2005年第一届北方数学奥林匹克邀请赛试题及解答重点
2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题答案(pdf)
２００５年北方数学奥林匹克数学邀请赛试题解答Linchang一.AB 是圆O 的一条弦，它的中点为M ，过M 作一条非直径的弦CD ，过C 和D 作圆O 的两条切线，分别与直线AB 相交于,P Q 两点．求证：.PA QB =证:由于CD 过M,C 与D 在直径OM 的两侧,故P 与Q 在直线AB 上位于线段AB 外的不同侧.OM ⊥AB,OC ⊥PC,故O,M,C,P 四点共圆,∠OPM=∠OCM,同理∠OQM=∠ODM.但OC=OD,∠OCM=∠ODM.因此∠OPM=∠OQM, OP=OQ,从而 PM=QM, PA=QB.二.定义在R 上的函数()f x 满足：１.()00f =；２.对任意()(),,11,x y ∈−∞−∪+∞，都有111x y f f f x y xy ⎛⎞⎛⎞+⎛⎞+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠； ３.当()1,0x ∈−时，都有()0.f x >求证；21111...19297112f f f f n n ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++>⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠，其中*n N ∈． 解: x>1时(x+1)/(x-1)>1.对任意的x,y>1,根据条件2,有1111111()()()()11111111x y x y xy x y f f f f x y x y xy x y +++−−−−−+==++++++−−.由此对n 归纳可证:当x 1,x 2,...,x n >1时成立等式 121121...1()(1 (1)n k n k k n x x x x f f x x x x =−−=++∑ 现在令x k =(k 2+7k+12)/(k 2+7k+10), 则 (x k -1)/(x k +1)=1/(k 2+7k+11).故题中不等式的左边就等于f((x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)).由于x k =(k+3)(k+4)/(k+2)(k+5),连乘约分得x 1x 2…x n =5(n+3)/(3(n+5)),(x 1x 2…x n -1)/(x 1x 2…x n +1)=n/(4n+15)=(2-u)/(1-2u),其中u=(7n+30)/(2n+15)>1. 最后根据条件3,f(-1/u)>0,所以,左边等于f(n/(4n+15))=f(1/2)+f(-1/u)> f(1/2).顺便指出:题目中的条件1是多余的.又容易证明f(x)在(-1,0),(0,1)中递减,可以得到更强的结果:2111()().7114n k f f k k =>++∑ 三.在公差为d ()0d >的正数等差数列()123,,...2n a a a n ≥中，任取2n +个数，证明其中必存在两个数,i j a a ()i j ≠，满足不等式1 2.i ja a nd −<<证: (a i -a j )/nd=(i-j)/n.因此只要证明:从集合{1,2,3,…,3n-1,3n}中任取n+2个元素u 1<u 2<…<u n+2 ,必有1≤i<j ≤n+2使得n+1≤u j -u i ≤2n-1.注意u 1≥1,u n+2≤3n, u n+2-u 1≥n+1.1).如u n+2≤2n,则n+1≤u n+2-u 1≤2n-1,1与n+2为所求.2).如u n+2≥2n+2,所有小于u n+2的数可分为n+1个抽屉: (1, u n+2-n),(2, u n+2-n+1),…, (n, u n+2-1),{n+1,n+2,…, u n+2-n-1}.若有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则u n+2-u i ≥u n+2-( u n+2-n-1)=n+1, u n+2-u i ≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与n+2为所求.若没有u i ∈{n+1,n+2,…, u n+2-n-1},则n+1个数u 1,u 2,…,u n+1全在前n 个抽屉中,必有两数u i <u j 在同一抽屉中,每个抽屉的两数之差都是u n+2-n-1,由于u n+2-n-1≥2n+2-(n+1)=n+1 , u n+2-n-1≤3n-(n+1)=2n-1,故i 与j 为所求.3).最后,若u n+2=2n+1,分n 个抽屉(1,n+2),(2,n+3),…,(n-1,2n),(n,n+1).同上必有两数u i <u j 在同一抽屉中.如在前n-1个抽屉之一,它们的差为n+1,i 与j 为所求;如在最后一个抽屉, u n+2与u i =n 的差为n+1,i 与n+2为所求.四.已知n 位数的各位数字只能取集合{}1,2,3,4,5中的元素，设含有数字５且在５的前面不含３的n 位数个数为()f n ,求()f n ．解:一位数只有一个(即5),故f(1)=1.n ≥2时n 位数的末位数字有两种可能:1).末位不是5,有4种取法,前n-1位是题目要求的n-1位数,这种n 位数的个数是4f(n-1).2).末位是5,前n-1位可在{1,2,4,5}中任取,这种n 位数的个数是4n-1. 于是得到递推关系f(n)=4f(n-1)+4n-1 (n ≥2). 令f(n)=4n-1g(n), 代入得g(1)=1, g(n)=g(n-1)+1 (n ≥2).故g(n)=n,f(n)=n ·4n-1.五.如果三个正实数,,x y z 满足：2225,4x xy y ++=2236y yz z ++=，221694z zx x ++=．求xy yz zx ++的值． 解:从一点O 作三条线段OA=x,OB=y,OC=z 并使两两的夹角为120°.由已知条件用余弦定理得AB=5/2,BC=6,CA=13/2.因为(5/2)2+62=(13/2)2,ABC 是直角三角形.由面积关系列式:1/2·5/2·6=1/2·(xy+yz+zx)·sin120°,故.六．设0,2π≤α,β,γ≤222cos cos cos α+β+γ=1，求证： ()22421cos sin ≤+αα()2241cos sin ++ββ+()2241cos sin +γγ()()()2221cos 1cos 1cos .≤+α+β+γ 证:记x=2cos α,y=2cos β,z=2cos γ,注意到422sin (1cos )αα=−,本题等价于x+y+z=1, x,y,z ≥0时证明不等式2≤(1-x 2)2+(1-y 2)2+(1-z 2)2≤(1+x)(1+y)(1+z).以下∑表示对x,y,z 循环求和,并记u=xy ∑,v=xyz.我们有∑x 2=1-2u, ∑x 4=(∑x 2)2-2∑x 2y 2=(1-2u)2-2(u 2-2v)=1-4u+2u 2+4v, (1+x)(1+y)(1+z)=2+u+v. 故∑(1-x 2)2=3-2∑x 2+∑x 4=2+2u 2+4v ≥2.(等号仅当x,y,z 中一个为1,两个为0时成立). 而(1+x)(1+y)(1+z)-∑(1-x 2)2=u(1-2u)-3v=u ∑x 2-3v,∑x 2≥(x+y+z)2/3=(x+y+z)/3≥v 1/3 ,u ≥3v 2/3. 所以u ∑x 2≥3v ,此即右边的不等式.等号仅当x=y=z=1/3时成立.。
2005年全国初中数学联赛试题及答案2005年全国初中数学联赛试题及答案
2005年全国初中数学联赛试题及答案一、选择题：(每题7分，共42分) 111459+302366402＋－－A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、1023、设r ≥4，a ＝11r r+1－，b 11r r+1，c ＝1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。
A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A 、5B 、6C 21252－πD 21162－π5、已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示， y 教案探究经书的真意试卷试题即使冒记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则＿＿。
化学教案肋中豁然化学教案不为外物侵乱化学A 、p>qB 、p ＝qC 、p<qD 、p 、q 大小关系不能确定 0 1 x 6、若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345x +x +x +x +x 的未位数字是＿＿。
A 、1 B 、3 C 、5 D 、7二、填空题(共28分)1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2，则x ＝＿＿＿。
3、若实数x 、y 满足3333y x =1,3+43+6＋3333y x =1,5+45+6＋则x ＋y ＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＞B ＞C ，用a 表示A －B ，B －C 以及90°－A 中的最小者，则a 的最大值为＿＿＿。
2005-2006年全国小学奥林匹克预赛试卷
2005全国数学奥林匹克决赛试题(A)1. 计算＝_____．2. 计算＝_____．3. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？4. 设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN是自然数N的各位数字之和。
又记M*N是M除以N的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是多少？5. 如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是？6. 某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？7. 已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？8. 在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是多少？9. 有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？10. 从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？11. 有A、B、C、D、E五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。
当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名获胜场数平局场数失败场数进球个数失球个数A21041B12042C11123D10355E02115已知A与E以及B与C都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B与D两队之间的比分是多少？12. 一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。
客车每小时行驶32千米，面包车每小时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点，返回时的速度，客车第小时增加8千米，面包车每小时减少5千米。
2005小学数学奥林匹克试题和解答
2005小学数学奥林匹克试题和解答PAGE1-NUMPAGES152005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设ab表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992996)(996498)＝______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。
6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。
那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。
这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。
把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。
如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。
12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案
2005全国数学奥林匹克决赛试题及参考答案1、 计算：11024 +1512 +1256 + (12)+1+2+4+8+……+1024= 2、 计算：1+10+41035 +22463 +15199 +17143= 3、有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是（ ）。
4、设M 、N 都是自然数，记PM 是自然数M 的各位数字之和，PN 是自然数N 的各位数字之和。
又记M*N 是M 除以N 的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是（ ）。
5、如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG 的面积是（ ）。
6、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是（ ）。
7、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了（ ）升。
8、在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是（ ）。
9、有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的（ ）倍。
10、从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
如果六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是（ ）。
11、有A 、B 、C 、D 、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。
当比赛快要结束时，统计到的成绩如下：队名 获胜场数 平局场数 失败场数 进球个数 失球个数A 2 1 0 4 1B 1 2 0 4 2C 1 1 1 2 3D 1 0 3 5 5E 0 2 1 1 5已知A 与E 以及B 与C 都赛成平局，并且比分都是1：1，那么B 与D 两队之间的比分是（ ）。
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题[1]-2
![2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题[1]-2](https://img.taocdn.com/s3/m/262faccd227916888586d7ce.png)
2005年小学数学奥林匹克竞赛五年级组试题（卷）1、填空：（每题4分，计24分）（1）A、1991+199.1+19.91+1.991=_______。
B、1995+1996+1997+1998+1999+2000 +2001+2002+2003+2004=_______。
（2）某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人至多参加两科，那么参加两科的最多有_______人。
（3）五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是________。
（4）大桥全长1200米，火车全长300米。
火车以每秒20米的速度在桥上行驶，火车从上桥到离桥需要________秒钟。
（5）探究之旅：从2开始，连续个偶数之和为2+4=6=2×3；2+4+6=12=3×4；2+4+6+8=20=4×5……，则连续n个偶数之和应为2+4+6+8+ ……=________。
则2+4+6+8+ ……+1000=___________。
2、最佳地址选择问题：如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？（6分）居民区A 。
街道______________________________。
居民区B3、拼图与计算：用4块同样大小的长方形板，拼成一个正方形后，中间空出的小正方形面积是25平方厘米，已知长方形的长为11厘米，那么每个长方形板的面积是多少？并画出拼图示意图。
（5分）4、爷爷的面积问题。
有一天，爷爷打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32米，南北宽21米的长方形，为了行走方便要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路（如图一），余下的部分要种上西红柿，设道路宽为0.5米，爷爷让小明算一下，用于种菜的面积是多少？（10分）长32m宽0．5m545里，沿岸每小时25里。
2005年小学数学奥林匹克预赛题解析
解一题一方一法一一∞２００５年一鼍学数学奥耥匹竟预赛题解新２００５年小学数学奥林匹克预赛试题，突出体现了基础性、发展性和挑战性，难易适中，有利于调动参与者的积极性。
本文就其中的几道题解析如下，与同行共商。
题目１图中大长方形分别由面积为１２平方厘米、２４平方厘米、３６平方厘米、４８平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为。
１２二／／ｒ‘４８１４分析此题旨在从多方面对学生进行综合性考查：①对“积的变化规律”等知识点理解的深度；②图形变换能力；⑧假设思想方法掌握情况。
解把上面的两个小长方形和下面的两个小长方形分别看作较大的长方形，由“积的变化规律”知，在长相等（不变）的情况下，下面长方形的宽是上面长方形宽的（２４＋４８）÷（１２＋３６）＝１．５倍。
由此知，（如下图）Ｄ的面积是２４＋１．５＝１６（平方厘米）。
把Ｄ分成左、右两个小长方形，则右边的小长方形的面积是１６—１２＝４（平方厘米１。
根据上、下两个较大长方形宽的倍数关系，假设上面较大长方形的宽是２厘米，则下面较大长方形的宽是２ｘ１．５＝３（厘米）。
由此知，阴影三角形的底（公用）是４÷２＝２（厘米）。
陕西宝鸡市教师进修学校宫正升ＤＢＣＡ故知，图中的阴影面积为２ｘ２＋２＋２ｘ３÷２＝５（平方厘米）题目２某班在一次数学测验中，平均成绩是７８分，男、女各自平均成绩是７５．５与８１分。
这个班男女生人数之比是分析此题旨在考查学生对求平均数基本思路的掌握情况。
解求平均数的基本思路是移多补少。
由题意知，男生的平均成绩比男女生平均成绩少７８—７５．５＝２．５（分），而女生的平均成绩比男女生平均成绩多８１—７８＝３（分）。
将女生５人多出的分数补给男生６人，可使这６名男生的成绩达到男女生的平均成绩。
故知，这个班男女生人数之比是６：５。
题目３将＋、一、Ｘ、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是。
2005联赛答案
2005年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：(每题7分，共42分)1、化简：11459+302366402＋＋－－的结果是＿＿。
A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数 解：1111459+302366402450+24509350280016=++＋＋＋－－＋－－111175275214495045233524752752+====--++－＋＋＋＋－＋－所以选D2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A 、78.5 B 、97.5 C 、90 D 、102 解：由题意得：52＋142－2×5×14×cos α＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α) ∴221－140cos α＝221＋220 cos α ∴cos α＝0 ∴α＝90°∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90 ∴选C3、设r ≥4，a ＝11rr+1－，b ＝11r r+1－，c ＝1r(r +r+1)，则下列各式一定成立的是＿＿。
A 、a>b>cB 、b>c>aC 、c>a>bD 、c>b>a 解法1：用特值法，取r=4，则有a=1114520=－，b ＝()252515525 1.03625102020--==≈－ ， c ＝()552152 1.18420204(2+5)--==≈∴c>b>a ，选D 解法2：a ＝()11111rr r r =++－， b ＝()()()11111111r r r r r r r r r r+-==+++++－ c ＝1r(r +r+1)5101114180︒-αα()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4,11111111111111,111110111,:,Dr r r r r r rr r r r r rr r r r r r r r r r a br r r r r r rr rr r r r r r r r rrb c a b c≥∴+-+++⎡⎤=++-+-⎣⎦⎡⎤=+-+-->⎣⎦∴+>+++<+++-++=+++->∴+++>++<<< 故又 故综上所述选 解法3：∵r ≥ 4 ∴111r r ++＜1∴111111111a b rr r r r r ⎛⎫⎛⎫=+-<-=⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭c ＝111111r r r r b r r r r r +-+->=-=++∴a<b<c ，选D4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
0(i = 1, 2, . . . , n),则显然有a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn 0, ai −a1 > 0(i = 2, 3, . . . , n). ∴
√ sin ∠F AE FE AD 由正弦定理 sin AE 2 − AD2 = 5, ∠DAE = DE × AF .其中DE = √ √ F E = F D − DE = AF 2 − AD2 − DE = m2 − 122 − 5 > 0. ∴ m > 13, 且∠A为锐角等价于 ∠A为直角等价于 ∠A为钝角等价于 解得当13 < m < 当m = 当m >
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
zk ∈A 2 , yk A,x2 k 4 2 1 √
1 4 ,即
2 x2 k + yk 2 x2 k + yk
√
2xk . yk |
zk ∈A zk ∈A
2005年小学数学奥林匹克竞赛六年级组试题(卷)
解法2：25分钟后大和尚挑水返回3次，共挑水180千克，小和尚挑水返回5次，共挑水100千克，大、小和尚共挑水280千克。
老和尚要等到水缸中已足够他挑一担(50千克)时才开始工作，若水缸中的水少于50千克，那就等到够挑一担。
所以老和尚至多挑水5次去浇菜，共挑水250千克，所以25分钟后水缸中有30千克水。
那么时间上能不能保证让老和尚挑水5次去浇菜呢？由题意知：10分钟后，大和尚挑水返回一次，小和尚挑水返回二次，共挑水100千克，老和尚刚好挑水2次去浇菜，因此考虑等待时间，老和尚每次挑50千克水，实际浇一次菜平均需要5分钟，25分钟能保证让老和尚挑水5次去浇菜，休解法合情合理。
34陕北某村有一块草场，假设每天草都均匀生长，长的一样快。
这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。
问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为响应西部大开发，保护生态环境，防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？羊吃草问题就是传统的牛顿问题，解题关健是要抓住原有的和新增加的量，通常用折算法求解较为方便. 解法1、100只羊吃草200天=牧场中原有的和200天新长出的草=1只羊吃20000天的草，150只羊吃草100天=牧场中原有的和100天新长出的草吃=1只羊吃15000天的草，两者之差就是100天新长出的草=1只羊吃5000天的草，1天新长出的草=1只羊吃50天的草=50只羊吃1天的草，即每天新长出的草刚好够50只羊；牧场中原有的草=1只羊吃15000天的草－100天新长出的草（1只羊吃5000天的草）=1只羊吃10000天的草，250只羊1天的草－1天(当天)新长出的草=200只羊1天的草=1只羊吃200天=原有的草的一部分，牧场中原有的草=1只羊吃10000天 , 放牧250只羊可以吃多少天？要用10000÷200=50天。
解法2、每天新长出的草=50只羊可当天吃完，也就是说不管吃草天数多长，放牧多少只羊，专用50只羊可吃掉每天新长出的草，放牧250只羊中将会有200只专用来吃掉原有的草，牧场中原有的草=1只羊吃10000天=200只羊吃50天，就是答案，即放牧250只羊可以吃50天。
历届北方数学奥林匹克试题
目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a 2+(b+c )2+b 2+92b 2+(c+a )2+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+132�⋯�1+13n�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。
历届北方数学奥林匹克试题
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+b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 或1 a 5 ． 3
2 2
1 7 3a 2 − 4a + 1 = ( 3a − 1)( a − 1) ， 解： f ( x ) 在 ( 0, + ) 上定义，又 2a + a + 1 = 2 a + + 0； 4 8
仅当 a 1 或 a
1 () 时， 3a 2 − 4a + 1 0． 3
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答案：B． 解：将正方体切去两个正三棱锥 A − ABD与 C − DBC 后 ， 得 到 一个 以平 行 平 面 ABD与DBC 为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面 多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行， 将 V 的侧面沿棱 AB 剪开， 展平在一张平面上，得到一个平行四边形 ABB1 A1 ，而多边形 W 的周界展开后便成 为一条与 AA1 平行的线段（如图中 E E1 ） ，显然 E E1 = AA1 ，故 l 为定值． 当 E 位于 AB 中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W 为正三 角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为 定值．
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 62．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．三、解答题：A'B'C'D'DCBA45°ADCB13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！2005年全国高中数学联赛试卷(2005年10月16日上午8∶00－9∶40)一、选择题：1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是 ( ) A ．6－ 3 B ． 3 C ．6+ 3 D ． 6 选D ．解：3≤x ≤6，令x －3＝3sin α(0≤α≤π2)，则x ＝3+3sin 2α，6－x ＝3cos α．故6≥3(sin α+cos α)≥3．故选D ．2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值( ) A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 选A ．解：→AB +→BC +→CD +→DA ＝→0．DA 2＝→DA 2＝(→AB +→BC +→CD )2＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BC +→AB ·→CD +→BC ·→CD )＝AB 2+BC 2+CD 2+2(→AB ·→BD +→BC ·→BD －→BC 2)，(其中→BC +→CD ＝→BD ，→CD ＝→BD －→BC ) ＝AB 2+BC 2+CD 2－2BC 2+2(→AC ·→BD )．故2→AC ·→BD ＝DA 2+BC 2－AB 2－CD 2＝92+72－32－112＝0⇒→AC ·→BD ＝0．选A ．3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8 选A ．解：AA 1·cos A 2＝2sin(B +A 2)cos A2＝sin(A +B )+sin B ＝sin C +sin B ．AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cos C2＝2(sin A +sin B +sin C )．故原式＝2．选A ．4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( )A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 选B ．解：设截面在底面内的射影为EFBGHD ，设AB ＝1，AE ＝x (0≤x ≤12)，则l ＝3[2x +2(1－x )]＝32为定值；而S ＝[1－12x 2－12(1－x )2]sec θ＝(12－x －x 2)sec θ(θ为平面α与底面的所成角)不为定值．故选B ．ACBA1B 1C 1IE FGHA'B'C'D'D CB A5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 选C ．解：由于3+2＞π⇒π2＞3－π2＞π2－2＞0⇒cos(3－π2)＜cos(π2－2)⇒sin 2－sin 3＞0；又，0＜2＜3c ＜π⇒cos 2－cos 3＞0，⇒曲线为椭圆． sin 2－sin 3－(cos 2－cos 3)＝2[sin(2－π4)－sin(3－π4)]．而0＜2－π4＜3－π4＜π2⇒sin 2－sin 3＜cos 2－cos 3⇒焦点在y 轴上．故选C ．6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+374选C ．解：M ＝{174(a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4)| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，a 1×73+a 2×72+a 3×7+a 4可以看成是7进制数，(a 1a 2a 3a 4)7，其最大的数为(6666)7＝74－1＝2400．从而从大到小排列的第2005个数是2400－2004＝396，即从1起从小到大排的第396个数，396＝73+72+4⇒(1104)7，故原数为17+172+073+474．故选C ．二、填空题：7．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ；填521+16解：f (x )＝a 0+a 1(x －4)2+a 2(x －4)2+…+a 20(x －4)20．令x ＝5得f (5)＝1－5+52－53+…－519+520＝(－5)21－1(－5)－1＝521+16＝a 0+a 1+…+a 20．8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围是 ；填(0，13)∪(1，5)．解：⎩⎨⎧2a 2+a +1＞0，3a 2－4a +1＞0．⇒a ∈(－∞，13)∪(1，+∞)．2a 2+a +1＞3a 2－4a +1⇒a 2－5a ＜0⇒0＜a ＜5． 故所求取值范围为(0，13)∪(1，5)．9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝ ；填43π． 解：由f (x )≡0，得f (－α)＝f (－β)＝f (－γ)＝0：cos (β－α)+cos(γ－α)＝cos(β－α)+cos(γ－β)＝cos(γ－α)+cos(γ－β)＝－1． 故cos(β－α)＝cos(γ－β)＝cos(γ－α)＝－12，由于0＜α＜β＜γ＜2π，故β－α，γ－β，γ－α∈{23π，43π}．从而γ－α＝43π．10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝ ；填3．解：V ＝13×12AC ×BC sin45︒×h ≤16AC ×BC ×AD sin45︒．即AC ×BC ×AD sin45︒≥1⇒AC2×BC ×AD ≥1．而3＝AD +BC +AC2≥33AD ·BC ·AD2＝3，等号当且仅当AD ＝BC ＝AC2＝1时成立，故AC ＝2，且AD ＝BC ＝1，AD ⊥面ABC ．⇒CD ＝3．11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为 ；填80．解：设正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在直线上． 设直线AB 方程为y ＝2x +b ， ⑴ 求AB 交抛物线y ＝x 2的弦长：以y ＝2x +b 代入y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0．△＝4+4b ⇒l ＝25(b +1)．⑵ 两直线的距离＝|b +17|5．⑶ 由ABCD 为正方形得，25(b +1)＝|b +17|5⇒100(b +1)＝b 2+34b +289⇒b 2－66b +189＝0． 解得b ＝3，b ＝63．正方形边长＝45或165⇒正方形面积最小值＝80．12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝ ．填52000．解：一位的吉祥数有7，共1个；二位的吉祥数有16，25，34，43，52，61，70，共7个；三位的吉祥数为x 1+x 2+x 3＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，有C 82＝28个(也可枚举计数)．一般的，k 位的吉祥数为x 1+x 2+…+x k ＝7的满足x 1≥1的非负整数解数，令x i '＝x i +1(i ＝2，3，…，k )，有x 1+x 2'+…+x k '＝7+k －1．共有解C k +5k －1＝C k +56组．45°ADCB4位吉祥数中首位为1的有28个，2005是4位吉祥数中的第29个．故n ＝1+7+28+28+1＝65．5n ＝325．C 66+C 76+C 86+C 96+C 106＝1+7+28+84+210＝330．即是5位吉祥数的倒数第6个：5位吉祥数从大到小排列：70000，61000，60100，60010，60001，52000，…． 三、解答题：13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数． 证明：⑴ a 1＝5，且a n 单调递增．所给式即 (2a n +1－7a n )2＝45a n 2－36⇒a n +12 －7a n +1a n +a n 2+9＝0． ①下标加1： a n +22 －7a n +2a n +1+a n +12+9＝0． ②相减得： (a n +2－a n )(a n +2－7a n +1+a n )＝0．由a n 单调增，故a n +2－7a n +1+a n ＝0⇒a n +2＝7a n +1－a n ． ③因a 0、a 1为正整数，且a 1＞a 0，故a 2为正整数，由数学归纳法，可知，对任意n ∈N ，a n 为正整数．⑵ 由①：a n +12 +2a n +1a n +a n 2＝9(a n +1a n －1)⇒a n +1a n －1＝(a n +a n +13)2④由于a n 为正整数，故a n +1a n －1为正整数，从而(a n +a n +13)2为正整数．但a n 、a n +1均为正整数，于是a n +a n +13必为有理数，而有理数的平方为整数时，该有理数必为整数，从而a n +a n +13是整数．即a n +1a n －1是整数的平方，即为完全平方数．故证．原解答上有一段似无必要：记f (n )＝a n +1a n －(a n +a n +13)2，则f (n )－f (n －1)＝(a n +1a n －a n a n －1)－19(2a n +a n +1+a n －1)(a n +1－a n －1)＝19(a n －1－a n +1)(a n +1－7a n +a n －1)＝0．即f (n )＝f (n －1)＝…＝f (0)＝1，故④式成立．故a n a n +1－1为完全平方数．又证：由上证，得③式后：a n +2－7a n +1+a n ＝0．特征方程为 x 2－7x +1＝0．解得： x ＝7±352＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3±522＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5±124．令 a n ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +β⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n．由a 0＝1，a 1＝5解得 α＝5+125，β＝5－125； 得 a n ＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1] ⑤注意到5+12·5－12＝1，5+12+5－12＝5． 有， a n a n +1－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +1]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +5+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +5]－1＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－128n +6+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124－5]＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3]2由二项式定理或数学归纳法知⎝⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3为k 5型数(k ∈N *)，故a n a n +1－1为完全平方数． (用数学归纳法证明：n ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+123+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－123＝25．设当n ≤m (m ∈N *)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124n +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124n +3＝k n 5(k n ∈N *)，且k 1＜k 2＜…＜k m ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124(m +1)+3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124(m +1)+3＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m +3+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124m +3]·[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124+⎝ ⎛⎭⎪⎫5－124]－[⎝ ⎛⎭⎪⎫5+124m －1+⎝⎛⎭⎪⎫5－124m －1]． ＝7k m 5－k m －15＝(7k m －k m －1)5．由归纳假设知k m +1＝7k m －k m －1∈N *，且k m ＜k m +1成立． 得证．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)解：9个有编号的小球放在圆周的九个九等分点上，考虑镜面反射的因素，共有8!2种放法；为使S 取得最小值，从1到9之间应按增序排列：设从1到9之间放了k 个球，其上的数字为x 1，x 2，…，x k ，则|1－x 1|+|x 1－x 2|+…+|x k －9|≥|1－x 1+x 1－x 2+…+x k －9|＝8．当且仅当1－x 1、x 1－x 2、…、x k －9全部同号时其和取得最小值，即1，x 1，x 2，…，x k ，9递增排列时其和最小．故S ≥2×8＝16．当S 取得最小值时，把除1、9外的7个元素分成两个子集，各有k 及7－k 个元素，分放1到9的两段弧上，分法总数为C 70+C 71+…+C 76种，考虑镜面因素，共有64种方法．所求概率P ＝64×28!＝1315．15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AEEC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BF FC＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (x 0，y 0)，CDCP＝λ，点P 坐标为(x ，y )．由AE EC ＝λ1⇒AC CE ＝1+λ1，同理，CBCF＝1+λ2； 而CA CE 、CD CP 、CBCF成等差数列(过A 、B 作CD 的平行线可证)． 得2λ＝1+λ1+1+λ2＝3，即λ＝32．从而点P 为△ABC 的重心．x ＝1+0+x 03，y ＝1+(－1)+y 03．y 0＝x 02．解得x 0＝3x －1，y 0＝3y ，代入y 0＝x 02得，y ＝13(3x －1)2． 由于x 0≠1，故x ≠23．所求轨迹方程为y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．又解：过点A 的切线方程为y ＝2x －1．交y 轴于点B (0，－1)．AB 与x 轴交于点D (12，0)．设点C 坐标为C (t ，t 2)，CD 方程为x －12t －12＝y t 2，即y ＝t 22t －1(2x －1)．点E 、F 坐标为E (1+λ1t 1+λ1，1+λ1t 21+λ1)；F (λ2t 1+λ2，λ2t 2－11+λ2)．从而得EF 的方程为：y －1+λ1t 21+λ1λ2t 2－11+λ2－1+λ1t 21+λ1＝x －1+λ1t1+λ1λ2t 1+λ2－1+λ1t1+λ1． 化简得：[(λ2－λ1)t －(1+λ2)]y ＝[(λ2－λ1)t 2－3]x +1+t －λ2t 2． ① 当t ≠12时，直线CD 方程为： y ＝2t 2x －t22t －1 ②联立①、②解得⎩⎨⎧x ＝t +13，y ＝t 23． 消去t ，得点P 的轨迹方程为y ＝13(3x －1)2．当t ＝12时，EF 方程为：－32y ＝(14λ2－14λ1－3)x +32－14λ2，CD 方程为：x ＝12，联立解得点(12，112)，此点在上述点P 的轨迹上，因C 与A 不能重合，故t ≠1，x ≠23．故所求轨迹为 y ＝13(3x －1)2(x ≠23)．加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．证明：连DC 、DE ，作∠BAC 的平分线交DE 于点I ，交CD 于G ． 由AD ＝AC ，∠DAI ＝∠CAI ，AI ＝AI ⇒△ADI ≌△ACI ． 故∠ADI ＝∠ACI ，但∠FAD ＝∠ACB (弦切角)；∠FAD ＝2∠ADE (等腰三角形顶角的外角)所以∠FAD ＝2∠ACI ⇒∠ACB ＝2∠ACI ，即CI 是∠ACB 的平分线．故点I 是△ABC 的内心． 连FD 并延长交AI 延长线于点I '，连CI '．由于AD ＝AE ＝AF ⇒∠EDF ＝90︒⇒∠IDI '＝90︒．而由△ADI ≌△ACI 知，∠AID ＝∠AIC ⇒∠DII '＝∠CII '，又ID ＝IC ，II '为公共边．故△IDI '≌△ICI '，⇒∠ICI '＝90︒．由于CI 是∠ACB 的平分线，故CI '是其外角的平分线，从而I '为△ABC 的一个旁心．又证：⑴ 连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DE 于I ，DC 于G ，连IC ，则由AD ＝AC ，得AG ⊥DC ，ID ＝IC ．又D 、C 、E 在⊙A 上，故∠IAC ＝12∠DAC ＝∠IEC ．故A 、I 、C 、E 四点共圆．所以∠CIE ＝∠CAE ＝∠ABC ，而∠CIE ＝2∠ICD ，故∠ICD ＝12∠ABC ．所以，∠AIC ＝∠IGC +∠ICG ＝90︒+12∠ABC ，所以∠ACI ＝12∠ACB ．故I 为△ABC 的内心．⑵ 连FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于I 1，连II 1，BI 1、BI ，则由⑴知，I 为△ABC 的内心，故∠IBI 1＝90︒＝∠EDI 1．故D 、B 、I 1、I 四点共圆．故∠BII 1＝∠BDI 1＝90︒－∠ADI ＝(12∠BAC +∠ADG )－∠ADI ＝12∠BAC +∠IDG ，故A 、I 、I 1共线．所以，I 1是△ABC 的BC 边外的旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．解：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝c 2+a 2－b22ac，z ＝a 2+b 2－c 22ab．由于x 、y 、z 为正数，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2＞c 2，b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＝b 2．⇒⎩⎪⎨⎪⎧a +b ＞c ，b +c ＞a ，c +a ＝b ．即以a 、b 、c 为边可以构成锐角三角形．记边a 、b 、c 的对角分别为∠A 、∠B 、∠C ．则cos A ＝x ，cos B ＝y ，cos C ＝z ．(A 、B 、C 为锐角)f (x ，y ，z )＝f (cos A ，cos B ，cos C )＝cos 2A 1+cos A +cos 2B 1+cos B +cos 2C1+cos C．令u ＝cot A ，v ＝cot B ，w ＝cot C ，则u ，v ，w ∈R +，且uv +vw +wu ＝1．于是，(u +v )(u +w )＝u 2+uv +uw +vw ＝u 2+1．同理，v 2+1＝(v +u )(v +w )，w 2+1＝(w +u )(w +v )．cos 2A ＝sin 2A cot 2A ＝cot 2A 1+cot 2A ＝u 21+u 2，所以，cos 2A 1+cos A ＝u 21+u 21+u 1+u 2＝u 21+u 2(1+u 2+u )＝u 2(1+u 2－u )1+u 2＝u 2－u 31+u 2＝u 2－u 3(u +v )(u +w )≥u 2－u 32(1u +v +1u +w )． 同理cos 2B 1+cos B ≥v 2－v 32(1v +u +1v +w )，cos 2C 1+cos C ≥w 2－w 32(1w +u +1w +v)．于是f ≥u 2+v 2+w 2－12(u 3+v 3u +v +v 3+w 3v +w +w 3+u 3w +u)＝u 2+v 2+w 2－12(u 2－uv +v 2+v 2－vw +w 2+w 2－wu +u 2)＝12(uv +vw +wu )＝12(等号当且仅当u ＝v ＝w ，即a ＝b ＝c ，x ＝y ＝z ＝12时成立．)故知[f (x ，y ，z )]min ＝12．又证：由约束条件可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2+c 2－a 22bc ，y ＝a 2+c 2－b 22ac ，z ＝a 2+b 2－c 22ab．故⎩⎪⎨⎪⎧1+x ＝(a +b +c )(－a +b +c )2bc，1+y ＝(a +b +c )(a －b +c )2ac，1+z ＝(a +b +c )(a +b －c )2ab．得，f (x ，y ，z )＝12(a +b +c )⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )． ⑴ 显然有a +b －c ＞0，a －b +c ＞0，－a +b +c ＞0．由Cauchy 不等式有，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (b +c －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (c +a －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (a +b －c )·[bc (b +c －a )+ca (c +a －b )+ab (a +b －c )]≥(a 2+b 2+c 2)2．故f (x ，y ，z )≥(a 2+b 2+c 2)22(a +b +c )(b 2c +bc 2+ac 2+a 2c +a 2b +ab 2－3abc )＝12·a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )． 下面证明a 4+b 4+c 4+2a 2b 2+2b 2c 2+2a 2c 22a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2+b 3c +b 3c +a 3b +a 3c +c 3a +c 3b －abc (a +b +c )≥1．即证a 4+b 4+c 4≥a 3b +a 3c +b 3c +b 3a +c 3a +c 3b －(a +b +c )abc ． ⑵ 由于，a 4－a 3b －a 3c +a 2bc ＝a 2(a 2－ab －ac －bc )＝a 2(a －b )(a －c )．故⑵式即a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+c 2(c －a )(c －b )≥0．不妨设a ≥b ≥c ．则a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )≥a 2(a －b )(b －c )－b 2(a －b )(b －c )＝(a 2－b 2)(a －b )(b －c )≥0， 又，c 2(c －a )(c －b )≥0于是a 2(a －b )(a －c )+b 2(b －a )(b －c )+ c 2(c －a )(c －b )≥0成立．等号当且仅当a ＝b ＝c 时成立．所以，f (x ，y ，z )≥12，且f (12，12，12)＝12．又证：令p ＝12(a +b +c )，⑴式即f (x ，y ，z )＝18p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(b 2+c 2－a 2)2bc (p －a )+(c 2+a 2－b 2)2ac (p －b ) +(a 2+b 2－c 2)2ab (p －c )(由Cauchy 不等式)≥18p ·(a 2+b 2+c 2)2bc (p －a )+ca (p －b )+ab (p －c )＝18p ·(a 2+b 2+c 2)2p (ab +bc +ca )－3abc ．而a 2+b 2+c 2＝2(p 2－4Rr －r 2)，ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2，abc ＝4Rrp ．(*) 故，f (x ，y ，z )≥12p ·(p 2－4Rr －r 2)2p (p 2+4Rr +r 2)－12pRr ＝12p 2·(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2． 而(p 2－4Rr －r 2)2p 2－8Rr +r 2≥p 2⇔p 4+16R 2r 2+r 4－8p 2Rr －2p 2r 2+8Rr 3≥p 4－8p 2Rr +p 2r 2⇔16R 2+8Rr +r 2≥3p 2⇔4R +r ≥3p ． (**)最后一式成立．故得结论．关于(*)式：由△＝rp ，得 r 2＝△2p 2＝p (p －a )(p －b )(p －c )p 2＝(p －a )(p －b )(p －c )p＝p 3－(a +b +c )p 2+(ab +bc +ca )p －abc p ＝－p 3+(ab +bc +ca )p －abcp； ①又由△＝abc 4R ，得4Rr ＝abc p．故4Rr +r 2＝－p 2+(ab +bc +ca )．就是 ab +bc +ca ＝p 2+4Rr +r 2；a 2+b 2+c 2＝(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )＝4p 2－2p 2－8Rr －2r 2＝2(p 2－4Rr －r 2)； abc ＝4R △＝4Rrp ． 关于(**)式：由r ＝4R sin A 2sin B 2sin C2，故4R +r ＝4R +4R sin A 2sin B 2sin C2＝4R +4R (cos A +cos B +cos C －1)＝R (3+ cos A +cos B +cos C )＝2R (cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2)．而p =R sin A +R sin B +R sin C ＝4R cos A 2cos B 2cos C2．故4R +r ≥3p ⇔cos 2A2+cos 2B2+cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2．又cos 2A2+cos 2B2+cos 2C2≥33cos 2A2cos 2B2cos 2C2，而33cos 2A2cos 2B2cos 2C 2≥23cos A 2cos B 2cos C2⇔32≤3cos A 2cos B 2cos C 2⇔ cos A 2cos B 2cos C 2≥338⇔ sin A +sin B +sin C ≤3sin π3．(由琴生不等式可证)三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数， [1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．解：对于任意n (n 不是完全平方数)，存在k ，满足k 2＜n ＜(k +1)2，则1≤n －k 2≤2k ．此时n ＝k +{n }．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{n }＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +k n －k 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2． 由于2k ＜2k +{n }＜2k +1．故2k n －k 2＜2k +{n }n －k 2＜2k +1n －k 2．从而在2k n －k 2与2k +1n －k 2之间没有整数．即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k +{n }n －k 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k n －k 2．若记n －k 2＝i (i ＝1，2，…，2k )，又240＝152+15． 于是，k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑14i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +i ＝1∑15⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×15i ．由于k ＜i ≤2k 时⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝1故i ＝k +1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝k ．于是 k ＝1∑240f (k )＝k ＝1∑15i ＝1∑k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i +k ＝1∑14k ＝(2+6+11+16+22+29+34+42+49+56+63+72+78+87+96)+105＝768．即所求值为768． 又解：为计算i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ，画一2k ×2k 的表格，在第i 行中，凡i 的倍数处填写*号，则这行的*号共有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i个，全表共有i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i 个．另一方面，第j 列中的*号个数等于j 的约数的个数T (j )，从而全表中的*号个数等于j ＝1∑2kT (j )．故i ＝1∑2k⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k i ＝j ＝1∑2kT (j )．以2k ＝6为例：故a ＝1∑(n+1)2f (a )＝k ＝1∑n j ＝1∑2kT (j )＝n [T (1)+T (2)]+(n －1)[T (3)+T (4)]+…+[T (2n －1)+T (2n )]． ③由此，k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )[T (2k －1)+T (2k )] ④记a n ＝T (2k －1)+T (2k )．可得a k 的取值如下表(k ＝1，2，…15)：k ＝1∑162f (k )＝k ＝1∑16(16－k )a k＝783． ⑤又当k ∈{241，242，…，255}时，设k ＝152+r (r ＝16，17，…30)．则k －15＝152+r －15＝r152+r +15，从而r 31＜r 152+r +15＜r 30，于是1≤30r ＜1{k }＜31r ＜2． 故，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1{k }＝1，k ∈{241，242，…，255}，又f (256)＝0， 所以k ＝1∑240f (k )＝783－15＝768．呜呼！不怕繁死人，就怕繁不成！。
2005-2013年第1-9届北方数学奥林匹克数学试题及解答
1 2
.
故原不等式成立 . 三、 在取出的 n + 2 个数中 , 设 al 为最 大 , 则
al ≤a3 n . 把每个数都加上 a3 n - al ,这样处理后不改
变任何两数差的绝对值 . 从而 , 总可以认为取出的
n + 2个数中包括 a3 n ,记 al = a3 n .
(1 ) 若 取 出 的 n + 2 个 数 中 , 除 a3 n 外 , 还 有
23 (2) 若取出的 n + 2 个数中 ,不含 an + 1 , an + 2 , …,
a2 n - 1 这 n - 1 个数中的任何一个数 . 把这些数及 a3 n
又 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) > 0 Ζ x1 - x 2 > x1 x 2 - 1 Ζ - 1 < x2 - x1 < 0. x 1 x2 - 1 由 (3) 得 f
| ai 平 供题)
第二天
四、 已知 n 位数的各位数字只能取集合 {1 ,2 ,3 ,4 ,5} 中的元素 , 设含有数字 5 且在 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数为 f ( n ) . 求 ( 蒋西明 f ( n) . 供题) 五、 如果三个正实数 x 、 y、 z 满足 25 2 2 2 2 x + xy + y = , y + yz + z = 36 , 4
2 2 2 = ( ab + bc + ca) ( a + b + c )
①
② 因为 u ≥ 0,v ≥ 0 , 所以 , 式 ② 的左边显然成立 , π β、 γ 中两个取 、 且仅当 u = v = 0 , 即 α、 一个取 0 2 时等号成立 .
2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
第1页 共6页
()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
P3,三角形
ABC的
2
面积减小
,归为情形
(2).
(2)不妨设
P1在AB上,P2在AC上,P3;P4在BC上,P3在P4C上.
(2.1)若P1P2
.
BC,设
AP1
=
AP2
=
.,P1P2
=
.BC.P1P2到BC的距离为
=
|
.
xk
+i
.
yk|
.
.
xk
.
√
.
42
42
zk2Azk2Azk2Azk2Azk2A
√
而42
<
6,
∴
|
.
zk|
.
1
6
.
zk2A
即A中复数之和的模不小于
1
6
.证毕
.
+
￠￠·
+
anxn
.
a1x1
2
+
a2x2
2
+
￠￠·
+
anxn
2
;
(2)否则至少存在一个
ai
<
0,由对称性不妨设
a1
<
0.又因为
a1;a2;:::;an中任两数之和非负
,所
以ai
+
a1
.
0;ai
=
|
.
xk
+i
.
2005全国高中数学联赛第一试试题及答案
1 AC 2 ，则 CD=_________。 ，∠ACB=45° ， AD BC 6 2 2 11. 正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2 x 17 上，另外两顶点在 y x 上，则正方
10. 如图，四面体 DABC 的体积为 形面积的最小值为_____________。 12. 若自然数 a 的各位数字之和为 7，则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小 到大排成一列：a1、a2、a3„，若 an=2005，则 a5n=______。
1 1 0 3 2 3 4 7 7 7 7
二、填空题
7. 将 多 项 式 f ( x) 1 x x x x x
2 3 19 20
表 示 为 关 于 y 的 多 项 式 g ( y)
2
a0 a1 y a2 y a19 y a20 y ，且 y x 4 ，则 a0 a1 a20 =__________。
3 2 3 2 l 与 l ，故 S 不为定值。选 B。 24 36
5.方程
x2 sin 2 sin 3
y2 cos 2 cos 3
1 表示的曲线是（
）
A．焦点在 x 轴上的椭圆 C．焦点在 y 轴上的椭圆 解： 2 3 , 0
B．焦点在 x 轴上的双曲线 D．焦点在 y 轴上的双曲线
AA 1 cos
A B C BB1 cos CC1 cos 2 2 2 的值是 sin A sin B sin C
A' D
B' C B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 A 4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面 α 与对角线 AC'垂直，使 α 与正方体的 每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为 l，则 A. S 是定值，l 不是定值 B. S 不是定值，l 是定值 C. S、l 均是定值 D. S、l 均不是定值