隐函数微分法
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= 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z= f ( x , y ) ，
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯
它满足条件 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) ，并有 Fy Fx ∂z ∂z =− =− ， Fz Fz ∂y ∂x
②
定理的证明从略，仅就公式②作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式②作如下推导：
将 z= f ( x , y ) 代入 F ( x , y , z )= 0 ， =
x 2y dz = − dx − dy , 3z 3z
x ∂z , 故 =− 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
1 ∂z x ∂ 2z ∂ ∂z x 2y 2xy = ( ) = − ⋅ (− 2 ) ⋅ = (− ) =− 3 . 2 3 ∂x∂y ∂y ∂x 3z z ∂y 3z 9z
F x = 2 x ， F y = 4 y ， Fz = 6 z ，
Fx 2x x ∂z 故 =− =− =− , ∂x Fz 6z 3z
Fy 4y 2y ∂z . =− =− =− Fz 6z 3z ∂y
直接法 解法 2：直接法
在 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边分别对 x 和 y 求偏导, 注意 z 是 x、y 的函数，得 、 的函数，
作
业
5.3（ 习 题 5.3（P.46） ）
19.（1）； 20（2）（4）； ）（4 21.
y− x 1 1 Fy = 2 , − ⋅ = 2 2 2 y 2 x x +y x +y 1+ ( ) x y
Fx x + y dy . =− = dx Fy x − y
定理4 隐函数存在定理 2 定理 4（隐函数存在定理2）
满足下列条件： 设三元函数 F ( x , y , z ) 满足下列条件： 三元函数
Fx dy =− . dx Fy
定理的证明从略，仅就公式作如下推导： 定理的证明从略，仅就公式作如下推导：
把 y= f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) = 0 ，得 F [ x , f ( x )]≡ 0 ， =
dy 求导， 两端对 x 求导，得 F x + F y ⋅ = 0， dx
dy . dx
处处连续， 解：设 F ( x , y )= x 2 + y 2 −1 ，则 Fx = 2 x ， F y = 2 y 处处连续，
当 y ≠ 0 时， F y = 2 y ≠ 0 ，由定理 1 知，Байду номын сангаас要 ( x , y ) ≠ ( ±1, 0),
方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( x , y ) 的某邻域内能确定唯一的隐
∵ F [ x , y , f ( x , y )]≡ 0 ，
F
∂z ∂z ∴ F x + Fz ⋅ = 0 ， F y + Fz ⋅ = 0 ， ∂x ∂x ∵ Fz 连 续 ， 且 F z ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ，
x y x z y
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 Fz ≠ 0 ，
ϕ x = F1 ， ϕ y = F2 ， ϕ z = − aF1 − bF2 ，
ϕy ϕx F1 ∂z F2 ∂z , =− = =− = , ∂x ϕ z aF1 + bF2 ∂ y ϕ z aF1 + bF2
aF1 bF2 ∂z ∂z 故 a +b = + = 1. ∂x ∂ y aF1 + bF2 aF1 + bF2
3. 6由一个方程确定的隐函数的微分法 由一个方程确定的隐函数的微分法
定理3.4（隐函数存在定理） 定理 （隐函数存在定理）
如果二元函数 满足： 如果二元函数 F ( x , y ) 满足： 二元 的某一邻域内连续； （1） Fx ( x , y ), F y ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内连续； （ 2 ） F ( x 0 , y 0 ) = 0 ； 3） F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， （3 （ 的某一邻域中 则方程 F ( x , y )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域中唯一 确定了 确定了一个具有连续导数的函数 y= f ( x ) ，它 = 满足 y 0 = f ( x 0 ) 及 F [ x, f ( x)] ≡ 0 ，并且
∵ F y 连续，且 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 ， 连续，
x F y x
的某个邻域， ∴存在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域，在该邻域内 F y ≠ 0 ，
Fx dy ∴ . =− dx Fy
例 1．方程 x 2 + y 2 −1= 0 在哪些点的某邻域内能够确定唯一 在隐函数存在时， 的隐函数 y= y( x ) ？在隐函数存在时， 求 =
Fy Fx ∂z ∂z ∴ =− ， =− . Fz Fz ∂x ∂y
可推广到三个自变量以上的情况. 定理 3 可推广到三个自变量以上的情况.
∂z ∂z ∂ 2z 例 3．设 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 =4 ，求 ， ， . ∂x ∂y ∂x∂y
公式法 解法 1：公式法
设 F ( x , y , z ) = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 4,
函数 y= y ( x ) ，且 =
Fx dy x 2x =− =− =− . dx Fy 2y y
y 例2． 求由方程 ln x 2 + y 2 = arctan 所确定的隐函数 x dy y= y( x ) 的导数 . = dx
1 y 2 2 解：设 F ( x , y ) = ln( x + y ) − arctan ， 2 x x 1 y x+ y Fx = 2 , − ⋅ (− 2 ) = 2 2 2 y x +y x x +y 1 + ( )2 x
∂z 2 x + 6z = 0, ∂x
∂z 4 y + 6z = 0, ∂x
解得 x ∂z =− , 3z ∂x 2y ∂z . =− 3z ∂y
解法 3：全微分法 全微分法
在方程 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 4 两边全微分 , 得
2 xdx + 4 ydy + 6 zdz = 0,
例 4．设 z= z( x, y ) 是由方程 F ( x − az, y − bz)= 0 所确定 = ∂z ∂z 的隐函数， 为常数， 的隐函数，其中 a, b 为常数，证明 a + b =1 . ∂x ∂ y
证：设 ϕ ( x , y , z ) = F ( x − az , y − bz ) ，则
（1）在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内具有连续的偏导 数 Fx ,F y ,Fz ； （2） F ( x 0 , y 0 ,z 0 ) = 0 ； （3） Fz ( x 0 , y 0 ,z 0 ) ≠ 0 ； 则方程 F ( x , y ,z )= 0 在点 P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) 的某一邻域内恒能唯