数学人教A版选修4-1课件：2.5 与圆有关的比例线段

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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做3】 如图,P是☉O外一点,PA与☉O相切于点A,过点P的
直线l交☉O于点B,C,且PB=4,PC=9,则PA等于( )
答案:C
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3.切割线定理
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D典例透析 IANLI ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱOUXI
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A.4 B.6 C.9 D.36
解析:∵PA2=PB·PC=4×9=36, ∴PA=6.
答案:B
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4.切线长定理
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2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定 理之间的关系
剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O 的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:
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【做一做1】 如图,☉O的两条弦AB与CD相交于点
E,EC=1,DE=4,AE=2,则BE等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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1.相交弦定理
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归纳总结由相交弦定理可得推论:垂直于弦的直径平分这条弦, 且该弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项.
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(4)利用“中间比”代换得到,在证明比例线段(不论共线与否),如果 不能直接运用有关定理,可以寻找“中间比”进行代换.
与圆有关的比例线段证明要诀:圆幂定理是法宝,相似三角形中 找诀窍,联想射影定理分角线,辅助线来搭桥,第三比作介绍,代数方 法不可少,分析综合要记牢,十有八九能见效.
解析:∵AE·EB=DE·EC, ∴2EB=4×1.∴EB=2.
答案:B
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2.割线定理
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1.掌握相交弦定理及其应用. 2.掌握割线定理、切割线定理及其应用. 3.掌握切线长定理及其应用.
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【做一做2】 如图,P是☉O外一点,PC=4,PD=2,则PA·PB等于(
) A.2 B.4 C.8 D.不确定
解析:∵PA·PB=PC·PD, ∴PA·PB=4×2=8.
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【做一做4】 如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为
A,B,∠P=80°,则∠C= . 解析:∵PA,PB分别为☉O的切线, ∴PA=PB. 又∠P=80°,∴∠PAB=∠PBA=50°. ∴∠ACB=∠PAB=50°.
(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO; (2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE; (3)若AC平分∠BAP, 则C为△PAB的内心; (4)OA2=OC2=OE·OP=OD2;
答案:50°
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1.与圆有关的比例线段问题 剖析:与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合,其解 法大致可分以下几种: (1)直接由相似形得到,即先由已知条件证得两个三角形相似,从 而直接得到有关对应线段成比例.这是简单型的比例线段问题. (2)利用“等线段”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其 中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段”进行代 换. (3)利用“中间积”代换得到,在证明“等积式”形如a2=bc时,如果其 中有三条线段共线,可以把平方项的线段利用中间积进行代换.
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名师点拨相交弦定理、割线定理和切割线定理(割线定理的推论 )统称为圆幂定理.可统一记忆成一个定理:过圆内或圆外一点作圆 的两条割线,则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分) 成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线).两 条线段的长的积是常数PA·PB=|R2-d2|,其中d为定点P到圆心O的距 离.若点P在圆内,d<R,则该常数为R2-d2;若点P在圆上,d=R,则该常 数为0;若点P在圆外,d>R,则该常数为d2-R2.使用时注意每条线段的 两个端点一个是公共点,另一个是与圆的交点.