侧不等距离处.2.2.3 球面折射近轴物点近轴成像如图2所示，主轴上的P 、'P 是一对共轭点.设想将主轴绕折射球面曲率中心C 并在图面内沿顺时针方向旋转一小角度θ，主轴变成副轴，P 、'P 点分别转到Q 、'Q 点.由于球对称性，Q 、'Q 必然也是一对共轭点，这就证明了近轴物点可以成像.由于θ角很小（在近轴区），可以认为弧PQ ≈PQ ，弧''Q P ≈''Q P ,且''P Q QP 和近似地垂直于主轴，P 、'P 点分别是Q 、'Q 点在主轴上的的垂足，所以s 和's 分别为近轴物点Q 的物距和像点'Q 的像距，它们满足式(2-7).近轴物点及其共轭像点到主轴的距离分别为物高和像高，用y 和'y 表示.引入横向放大率β,其定义为像高和物高之比，即 yy '≡β 式（2-11）在近轴区的条件下，i i =sin ，又由折射定律，可得''i n ni = 式（2-12）图3 单球面折射近轴物点成像即有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-'''s y n s y n 式（2-13） 由式(2-11)，可以得到横向放大率公式 sn ns ''=β 式（2-14） 3.单球面物像折射公式的应用3.1 高斯公式的推导把式(2-8)和式(2-9)代入式(2-7)可得，''''f n f n s n s n =-=- 或 1''=+sf s f 式（3-1） 此式便是普遍的物像公式，称为高斯物像公式.3.2 牛顿公式的推导如图4，在确定物点P 和像点'P 的位置后，我们把物距和像距分别从物方焦距和像方焦距算起.物点在F 之左的，物距FP 用x -表示；像点在'F 之右的，像距P F '用'x +表示.反之亦然.这样就有()()f x s -+-=- ()()'''x f s +++=图4 顶点为物方和像方焦点时的物距和像距示意图代入式(3-1)可得1'''=+++fx f f x f 即有''ff xx = 式（3-2） 此式便是牛顿公式.3.3 近轴光线单球面反射公式的推导对于反射情况，这里利用焦距和折射率的关系，从两方面入手进行讨论与推导.下面先就焦距与折射率的关系开始进行讨论.关于焦距和折射率的关系，已在上文中给出了具体的关系式，即式（2-10）. 在球面反射的情况中，物空间与像空间重合，且反射光线与入射光线的传播方向恰恰相反.这一情况，在数学处理上可以认为像方介质的折射率'n 等于物方介质折射率n 的负值，即nn -='（这仅在数学上有意义）。
几何光学的基本原理3.3
1 l
1 l
1 r
(
s l
s l
)
考虑近轴光线,进一步得到
1 s
s：物距
1 s
2 r
r：曲率半径
s'：像距
它的成像规律与介质无关．
令 令
s ,
s Байду номын сангаас ,
2 r 得 f , 2
得 f
r
;
f f
r 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 . 凹面镜
3.3 光在球面上的反射和折射
1、球面的几个概念 符号法则
球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴(光轴)：连接O、C而得的直线。 主截面：通过主轴的平面。
C
r
O
主轴
光轴 ---光学系统的对称轴
光轴
近轴光线---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
牛顿成像公式
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气 中。在近轴成像时，问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P -s1
O1
n=1.5
解：
n' s' n s n' n r
-s1
O1 R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
3.5 光在球面上的反射和折射 符号法则
2.光焦度公式：
0 会聚 n n ＝ ＝0 平面折射 r 0 发散
单位：m -1 ，称为屈光度，用 D 表示。 （共轭P176）
23
四. 棱 镜
主截面：垂直于两界面的截面. 偏向角：出射线与入射线间的交角. ＝(i1-i2 )+(i1 -i2 )= i1 +i 2 -A 最小偏向角：
A A ＝2i A , i i , i i 2 2
0 1 1 1 2 2
(i i A)
2 2
尹国盛教授河南大学物理与信息光电子学院31光线的概念32费马原理33单心光束实像和虚像34光在平面界面上的反射和折射光学纤维35光在球面上的反射和折射36光连续在几个球面界面上的折射37薄透镜38近轴物点近轴光线成像的条件39理想光具组的基点和基面310理想光具组的放大率基点和基面的性质311一般理想光具组的作图求像法和物像公式波面波面波面波面31光线的概念一光线与波面二几何光学的基本实验定律1光的直线传播定律小孔成像物体的影子2光的反射定律和折射定律3光的独立传播定律和光路可逆原理
11
5.物像之间的等光程性
物点S和像点S之间 各光线的光程都相等 （费马原理）
12
3.4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤
三. 全反射 光学纤维
四. 棱镜
13
一. 光的平面反射成像
一个平面镜是最简单的光学系统
平面反射镜是一个最简单的理想光学系 统，它不改变光束的单心性，能成完善的像。 所成的像与原物大小相同，而物和像以平面 镜为对称。
B A
极小值：图（ｂ） 光的直线传播、 光的反射定律、折射定律 极大值：图（c） 恒定值：图（a）
6
3.3 单心光束 实像和虚像
单球面折射成像公式(一)
单球面折射成像公式(一)单球面折射成像公式及其相关公式1. 折射定律•公式：n1d1+n2d2=n2−n1R•解释：折射定律描述了光线从一个介质经过界面进入另一个介质时的折射行为，其中n1和n2为光线所在介质的折射率，d1和d2为入射光线和折射光线与法线的夹角的正切值，R为介质间的曲率半径。
2. 维梅尔公式•公式：n1v1−n2v2=(n2−n1)R•解释：维梅尔公式是折射定律的一种形式，其中n1和n2为介质的折射率，v1和v2为光线在介质中的光速，R为介质间的曲率半径。
3. 焦距与物距、像距的关系•公式：1f =(n−1)(1r1−1r2)•解释：该公式描述了球面透镜的焦距与物距、像距之间的关系，其中f为焦距，n为透镜的折射率，r1和r2分别为透镜两个表面的曲率半径。
4. 薄透镜成像公式•公式：1f =1d o+1d i•解释：薄透镜成像公式描述了薄透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
5. 球面镜成像公式凸透镜成像公式•公式：1f =1d o+1d i•解释：凸透镜成像公式描述了凸透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
凹透镜成像公式•公式：1f =1d o−1d i•解释：凹透镜成像公式描述了凹透镜对光线的成像行为，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
6. 求物距、像距和焦距的公式物距公式•公式：1d i −1f=1d o•解释：物距公式描述了物体距离透镜和像距之间的关系，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
像距公式•公式：1d i +1f=1d o•解释：像距公式描述了物体距离透镜和像距之间的关系，其中f 为透镜的焦距，d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
焦距公式•公式：f=d o⋅d id o+d i•解释：焦距公式描述了透镜的焦距与物距、像距之间的关系，其中d o为物体距离透镜的距离，d i为像距。
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
几何光学-光在单球面上的折射和反射
0 0
y与y’同号 像正立 y与y’异号 像倒立
s与s’同号 一实一虚 s与s’异号 虚实相同
共轭光线与主光轴之间夹角之比 u u
M
--角放大率
y
P
u
O
u
P
C
y
s
s
u s x f u s f x n 1 给定介质,横向放大率 ns s n 与角放大率成反比 , ns s s u y ns 由 , nyu nyu s u y ns 拉格朗日—亥姆霍兹定理
垂直距离:在主光轴之上为正在主光轴之下为负
(2) 角度: 从基准线向光线转一锐角，旋转方向为顺时针 者为正,旋转方向为逆时针者为负; (3) 光路中仅标记了线量或角量的绝对值，用字母标记时 应冠以正负号。
二.由费马原理导出物像距公式 P到P 的光程: [ PMP] nPM nMP
MOC
xx f 2
焦距和光焦度
f n f n
ns ns
横向放大率
2 n r r f 2 r f 2 f 1 f s s
(1.7-27)
例1.7-1 设有一半径为3cm的凹球面,球面两侧的折射率 分别为n = 1，n’ = 1.5，一会聚光束入射到界面上，光束 的顶点在球面右侧3cm处。求像的位置。
物 像 距
n n n n s s r f f 1 s s
xx ff n n r n f r n n n f r n n
1 1 s s 1 1 s s
2 r 1 f
(1.7-22) (1.7-23) (1.7-24) (1.7-25) (1.7-26a) (1.7-26b) (1.7-26c)
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
单球面折射、共轴球面系统
3）、第二焦点(the second focal distance)
第二焦点：与无穷远处物体所对应的像点，用F2表示。 第二焦距：F2到折射面顶点的距离，用f2表示。
将u =∞代入单球面折射
公式得： F2
f2
n
4）、焦度与焦距的关系
n2 n1 r
f1
n1r n2 n1
Φ
n1 f1
n2 f2
若 n=1, 则：Φ=1/f
n1 u
n2 v
n2
r
n1
f1 u
f2 v
1
单球面折射成像公式
例题
圆柱形玻璃棒（n=1.5）的一端是半径为2cm的凸球面。 求:（1）当棒置于空气中时，在棒的轴线上距离棒端 外8cm处的物点所成像的位置。 （2）若将此棒放入水（n=1.33）中时，物距不变，像 距应是多少(设棒足够长)？
例题
有一玻璃球（n=1.5)的半径为10cm，一点光源放在 球前40cm处，求近轴光线通过玻璃后所成的像。
解：对第一折射面而言，
u1=40cm ，r=10cm,
n1=1
n1=1，n2=1.5，求v1
O P1
1 40
1.5 v1
1.5 1.0 10
P2 I I1 n2
得：v1=60cm
I1距P1为 60cm，为第二球面的虚物，故： u2=d-v1=20-60=-40cm，r=-10cm， n1=1.5 ，n2=1 , 求v2，
1.5 40
1 v2
1.0 1.5 10
得：v2=11.4cm，为实像。
nh 1 u
nh 2 v
(n 2
n1
)h r
小结：
n1 u
光学课程教学电子教案2.2光在单个球面上的折射与成像
2.2.3 轴上物点的傍轴光线成像
(5) 光在单个球面上的反射成像
球面反射成像的特点：可以看作是球面折射的一种特殊形式，不同之处仅在 于经球面反射的光线方向倒转，变为从右向左传播。
反射成像系统中像距的符号规则：若像点Q'在球面顶点O的左侧，则s'>0。 反之，s'<0。
的物距s、像距s'及折射球面S的曲率半径r时，或球面S上任意一点发出的同
心元光束的光轴与系统主光轴之间的夹角w很小时，则球面S和S'分别与过Q
和Q'点的垂轴平面重合。成像系统的物像共轭面近似简化为一对垂轴平面。
(2.2-18)
③ 傍轴光线、傍轴物条件下的物像关系
(2.2-19) (2.2-20) 结论：傍轴光线和傍轴物条件下，轴外物点与轴上物点服从同一物像关系式。 对于球面反射成像系统的傍轴物点：
r→∞时，球面→平面，球面折射和反射成像→平面折射和反射成像，且有 傍轴光线在平面上的折射成像公式：
(2.2-16)
傍轴光线在平面上的反射成像公式：
(2.2-17)
像似深度：傍轴光线在平面上折射成像时的像距s'。
说明：平面镜是唯一能够理想成像的光学系统，而球面折射、反射以及平 面折射系统则只有在近轴近似条件下才能准确成像。
r
s
s'
球面S'。
图2.2-4 离轴物点的傍轴光线成像
S上各点（如Q、Q1和Q2点）发出的同心元光束（以过该点球面法线为 主光轴）经球面折射后，均成像在S'上（如Q'、Q1'和Q2'点）。
2 光学成像的几何学原理
2.2 光在单个球面上的折射与成像
光路计算与近轴光学系统
n( 1 1 ) n'( 1 1 ) Q
rl
r l'
n' n n' n l' l r
由近轴细光束成的完善像称为高斯像
光学系统在近轴区成像性质和规律 的光学称为高斯光学或近轴光学。
第四节 球面光学成像系统
则实际光路公式可写成：
sin I L r sinU r
sin I ' n sin I n'
U' U I I' L' r(1 sin I ' )
sinU '
i lru r
i' n i n'
u' u i i' l' r(1 i' )
u'
称为近轴公式
ni
E
n’
h φC
O
r
当无限远物点发出的平行光入射时，有
u'
u
将式 l u = l’ u’ = h
代入上式
可得
u' l
u l'
上式两边乘以n’/n，并利用垂轴放大率公式，可得
n 1 n'
上式为角放大率与横向放大率之间的关系式。
角放大率表明了折射球面将光束变宽或变 细的能力，只与共轭点的位置有关，与光 线的孔径角无关
将轴向放大率与角放大率公式相乘，有：
-L
L’
（2）光线与法线的夹角，如I、I’，以光线为起始边。
I -I”
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ”
B
I’
IE
-I’
光学知识点
λ R R= =πk δλ 1 R
Dθ =
δiK k = δλ 2 nh sin i K
9.干涉问题的求解内容
（1） 求某波前上的光强分布两种方法 复振幅法和矢量图解法。 （2）求干涉条纹特征（形状、取向、间距、条纹数、位置、 反衬度、空间周期、空间频率及条纹移动情况）由极值方程确 定。
I ( P ) = I Max ， 或
因此，对双光束干涉来说，求解δ(P)或ΔL(P)是关键。
（2）多光束干涉 a 光强求法：二种 复数求和法与矢量图解法
% = A eii Ui i
b 求干涉条纹特征方法：
% % U = ∑U i
i =1
N
% % I = U *U
先求出I=I(p)，再取I(p)= I
Maxor
Imin
dI ( p) =0 或 dp
几何光学
一、几何光学三定律： 几何光学三定律： （1）光的直线传播（均匀媒质） ）光的直线传播（均匀媒质）
（2）光的反射定律（ i = i ' ） ）光的反射定律（ （3）光的折射定律（ n1 sin i1 = n 2 sin i2） ）光的折射定律（ a. 全反射、临界角 ( 光密媒质 n1→ 光疏媒质 2 ） 全反射、 光疏媒质n
dI = 0 dP
（1）双光束干涉：
在傍轴条件下，光强的分布满足：
I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ
2 = I 0 (1 + γ cos δ ) 其中 I 0 = A12 + A2 r r r δ = 2 1 = k2 r2 k1 r1 +02 01 = k0 L +0
8. 多光束干涉
3.5光在球面上的反射和折射符号法则
主讲人：尹国盛 教授 河南大学物理与信息光电子学院
1
主要内容
3.1 光线的概念 3.2 费马原理 3.3 单心光束 实像和虚像 3.4 光在平面界面上的反射和折射
光学纤维 3.5 光在球面上的反射和折射 3.6 光连续在几个球面界面上的折射
如果：n1 > n2，那么 y < y ,即像点P 位于 物点 P 的上方，视深度减小。
（渔民叉鱼） 如果：n1 < n2, 那么 y > y ,即像点P 位于
物点 P 的下方，视深度增大。
20
三. 全反射 光学纤维
1.全反射：
对光线只有反射而无折射的现像。
当光从光密介质n1射向光疏介质
n2（<n1）时，i1 i2 i1 ＝ic
18
∵ 单心光束的波面是球面， ∴ 在平面界面上折射后，波面的形状发生 变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直 的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。
② 当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于 界面时,有 x ＝0 ， y = y1 = y2 = y n2 n1 。
19
这表明 y 近似地与入射角 i1 无关，则折 射光束是近似单心的，y 称为像视深度，y 为 物的实际深度。
25
例题3.1 人眼前一小物体，距人眼25cm，今 在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃 板，玻璃板的折射率为1.5 ，厚度为5mm。 试问此时看小物体相对它原来的位置移动多 远？
解：利用 P162 L 3.1 的结果，
PPˊ= d ( 1-1/n )
可得：
s = 5×（1－1/1.5）= 5/3≈1.67（mm)
难点单球面折射成像的原理
n1 n2
f1
f2
10
可见，对同一折射面，尽管其两侧的焦 距不相等，但是其焦度相等。 若用ｒ／（ｎ２－ｎ１）乘以单球面折射 公式的两端，就可得 近轴光线单球面折射成像的高斯公式 ：
f1 f2 1
u
11
[例题11-l] 圆柱形玻璃棒(n=1.5)的一 端为半径是2cm的凸球面。
(1)求当棒置于空气中时，在棒的轴 线 上 距 离 棒 端 外 8cm 处 的 物 点 所 成 像的位置。
ｎ１·ｉ１＝ｎ２·ｉ２
由图可知 i1 ＝ α+θ， θ＝ｉ２+β，即ｉ ２＝ θ+ β，代入上式，整理得
ｎ1·α+ n2·β= ( n2 - n1 )θ
4
由于α、β、θ都很小，它们的正切 值可以用其角度的弧度值代替，则
AP，
u
ＡＰ，
AP
ｒ
代入上式，并消去ＡＰ后，有
n1 n2 n2 n1
第十四章 几 何 光 学 重点：
1、掌握单球面折射成像的原理、计 算方法和符号规则。
2、掌握共轴球面系统、薄透镜成像 的规律和基本公式。
3、掌握光学显微镜的分辨本领和放大 率；了解医学上常用的几种显微镜。
4、了解眼睛的光学系统，非正视眼 屈光不正的矫正。
难点：单球面折射成像的原理、计算
方法和符号规则。
(2)若将此棒放入水(n=1．33)中时， 物距不变，像距应是多少(设棒足够 长)?
12
13
[例题11-2] 从几何光学的角度来看， 人眼可简化为高尔斯特兰简化眼模型。 这种模型将人眼成像归结成一个曲率半 径为5.7mm、媒质折射率为1.333的单球 面折射成像。
(1)试求这镜的第一节点； N2——厚透镜的第二节点。
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于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它 表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表示：
n'n
(16)
r
当r以米为单位时， 的单位称为折光度，以字母D表 示。例如，n´=1.5，n=1.0，r=100mm的球面，= 5D.
单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为
n' n
(17)
f f
作业(1):一个折射率为1.5的玻璃哑铃，长为20cm，两端 的曲率半径为2.0cm．若在离哑铃左端５.0cm处 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。
作业
习 题：
P277 5-7
预 习： P257---259 单个折射球面成像性质 P262---263 球面反射成像
再见
§5.5 单个折射球面近轴区成像性质 (放大率公式)
l' f ' n' r
(12)
n'n
同理有球面的第一主焦点F及第一主焦距f，且
f n r n'n
(13)
f ' n' fn
二.高斯公式和牛顿公式
f ' f 1 l l
(14)
x x f f
(15)
三.光焦度
n' n n'n l' l r
式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对
为高斯像。高斯像的位置由l´决定，通过高斯像点
垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系
的这一对点，称为共轭点。
显然，对于近轴点，如下关系成立：
h lu lu
(8)
§1.4 单个折射球面近轴区成像
将（6）式中的第一、第四式i和i´代入第二式，并利用 （8）式，可以导出以下三个重要公式：
n 1 1 n' 1 1 Q
(9)
r l r l'
n'u'nu n'n h
(10)
r
n' n n'n
(11)
l' l r
一.物像公式
若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=－∞，此时入 射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F点，如图 所示。这个特殊点是轴上无限远物点的距，用f´表示。将l=－∞代入（11）式可得
∵ ABC 相似于 A'B'C
∴ y' / y (l' r) / r l
利用 n' (1/ r 1/ l' ) n(1/ r 1/ l) 若 n n' 无界面
l l' 1 未成像，无意义
l' r n l' y' r l n l y
一、单折射球面近轴区成像光路图
B
n
n'
E
y
A u
h
oD
cu
A' y'
B'
r
l
l'
对B点的物点而言，BB´相当于其光轴（辅轴） ，那么 B一定成像于B´点。AB上每一点都如此，那么，A´B´就 是AB的完善像。
B
n
n'
E
y
1.垂轴放大率 定义 ＝y' / y
A u
h
oD
r
cu
A' y'
B'
l
l'
i lru r
i' n i
n'
(6)
u' i u i'
l' r r i'
当光线平行于光轴时，（5）式变为：
i h
(7)
r
由（6）式中可以看出，当u角改变k倍时， i,i´,
u´亦相应改变k倍，而l´表示式中的i´/u´保持不变，
即l´不随u角的改变而改变。即表明由物点发出的一
束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称
化简后得 L r r sin I sinU
(4)
(1)式～（4）式就是计算含轴面（子午面）内
光线光路的基本公式，可由已知的L和U 通过上 列四式依次求出U′和L′。由于折射面对称于 光轴，对于轴上点A 发出的任一条光线，可以
表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线 的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同 一点。
由公式可知，当L为定值时，L是角U的函数。 若A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线 具有不同的U角值，所以光束经球面折射后， 将有不同的L值，也就是说，在像方的光束不 和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当 轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善 的，这种成像缺陷为像差。
在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物 方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的 光束是平等于光轴的平等光束，即L=－∞，U=0， 如下图所示。此时，不能用（1）式计算入射角 I，而入射角应按下式计算
（优选）符号法 则单个折射球面
成像
一、 基本概念与符号规则
设在空间存在如下一个折射球面：
r : 折射球面曲率半径
o : 顶点
L : 物方截距
L' : 像方截距
U : 物方孔径角 U ' : 像方孔径角
符号规则：光线方向自左向右
（1） 沿轴线段： 以顶点O为原点，光线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。
（2） 垂轴线端： 光轴以上为正，光轴以下为负
（3） 光线与光轴夹角： 由光轴转向光线锐角，顺时针为正， 逆时针为负。
（4） 光线与折射面法线的夹角： 由光线经锐角转向法线，顺时针为 正，逆时针为负。
（5） 光轴与法线的夹角： 由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。
（6） 折射面间隔 ： d 由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。
sin I h
(5)
r
h为光线的入射高度。
三.近轴光的光路计算公式
如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的 光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U 角很小，其相应的I、I´、U´等也很小，这时这些角 的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,i,i´, u´来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1） 式～（4）式得到
不同教材对符号有不同的规定，自成体系 只要按某种规则计算，就要始终如一，这 样才不致影响计算结果。
上－－正 顺－－正
下－－负 线段 逆－－负
光轴 光线 法线 角度
二、单个折射球面的光路计算公式
光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面
的结构参量n、n′和r，由已入射光线坐标L 和U，计算折射后 出射光线的坐标L′和U′。
在△AEC中，应用正弦定理有
sin(U ) sin(180 I ) sin I
r
rL
rL
Lr
或 sin I
s in U
(１)
由折射定律得
sin
r I
n
sin I
(２)
n
由图可知
I U IU
所以
U I U I
(3)
同样，在△A′EC中应用正弦定理
sinU sin I r L r