近世代数参考答案

安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》

考试试卷（B 卷）参考答案

一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：

1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）

2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）

3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）

则这个关系是的一个等价关系．

2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．

3、错，因为由于[]Z x x Z <>≅，而整数环Z 不是一个域．

4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．

5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且

1）存在ϕ：()()f x f x →的次数，

是非零多项式到非负整数集的一个映射；

2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环．

二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．

2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}

50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+

5432

[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分）

1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>≅，整数环Z 是一个

整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．

2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ⨯⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，000a S a Z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭

，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，

{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群

（44(13)(13)B B ≠）．

四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）

1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显

然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．

又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且

1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，

这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，

故中的阶大于2的元素个数必为偶数．

2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由

1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．

2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由

于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样

11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．

又由于易证1:x axa ϕ- 是H 到1aHa -的一个双射，且

1()()x y a x y a ϕ-=11()()axa axa --=()()

x y ϕϕ= 故ϕ是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -≅．

2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．

其次，对22,a b c d R b a d

c ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b c

d F ∈，我们有 2222a b c d c d a b b a d c d c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222ac bd ad bc R bc ad bd ac ++⎛⎫=∈ ⎪++⎝⎭

, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭， 即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭

，使得

对 2a b R b a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1022100101a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2a b b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭

， 综上所述，2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭

数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．

4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb na b b ===． 但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．

设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m b ≤=． 因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．

2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．

则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10n a ≠，20n a ≠．

但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．

5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故

x y H y x H =，xyK yxK =．