三点共线问题的思维方法与过程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
李瑞玲
问题情境一
如图，直线AB、CD相交于点O，OE 平分∠AOC,OF平分∠BOD.问OE、OF在 同一直线上吗？为什么？
1、问题中生成了哪些不同的图形？ 直线、射线、交点和角 2、本题要解决的问题是什么？ 问题中是要确定OE、OF是否在同一直线 上，即E、O、F三点是否共线，这是判定OE、 OF的位置关系. 3、我们选择哪一类图形的什么关系（注：位置关 系、数量关系）能解决问题呢？ （尝试）直线相交，交点、射线等的位置关 系都无法确定OE、OF是否在同一直线上.
所以A、B、C三点在同一直线上.
问题情境五
如图，AB∥l,BC∥l,B为垂足，那么A、 B、C三点在同一直线上吗？为什么？
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和公共点B 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB∥l,BC∥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
C′
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB∥l, BC∥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
所以A、B、C三点在同一直线上.
总结
解决三点共线问题有三种方法： 1、利用平角或者说利用邻补角，这是利用 数量关系解决位置关系，也是最常用的方法. 2、利用垂线的存在性和唯一性； 3、利用平行线的存在性和唯一性（即平行 公理）.
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法四
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOE+ ∠BOE=180° ∴ ∠BOE+ ∠BOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
问题情境三
如图，AB⊥l,BC⊥l,B为垂足，那么 A、B、C三点在同一直线上吗？为什 么？
∴OE、OF在同一直线上
解决wenku.baidu.com题方法二
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠DOE=180° ∴ ∠DOE+ ∠DOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法三
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠COF=180° ∴ ∠COF+ ∠DOF=180°
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和垂足B（三线的公共点） 直角. 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB⊥l,BC⊥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
解决问题方法一
1、由AB⊥l，BC⊥l，垂足为B，你会想到 什么性质？
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ垂直于ｌ，依据“在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线 上，即A、B、C三点共线.
解决问题方法二
4、问题中存在大小和数量关系的图形是角，当角 为多少时可以确定OE、OF在同一直线上呢？ 当OE，OF组成的角∠EOF为平角（即180°） 时，就可以确定OE、OF在同一直线上.
5、问题无法直接获得∠EOF为平角，利用角的什 么关系来解决呢？你有几种选择？
选择两个角和为180°（实际为邻补角）来解决. ∠AOE+∠AOF=180°； ∠DOE+∠DOF=180° ∠COE+∠COF=180°； ∠BOE+∠BOF=180°
C′
∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB⊥l, BC⊥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
1、我们能否利用角的数量关系解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造邻补角？选择哪一 个点构造邻补角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造邻补角.
作射线BA、或者BC的反向延长线，过B点作l 的垂线(或连接B与l上任一点）构造邻补角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′作BM⊥l 则点C在直线BC′上. ∵AB∥l, BC∥l ∴BM⊥BA，BM⊥BC′ ∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
解决问题方法一
1、由AB∥l，BC∥l，公共点B，你会想到 什么性质？
过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ平行于ｌ，依据“过 直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线上，即A、 B、C三点共线.
解决问题方法二
解决问题思路
已知直线
生成平角
转化为邻补角
转化为∠EOF平角
转化为邻补角
OE、OF在同一直线上
解决问题方法一
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOF+ ∠BOF=180° ∴ ∠AOE+ ∠AOF=180°
1、问题中存在直角，我们能否利用角的数量关系 解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造平角？选择哪一个 点构造平角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造平角. 作射线BA、或者BC的反向延长线，在B点两侧 构造平角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′ 则点C在直线BC′上. ∵AB⊥l, BC⊥l
问题情境一
如图，直线AB、CD相交于点O，OE 平分∠AOC,OF平分∠BOD.问OE、OF在 同一直线上吗？为什么？
1、问题中生成了哪些不同的图形？ 直线、射线、交点和角 2、本题要解决的问题是什么？ 问题中是要确定OE、OF是否在同一直线 上，即E、O、F三点是否共线，这是判定OE、 OF的位置关系. 3、我们选择哪一类图形的什么关系（注：位置关 系、数量关系）能解决问题呢？ （尝试）直线相交，交点、射线等的位置关 系都无法确定OE、OF是否在同一直线上.
所以A、B、C三点在同一直线上.
问题情境五
如图，AB∥l,BC∥l,B为垂足，那么A、 B、C三点在同一直线上吗？为什么？
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和公共点B 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB∥l,BC∥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
C′
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB∥l, BC∥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
所以A、B、C三点在同一直线上.
总结
解决三点共线问题有三种方法： 1、利用平角或者说利用邻补角，这是利用 数量关系解决位置关系，也是最常用的方法. 2、利用垂线的存在性和唯一性； 3、利用平行线的存在性和唯一性（即平行 公理）.
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法四
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOE+ ∠BOE=180° ∴ ∠BOE+ ∠BOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
问题情境三
如图，AB⊥l,BC⊥l,B为垂足，那么 A、B、C三点在同一直线上吗？为什 么？
∴OE、OF在同一直线上
解决wenku.baidu.com题方法二
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠DOE=180° ∴ ∠DOE+ ∠DOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法三
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠COF=180° ∴ ∠COF+ ∠DOF=180°
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和垂足B（三线的公共点） 直角. 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB⊥l,BC⊥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
解决问题方法一
1、由AB⊥l，BC⊥l，垂足为B，你会想到 什么性质？
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ垂直于ｌ，依据“在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线 上，即A、B、C三点共线.
解决问题方法二
4、问题中存在大小和数量关系的图形是角，当角 为多少时可以确定OE、OF在同一直线上呢？ 当OE，OF组成的角∠EOF为平角（即180°） 时，就可以确定OE、OF在同一直线上.
5、问题无法直接获得∠EOF为平角，利用角的什 么关系来解决呢？你有几种选择？
选择两个角和为180°（实际为邻补角）来解决. ∠AOE+∠AOF=180°； ∠DOE+∠DOF=180° ∠COE+∠COF=180°； ∠BOE+∠BOF=180°
C′
∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB⊥l, BC⊥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
1、我们能否利用角的数量关系解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造邻补角？选择哪一 个点构造邻补角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造邻补角.
作射线BA、或者BC的反向延长线，过B点作l 的垂线(或连接B与l上任一点）构造邻补角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′作BM⊥l 则点C在直线BC′上. ∵AB∥l, BC∥l ∴BM⊥BA，BM⊥BC′ ∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
解决问题方法一
1、由AB∥l，BC∥l，公共点B，你会想到 什么性质？
过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ平行于ｌ，依据“过 直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线上，即A、 B、C三点共线.
解决问题方法二
解决问题思路
已知直线
生成平角
转化为邻补角
转化为∠EOF平角
转化为邻补角
OE、OF在同一直线上
解决问题方法一
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOF+ ∠BOF=180° ∴ ∠AOE+ ∠AOF=180°
1、问题中存在直角，我们能否利用角的数量关系 解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造平角？选择哪一个 点构造平角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造平角. 作射线BA、或者BC的反向延长线，在B点两侧 构造平角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′ 则点C在直线BC′上. ∵AB⊥l, BC⊥l