《一元一次方程的应用》教案

《一元一次方程的应用》教案

教学目标

1、了解一元一次方程在解决实际问题中的应用、体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，建立数学模型.

2、学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题.

3、能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题.熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换.

4、整体把握打折问题中的基本量之间的关系：商品利润=商品售价－商品成本价；商品的利润率=利润÷成本×100%.

5、探索打折问题中的等量关系，建立一元一次方程.

教学重点与难点

重点：(1)寻找图形问题中的等量关系，建立方程；(2)根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法.

难点：寻找图形问题中的等量关系，建立数学模型，建立一元一次方程，使实际问题数学化.

教学准备

多媒体课件、例题用到的实物.

教学过程

一、创新情境，引入新课

教师：怎样解答本章“情景导航”中的问题？与同学交流

教师：根据题意，请思考下列问题：

(1)题目中哪些是已知量？哪些是未知量？

……

(3)题目中的等量关系是什么？

……

二、合作探究，展示交流

根据题意列出方程：

x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381.

我们可以把这个方程看做“宝塔问题”的一个“数学模型”.

教师：很好，我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱、现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2m，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？你能

帮他吗？

学生：用一元一次方程来解、这个问题的等量关系：旧水箱的体积=新水箱的体积.

教师：同学们分析得很好，列方程时，关键是找出问题中的等量关系.下面我们如果设新水箱的高为x m，通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积、

旧水箱新水箱

底面半径/

m

2 1、6

高/m 4 x

体积/m3π×22×4π×1、62×x

学生：旧水箱的圆柱的底面半径为4÷2=2m，高为4米，所以旧水箱的圆柱的体积为π×22×4m3；新水箱的圆柱的底面半径为3.2÷2=1.6m，高设为x m，所以新水箱的体积为π×1.62×x.由等量关系我们便可得到方程：π×22×4=π×1.62×x.

教师：列出方程我们只是走完“万里长征”重要的第一步，如何解这个方程呢？

学生：将π换成3.14，算出x的系数π×22，然后将系数化为1就解出了方程.

学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有π，可用等式的第二个性质，方程两边同时除以π，可使方程变得简单.

教师：这位同学的想法很好、下面我们共同把这个题的过程写一下.

解：设新水箱圆柱的高为x厘米，

根据题意，列出方程π×22×4=π×1.62×x，

解得x=25

4

.

答：高变成了25

4

米.

教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？

(学生认真思考后，小组内交流、教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答.) 设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.

探究：周长相等问题

教师：用你手中的铁丝围成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？

学生：不变，都相等.

教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试.

(学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果)

学生：面积发生变化.

教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完成下面问题.

例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.

(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？

(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？

(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？

教学建议：小组讨论解题过程中，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作，帮助有学习有难的个人或小组.在讨论解答完成后，让小组选代表阐述解题的步骤、思路并展示自己小组所做的长方形(或正方形)，指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验、通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律，教师及时引导学生给予评价，表扬鼓励，同时用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题格式.

解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+1.4)m，

根据题意，得x+(x+1.4)=10×1

2

，

解这个方程，得x=1.8，

x+1.4=1.8+1.4=3.2，

此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.

(2)此时长方形的宽为x m，则它的长为(x+0.8)m，

根据题意，得x+(x+0.8)=10×1

2

、解这个方程，得x=2.1，

x+0.8=2.1+0.8=2.9，

此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.1×2.9=6.09m2，(1)中长方形的面积为3、2×1.8=5.76m2，此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6.09－5.76=0.33m2.

(3)设正方形的边长为x m，

根据题意，得4x=10×1

2

，解这个方程，得x=2.5，