计算机断层扫描成像(CT)

1引言
自七十年代初第一台电子计算机断层扫描装置问世以来，成像技术发展异常迅速，设备不断更新。

以医学成像为例，已实现了三大飞跃，即脏器清晰图像的获得，把生化病理研究推向分子结构的水平和直接提供有关成像组织的化学成分的信息，步入了断层显像的新时代。

计算机断层扫描和图像重建技术，是在不破坏物体情况下，将物体每一个断层面上的结构和组份的分布情况显示出来的一种实验方法，都是利用计算机图像重建的方法来得到物体内部的信息。

人们对射线成像的最早认识是从x 光机开始的。

医用x 光机成像技术的发展和应用已有近百年的历史，它是利用x 射线的物理性能和生物效应，来对人体器官组织进行检查。

由于普通x 光机只能把人体内部形态投影在二维平面上，因此会引起成像器官和骨骼等的前后重叠，造成影像模糊。

为了克服这一缺点，英国ENI 公司的工程师豪恩斯菲尔德(G.N.Hounsfield)运用了美国物理学家科马克(Cormack)于1963年发表的图像重建数学模型，推出了第一台x 射线计算机断层图像重建技术（X-CT ）装置，并1977年9月在英国Ackinson Morleg 医院投入运行。

1979年该技术的发明者Hounsfield 和Cormack 为此获得了诺贝尔医学奖。

X-CT 的出现是X 射线成像技术的一个重大突破。

经过多代的发展，X-CT 已获得广泛的应用。

在医学上，目前已可用来诊断脊柱和头部损伤，颅内肿病，脑中血凝块，及肌体软组织损伤，胃肠疾病，腰部和骨盆恶性病变等等。

目前X-CT 除了广泛应用于临床诊断、生命科学和材料科学以外，还在工业和交通等方面也有重要的应用，例如，在线实时无损检测工业CT 等。

2CT 成像实验原理
2.1概述
数学上可以证明，通过对物体进行多次投影就可得到该物体的几何形状。

CT 的基本思想是：让一束γ射线投射在物体上，通过物体对γ射线的吸收（多次投影）便可获得物体内部的物质分布信息。

当强度为0I 的一个窄束γ射线穿过吸收系数为μ的物体时，其强度满足指数衰减关系
0ut I I e -=
(1)
式中t 为射线所穿过物质层厚度。

在实际情况中，所研究的物体往往不是由单一成分组成的，当物体由若干个不同成分组成时，物体内部各处的μ也将可能不同。

在这样的物质中，束穿过整个物件后的强度为
0()()L I L I Exp u dt ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
⎰r
(2)
式中()u r 为r 处的吸收率。

CT 系统通过改变一组射线路径L ，记录下对应出射强度()I L 的变化来分析物体内部()u r 的分布。

在实际操作中，总是假定物体中的吸收系数()u r 是一个连续函数，通过射线测量方法和图像处理技术，将数学物理方程通过计算机解出函数()u r 。

在计算机屏幕上，可用颜色或灰度来表示()u r 的大小，从而被扫描的物体的切面图像即可显示出来。

实际的扫描装置通常是由排列成一定角度的多组探测器构成的，这样在每一个位置就可以获得多组数据，从而节省了测量时间，提高了工作效率。

共有三种信息收集方式：透射式CT （TCT ）、放射式CT(ECT)、反射式CT 。

我们主要考虑前两种CT 的成像原理。

2.2投影定理
Figure 1 坐标转换及射线位置示意图。

图中虚线代表射线经过的路线；黑点代表我们感兴趣的一个点。

我们需要求那里的吸收系数。

投影定理或中心切片定理是图像重建算法的基础。

设在角度φ，位置r x 上的射线吸收
大小为()r p x φ，即
()0()ln ()r L
I p x u dt I L φ⎛⎫
≡= ⎪⎝⎭⎰r
(3)
其中L 表示延Figure 1所示的虚线积分。

再设物体的一个二维平面内吸收率分布为(),f x y 。

那么投影定理在非衍射源情况下，其内容为：
()r p x φ按照r x 的一维傅立叶变换(),P ρφ是(),f x y 的二维傅立叶变换
()()12,,F F
ωωρφ= 的一个（过原点的）切片。

即
()(),,P F
ρφρφ= (4)
该定理的具体证明可以参见参考文献[1]，或者参考沈激老师的核技术的笔记。

那么，作为一个实际的CT 系统而言，首要算法问题是如何从实验上只能测得的()r p x φ，算出我们所需的(),f x y 。

CT 的算法很多，常见的有：反投影重建算法（累加法）、滤波（卷积）反投影重建算法、直接傅立叶变换重建算法、迭代重建算法等。

本节将介绍其中较为流行的卷积反投影重建算法。

为了清楚起见，我们重新声明一下推导中将使用的变量。

首先，在样品的一个断面上（如Figure 1所示），我们现在可以测得任意投影值()r p x φ（理想情况下为二维函数），如式(3)所示。

我们把它们用视角φ和视线（Figure 1中虚线）距离原点的距离r x 唯一标记。

我们需要求的是该断面上，任意一点(),x y （或者用极坐标(),r θ标记）上的吸收系数(),f x y 。

(),f x y 的二维傅立叶变换为()()12,,F F ωωρφ= 。

(),ρφ是空间频率点()12,ωω在极坐标系中的坐标。

由投影定理可知：
()()()()()1212121
2
12,,,,r f x y F F P p x φωωρφρφ----=⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=⎣⎦=⎡⎤⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦
F F F F F (5)
其中[]12-∙F 表示二维傅立叶反变换，[]∙F
表示一维傅立叶变换。

但是以上的傅立叶变换
并不适合计算机运算。

于是我们需要对它们进行进一步的化简：
()()()()()
1212121
2
12
2
,,,1,4i x y f r f x y F F e
d d ωωθωωωωωωπ-+∞
==⎡⎤⎣⎦
=
⎰⎰F
(6)
因为
()
()()()
12cos cos sin sin x r y r ωρφθωρφθ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨
==⎪⎪⎩⎩ (7)
所以
()
()12122,,4d d d d d d ωωωωρφ
ρφπρρφ
∂=
∂=
(8)
把(7)和(8)代入(6)得
()()()()
()()()()
2cos 02cos 0
,,,,g cos ,i r i r f r f x y F
e d d d P e d d r ππρθφπ
πρθφπ
θρφρρφ
φρφρρ
φθφφ∞
--∞
∞
--∞
===≡-⎰
⎰⎰⎰⎰
(9)
其中函数()()
g cos ,r θφφ-被定义为第二个积分。

它也是在该截面上定义的一个函数，且可以由()r p x φ算出。

我们需要的(),f r θ只是它关于角度的积分。

我们继续化简g 。

忽略掉固定的系数，g 是两个函数乘积的傅立叶反变换，即可以表示为这两个函数分别的反变换的卷积。

定义
()cos r r θφ'≡-
(10)
那么以上表述为
()()()()
()()
21
1g ,,,h i r r P e d P p r r p r πρφφφρφρρρρφρ∞
'-∞
--'≡
∝⎡⎤⎣⎦'=⎡⎤*⎣⎦''≡*⎰
F F
(11)
其中
()1
h r ρ-'≡⎡⎤⎣⎦F
(12)
与()r p x φ卷积，也是一次对()r p x φ的滤波。

滤波函数是ρ。

总之，为了求解(),f x y ，我们需要把()r p x φ与h 卷积，得到二维函数g 。

然后把g 在反投影、延φ方向上累加即可。