3-2向量组的线性关系

第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
定理4
32
例8. 判断 的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
第二节 向量间的 线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念 三、向量组线性相关性的判别
1
一、线性组合与线性表示 定义1 设有n维向量组 如果存在一组数
是向量组 称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组，
我们称
也称
是 可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令 由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解， 此向量组线性相关。
29
小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 首先设有数 使得
使 由①， 可由 代入上式， 可由 线性无关相矛盾。
45
线性表示， 与 线性表示，
，
性质
A为
阵， 经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。 证明: 设 则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
成立，则称向量组 线性相关。 否则称 线性无 关 。 若 线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当 时， 式才成立 。 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立 。 成立外 还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别 解: 即 线性相关。 特别 当向量组只含一个向量时， 当 当 为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
42
定理6
线性相关，则 证明: 因为
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关， 成立。 线性无关， 必定
则存在一组不全为零的数 使 由于 故
，
43
又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关， 必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组 线性相关， 线性无关。 线性表示； 证明 ① 可由 线性表示。 ② 不可由 证明: ① 线性无关， 线性无关， 故 可由 线性表示。 线性表示，即存在 ②假设 可由
38
例11.已知
线性无关， 证明 线性相关。 使得
证明: 设存在数
即 已知 线性无关， 只有
不全为零， 故向量组线性相关。
39
线性相关 其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性： 不全为0的数 不妨设
， 则
线性相关，则存在一组 使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余 是其余向量的线性 向量的线性组合，不妨设 使
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由 其中
是为 n维列向量组， 线性表示 有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身 线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组 也线性无关。 证明: 设存在数 即 整理得 因为向量组
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解， 从而 线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 证明: 因为 线性相关 则存在一组不全为0的数 使
成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
23
定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 利用定理2，用反证法。 整体无关，部分无关！ 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知Βιβλιοθήκη Baidu
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断 是否为向量组
的线性组合？
解: 设 对矩阵
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引例 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组， 又可以写成
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二、线性相关与线性无关的概念 定义1 设 为m 个n 维向量组， 使 如果存在一组不全为0的数 ，
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已知
若
线性无关， 则 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。 若 1 , 2 ,, m 线性相关，
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证明：假设 的数
线性相关， 则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
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三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性