高中数学论文

高中数学论文

山重水复疑无路，柳暗花明又一村

——对一个数量积性质的新认识

张广平

【摘要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。

【关键词】：数量积向量角度距离

高中数学教材中首次出现“向量和导数”的引入。我认为其目的很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学·第二册（下B ）》P 33中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：

（1）><=⋅e a a e a ,cos ||，（2）0=⋅⇔⊥，（3）a a a ⋅=2

||。

作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。 （一）性质的产生与内含

已知向量=和轴l ，是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影'

A ，作点

B 在l 上的射影'

B 则''B A 叫向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称

射影。可以证明得，e a e a AB B A ⋅>=<=,cos ||''（证明略，

图如下所示。）

此性质的内含理解有四点：

①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量与所成角的范围决定；③加上绝对值|

||''|B A ⋅=便是一条线段长度（这里|||''|

、B A 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段

在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。

（二）性质的“知识链”

对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？

（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。 1．1线线角])2

,0[(π

α

α∈的求法的新认识：

我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为],0[π），

即|

|||||

||||

|,cos |cos b a b a =

=><=α,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，

|

|1|||1|cos b OB OB =

=

α，此时OB 1可以看作是与方向上的单位向量的数量积||(a =⋅其中，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：|

||

|

||cos b a =α（这里刚好满足三角函

数中余弦的定义：邻边比斜边）。 1．2线面角])2

,0[(π

θ

θ∈的求法的新认识：

|,cos |sin <=n θ|

|||n PA =

（其中为平面α的一个法向量），此结论重新可

以理解为：

|

|||||sin PA PA OP ==θ此时OP 又可以看作是在上的投

影，即与方向上的单位向量的数量积⋅，(=

其中，故|

||

|

||sin PA n =

θ（这里刚好满

足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。

O

1O

O

B 1O

O 1O

1．3二面角的平面角]),0[(πθθ∈的求法的新认识：

|||cos |=θ=

2121（其中21n n 与是两

二面角所

在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：

2|

|

1|12|1|

|2|2

1||cos |n n n n =

=

θ（这里刚好满足三角函数中余弦

的定义：邻边比斜边）。 ★三大角的统一理解：

|||

|

||cos b a =

α|

||

|

||sin PA n ⋅

=

θ、2|

112|1|

22

1||cos |n n =

=

θ

、 其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！

（2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。 空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．．．．．．．．．

。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。 2．1点面距求法的新认识：

|

||

||||

|sin ||||n PA n d =

===θ为平面α的一个法向量），此结论重新可

以理解为：||

||n d =，即在上的投影，即与方向上

的单位向量的数量积|

|(n =⋅其中。

2．2点线距求法的新认识： 1）新认识之一：

如图，若存在有一条与l 相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量，则点P 到l

的距离

P

l

O

A