棒球击球点问题

(13) (14) (15)
方程组（13）、（14）、（15）是确定刚体打击中 心的必要条件，其中独立方程的个数只有2 个，再 结合刚体形状特征方程，由以上任意1 至2 个方程 就可以确定打击中心位置P(x，y，z)。
• 1.5 球棒形状模型 • • • • • ⑴均匀细杆模型 L=1m r=3.5cm ⑵圆锥体模型 ⑶圆柱体+圆锥体模型 ⑷圆柱体+圆锥体+圆柱体模型 ⑸（半圆锥体+半圆锥体）+圆柱体模型
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棒球最佳击球点问题
问题1：最佳击球点
• 1.1 几个概念 P mv 动量 角动量 L r P rmv
• 动量守恒 角动量守恒 • 刚体
绳
刚体
动量Байду номын сангаас恒 角动量守恒
动量不守恒 角动量守恒
• 1.2 打击中心 刚体在外力作用下作定点转动时，会在支点 处产生较大的附加压力，这种力在实际应用 中往往危害很大。 但是，当外力作用在刚体某特殊位置时，刚 体达到动平衡，这种附加压力可以消除。这 时的转动支点，叫自由转动点，即便取消约 束，刚体还是绕该点转动。 这样的外力特殊作用位置，就是刚体的打击 中心。
(3)
写为分量式： m[(x i y j z k ) ( xc i yc j zc k )] ( Fx i Fy j Fz k )t (4)
引入方向余弦、、 则x , y , z 然后，（4）式化为 m( zc yc ) Fx t m( xc zc ) Fy t m( yc xc ) Fz t
• 注1：要计算重心和相对于转轴的转动惯量 • 注2：转轴经过球棒的最顶端吗？？ Lc=20cm?
问题2：球棒软木化问题
• 2.1问题分析
( I xx I yx I zx ) =y( yc xc )m z ( xc zc )m ( I xy I yy I zy ) z( zc yc )m x( yc xc )m ( I xz I yz I zz ) x( xc azc )m y ( zc yc )m (13) (14) (15)
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• 1.4 确定打击中心
• 以转轴为坐标原点建立坐标系O-XYZ。刚 体在受到冲量I = F△t的作用时绕定点O 转 动，设刚体在O 点受到的约束力为N。当满 足N = 0时，力的作用点P（x，y，z）的位 置即为打击中心。
• 由质心运动定理 、动量定理和 角动量定理， 有：
（5）
（6）
（7）
三维情况下角动量定义式： I xx L I yx I zx I xy
I xz I yy I yz I zy I zz ( I xx I yx I zx ) i ( I xy I yy I zy ) j ( I xz I yz I zz ) k L ( I xx I yx I zx ) i ( I xy I yy I zy ) j ( I xz I yz I zz )（8） k
对于击球情况，（13）简化为 zzc m I xx (16)
zzc m I xx
(16)
• 问题转化为球棒质量分布变化后Zc、m、Ixx的 改变对z的影响。 • 代入1.5中的模型计算（均匀细杆除外），可 得出z会变大的结论，即打击中心会向球棒末 端移动。 • 越靠近球棒末端线速度是越大的，相应的能量 也越大，此时对球的打击力也越大。 • 所以，球棒软木化有使打击中心偏移的效果， 球速也更快，也就破坏了比赛的公平性，故在 正式比赛中明令禁止。
(10) (11) (12)
将（5）、（6）、（7）代入（10）、（11）、（12），得到 ( I xx I yx I zx ) =y( yc xc )m z ( xc zc )m (13) ( I xy I yy I zy ) z( zc yc )m x( yc xc )m ( I xz I yz I zz ) x( xc azc )m y ( zc yc )m (14) (15)
• 1.3 何处为最佳击球点？ • 若击球点不在打击中心，则人体挥棒的力 一部分作用在球上，一部分消耗在抵消约 束反力上。 • 从能量观点看，在人挥棒的能量一定时， 击球点在打击中心可使球获得最大动能。 • 从棒球受力角度看，若击球处为打击中心 ，则即便没有人对球棒的约束力，球棒仍 然绕原轨迹转动，球的飞行就平直稳定。 • 所以，打击中心即为我们要找的击球点。
( mvc ) ( F N )t L r ( F N )t
当N =0时，化为 (mvc ) F t L r F t
(1) (2)
对于刚体定轴转动，（1）式改写为 mvc m( rc ) F t
( I xx I yx I zx ) =y( yc xc )m z ( xc zc )m ( I xy I yy I zy ) z( zc yc )m x( yc xc )m ( I xz I yz I zz ) x( xc azc )m y ( zc yc )m
力矩 M r F ( xi y j zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
（9）
综合（2）（8）（9）可得： ( I xx I yx I zx ) =( yFz zFy )t ( I xy I yy I zy ) ( zFx xFz )t ( I xz I yz I zz ) ( xFy yFx )t