第7章 习题解答

第七章 习题解答(部分)

［1］用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。已知πω5.0=c ，51=N 。求出)(n h 并画出滤波器的幅度响应曲线。

解：由题意得理想线性相位低通滤波器为：

⎪⎩⎪

⎨⎧≤<≤=-π

ωωωωωα

ω 0 )(c c j j d e e H

理想低通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：

⎰

⎰

+---=

=

c

c

d e

d e

e

H n h n j n

j j d d ωωαωπ

π

ωω

ωπ

ωπ

)

(21)(21)(

⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠--=α

ααπαωn n n n c 0)()]

(sin[

式中α为线性相位所必须的位移， 252

1=-=

N α。因此

⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤--=⋅=其它

0500)25()]25(5.0sin[)()()(n n n n R n h n h N d ππ

该低通滤波器的幅度响应曲线如图1所示。

［2］。求出)(n h 解⎪⎩-<≤

0 0

c d ωπω理想高通滤波器的单位冲激响应)(n h d 为：

⎰

⎰

+----=

=

c

c

d e

e

d e

e

H n h n

j j n

j j d d ωπωπωα

πωπ

π

ωω

ωπ

ωπ

)(21)(21)(

c

c

n j j e

n j e

ωπωπαωαπ

απ+---=

)

()

(2

[]

)

()(sin )

1(απαω---=n n c n

式中α为线性相位所必须的位移， 102

1=-=

N α，因此

⎪⎩

⎪

⎨

⎧≤≤---=⋅=其它

0200)10()]10(5.0sin[)1()()()(n n n n R n h n h n N d ππ

该低通滤波器的幅度响应曲线如图2所示。

［3 （1 （2 （3）若改用汉宁窗设计，写出)(n h 的表达式。

解：根据是题意，单位冲激响应)(n h d 为：

⎰

⎰

+---=

=

c

c

d e

e d e

e

H n h n

j a

j n

j j d d ωπωπωπωπ

ωω

ωπωπ)(20

21)(21)(

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=

=

+--+--⎰

c c

c

a n j ja a n j ja e a n j e

d e

e

ωπω

πωπ

ωπωπωπ

π

ωπ

)()

()(1

2121 )

(]

)s i n [()

1(a n a n c n

---=πω

式中a 为线性相位所必须的位移，已知需满足2

1-=N a 。(说明：在题中只给定了)(ωj e H 在

(π~0)之间的表达式，但在求解时，必须把它看成(ππ~-)或(π2~0)之间的分布，不能只用(π~0)区域求解。)

⎩⎨

⎧-≤≤=⋅=n

N n n h n R n h n h d d 其它0

10)

()()()(

（2）情况1：N 为奇数，2

1-=

N a 为整数，)(n h d 关于a 偶对称。

即有)1()(n N h n h --=，为第一种类型线性相位滤波器。 情况2：N 为偶数，2

1-=

N a 不是整数，这时)(n h d 关于a 奇对称，即

)1()(n N h n h ---=，因此为第四种类型线性相位滤波器。

（3）[])()()(sin )1(12cos 121)()()(n R a n a n N n n w n h n h N c n d ---⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=

=πωπ ［4］用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器

⎩⎨⎧=-0)(ωαω

j j d e e

H πωωωωωωωωωωω≤≤+-≤≤+≤≤-c

c c c 0000,0

（1）设计N 为奇数时的)(n h 。 （2）设计N 为偶数时的)(n h 。

（3）若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的)(n h 表达式。

解：根据该线性相位带通滤波器的相位：

ωωαωθ2

1)(--

=-=N

可知该滤波器只能是)(n h 为偶对称的情况，)(n h 为偶对称时，可为第一类和第二类滤波器。

(1)当N 为奇数时， )1()(n N h n h --=为第一类滤波器。 理想单位冲激响应)(n h d 为： ωπωπ

π

ω

d e e

H n h n

j j d d ⎰

-=)(21)( ⎰

⎰

+--+----+

=c

c

c

c

d e

e

d e

e

n

j a

j n

j a j ωωωωωωωωωωωωωπ

ωπ00002121

][)

(121)

)(()

)(()

)(()

)((0000c c c c a n j a n j a n j a n j e

e e e

a n j ωωωωωωωωπ

--+-+--+---+--⋅

=

])c o s [(])s i n [()(20ωαωαπ

α---=

n n n c

])cos[(])[(20ωαωαπ

ω--=n n Sa c c

所以单位冲激响应)(n h 为：

⎩⎨

⎧-≤≤=⋅=其它

10)

()()()(N n n h n R n h n h d d

因为])[(c n Sa ωα-和])cos[(0ωα-n 均对α偶对称，所以)(n h d 亦对α偶对称，为保证线性需满足2

1-=

N α。