3-2向量组的线性关系
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3-2_向量与向量组的线性组合
单位向量组 ε 1 = (1,0 , L ,0 ), ε 2 = ( 0 ,1, L ,0 ), L
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
ε n = ( 0 ,0 , L ,1)的线性组合 .
a 1ε 1 + a 2 ε 2 + L + a n ε n = α
例4 判断 β 1 = ( 4,3,−1,11), β 2 = ( 4,3,0,11)是否各为向量 判断
若(A)、(B)为列 向量组, 记A = ( α1 , α 2 ,L , α s )和 向量组, 因 因 对每个向量 α j ( j = 1,2, L , s ), B = ( β1 , β2 ,L , βt ).
k1 j k2 j α j = k1 j β 1 + k 2 j β 2 + L + k st β t = ( β 1 , β 2 , L , β t ) , M k11 k12 L k1s k tj 于是
2 4 4 − 5 − 5 − 5 3 3 4 − 9 − 9 − 9 0 2 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 r2×(− 1 5) 1 2 4 4 r3 −3r2 0 1 1 1 r1 −2r2 0 r4 +9r2 0 0 0 1 → 0 →
T 1 T 2 T 2 T 1 T 2
定义3 定义 设有两个向量组 ( A) α 1 , α 2 ,L , α s 及( B ) β 1 , β 2 ,L , β t . 组中的每一个向量都能由向量组B线性表示 若A组中的每一个向量都能由向量组 线性表示 组中的每一个向量都能由向量组 线性表示, 则称向量组A可由 线性表示. 可由B线性表示 则称向量组 可由 线性表示
3-2-1 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
32向量组的线性相关与线性无关(二)详解
解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关
3-2向量组的线性相关与线性无关
的线性组合 解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得
β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4
即
1 1 1 1 1 2 1 1 −1 =x +x −1 + x3 + x4 1 2 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关， 因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有
x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
1 0 1 由于 1 1 0 = 2 ≠ 0 0 1 1
全为零的数 k1 , k 2 ,L , k m 使 r r r r k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 是线性相关的，否则称它线性无关． 1. α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ⇔ 只有当 k1 = L = k n = 0时 ,
才有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例 .
3-2向量的线性相关性
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
3-2-2向量组的线性相关性的判定
a11k1 a12 k2 a1s k s 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2s s a k a k a k 0 ns s n1 1 n 2 2 b1k1 b2 k2 bs k s 0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
3.2向量3-3向量组的线性相关性
b11 b12 b1n
（c1,c2,,cn)（1,2,,s)b21
b22
b2n
bs1 ks2 ksn
线性代数课件 hty
19
同时C的 ，行向量B组 的能 行由 向量组,线 A 性 为这一表示的 ：系数矩阵
1T 2T mT
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数课件 hty
5
解析几何
三、向量空间
向量
(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT(a 1,a2, ,an)
线性代数课件 hty
6
解析几何
线性代数课件 hty
22
五、线性相关性的概念
定义３ 给定向 A:量 1,组 2,,m,如果存在
全为零k1,的 k2, 数 ,km使
k11k22kmm0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1若 . 1,2, ,n线性无 ,则关 只有 1 n 0时 ,才有
类似，A 若 经矩 初阵 等列B变 ，A 换 则 的变 列向量 B的 组列 与向量 . 组等价
线性代数课件 hty
21
对方程组A的各个方程做线性运所算得到的 一个方程就称为方程A组的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程A组的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组 B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就这称两个方程组等价，等 价的方程组一定同.解
线性代数课件 hty
13
定义１ 给定向 A:量 1,2, 组 ,m ，对于任
3-2 向量组的秩和最大无关组
R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
3-2 向量组的线性相关性
回
一、解的判定定理 二、方程组的求解
顾
Henan Agricultural University
结束
第二节 向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质
Henan Agricultural University
即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
Henan Agricultural University
1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线 性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理 向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
一、解的判定定理 二、方程组的求解
顾
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结束
第二节 向量组的线性相关性
• • • • 一、n 维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质
Henan Agricultural University
即
x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0. 因为a1, a2, a3线性无关, 故有
x1+ x3 =0 x1+ x2 =0 . x2 + x3 =0
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1 2 4 1 2 4 r 1 0 2 r r 0 −5 −5 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 , ~0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 −9 −9 0 0 0 0 0 0 所以R(a1, a2, b1)=R(a1, α2), 从而方程组有解, 即b1可由a1, a2线 性表示, 且存在x1=2, x2=1, 使2a1+a2=b1. 定理1 定理 向量b能由向量组A: a1, a2, ⋅⋅⋅, am线性表示的充分必要条 件是矩阵A=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am)与矩阵B=(a1, a2, ⋅⋅⋅, am, b)的秩相等, 即R(A)=R(B). 1 2 4 2 −1 3 T T T (a1 , a2 , b ) = 1 −1 1 −1 3 1 11
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关, b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a1, 试证向量组b1, b2, b3线性无关. 证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
线性代数3-2
1 , 2 ,, m 线性表示，且表示式是唯一的.
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
定理3 改变向量的个数时，部分相关，整体也相关； 整体无关，部分也无关.
定理4 同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变. 定理5 改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；
高维相关，低维也相关.
定理6 向量组 a1, a2 , , an 线性相关的充分必要条
证 设 A1 组为 A 组的最大无关组，B1 组为 B 组 的最大无关组，则 A1 组、B1 组中所含的向量 个数分别为 r1，r2 .
因为 A 组能由 B 组线性表示，故 A1 组也能由 B1 组线性表示.（请思考为什么？）
于是由引理知 r1≤ r2 .
证毕
定理7的若干推论
推论 1 等价的向量组有相同的秩.
m
am1
am 2
a1 s
1
a2 s
2
ams
s
⑶传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价.
证 （不妨设为行向量情形）
因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A=K1B，B=T1A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B=K2C，C=T2B， 于是有 A= K1K2C，C=T2T1A， 即 A 与 C 等价.
矩阵：
b11 b12
（ c1 , c2 ,
, cn ) （1,2 ,
,
s
)
b21
b22
bs1 bs2
b1n
b2n
bsn
同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A
由3个2维向量组成的向量组线性相关
由3个2维向量组成的向量组线性相关3个2维向量组线性相关是指，一组由3个2维向量组成的向量之间存在线性关系，即它们的线性组合可以表示为它们的标量积。
3个2维向量组线性相关是比较常见的，它们可以用投影和变换来实现，也可以用线性代数的方法来分析。
首先，我们简单地介绍一下什么是一个2维向量。
2维向量就是一条直线，由长度和方向（也可以称为角度）组成。
在数学中，它可以被表示为一个有两个分量的有序对，即（x,y）。
其中的x和y分量分别表示向量的横向长度和纵向长度。
其中，x为横向长度，即从原点（（0，0））沿着向量右侧的长度；y为纵向长度，即从原点（（0，0））沿着向量上部的长度。
接下来，我们可以用数学语言来描述什么是3个2维向量组线性相关。
假设，给定一组3个2维向量，即：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）。
若这3个2维向量之间存在线性关系，即，它们的线性组合可以用标量积来表示，则称这3个向量组线性相关。
如果这3个2维向量组中存在2个或2个以上的向量平行，则该组向量不存在线性相关性，只有当所有3个2维向量都不能表示为两个或两个以上的向量的线性组合时，才可以称为线性相关。
此外，3个2维向量组线性相关可以用几种方式来实现和分析。
投影法是一种比较简单的方法，它将3个2维向量映射到一个新的空间中，以形成一个新的“坐标系”，由新的“坐标系”可以更容易地确定3个2维向量之间的线性关系。
另一种是变换法，利用线性代数，将3个2维向量变换到一个新的基准空间，并利用新的基准空间来检验3个2维向量之间的线性关系。
最后，我们来看下3个2维向量组线性相关在实际中的一些应用。
由于3个2维向量构成的空间是一个简单的，它在很多领域都有应用。
比如在科学研究领域，它可以用来描述粒子的线性组合、在几何分析领域，它可以用来解决复杂的角度关系问题等；又如在技术制造方面，它可以用来表示组件的定位关系；在信息技术领域，它可以用来描述向量之间的线性关系等。
3-2向量组间的线性关系
α1i α 2i i =12,L m βi = M i =12,L m , , , , αri α r+1,i
x β1 + x2β2 + x3β3 =θ 1 x (α +α2) + x2(α2 +α3) + x3(α3 +α ) =θ 1 1 1
x +x =0 1 2 x2 +x3 =0
x 1
+x3 =0 1 0 1 1 0 1
1 1 0= 0 1 − = 2 1 0 1 1 0 1 1 x = x2 = x3 =0 1
第二节 向量的线性相关性
第三章
一、线性相关与线性无关的概念 二、向量组的线性相关性的判别 三、线性组合与线性表示 四、向量的等价 五、向量组的最大线性无关组
1
一、线性相关与线性无关的概念
, 定义1 定义1 设 A:α1,α2 ,Lαm
如果存在一组不全为 如果存在一组不全为0的数 存在一组不全为0
为n元向量组， 元向量组
线性无关。 β , β , β线性无关。
1 2 3
22
方程组只有零解， 从而 方程组只有零解，
证明二: 证明二:
1 0 1 β , β2, β3 ) =(α ,α2,α3 ) 1 1 0 ( 1 1 0 1 1 记 做 B= A C
从而 R（B）= R（A）， （ ） （ ），
+2x4 =0 x 1 x +2x =0 得同解方程组 2 4 x3 −x4 =0 2x x =− 4 1 方程组的解 为任意实数） 2x x2 =− 4 令 x4 = k （k 为任意实数） x =x 3 4
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
线性代数课件：3-2向量组的线性相关性
不能由其余向量线性表出。
定理3.2.2 若向量组α1,α2, …,αm无关， 而α1,α2, …,αm, β 线性相关，则β可由α1,α2, …,αm,线性表出，而且表法唯一。
证 由向量组α1,α2, …,αm, β线性相关， 即存在一组不全为零的数k1,k2, …,km,k使得
k11 k22 kmm k 0.
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
证（1）设
k1(1 3 ) k2(21 2 ) +k3 (23 2 ) 0 (3.2.4) 即
(k1 2k2 )1 (k2 k3 ) 2 (k1 2k3 )3 0 。
怎样用代数方式表示平行四边形法则？
§3.2 向量组的线性相关性 3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 3.2.2 向量组线性相关性的判别法 3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域P上的n维向量，如果存在数域P上的 数k1,k2, …,km，使得
Very important!
设n维向量 1 1,0,,0,
2 0,1,,0 ,n 0,0,,1
则任何一个n维向量α=(a1,a2,…,an) ，都可 由ε1,ε2, …,εn线性表出：
a11 a2 2 an n
我们称ε1,ε2, …,εn为基本单位向量。
定义3.2.2 设α1,α2, …,αm是数域P上 的m个n维向量，如果存在数域P上的m 个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
定理3.2.2 若向量组α1,α2, …,αm无关， 而α1,α2, …,αm, β 线性相关，则β可由α1,α2, …,αm,线性表出，而且表法唯一。
证 由向量组α1,α2, …,αm, β线性相关， 即存在一组不全为零的数k1,k2, …,km,k使得
k11 k22 kmm k 0.
例3.2.4设向量组α1，α2，α3，α4的线 性无关，证明：
(1)设向量组α1- α3，2α1-α2，2α3-α2线 性相关；
(2)设向量组α1- α2，α2-α3，α3+α1线性 无关。
证（1）设
k1(1 3 ) k2(21 2 ) +k3 (23 2 ) 0 (3.2.4) 即
(k1 2k2 )1 (k2 k3 ) 2 (k1 2k3 )3 0 。
怎样用代数方式表示平行四边形法则？
§3.2 向量组的线性相关性 3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 3.2.2 向量组线性相关性的判别法 3.2.3 向量组的线性相关性的一些性质
3.2.1 向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.1 设α1 , α2 , … , αm, β都是
数域P上的n维向量，如果存在数域P上的 数k1,k2, …,km，使得
Very important!
设n维向量 1 1,0,,0,
2 0,1,,0 ,n 0,0,,1
则任何一个n维向量α=(a1,a2,…,an) ，都可 由ε1,ε2, …,εn线性表出：
a11 a2 2 an n
我们称ε1,ε2, …,εn为基本单位向量。
定义3.2.2 设α1,α2, …,αm是数域P上 的m个n维向量，如果存在数域P上的m 个不全为零的数k1,k2, …,km，使得
3-2向量组的线性相关性
α1,α2, ,αm , β 线性相关，则向量 β 可由向量组 α1,α2 , ,αm 线性表示且表示法唯一.
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
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证明 存在性 ∵ α1,α2, ,αm, β线性相关
∴ 存在不全为 0的k1, k2 , , km , k, 使得 k1α 1+k2α 2+ + kmα m+kβ = 0
3
推论1： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若向量组A 能由向量组B线性表示, 且 r > s,则向量组 A必线性相关. (如果个数多的向量组能由个数少的向 向量组线性表示，则个数多的向量组必线性相关)
推论2： 设两个 n 维向量组 A : α1 , , αr ,与B : β1 , , βs , 若此两个向量组等价且皆线性无关，则 r = s . (等价的线性无关向量组所含向量个数相同)
⎪⎩ x2 + x3 = 0
由于此方程组的系数行 列式
1 01 1 1 0 =2≠0
011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，
所以
向量Байду номын сангаасβ1
,
β
2
,
β
线性无关
3
.
注 若向量组坐标没给出，则用定义做.
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二、向量组线性相关性的判定
P67例5
定理1（判别法一）
n个n维向量所组成的向量组 α1,α 2,
1
⎥ ⎥
;
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎢⎣−5⎥⎦
⎢⎣ 2 ⎥⎦
解： 因为向量个数等于向量维数，
1 0 −1 1 0 0 ∴ −2 2 1 = −2 2 −1 = 5 ≠ 0
3-2向量的线性相关性
可见方程组有唯一解: 可见方程组有唯一解: x1 = 1 , x2 = 0 , x3 = 1.
线性表示, 故向量 β 可由向量组 α1 ,α2 ,α3 线性表示,且
β = α1 + 0α2 +α3 .
例 4 设β = (2, 8, 2, 0) ,
T
α1 = (1, 2, 2, 3) , T α2 = ( 2, 4, 4, 6) , α3 = (1, 0, 3, 6)T
例如基本单位向量组 ε 1 = (1,0,L,0) ，ε 2 = (0,1,L,0) ,L， T ε n = (0,0,L ,1) 和α 1 = (1,0,L ,0)T , α 2 = (1,1,L ,0 )T ,L，
T T
等价。 α n = (1,1,L ,1) 等价。
T
4 例 设有两个向量组 （Ι）α1 , α2 ,L, α （ ） 1 , β2 ,L, β ΙΙ β ｓ ｔ 并设 （ A 并设 = α1 , α2 ,L, α )和B = β1 , β2 ,L, β )， （ ｓ ｔ 是 存在ｔ ΙΙ × 能由（ （Ι）能由（ ）线性表出的充要条件 ：存在ｔｓ矩 Ａ＝ＢＣ 阵Ｃ，使得 Ｃ，使得 使得
AX = β
如果方程组中的 x1 , x2 ,L, xn 分别用 代入后， c1 , c2 ,L, cn 代入后， 可以使每个方程都变成恒等 式，则称有序数组 c1 , c2 ,L, cn 为方程组的一个 解，向量 ------------ X = (c1 , c2 ,L, cn )T 为方程组的一个解向量 方程组的所有解（ 解向量。 为方程组的一个解向量。方程组的所有解（或 解集。 解向量）组成的集合，称为该方程组的解集 解向量）组成的集合，称为该方程组的解集。
线性表示, 故向量 β 可由向量组 α1 ,α2 ,α3 线性表示,且
β = α1 + 0α2 +α3 .
例 4 设β = (2, 8, 2, 0) ,
T
α1 = (1, 2, 2, 3) , T α2 = ( 2, 4, 4, 6) , α3 = (1, 0, 3, 6)T
例如基本单位向量组 ε 1 = (1,0,L,0) ，ε 2 = (0,1,L,0) ,L， T ε n = (0,0,L ,1) 和α 1 = (1,0,L ,0)T , α 2 = (1,1,L ,0 )T ,L，
T T
等价。 α n = (1,1,L ,1) 等价。
T
4 例 设有两个向量组 （Ι）α1 , α2 ,L, α （ ） 1 , β2 ,L, β ΙΙ β ｓ ｔ 并设 （ A 并设 = α1 , α2 ,L, α )和B = β1 , β2 ,L, β )， （ ｓ ｔ 是 存在ｔ ΙΙ × 能由（ （Ι）能由（ ）线性表出的充要条件 ：存在ｔｓ矩 Ａ＝ＢＣ 阵Ｃ，使得 Ｃ，使得 使得
AX = β
如果方程组中的 x1 , x2 ,L, xn 分别用 代入后， c1 , c2 ,L, cn 代入后， 可以使每个方程都变成恒等 式，则称有序数组 c1 , c2 ,L, cn 为方程组的一个 解，向量 ------------ X = (c1 , c2 ,L, cn )T 为方程组的一个解向量 方程组的所有解（ 解向量。 为方程组的一个解向量。方程组的所有解（或 解集。 解向量）组成的集合，称为该方程组的解集 解向量）组成的集合，称为该方程组的解集。
线代3-2
而 向 量 组 1 , 2 ,, m，线 性 相 关 ，
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由 条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的 线 性 组 合 。
答案：不能
线性代数 第三章 线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称 向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互 线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2， ， n线性无关。 1
证 明 ： 若 向 量 组、、线 性 无 关 ，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线 性 无 关 。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的 极 大 无 关 组 。
线性代数 第三章 线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于， 存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k
则有不全为零的数 k1 ,k2 , ,km ,k 使 k11 k22 kmm k 0 1 由 条件知 k 0 k1 1 +k2 2 + km m k 假设 l11 +l22 + lmm r11 +r22 + rmm
2 (1,0,2)的 线 性 组 合 。
答案：不能
线性代数 第三章 线性空间
5
定义3.6
设两个向量组
1 , 2 ,, s
1 , 2 ,, t
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若向量组(Ⅰ)中每一个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示，则称 向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示。如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互 线性表示，则称向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，记作：(Ⅰ) （Ⅱ）
证
证明n维初始单位向量组， 2， ， n线性无关。 1
证 明 ： 若 向 量 组、、线 性 无 关 ，
设 k1 ( ) k2 ( ) k3 ( ) 0
则 , , 线 性 无 关 。
( k1 k3 ) ( k1 k2 ) ( k2 k3 ) 0
4 (0,2)的 极 大 无 关 组 。
线性代数 第三章 线性空间15 Nhomakorabea 定理3.3
设有两个n维向量组： 1 , 2 ,, r
( )
( )
1 , 2 ,, s
若（Ⅰ）线性无关，且（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则 r ≤ s
由 ( 1 证明： ( I )可以被 II )线性表示，所以，对于， 存在数 1 , k2 ,, k s 使得 k
3-2 向量组的秩和最大无关组
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例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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铃
1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩
例3 设 ξ1,…, ξn−r [r = R(A)]为 n 元齐次线性方程组 … − 为 Ax = 0 的一个基础解系 S 为方程组 Ax = 0 的解集 的一个基础解系 基础解系, 解集, 则有
S = {x = k1ξ1 +⋯+ kn−rξn−r | k1,⋯ kn−r ∈R} ,
等价. 证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价 证明 记 A = (a1, a2), B = (b1, b2, b3),
1 3 2 1 3 1 3 2 1 3 r ( A, B ) = −1 1 0 1 −1 0 2 1 1 1 → 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0
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1 3 2 1 3 例2 设 a1 = −1 , a2 = 1 , b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 1 1 1 0 2
定理4 定理 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 线性关系. 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系 • 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩 行最简形矩阵的秩等于它的列向量组的秩. 定理5 定理 矩阵的秩等于它的(行 列向量组的秩 列向量组的秩. 矩阵的秩等于它的 行)列向量组的秩 证明 由定理 知, 矩阵的列向量组的秩等于它的行最 由定理4 简形的列向量组的秩, 从而等于它的行最简形的秩. 简形的列向量组的秩 从而等于它的行最简形的秩 而 矩阵的秩等于它的行最简形的秩. 因此, 矩阵的秩等于它的行最简形的秩 因此 矩阵的秩等于 它的列向量组的秩. 它的列向量组的秩 考虑转置即知, 矩阵的秩等于它的行向量组的秩. 考虑转置即知 矩阵的秩等于它的行向量组的秩
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19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
42
定理6
线性相关，则 证明: 因为
使 由①， 可由 代入上式， 可由 线性无关相矛盾。
45
线性表示， 与 线性表示，
，
性质
A为
阵， 经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。 证明: 设 则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
38
例11.已知
线性无关， 证明 线性相关。 使得
证明: 设存在数
即 已知 线性无关， 只有
不全为零， 故向量组线性相关。
39
线性相关 其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性： 不全为0的数 不妨设
， 则
线性相关，则存在一组 使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余 是其余向量的线性 向量的线性组合，不妨设 使
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令 由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解， 此向量组线性相关。
29
小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 首先设有数 使得
24
已知
若
线性无关， 则 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。 若 1 , 2 ,, m 线性相关，
25
证明：假设 的数
线性相关， 则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
26
三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性
成立，则称向量组 线性相关。 否则称 线性无 关 。 若 线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当 时， 式才成立 。 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立 。 成立外 还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别 解: 即 线性相关。 特别 当向量组只含一个向量时， 当 当 为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
第二节 向量间的 线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念 三、向量组线性相关性设有n维向量组 如果存在一组数
是向量组 称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断 是否为向量组
的线性组合？
解: 设 对矩阵
14
引例 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组， 又可以写成
16
二、线性相关与线性无关的概念 定义1 设 为m 个n 维向量组， 使 如果存在一组不全为0的数 ，
定理4
32
例8. 判断 的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关， 成立。 线性无关， 必定
则存在一组不全为零的数 使 由于 故
，
43
又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关， 必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组 线性相关， 线性无关。 线性表示； 证明 ① 可由 线性表示。 ② 不可由 证明: ① 线性无关， 线性无关， 故 可由 线性表示。 线性表示，即存在 ②假设 可由
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组，
我们称
也称
是 可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由 其中
是为 n维列向量组， 线性表示 有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身 线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组 也线性无关。 证明: 设存在数 即 整理得 因为向量组
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解， 从而 线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 证明: 因为 线性相关 则存在一组不全为0的数 使
成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
23
定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 利用定理2，用反证法。 整体无关，部分无关！ 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
42
定理6
线性相关，则 证明: 因为
使 由①， 可由 代入上式， 可由 线性无关相矛盾。
45
线性表示， 与 线性表示，
，
性质
A为
阵， 经过有限次的初等行变换为B
则A的列向量组与 B的列向量组有相同的线性关系。 证明: 设 则
存在P可逆，使 PA=B
作业 P123 2(1); 3 ;5(2)(3); 8
46
38
例11.已知
线性无关， 证明 线性相关。 使得
证明: 设存在数
即 已知 线性无关， 只有
不全为零， 故向量组线性相关。
39
线性相关 其中至少有一个向量是其余m－1个向量的线性组合。
定理5
证明: 必要性： 不全为0的数 不妨设
， 则
线性相关，则存在一组 使
即
是
的线性组合.
40
充分性：因
中至少有一个向量是其余 是其余向量的线性 向量的线性组合，不妨设 使
已知
解: 设有数
使得
27
即
有
得同解方程组
28
得同解方程组
令 由
（k 为任意实数）
得
此向量组线性相关。
R(A) 3 4(未知数个数n ),
方程组有非零解， 此向量组线性相关。
29
小结 用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法， 归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。 首先设有数 使得
24
已知
若
线性无关， 则 即：原来无关，延长无关！ 原来相关，缩短相关！
线性无关。
则1 , 2 ,, m 线性相关。 若 1 , 2 ,, m 线性相关，
25
证明：假设 的数
线性相关， 则存在一组不全为0 使得
则
因此
必线性相关。
26
三、 向量组线性相关性的判别 下面分别用数字表示的具体向量组的线性相关性 和对字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。 1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别 例7. 判别下列向量组的线性相关性
成立，则称向量组 线性相关。 否则称 线性无 关 。 若 线性无关， 则对任意不全为0的数 ，都有 即当且仅当 时， 式才成立 。 而线性相关时，除了组合系数全等于0使等式 成立 。 成立外 还能找到不全为0的数使等式
17
例4. 已知
判别 解: 即 线性相关。 特别 当向量组只含一个向量时， 当 当 为线性相关向量组; 为线性无关向量组.
第二节 向量间的 线性关系
一、线性组合与线性表示
第三章
二、线性相关与线性无关的概念 三、向量组线性相关性设有n维向量组 如果存在一组数
是向量组 称
则称
的线性组合; 为组合系数.
若向量
可以由向量组
的线性
组合来表示，即存在一组数
使得
称
可由
线性表示。
2
例1. 设由三维向量
9
(1)零向量可由任一组向量线性表示。因为
例2.
已知
问 是否可由 就写出表达式. 解: 设有数 使
线性表示？如能线性表示
10
有唯一解
11
例3. 判断 是否为向量组
的线性组合？
解: 设 对矩阵
14
引例 设由三维向量
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组， 又可以写成
16
二、线性相关与线性无关的概念 定义1 设 为m 个n 维向量组， 使 如果存在一组不全为0的数 ，
定理4
32
例8. 判断 的线性相关性. 解:
，
，
，
，
33
1 2 0 4 0 4 0 3
1 2 0 1 0 2 1 3 0 4 5 1 0 1 1 0
0 1 2 6 5 1 3 0
线性相关.
线性无关，
可由A线性表示且表法唯一。
线性相关， 成立。 线性无关， 必定
则存在一组不全为零的数 使 由于 故
，
43
又设 两式相减
是另一种表示形式。
已知
线性无关， 必有
故表示唯一。
44
例12. 已知向量组 线性相关， 线性无关。 线性表示； 证明 ① 可由 线性表示。 ② 不可由 证明: ① 线性无关， 线性无关， 故 可由 线性表示。 线性表示，即存在 ②假设 可由
观察三个向量之间的关系， 有 组成的向量组，
我们称
也称
是 可由
和
的线性组合。
和
线性表示。
3
任一n 维向量
都可由n维单位向量组,
,
,
线性表示，
即
+
+
5
而三维基本单位向量
中任何一个向量， 都不能由其他两个向量线性表示。 n维基本单位向量
中任何一个向量， 也不能由其他向量线性表示。 它们之间彼此是线性无关(相互独立)的。
6
设
即
=
+
+
（ 1）
7
定理1 设
可由 其中
是为 n维列向量组， 线性表示 有解
O 01 0 2 0 m (2)向量组 1 , 2 ,, m 中每个向量都可由向量组本身 线性表示，i 1,2,, m i 01 0i 1 1i 0i 1 0 m
34
例9. 判断下列向量组的线性相关性
解:
线性无关.
35
解:
线性相关.
36
2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别
判别方法： 利用相关性的定义和反证法判别。
37
例10. 设向量组 也线性无关。 证明: 设存在数 即 整理得 因为向量组
线性无关， 试证向量组
使得
线性无关，所以必有
方程组只有零解， 从而 线性无关。
22
定理2.
线性相关
线性相关. 即如果部分组线性相关， 则整体组也线性相关。 证明: 因为 线性相关 则存在一组不全为0的数 使
成立，因此有 其中 不全为零。 线性相关。
部分相关，整体相关！
23
定理3.
线性无关
线性无关.
即：如果整体组线性无关， 则部分组也线性无关。 利用定理2，用反证法。 整体无关，部分无关！ 定理2 和定理3说明了全体向量组和部分向量组之间 的关系。