吉林省长春市东北师大附中2019-2020学年九年级下学期综合测试数学试题(word无答案)

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吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题

吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年九年级第二次综合测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中是无理数的是( )A ．√916B ．√−83C ．237D ．π4 2．改善空气质量的首要任务是控制 2.5PM ， 2.5PM 是值环境空气中空气动力学当量直径小于等于0.00025厘米的颗粒物，这里的0.00025用科学记数法表示为（） A ．42.510⨯ B ．32.510-⨯ C ．42.510-⨯ D ．52.510-⨯ 3．如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的三视图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．主视图和俯视图B ．俯视图C ．俯视图和左视图D ．主视图4．将一副三角板（30,45AE ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒ 5．下列各式计算正确的是（）A ．23525a a a +=B ．23a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()325a a = 6．如图，已知D ，E 分别是△ABC 的AB ， AC 边上的点，DE∥BC，且BD=3AD ．那么AE:AC 等于（）A．2 : 3B．1 : 2C．1 : 3D．1 :47．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα8．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(2,3)-，(1,3)，点M的橫坐标的最小值为5-，则点N的橫坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题9．不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩的解集是________.10．—元二次方程22310x x--=根的判别式的值是_____________；11．已知射线OM.以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度)12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为1，AB x轴，点A的坐标为()1,1，若直线1y kx =-与正方形的边（包括顶点）有交点，则k 的取值范围是_____________．13．如图（1），矩形纸片ABCD 中，AB=5,BC=3,先按图（2）操作，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落在边AB 上的点E 处，折痕为AF ；再按图（3）操作：沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上的点H 处，折痕为FG,则A 、H 两点间的距离为_______.14．如图，已知点B D 、在反比例函数(0)a y a x=>的图象上，点A C 、在反比例函数(0)b y b x=>的图象上，AB CD x 轴，AB CD 、在x 轴的同侧，43AB CD ==，，AB 与CD 间的距离为12，则-a b 的值是_______________．三、解答题15．先化简，再求值：2224442x x x x x ⎛⎫-+÷- ⎪+⎝⎭，其中3x =-． 16．小红和小丁玩纸牌优秀，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张,比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．17．图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB DE 、的端点均在格点上．（1）在图①中画出以AB 为斜边的等腰直角ABC ，使点C 在格点上；（2）在图②中画出以DE 为斜边的直角DEF ，使点F 在格点上且DEF 与ABC 不全等，再在DE 上找到一点P ，使得FP 最短．（要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法）18．长春的冬天经常下雪，为了提高清雪的效率，市政府启用了清雪机，已知一台清雪机的工作效率相当于一名环卫工人的200倍，若用这台清雪机清理9000立方米的积雪，要比150名环卫工人清理这些积雪少用2小时，求一台清雪机每小时清雪多少立方米？ 19．如图，已知O 为ABC 的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BE ，使得BA 平分CBE ∠，过点A 作AD BE ⊥于点D ．（1）求证：DA 为O 的切线；（2）若1,tan 2BD ABD =∠=，则O 的半径为____________．20．“绿水青山就是金山银山”，北京市民积极参与义务植树活动．小武同学为了了解自己小区300户家庭在2021年4月份义务植树的数量，进行了抽样调查，随即抽取了其中30户家庭，收集的数据如下（单位：棵）：1 123 2 3 2 3 34 3 3 4 3 35 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6（1）对以上数据进行整理、描述和分析：①绘制如下的统计图，请补充完整；②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是______，众数是______；（2）“互联网＋全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新，2021年首次推出义务植树网上预约服务，小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式，由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户．21．如图：甲、乙两地相距300km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA 和折线BCD 分别表示货车和轿车离甲地的距离y ()km 与货车出发时间x ()h 之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度为___________/km h ，当轿车到达乙地后,货车距乙地的距离为____________千米；（2）求轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再次与货车相遇？22．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．23．如图，在ABC 中，35,7,tan 4AB BC B ===，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒53个单位长度的速度向终点B 运动，过P 作PQ BC ，交AC 于点Q ，以PQ PB 、为邻边作平行四边形PQDB ，同时以PQ 为边向下作正方形PQEF ，设点P 的运动时间为t 秒()0t >．（1）点A 到直线EF 的距离______________；（用含t 的代数式表示）（2）当点D 落在落在PF 上时，求t 的值；（3）设平行四边形PQDB 与正方形PQEF 重叠部分的面积为()0S S >，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．（4）设:PDE APE S S m =△△，当112m 时，直接写出t 的取值范围．24．已知抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、. （1）求抛物线的解析式；（2）设直线y m =与该抛物线交于点E F 、（E 在F 的左侧），记抛物线在直线EF 下方的图象为1M ，在直线EF 上方的图象为2M ，将图象2M 沿直线EF 向下翻折得到图象3M ，图象1M 和图象3M 两部分组成的图象记为M .①设图象3M 的顶点为D ，当D 落在ABC 的边上时，求实数m 的值.②当0m =时,设()00,P x y 是图象M 上的动点.（i ）连结CP ，过线段CP 的中点作y 轴的平行线交x 轴于点Q ，当CPQ 是以Q 为直角顶点的直角角形时，直接写出0x 的值.（ii ）当00(0)x t t >时，0y 的最小值为u ，直接写出u 的最大值及相应的t 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. √916=34是分数，为有理数，此选项错误；B. √−83=-2是有理数，此选项错误；C. 237是分数，为有理数，此选项错误； D. π4是无理数，此选项正确.故选D【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2．C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00025=2.5×10-4，故选：C ．【点睛】此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．B【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案．【详解】解：从正面看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，是轴对称图形，不是中心对称图形；从左边看第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形是轴对称图形，不是中心对称图形；从上面看四个小正方形呈“+，是轴对称图形也是中心对称图形．故选：B ．【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义．4．A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：//,30BA EF A ∠︒＝，30FCA A ∴∠=∠=︒．45F E ∠∠︒＝＝，304575AOF FCA F ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.5．B【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】解：A、a2和2a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误；B、a•a2=a3，故原题计算正确；C、a6÷a2=a4，故原题计算错误；D、（a2）3=a6，故原题计算错误；故选：B．【点睛】此题考查合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是掌握计算法则．6．D【详解】解：∵DE∥BC，∴AD AE AB AC=，∵BD=3AD，∴13 AD AEBB EC==，∴AE:AC=1:4；故选D.7．B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8．B【分析】当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，M的横坐标为-5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，即可确定N的横坐标最大值．【详解】解：当顶点为（-2，3）时，函数的对称轴为x=-2，∵M的横坐标为-5，∴N的横坐标为1，∴MN=6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为-2，∴N的横坐标为4；故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．9．a>2【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，得出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式组20360aa-<⎧⎨+>⎩①②，解①得：2a＞，解②得：a＞-2，∴原不等式组的解集为2a＞；故答案为：2a＞.【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，其中一元一次不等式的解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．10．17【分析】根据根的判别式的内容求出即可．【详解】解：2x2-3x-1=0，△=（-3）2-4×2×（-1）=17，即一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是17，故答案为：17．【点睛】此题考查根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解题的关键．11．60【解析】【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．【详解】连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．12．13k ≤≤【分析】根据正方形的性质求得A 、C 的坐标，分别代入y=kx 中，即可求得k 的取值，根据取值范围即可判断．【详解】∵正方形ABCD 的边长为1，点A （1，1），．∴B （2，1），D （1，2），当直线y=kx 经过点D 时，则2=k-1，k=3当直线y=kx 经过点B 时，则1=2k-1，解得k=1，∴若直线y=kx-1与正方形ABCD 的边有交点，则k 取值为：1≤k≤3，故答案为：1≤k≤3．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象和系数的关系，正方形的性质，解题关键是求出点A 、C 的坐标，掌握正方形的性质．13．13【解析】【分析】如图3中，连接AH ．由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，根据AH=【详解】如图3中，连接AH ，由题意可知在Rt △AEH 中，AE=AD=3，EH=EF-HF=3-2=1，∴，【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义，得出a-b=4•OE，a-b=3•OF，再根据OF-OE=12，即可求出a-b的值．【详解】解：如图，由题意知：OE•BE=a①，OE•AE=-b②，①+②，得OE•BE+OE•AE=a-b，即a-b=4•OE，同理，可得a-b=3•OF，∴4OE=3OF，∴OE：OF=3：4，又∵OF-OE=12，∴OE=32，OF=2，∴a-b=6．故答案是：6．【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，利用数形结合是解题的关键．15．化简得12x-；求值得15-．【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】原式=()()()()22 222244()(222)() x x x xx x x x x x x x x-+-++-÷=⨯++-=12 x-，当x=-3时，原式=15 -．【点睛】此题考查分式的化简求值，正确通分运算是解题关键．16．树状图见解析；12．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小红获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，所以小红获胜的概率12 =．【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于掌握利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B 的概率．17．（1）图见解析；（2）图见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可．（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．【详解】（1）△ABC即为所求．（2）Rt△DEF如图所示，取格点K，连接FK交DE于P，此时PF最短．【点睛】此题考查作图-应用与设计，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．18．1500立方米【分析】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．等量关系为：一台清雪机清理9000立方米的积雪所用时间=150名环卫工人清理这些积雪所用时间-2小时，依此列出方程，解方程即可．【详解】设一名环卫工人每小时清雪x立方米，则一台清雪机每小时清雪200x立方米．根据题意得：90009000 200150x x-2，解得：x=7.5，经检验x=7.5是原方程的解，当x=7.5时，200x=1500．答：一台清雪机每小时清雪1500立方米．【点睛】此题考查分式方程及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系与不等关系是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）52．【分析】（1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．【详解】（1）证明：连接OA；∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA为⊙O的切线．（2）解：∵BD=1，tan∠ABD=2，∴AD=2，∴=，∴cos∠；∵∠DBA=∠CBA，∴BC=ABcos CBA=∠=5．∴⊙O的半径为2.5．故答案为：2.5．【点睛】此题考查切线的判定，三角函数值，解题关键在于掌握要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．20．(1) 3.4棵、3棵；(2)70.【分析】（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，据此补全图形可得；②根据平均数和众数的定义求解可得；（2）用总户数乘以样本中采用了网上预约义务植树这种方式的户数所占比例可得．【详解】解：（1）①由已知数据知3棵的有12人、4棵的有8人，补全图形如下：②这30户家庭2021年4月份义务植树数量的平均数是1223312485461 3.430⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（棵），众数为3棵，故答案为：3.4棵、3棵；（2）估计该小区采用这种形式的家庭有73007030⨯=户，故答案为：70．【点睛】此题考查条形统计图，加权平均数，众数，解题关键在于利用样本估计总体.21．（1）60；30；（2）(1101952.5 4.)5y x x =-≤≤；（3）3017小时．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得货车的速度和当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离；（2）根据函数图象中的数据可以求得轿车改变速度后y 与x 的函数关系式；（3）根据函数图象中的数据可以求得CD 段小轿车的速度，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由图象可得，货车的速度为：300÷5=60km/h ，当轿车到达乙地后，货车距乙地的距离为：60×（5-4.5）=30（千米），故答案为：60，30；（2）设轿车改变速度后y 与x 的函数关系式为y=kx+b ， 2.5804.5300k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，得110195k b ⎧⎨-⎩＝＝，即轿车改变速度后y与x的函数关系式是y=110x-195（2.5≤x≤4.5）；（3）轿车CD段的速度为：（300-80）÷（4.5-2.5）=110km/h，设轿车从乙地出发后th时再次与货车相遇，（110+60）t=300，解得，t=3017，答：轿车从乙地出发后经过3017小时再次与货车相遇．【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．22．【问题探究】（1）72︒；（2）6AC=．【拓展应用】【分析】问题探究：（1）由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°，证出AC=AE，由平行线证明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；拓展应用：过点D作DF∥AB交AC于点F．证明△BAE∽△DFE，得出AB AE BEDF EF DE===2，得出AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，证出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出即可．【详解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，∴∠ACE=180°-108°=72°；故答案为：72；（2）∵CE∥AB，∴∠E=∠BAD=72°，∴∠E=∠ACE，∴AC=AE，∵CE∥AB，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD ED CD=，∵BD=2CD，∴ADED=2，∴AD=2ED=4，∴ED=2，∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展应用：解：如图3中，过点D作DF∥AB交AC于点F．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，∴∠DFA=∠BAC=90°，∵∠AEB=∠DEF，∴△BAE∽△DFE，∴AB AE BEDF EF DE===2，∴AB=2DF，EF=12AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=75°=∠ADC，∴AC=AD，在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，∴DF=AF×tan∠，∴，∴AC=AB，在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∴；故答案为：．【点睛】此题考查四边形综合题，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．23．（1）103t；（2）t=1211；（3）S=224912(0)2411123116(3)11t tt t t⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．S最大=4912；（4）t的值为1≤t≤65或2≤t＜3．【分析】（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PB•cos∠B，构建方程即可解决问题．（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当1211＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．∵PQ∥BC，∴PQ PA BC AB=，∴5375tPQ=，∴PQ=73t，∵四边形PQEF是正方形，∴∠QPF=∠F=90°，∵AH⊥EF，∴∠FHJ=90°，∴四边形PFHJ是矩形，∴JH=PF=PQ=73t，在Rt△APJ中，AJ=PA•sin∠APJ=533•5t=t，∴AH=AJ+JH=t+73103t=t．（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PB•cos∠B，∵四边形PQDB是平行四边形，∴BD=PQ，∴（5-457•335t=）t，解得t=12 11．（3）①如图3中，当0＜t≤1211时，重叠部分是△PGQ，S=7349•••••3117223442PQ PG t t==t2．②如图4中，当1211＜t ＜3时，重叠部分四边形PQDG ，S=S 平行四边形PQDB -S △PBG =535354•5553535132357t t t t ----（）（）（） =-3t 2+11t-6．综上所述，S=224912(0)2411123116(3)11t t t t t ⎧≤⎪⎪⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜．第一种情况，当t=1211时，S 最大=294121．第二种情况，当t=116时，S 最大=4912．综上，S 最大=4912．（4）①如图5中，作DH ∥PE 交AB 于H ，连接EH ．∵DH ∥PE ，∴S△PED=S△PEH，∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由题意易知：PE∥AC∥DH，∴BD：BC=BH：BA，∴73t：7=BH：5，∴BH=53 t，∴PH=5-53t-53t=5-103t．∴m=（5-103t）：53t，∵12≤m≤1时，∴12≤310553tt-≤1，解得：1≤t≤65．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．同法可得：∴52103315tt-≤≤1，解得：2≤t≤3．综上所述，满足条件的t 的值为1≤t≤65或2≤t ≤3．【点睛】此题考查相似三角形综合题，正方形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．24．（1）227133y x x ∴=-+-；（2）①1516或2548 ②（i ）0611x =或2或145- （ii ）max 1u =-，30＜2t ≤ 【分析】（1）将A 、B 、C 各点代入2y ax bx c =++得到三元一次方程组，解方程组即可求解；（2）①根据题意先求出抛物线M 3，再求M 3的顶点D 的坐标，分情况讨论：点D 在直线BC 上和x 轴上两种情况，列方程求解；②（i ）分三种情况：当012x ≤，0132x ≤＜，03x ＞时，根据相似三角形的判定和性质回答即可求解；（ii ）根据题意，结合图像回答即可．【详解】解：（1）把()()1,03,00,12A B C ⎛⎫ ⎪-⎝⎭、、代入2y ax bx c =++得， 110420931a b c a b c c ⎧=++⎪⎪=++⎨⎪-=⎪⎩ ，解得23731a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 227133y x x ∴=-+-；（2）①（i ）设点(),x y 是抛物线3M 上任意一点，则(),x y 关于直线y m =的对称点(),2x m y -一定在抛物线2M 上，将点(),2x m y -代入抛物线2M ：227133y x x =-+-，得 2272133m y x x -=-+-，整理，得2272133y x x m =-++， ∴抛物线2327:2133M y x x m =-++， ∴抛物线3M 的顶点坐标为：725,2424m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()3,00,1B C -、，∴直线BC 为：113y x =-，当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BC 上时，如图2517212434m -=⨯-，解，得1548m =，当点725,2424m ⎛⎫- ⎪⎝⎭x 轴上时，如图252024m -=，解，得2548m =；故m 的值为：1548m =或2548m =； ②过点P 作PT⊥x 轴于点T ，则△OCQ∽△TQP， OQ OC PT TQ= 当012x ≤时000122x x y -=-- ，整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+- ⎪⎝⎭，解，得01x =，02x =（舍去）当0132x ≤＜时，由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+ ， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，解，得010262,11x x == ，当03x ＞时，由由△OCQ∽△TQP 得，000212x y x -=整理，得2004x y =-，又200027133y x x =-+-， 22000274133x x x ⎛⎫∴=--+⎪⎝⎭，解得， 01x =（舍去），02145x +=综上所述，0x 的值为0611x =或2（ii ）如图当0102x <<时，0y 有最小值，01y =- 当01724x <≤时，200027133y x x =-+，当07732423x -=-=⨯时，0y 有最小值，02524y =- 25124∴->- 把01y =- 代入抛物线3M ：200027133y x x =-+，200271133x x -+=-，解，得01023,22x x ==（不合题意，舍去） ∴u 的最大值为-1， 30＜2t ≤【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像和性质，点的坐标特征，轴对称，相似三角形的判定和性质及分类讨论思想，属于压轴题．。

吉林省长春市2019-2020学年九年级下学期数学第一次摸底考试(含答案)

吉林省长春市2019-2020学年九年级下学期数学第一次摸底考试（含答案）一、选择题（共12分）1.如图，该几何体的俯视图是( )A. B. C. D.【答案】 D【考点】简单几何体的三视图2.下列事件是随机事件的是（）A. 人长生不老B. 明天就是5月1日C. 一个星期有七天D. 2020年奥运会中国队将获得45枚金牌【答案】 D【考点】随机事件3.已知反比例函数y= 的图象的两支分期在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A. k>-B. k>C. k<-D. k<【答案】C【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义5.如图，AB是⊙O的真径，点C、D在⊙O上，若∠ABD=50°．则∠BCD的度数为（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】 D【考点】圆周角定理6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（）A. FC：FB=1：3B. CE：CD=1：3C. CE：AB=1：4D. AE：AF=1：2【答案】C【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质二、填空题（共24分）7.点（-2，5）关于原点对称的点的坐标是________．【答案】（2，－5）【考点】关于原点对称的点的坐标8.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA= ，那么AC=________．【答案】2【考点】解直角三角形9.抛物线y=5（x-4）2+3的顶点坐标是________。

【答案】（4，3）【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质10.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是________。

吉林省长春市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析

吉林省长春市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，等腰直角三角形的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，∠1=30°，则∠2的度数为（）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20°3．如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，则BE 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．24．不论x 、y 为何值，用配方法可说明代数式x 2+4y 2+6x ﹣4y+11的值（）A ．总不小于1B ．总不小于11C ．可为任何实数D ．可能为负数5．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23mx 若y 随x 的增大而减小，则m 的值为（） A ．2 B ．-2 C ．±2 D ．-12 6．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C．D．7．若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相等，则实数x的值不可能是( )A．6 B．3.5 C．2.5 D．18．下列运算结果正确的是()A．x2+2x2＝3x4B．(﹣2x2)3＝8x6C．x2•(﹣x3)＝﹣x5D．2x2÷x2＝x9．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，5）D．（﹣2，5）10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD和CE是高，∠ACE=45°，点F是AC的中点，AD与FE，CE分别交于点G、H，∠BCE=∠CAD，有下列结论：①图中存在两个等腰直角三角形；②△AHE≌△CBE；③2AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．412．欧几里得的《原本》记载，形如22x ax b +=的方程的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=o ，2a BC =，AC b =，再在斜边AB 上截取2a BD =.则该方程的一个正根是（）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，从一个直径为1m 的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m ．14．方程3x 2﹣5x+2=0的一个根是a ，则6a 2﹣10a+2=_____．15．如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．16．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是________________17．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．18．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A 处测得小岛C 位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B 处，测得小岛C 在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C 的距离为_________海里.（结果保留根号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在△ABC中，AB AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）当BC=4，AC=6时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．20．（6分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？21．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，连接AD，过D作AC的垂线，交AC边于点E，交AB 边的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，BF=3，求弧AD的长．22．（8分）随着移动计算技术和无线网络的快速发展，移动学习方式越来越引起人们的关注，某校计划将这种学习方式应用到教育学中，从全校1500名学生中随机抽取了部分学生，对其家庭中拥有的移动设备的情况进行调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m 的值为；求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；根据样本数据，估计该校1500名学生家庭中拥有3台移动设备的学生人数．23．（8分）如图,直线11y k x b =+与第一象限的一支双曲线m y x=交于A 、B 两点,A 在B 的左边. (1)若1b =4,B(3,1),求直线及双曲线的解析式：并直接写出不等式11m k x b x ＜+的解集； (2)若A(1,3),第三象限的双曲线上有一点C,接AC 、BC,设直线BC 解析式为y kx b =+；当AC ⊥AB 时,求证：k 为定值.24．（10分）如图是8×8的正方形网格，A 、B 两点均在格点（即小正方形的顶点）上，试在下面三个图中，分别画出一个以A ，B ，C ，D 为顶点的格点菱形（包括正方形），要求所画的三个菱形互不全等．25．（10分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？26．（12分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为»BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝13，求⊙O的半径．27．（12分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示．(1)求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；(2)求乙的步行速度；(3)求乙比甲早几分钟到达终点？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．2．B【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．详解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，∵a∥b，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；故选B．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．3．B【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，然后判断出△AEB是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得BE=AB．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，∴AB=AE，∠BAE=60°，∴△AEB是等边三角形，∵AB=1，∴BE=1．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．4．A【解析】【分析】利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；【详解】解：∵x2+4y2+6x-4y+11=（x+3）2+（2y-1）2+1，又∵（x+3）2≥0，（2y-1）2≥0，∴x2+4y2+6x-4y+11≥1，故选：A．【点睛】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法.5．B【解析】【分析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．【详解】由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，解得：m=-2，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y随x的增大而减小．6．B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7．C【解析】【分析】因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．【详解】（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，处于中间位置的数是4，∴中位数是4，平均数为（2+3+4+5+x）÷5，∴4=（2+3+4+5+x）÷5，解得x=6；符合排列顺序；（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，中位数是4，此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，解得x=6，不符合排列顺序；（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，中位数是x，平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，解得x=3.5，符合排列顺序；（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，解得x=1，不符合排列顺序；（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，中位数是3，平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，解得x=1，符合排列顺序；∴x的值为6、3.5或1．故选C．【点睛】考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．8．C【解析】【分析】直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】A选项：x2+2x2=3x2，故此选项错误；B选项：（﹣2x2）3=﹣8x6，故此选项错误；C选项：x2•（﹣x3）=﹣x5，故此选项正确；D选项：2x2÷x2=2，故此选项错误．故选C．【点睛】考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．9．A【解析】分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．详解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），∴点O是AC的中点，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD经过点O，∵B的坐标为（﹣2，﹣2），∴D的坐标为（2，2），故选A．点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．C【解析】①图中有3个等腰直角三角形，故结论错误；②根据ASA 证明即可，结论正确；③利用面积法证明即可，结论正确；④利用三角形的中线的性质即可证明，结论正确.【详解】∵CE ⊥AB ，∠ACE=45°，∴△ACE 是等腰直角三角形，∵AF=CF ，∴EF=AF=CF ，∴△AEF ，△EFC 都是等腰直角三角形，∴图中共有3个等腰直角三角形，故①错误，∵∠AHE+∠EAH=90°，∠DHC+∠BCE=90°，∠AHE=∠DHC ，∴∠EAH=∠BCE ，∵AE=EC ，∠AEH=∠CEB=90°，∴△AHE ≌△CBE ，故②正确，∵S △ABC =12BC•AD=12AB•CE ，AE ，AE=CE ，∴CE 2，故③正确，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC ，∴S △ABC =2S △ADC ，∵AF=FC ，∴S △ADC =2S △ADF ，∴S △ABC =4S △ADF ．故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．12．B【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD 的长,即可发现结论.【解答】用求根公式求得：12x x ==∵90,2a C BC ACb ∠=︒==，，∴AB =∴2a AD == AD 的长就是方程的正根.故选B.【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．8m ．【解析】【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【详解】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，∴扇形的半径为：2m ，∴扇形的弧长为：902180π＝4πm ，∴圆锥的底面半径为：4π÷2πm ．【点睛】本题考查：90度的圆周角所对的弦是直径；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，解题关键是弧长公式．14．-1【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a 代入方程3x 1-5x+1=0，列出关于a 的一元二次方程，通过变形求得3a 1-5a 的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x 1-5x+1=0的一个根是a ，∴3a 1-5a+1=0，∴3a 1-5a=-1，∴6a 1-10a+1=1（3a 1-5a ）+1=-1×1+1=-1．故答案是：-1．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 15．【解析】【分析】【详解】过D 点作DF ⊥AB 于点F ．∵AD=1，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB ﹣AE=1．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD 的面积－扇形ADE 面积－三角形CBE 的面积 =. 故答案为：.16．222()2a b a ab b +=++【解析】由图形可得：()2222a b a ab b +=++17．8【解析】【分析】【详解】解：设边数为n ，由题意得，180（n-2）=360⨯3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.18．52【解析】【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．【详解】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，∴∠ABH=60°，BH=12AB=5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），∴BH=CH=5海里，∴2．故答案为2【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）证明见解析；（2）32；（3）1.【解析】【分析】（1）连接OM，如图1，先证明OM∥BC，再根据等腰三角形的性质判断AE⊥BC，则OM⊥AE，然后根据切线的判定定理得到AE为⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，利用等腰三角形的性质得到BE=CE=12BC=2，再证明△AOM∽△ABE，则利用相似比得到626r r-=，然后解关于r的方程即可；（3）作OH⊥BE于H，如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=32，所以BH=BE-HE=12，再根据垂径定理得到BH=HG=12，所以BG=1．【详解】解：（1）证明：连接OM，如图1，∵BM是∠ABC的平分线，∴∠OBM=∠CBM，∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，∴∠CBM=∠OMB，∴OM∥BC，∵AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴OM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分线，∴BE=CE=12BC=2，∵OM∥BE，∴△AOM∽△ABE，∴OM AOBE AB=，即626r r-=，解得r=32，即设⊙O的半径为32；（3）解：作OH⊥BE于H，如图，∵OM⊥EM，ME⊥BE，∴四边形OHEM为矩形，∴HE=OM=32，∴BH=BE﹣HE=2﹣32=12，∵OH⊥BG，∴BH=HG=12，∴BG=2BH=1．20．（1）10；1；（2）15(02)3030(211)x xyx x⎧=⎨-⎩剟剟；（3）4分钟、9分钟或3分钟．【解析】【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值；（2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系；（3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论．【详解】（1）（10-100）÷20=10（米/分钟），b=3÷1×2=1．故答案为：10；1．（2）当0≤x≤2时，y=3x；当x≥2时，y=1+10×3（x-2）=1x-1．当y=1x-1=10时，x=2．∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为15(02)3030(211)x xyx x⎧=⎨-⎩剟剟．（3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）．当10x+100-（1x-1）=50时，解得：x=4；当1x-1-（10x+100）=50时，解得：x=9；当10-（10x+100）=50时，解得：x=3．答：登山4分钟、9分钟或3分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程．21．（1）见解析；（2）2π.【解析】【详解】证明：（1）连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD过O，∴EF是⊙O的切线．（2）∵OD⊥DF，∴∠ODF=90°，∵∠F=30°，∴OF=2OD，即OB+3=2OD，而OB=OD，∴OD=3，∵∠AOD=90°+∠F=90°+30°=120°，∴»AD的长度=12032180ππ⨯⨯＝.【点睛】本题考查了切线的判定和性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了弧长公式．22．（Ⅰ）50、31；（Ⅱ）4；3；3.1;（Ⅲ）410人．【解析】【分析】（Ⅰ）利用家庭中拥有1台移动设备的人数除以其所占百分比即可得调查的学生人数，将拥有4台移动设备的人数除以总人数即可求得m的值；（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；（Ⅲ）将样本中拥有3台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数1500即可求解．【详解】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为：48%＝50（人），∵1650×100＝31%，∴图①中m的值为31.故答案为50、31；（Ⅱ）∵这组样本数据中，4出现了16次，出现次数最多，∴这组数据的众数为4；∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为3，有332+＝3，∴这组数据的中位数是3；由条形统计图可得142103144165650x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=＝3.1，∴这组数据的平均数是3.1．（Ⅲ）1500×18%＝410（人）．答：估计该校学生家庭中；拥有3台移动设备的学生人数约为410人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．(1) 1＜x＜3或x＜0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将B(3，1)代入m y x=，将B(3，1)代入14y k x =+，即可求出解析式；再根据图像直接写出不等式11m k x b x+＜的解集；（2）过A 作l ∥x 轴,过C 作CG ⊥l 于G ,过B 作BH ⊥l 于H, △AGC ∽△BHA, 设B （m, 3m ）、C （n, 3n ），根据对应线段成比例即可得出mn=－9，联立3y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2230k x bx +-=，根据根与系数的关系得39mn k -==-，由此得出13k =为定值. 【详解】解：(1)将B(3，1)代入m y x =, ∴m=3, 3y x=, 将B(3，1)代入14y k x =+，∴1341k +=,11k =-,∴4y x =-+, ∴不等式11m k x b x+＜的解集为1＜x ＜3或x ＜0 (2)过A 作l ∥x 轴,过C 作CG ⊥l 于G ,过B 作BH ⊥l 于H,则△AGC ∽△BHA,设B （m,3m ）、C （n, 3n）， ∵AG BH CG AH=， ∴331313n m m n--=--， ∴131113m n m n m n-⋅-=--⋅， ∴ 3131m n =-， ∴mn=－9，联立∴3y kx b y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴2230k x bx +-=∴39 mnk-==-，∴13k=为定值.【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据反比例函数的性质进行求解.24．见解析【解析】【分析】根据菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，可以根据正方形的四边垂直，将小正方形的边作为对角线画菱形；也可以画出以AB为边长的正方形，据此相信你可以画出图形了，注意：本题答案不唯一. 【详解】如图为画出的菱形：【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题掌握菱形的定义与性质是解题的关键.25．（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元（2）这所学校最多可购买2个乙种足球【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．【详解】（1）设购买一个甲种足球需要x元，则购买一个乙种篮球需要（x+2）元，根据题意得：20001400220x x=⨯+，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝1．答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元．（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+1×（1﹣10%）m≤2910，解得：m≤2．答：这所学校最多可购买2个乙种足球．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．26．⊙O的半径为256．【解析】【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。

东北师范大学附属中学初中数学九年级下期中经典测试题(含解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：11123]如果反比例函数y =k x （k≠0）的图象经过点（﹣3，2），则它一定还经过（）A ．（﹣12，8） B ．（﹣3，﹣2） C ．（12，12） D ．（1，﹣6） 2．(0分)[ID ：11109]用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（）A ．各边的长度B ．各内角的度数C ．五边形的周长D ．五边形的面积 3．(0分)[ID ：11102]如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果12C EAF C CDF =，那么S EAF S EBC的值是（）A ．12B ．13C ．14D ．194．(0分)[ID ：11101]下列判断中，不正确的有（）A ．三边对应成比例的两个三角形相似B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C ．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似5．(0分)[ID ：11100]若37a b =，则b a a -等于（） A ．34 B ．43 C ．73 D ．376．(0分)[ID ：11083]如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:97．(0分)[ID ：11080]如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（）A ．（4，4）B ．（3，3）C ．（3，1）D ．（4，1）8．(0分)[ID ：11074]在同一直角坐标系中，函数k y x =和y=kx ﹣3的图象大致是（） A ． B ． C ．D ．9．(0分)[ID ：11073]已知2x =3y ，则下列比例式成立的是（）A ．x 2=3yB ．x+yy =43 C ．x 3=y 2 D ．x+yx =35 10．(0分)[ID ：11072]下列命题是真命题的是（）A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:911．(0分)[ID ：11057]图（1）所示矩形ABCD 中，BC x =，CD y =，y 与x 满足的反比例函数关系如图（2）所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过点C ，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（）A ．当3x =时，EC EM <B ．当9y =时，EC EM <C ．当x 增大时，EC CF ⋅的值增大D ．当x 增大时，BE DF ⋅的值不变12．(0分)[ID：11053]若△ABC∽△A′B′C′且34ABA B='',△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（）cm.A．18B．20 C．154D．80313．(0分)[ID：11042]如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )A．3B．3或43C．3或34D．4314．(0分)[ID：11093]如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．203m C．24m D．103m15．(0分)[ID：11071]如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 二、填空题16．(0分)[ID：11201]“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=__里.17．(0分)[ID：11189]一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.18．(0分)[ID：11187]若反比例函数y＝﹣6x的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．19．(0分)[ID：11172]如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为________．20．(0分)[ID：11228]学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资________元．21．(0分)[ID：11221]如图，已知两个反比例函数C1：y＝1x和C2：y＝13x在第一象限内的图象，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_____．22．(0分)[ID：11220]如图，在平面直角坐标系中，点A是函数kyx（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为______．23．(0分)[ID：11216]如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m，1.5 m，已知小军、小珠的身高分别为1.8 m，1.5 m，则路灯的高为____m.24．(0分)[ID：11207]将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB="AC=8" cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2.25．(0分)[ID：11178]如图，已知AD AE，请你添加一个条件，使得ADC AEB△≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）三、解答题26．(0分)[ID：11330]美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）27．(0分)[ID：11314]如图，AD是△ABC的中线，tan B＝13，cos C＝22，AC＝2.求：（1）BC的长；（2）sin ∠ADC的值．28．(0分)[ID ：11269]（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC 中，点O 在线段BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=33，BO ：CO=1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD ∥AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB= °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥AD ，AO=33，∠ABC=∠ACB=75°，BO ：OD=1：3，求DC 的长．29．(0分)[ID ：11266]已知：如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ，连接DE 交AC 于点F ．() 1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．()3在()2的条件下，若AB AC 22==，求正方形ADCE 周长．30．(0分)[ID ：11247]如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且CD 2＝AD •BC ．（1）求证：△APD ∽△PBC ；（2）求∠APB 的度数．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．D4．B5．B6．A7．A8．A9．C10．B11．D12．B13．B14．C15．B二、填空题16．05【解析】∵EG⊥ABFH⊥ADHG经过A点∴FA∥EGEA∥FH∴∠HFA＝∠AEG＝90°∠FHA ＝∠EAG∴△GEA∽△AFH∴∵AB＝9里DA＝7里EG＝15里∴FA＝35里EA＝45里∴17．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度【详解】解：∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E18．﹣2【解析】∵反比例函数y=-6x的图象过点A（m3）∴3=-6m解得=-219．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=420．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA于D则在直角△ABD中可以求出BD然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示AB=10AC=30∠BAC=120°作BD⊥CA于D则在直角△AB21．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△22．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义明确是解题的关23．3【解析】试题分析：如图∵CD∥AB∥MN∴△ABE∽△CDE△ABF∽△MNF∴即解得：AB=3m答：路灯的高为3m考点：中心投影24．【解析】【分析】分析：设BCAD交于点G过交点G作GF⊥AC与AC交于点F根据AC=8就可求出GF的长从而求解【详解】解：设BCAD交于点G过交点G作GF⊥AC与AC交于点F设FC=x则GF=FC=25．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS；添加条件此时满足ASA；添加条件此时满足AAS故三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】分别计算各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(−3,2)，∴k=−3×2=−6，∵−12×8=−4≠−6，−3×(−2)=6≠−6，12×12=6≠−6，1×(−6)=−6，则它一定还经过(1,−6).故答案选D.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征.2．B解析：B【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误；∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；．∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误；∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误．故选B．点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比．3．D解析：D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵12EAFCDFCC，=∴12 AFDF=，∴11123 AFBC==+，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴21139EAFEBCSS⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.4．B解析：B【解析】【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【详解】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．5．B解析：B【解析】由比例的基本性质可知a=37b，因此b aa-=347337b bb-=.故选B.6．A解析：A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:3，∴它们的对应中线之比为1:3.故选A.点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.7．A解析：A【解析】【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，∴点C的坐标为：（4，4）故选A．【点睛】本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．8．A解析：A【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．【详解】分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．9．C解析：C【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．【详解】A．变成等积式是：xy=6，故错误；B．变成等积式是：3x+3y=4y，即3x=y，故错误；C．变成等积式是：2x=3y，故正确；D．变成等积式是：5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误．故选C．【点睛】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．10．B解析：B【解析】【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．11．D解析：D【解析】【分析】由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图像得出反比例函数解析式为y=9x ；当x =3时，y =3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得CE=32，CF=32，则C 点与M 点重合；当y =9时，根据反比例函数的解析式得x =1，即BC=1，CD=9，所以EF=102，而EM=52；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy ，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值；由于EC•CF=2x ×2y =2xy ，其值为定值．【详解】解：因为等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，所以△BEC 和△DCF 都是直角三角形；观察反比例函数图像得x =3，y =3，则反比例解析式为y=9x． A 、当x =3时，y =3，即BC=CD=3，所以CE=2BC=32，CF=2CD=32，C 点与M 点重合，则EC=EM ，所以A 选项错误；B 、当y =9时，x =1，即BC=1，CD=9，所以EC=2，EF=102，EM=52，所以B 选项错误；C 、因为EC•CF=2x •2y =2×xy =18，所以，EC•CF 为定值，所以C 选项错误；D 、因为BE•DF=BC•CD=xy =9，即BE•DF 的值不变，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图像，注意自变量的取值范围．12．B解析：B【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．13．B解析：B【解析】AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43，AP AQ AC AB =,246AQ =，AQ =3. 故选B.点睛：相似常见图形（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A 型”与“X 型”图）（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形，有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”，如下图：14．C解析：C【解析】【分析】直接利用坡比的定义得出AC 的长，进而利用勾股定理得出答案．【详解】解：Rt △ABC 中，BC ＝12cm ，tanA ＝13∴AC ＝BC÷tanA ＝3cm ， ∴AB 2212(123)+24cm ．故选：C ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．15．B【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断．【详解】∵∠APD=90°，而∠P AB≠∠PCA，∠PBA≠∠P AC，∴无法判定△P AB与△PCA相似，故A错误；同理，无法判定△P AB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C、D错误；∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB=√2P A，AC=√5P A，AD=√10P A，BD=2P A，∴ABDB =√2PA2PA=√2BC2BA=√2PA=√2AC2DA=√5PA√10PA=√22，∴ABDB=BCBA=ACDC，∴△ABC∽△DBA，故B正确．故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．二、填空题16．05【解析】∵EG⊥ABFH⊥ADHG经过A点∴FA∥EGEA∥FH∴∠HFA＝∠AEG＝90°∠FHA＝∠EAG∴△GEA∽△AFH∴∵AB＝9里DA＝7里EG＝15里∴FA＝35里EA ＝45里∴解析：05【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴EG EA AF FH=．∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴15 4.5 3.5FH=，解得FH＝1.05里．故答案为1.05．17．16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度【详解】解：∵OA⊥DACE⊥DA∴∠CED=∠OAB=90°∵CD∥OE∴∠CDA=∠OBA∴△AOB∽△E 解析：16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，∴∠CED=∠OAB=90°，∵CD∥OE，∴∠CDA=∠OBA，∴△AOB∽△ECD，∴CE OA16OA,DE AB220==，解得OA=16．故答案为16．18．﹣2【解析】∵反比例函数y=-6x的图象过点A（m3）∴3=-6m解得=-2解析：﹣2【解析】∵反比例函数y=−6x的图象过点A（m，3），∴3=−6m，解得=−2.19．【解析】已知BC=8AD是中线可得CD=4在△CBA和△CAD中由∠B=∠DAC∠C=∠C可判定△CBA∽△CAD根据相似三角形的性质可得即可得AC2=CD•BC=4×8=32解得AC=4解析：2【解析】已知BC=8， AD是中线，可得CD=4，在△CBA和△CAD中，由∠B=∠DAC，∠C=∠C，可判定△CBA∽△CAD，根据相似三角形的性质可得AC CDBC AC=，即可得AC2=CD•BC=4×8=32，解得2.20．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA于D则在直角△ABD中可以求出BD然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示AB=10AC=30∠B AC=120°作BD⊥CA于D则在直角△AB解析：6750【解析】【分析】如图所示，作BD⊥CA于D，则在直角△ABD中可以求出BD，然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价．如图所示，AB=103，AC=30，∠BAC=120°，作BD⊥CA于D，则在直角△ABD中，∠BAD=60°，∴BD=ABsin60°=15，∴△ABC面积=12×AC×BD=225．又因为每平方米造价为30元，∴总造价为30×225=6750（元）．【点睛】此题主要考查了运用三角函数定义解直角三角形，关键是通过作辅助线把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中解题．21．【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=S矩形PCOD=1然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积【详解】∵PC⊥x轴PD⊥y轴∴S△解析：2 3【解析】【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=S△BOD=111236⨯=，S矩形PCOD=1，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形P AOB的面积．【详解】∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，∴S△AOC=S△BOD=11||23⋅=111236⨯=，S矩形PCOD=1，∴四边形P AOB的面积=1﹣2×16=23．故答案为：23．【点睛】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．掌握反比函数比例系数k的几何意义是解答本题的关键．反比函数比例系数k的几何意义：在反比例函数kyx=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．22．-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC的面积=得到|k|=2即可得到结论【详解】解：∵AB⊥y 轴∴AB∥CO∴∴∵∴故答案为：-2【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义明确是解题的关解析：-2【解析】【分析】根据已知条件得到三角形ABC 的面积=1•=12AB OB ，得到|k|=2，即可得到结论．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，∴AB ∥CO ，∴111•1222ABC S AB OB x y k ====三角形， ∴2k =，∵0k ＜，∴2k =-，故答案为：-2．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，明确1•=12ABC S AB OB =是解题的关键． 23．3【解析】试题分析：如图∵CD∥AB∥MN∴△ABE∽△CDE△ABF∽△MNF∴即解得：AB=3m 答：路灯的高为3m 考点：中心投影解析：3【解析】试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ，∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴,CD DE FN MN AB BE FB AB ==，即1.8 1.8 1.5 1.5,1.8 1.5 2.7AB BD AB BD==++-，解得：AB=3m ，答：路灯的高为3m ．考点：中心投影．24．【解析】【分析】分析：设BCAD 交于点G 过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F 根据AC=8就可求出GF 的长从而求解【详解】解：设BCAD 交于点G 过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F 设FC=x 则GF=FC= 解析：48-163 【解析】【分析】分析：设BC ，AD 交于点G ，过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F ，根据AC=8，就可求出GF 的长，从而求解．【详解】解：设BC ，AD 交于点G ，过交点G 作GF ⊥AC 与AC 交于点F ，设FC=x ，则GF=FC=x ，∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，∴AF=GFcot ∠FAG=33x ．所以x+33x=8，则x=12-43．所以S △AGC =12×8×（12-43）=48-163 25．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.【解析】【分析】根据图形可知证明ADC AEB ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．【详解】∵A A ∠∠= ，AD AE =，∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；【点睛】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．三、解答题26．观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米．【解析】【分析】过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，设BE=x ，根据AE=DE ，列出方程即可解决问题．【详解】过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，设BE=x ，在Rt △DEB 中，tan ∠DBE=DE BE ， ∵∠DBC=65°，∴DE=xtan65°．又∵∠DAC=45°，∴AE=DE ．∴132+x=xtan65°，∴解得x≈115.8，∴DE≈248（米）．∴观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米． 27．（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC ＝22. 【解析】（1）如图，作AE⊥BC，∴CE=AC•cos C=1，∴AE=CE=1，1 tan3B=，∴BE=3AE=3，∴BC=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，∴∠ADC=45°，∴2 sin2ADC∠=．28．（1）75；43；（2）CD=413．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=43，此题得解；（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=43，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【详解】解：（1）∵BD∥AC，∴∠ADB=∠OAC=75°．∵∠BOD=∠COA，∴△BOD∽△COA，∴13 OD OBOA OC==．又∵AO=33，∴OD=13AO=3，∴AD=AO+OD=43．∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，∴AB=AD=43．（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC=∠BEA=90°．∵∠AOD=∠EOB ，∴△AOD ∽△EOB ， ∴BO EO BE DO AO DA==． ∵BO ：OD=1：3， ∴13EO BE AO DA ==．∵，∴∴∵∠ABC=∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，AB=AC ，∴AB=2BE ．在Rt △AEB 中，BE 2+AE 2=AB 2，即（2+BE 2=（2BE ）2，解得：BE=4，∴AB=AC=8，AD=12．在Rt △CAD 中，AC 2+AD 2=CD 2，即82+122=CD 2，解得：【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD 的值；（2）利用勾股定理求出BE 、CD 的长度．29．（1）证明见解析；（2）BAC 90∠=且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形；证明见解析；（3）8；【解析】【分析】（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=12∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=12（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA ，根据矩形的判定，可得答案；（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD 与CD 的关系，根据正方形的判定，可得答案；（ 3 ）根据勾股定理，可得AD 的长，根据正方形周长公式，可得答案．【详解】()1∵AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ， ∴1CAD BAC 2∠∠=． ∵AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线， ∴1CAE CAM 2∠∠=． ∵BAC ∠与CAM ∠是邻补角，∴BAC CAM 180∠∠+=， ∴()1CAD CAE BAC CAM 902∠∠∠∠+=+=． ∵AD BC ⊥，CE AN ⊥，∴ADC CEA 90∠∠==，∴四边形ADCE 为矩形；（2）BAC 90∠=且AB AC =时，四边形ADCE 是一个正方形，∵BAC 90∠=且AB AC =，AD BC ⊥， ∴1CAD BAC 452∠∠==，ADC 90∠=， ∴ACD CAD 45∠∠==，∴AD CD =．∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形；()3由勾股定理，得AB =，AD CD =，=，AD 2=，正方形ADCE 周长4AD 428=⨯=．【点睛】本题考查了的正方形的判定与性质,(1)利用了等腰三角形的性质,矩形的判定;(2)利用了正方形的判定;(3)利用了勾股定理,正方形的周长,灵活运用是关键.30．（1）见解析；（2）120°【解析】【分析】（1）CD 2＝AD •BC 可得AD ：PC ＝PD ：BC ，又由△PCD 是等边三角形，所以可求出∠ADP ＝∠BCP ＝120°，进而证明△ACP ∽△PDB ；（2）由△APD ∽△PBC ，可得∠APD ＝∠B ，则可求得∠APB 的大小．【详解】（1）证明：∵△PCD是等边三角形，∴PD＝PC＝DC，∠PDC＝∠PCD＝60°，∴∠ADP＝∠BCP＝120°，∵CD2＝AD•BC，∴AD：PC＝PD：BC，∴△APD∽△PBC；（2）∵△APD∽△PBC，∴∠APD＝∠B，∵∠B+∠BPC＝60°，∴∠APD+∠BPC＝60°，∴∠APB＝60°+∠DPC＝120°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题(含答案)

初三数学学科综合练习考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.实数P 在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P 小的是（）（第1题）A. B. C.02.国家能源局发布的2023年全国电力工业统计数据显示，截至2023年12月底，全国累计发电装机容量约29.2亿千瓦.数据“29.2亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图，点A 、B 为定点，直线，P 是直线l 上的动点；对于下列结论，其中不会随点P 的移动而变化的是（）①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数（第3题）A.②④B.①④C.②③D.①③4.《九章算术》中指出“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”.例如面积为8的正方形的边长称为8“面”，关于29“面”的值说法正确的是（）A.是4和5之间的实数B.是5和6之间的实数C.是6和7之间的实数D.是7和8之间的实数5.如图①，一个的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图②，平台上至少还需再放这样的正方体（）图① 图②（第5题）A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄垂直于滚轮连杆，即.若3-1-829.210⨯92.9210⨯100.29210⨯102.9210⨯l AB ∥AB PAB △PAB △APB ∠22⨯AD AB 90DAB ∠=︒，，连杆与底座的夹角为，则该椭圆机手柄顶端D 到底座的距离为（）（第6题）A. B.C. D.7.“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图①，和上一点C .求作：一个角等于，使它的顶点为C ，一边为.作法：如图②，第一步：在上取一点D ，以点O 为圆心，长为半径画弧，交于点E ；第二步：以点C 为圆心，长为半径画弧，交于点F ，以点F 为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G ；第三步：作射线.则就是所求作的角。

吉林省长春市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷含解析

吉林省长春市2019-2020学年中考数学教学质量调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算﹣1﹣（﹣4）的结果为（）A ．﹣3B ．3C ．﹣5D ．52．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：甲2 6 7 7 8 乙 234 8 8 关于以上数据，说法正确的是（）A ．甲、乙的众数相同B ．甲、乙的中位数相同C ．甲的平均数小于乙的平均数D ．甲的方差小于乙的方差3．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A 、B 、C 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是△ABC 的（）A ．三条高的交点B ．重心C ．内心D ．外心4．有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是( )①b ＜0＜a ； ②|b|＜|a|； ③ab ＞0； ④a ﹣b ＞a+b ．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5．如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条等弦．OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P ，联结OP ．下列四个说法中：①AB CD n n；②OM=ON ；③PA=PC ；④∠BPO=∠DPO ，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠DOF ＝142°，则∠C 的度数为（）A．38°B．39°C．42°D．48°7．如图，在扇形CAB中，CA=4，∠CAB=120°，D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C，B重合），则2PD+PB的最小值为（）A．B．C．10 D．8．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，1）9．点P（﹣2，5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（2，﹣5）B．（5，﹣2）C．（﹣2，﹣5）D．（2，5）10．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab11．下列“数字图形”中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为()A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．A 、B 两地之间为直线距离且相距600千米，甲开车从A 地出发前往B 地，乙骑自行车从B 地出发前往A 地，已知乙比甲晚出发1小时，两车均匀速行驶，当甲到达B 地后立即原路原速返回，在返回途中再次与乙相遇后两车都停止，如图是甲、乙两人之间的距离s （千类）与甲出发的时间t （小时）之间的图象，则当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为_____千米．14．因式分解：223x 6xy 3y -+- =15．如图，P （m ，m ）是反比例函数9y x=在第一象限内的图象上一点，以P 为顶点作等边△PAB ，使AB 落在x 轴上，则△POB 的面积为_____．16．若一次函数y=﹣2（x+1）+4的值是正数，则x 的取值范围是_______．17．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A 、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是______．18．一个多边形的内角和是720o ，则它是______边形．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，Rt ABP V 的直角顶点P 在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数k y x=图象的两支上，且PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点F 和.E 已知点B 的坐标为()1,3．()1填空：k =______；()2证明：//CD AB ；()3当四边形ABCD 的面积和PCD V 的面积相等时，求点P 的坐标．20．（6分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手AM 的仰角α=37°，此时把手端点A 、出水口B 和点落水点C 在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2.（参考数据：sin37°= 35，cos37°= 45，tan37°= 34） (1)求把手端点A 到BD 的距离；(2)求CH 的长.21．（6分）（阅读）如图1，在等腰△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，点M 到腰AB 、AC 的距离分别为h 1，h 1．连接AM ．∵ABM ACM ABC S S S ∆∆∆+= ∴12111222h AB h AC hAC +=（思考）在上述问题中，h 1，h 1与h 的数量关系为：．（探究）如图1，当点M 在BC 延长线上时，h 1、h 1、h 之间有怎样的数量关系式？并说明理由．（应用）如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l 1：334y x =+，l 1：y=－3x+3，若l 1上的一点M 到l 1的距离是1，请运用上述结论求出点M 的坐标．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝6厘米，OB ＝8厘米．点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点A 开始沿AO 边向终点O 以1厘米/秒的速度移动.若P 、Q 同时出发运动时间为t(s).（1）t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？（2）当 t 为何值时，△APQ 的面积为8cm 2？23．（8分）关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．求k 的取值范围；如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值． 24．（10分）在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是边BC 上任意一点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ．（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD 的长；（2）如图2，过点C 作CF ⊥CE ，且CF=CE ，连接FE 并延长交AB 于点M ，连接BF ，求证：AM=BM ．25．（10分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于F ，判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由；若6AC =，8BC =，2PA =，求线段DE 的长.26．（12分）某汽车制造公司计划生产A 、B 两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A 型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B 型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：（1）该公司有哪几种生产方案？（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）27．（12分）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D 、C 、B 、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ；（2）扇形统计图中表示C 等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．【详解】1(4)143---=-+=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减，熟练掌握有理数加减的运算法则是解决本题的关键.2．D【解析】【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，排序后最中间的数是7，所以中位数是7，26778==65x ++++甲， ()()()()()2222221S =26666767865⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4，乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，排序后最中间的数是4，所以中位数是4，23488==55x 乙++++， ()()()()()2222221S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4，所以只有D 选项正确，故选D.【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.3．D【解析】【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．4．B【解析】分析：本题是考察数轴上的点的大小的关系.解析：由图知，b<0<a，故①正确，因为b点到原点的距离远，所以|b|>|a|,故②错误，因为b<0<a，所以ab<0，故③错误，由①知a-b>a+b，所以④正确.故选B.5．D【解析】如图连接OB、OD；∵AB=CD，∴»AB=»CD，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选D．6．A【解析】分析：根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．详解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=142°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣142°=38°．故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．7．D【解析】【分析】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，推出△APD∽△ABP′，得到BP′=2PD，于是得到2PD+PB=BP′+PB≥PP′，根据勾股定理得到PP′=，求得2PD+PB≥4，于是得到结论．【详解】如图，作∥∠PAP′=120°，则AP′=2AB=8，连接PP′，BP′，则∠1=∠2，∵=2，∴△APD∽△ABP′，∴BP′=2PD，∴2PD+PB=BP′+PB≥PP′，∴PP′=，∴2PD+PB≥4，∴2PD+PB 的最小值为4，故选D ．【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．8．C【解析】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），故选C ．【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键. 关于x 轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.9．D【解析】【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【详解】点(25)P ，关于y 轴对称的点的坐标为(25)，，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，熟练掌握点的对称特点是解决本题的关键.10．B【解析】【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a ﹣b ）2；图2中阴影部分的面积为：a 2﹣2ab+b 2；∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2，故选B ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．11．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二、三、四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12．C【解析】试题分析：通过图示可知，要想通过圆，则可以是圆柱、圆锥、球，而能通过三角形的只能是圆锥，综合可知只有圆锥符合条件.故选C二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．5003【解析】【分析】根据题意和函数图象可以分别求得甲乙的速度，从而可以得到当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离．【详解】设甲的速度为akm/h ，乙的速度为bkm/h ，(51)()600{(65)(51)a a b a b+-+=-=- ，解得，100{25a b ==，设第二次甲追上乙的时间为m 小时，100m ﹣25（m ﹣1）=600，解得，m=233， ∴当甲第二次与乙相遇时，乙离B 地的距离为：25×（233-1）=5003千米，故答案为5003．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．14．﹣3（x﹣y）1【解析】解：﹣3x1+6xy﹣3y1=﹣3（x1+y1﹣1xy）=﹣3（x﹣y）1．故答案为：﹣3（x﹣y）1．点睛：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．15．933+．【解析】【详解】如图，过点P作PH⊥OB于点H，∵点P（m，m）是反比例函数y=9x在第一象限内的图象上的一个点，∴9=m2，且m＞0，解得，m=3.∴PH=OH=3. ∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.∴根据锐角三角函数，得3∴3∴S△POB=12OB•PH=9332+.16．x＜1【解析】【分析】根据一次函数的性质得出不等式解答即可．【详解】因为一次函数y=﹣2（x+1）+4的值是正数，可得：﹣2（x+1）+4＞0，解得：x＜1，故答案为x ＜1.【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据题意正确列出不等式是解题的关键.17．36 【解析】【分析】利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值.【详解】解：如图所示，设BC=x ，∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x ，AB=3BC=3x ，根据题意得：AD=BC=x ，AE=DE=AB=3x ，如图，作EM ⊥AD 于M ，则AM=12AD=12x ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD=323XAM AE x==，故答案为：3 .【点睛】特殊三角形： 30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是13：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.18．六【解析】试题分析：这个正多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=720°，解得：n=1．则这个正多边形的边数是六，故答案为六．考点：多边形内角与外角．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）1；（2）证明见解析；（1）P点坐标为()13-，．【解析】【分析】 ()1由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；()2设A 点坐标为3a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为()1,0，进而可得出PB ，PC ，PA ，PD 的长度，由四条线段的长度可得出PC PD PB PA=，结合P P ∠∠=可得出PDC V ∽PAB V ，由相似三角形的性质可得出CDP A ∠∠=，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB ； ()3由四边形ABCD 的面积和PCD V 的面积相等可得出PAB PCD S 2S =V V ，利用三角形的面积公式可得出关于a 的方程，解之取其负值，再将其代入P 点的坐标中即可求出结论．【详解】()1解：B Q 点()1,3在反比例函数k y x=的图象， k 133∴=⨯=．故答案为：1．()2证明：Q 反比例函数解析式为3y x=， ∴设A 点坐标为3a,.a ⎛⎫ ⎪⎝⎭PB x ⊥Q 轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，D ∴点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为()1,0， 3PB 3a ∴=-，3PC a=-，PA 1a =-，PD 1=， 3PC 1a 3PB 1a 3a-∴==--，PD 1PA 1a=-， PC PD PB PA∴=．又P P Q ∠∠=，PDC V ∴∽PAB V ，CDP A ∠∠∴=，CD//AB ∴．()3解：Q 四边形ABCD 的面积和PCD V 的面积相等，PAB PCD S 2S ∴=V V ，()131331a 212a 2a ⎛⎫⎛⎫∴⨯-⨯-=⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2(a 1)2-=，解得：1a 12=-，2a 12(=+舍去)， P ∴点坐标为()1,323--．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键是：()1根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值；()2利用相似三角形的判定定理找出PDC V ∽PAB V ；()3由三角形的面积公式，找出关于a 的方程．20．（1）12；（2）CH 的长度是10cm ．【解析】【分析】(1)、过点A 作AN BD ⊥于点N ，过点M 作MQ AN ⊥于点Q ，根据Rt △AMQ 中α的三角函数得出得出AN 的长度；(2)、根据△ANB 和△AGC 相似得出DN 的长度，然后求出BN 的长度，最后求出GC 的长度，从而得出答案．【详解】解：(1)、过点A 作AN BD ⊥于点N ，过点M 作MQ AN ⊥于点Q.在t R AMQ ∆中，310,sin 5AB α==. ∴35AO AB =， ∴365AO AB ==， ∴12AN =.(2)、根据题意：NB ∥GC .∴ANB AGC ∆~∆.∴BN AN GC AG=. ∵8MQ DN ==，∴4BN DB DN =-=.∴41236GC =. ∴12GC =.∴3081210CH =--=.答：CH 的长度是10cm .点睛：本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．21．【思考】h 1+h 1=h ；【探究】h 1－h 1=h ．理由见解析；【应用】所求点M 的坐标为（13，1）或（－13，4）．【解析】【分析】思考：根据等腰三角形的性质，把代数式12111222h AB h AC hAC +=化简可得12h h h +=. 探究：当点M 在BC 延长线上时，连接AM ，可得ABM ACM ABC S S S ∆∆∆-=，化简可得12h h h -=.应用：先证明AB AC =，△ABC 为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M 在BC 边上和在CB 延长线上两种情况讨论，第一种有1+My=OB ，第二种为M y －1=OB ，解得M 的纵坐标，再分别代入2l 的解析式即可求解.【详解】思考Q ABM ACM ABC S S S ∆∆∆+= 即12111222h AB h AC hAC +=Q AB AC =∴h 1+h 1=h ．探究h 1－h 1=h ．理由．连接AM ,∵ABM ACM ABC S S S ∆∆∆-= ∴12111222h AB h AC hAC -= ∴h 1－h 1=h ．应用在334y x =+中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：A （－4，0），B （0，3）同理求得C （1，0），5AB =，又因为AC=5，所以AB=AC ，即△ABC 为等腰三角形．①当点M 在BC 边上时，由h 1+h 1=h 得：1+My=OB ，My=3－1=1，把它代入y=－3x+3中求得：13x M =， ∴1,23M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当点M 在CB 延长线上时，由h 1－h 1=h 得：M y －1=OB ，M y =3+1=4，把它代入y=－3x+3中求得： 13x M =-， ∴1,43M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，所求点M的坐标为1,23⎛⎫⎪⎝⎭或1,43⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进是解答的关键.22．（1）t＝154秒；（1）t＝5﹣5（s）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ 和∠AQP 是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（1）过点P 作PC⊥OA 于C，利用∠OAB 的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），∴AO＝6，BO＝8，∴AB＝＝＝10，∵点P的速度是每秒1个单位，点Q 的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t，①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP 是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即，解得t＝，综上所述，t＝秒时，△APQ 与△AOB相似；（1）如图，过点 P 作 PC ⊥OA 于点C ，则 PC ＝AP•sin ∠OAB ＝（10﹣t ）×＝（10﹣t ），∴△APQ 的面积＝×t×（10﹣t ）＝8，整理，得：t 1﹣10t+10＝0，解得：t ＝5+＞6（舍去），或 t ＝5﹣，故当 t ＝55s ）时，△APQ 的面积为 8cm1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，分类讨论是解题的关键．23．（1）94k ≤；（2）m 的值为32．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤；（2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根， ∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =；当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．24． (1) 2﹣3;(2)见解析【解析】分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x ，则CD=2x x=1，求得x 的值，可得BD 的长；（2）如图2，连接CM ，先证明△ACE ≌△BCF ，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C 、M 、B 、F 四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM ．详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=45°，∵∠BAD=15°，∴∠CAE=45°﹣15°=30°，Rt △ACE 中，CE=1，∴AC=2CE=2，Rt △CED 中，∠ECD=90°﹣60°=30°，∴CD=2ED ，设ED=x ，则CD=2x ，∴，，x=3，∴CD=2x=3，∴BD=BC ﹣CD=AC ﹣CD=2；（2）如图2，连接CM ，∵∠ACB=∠ECF=90°，∴∠ACE=∠BCF ，∵AC=BC ，CE=CF ，∴△ACE ≌△BCF ，∴∠BFC=∠AEC=90°，∵∠CFE=45°，∴∠MFB=45°，∵∠CFM=∠CBA=45°，∴C 、M 、B 、F 四点共圆，∴∠BCM=∠MFB=45°，∴∠ACM=∠BCM=45°，∵AC=BC ，∴AM=BM ．点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE ≌△BCF 是关键． 25．（1）DE DP ⊥．理由见解析；（2）194DE =．【解析】【分析】（1）根据PD PA =得到∠A=∠PDA ，根据线段垂直平分线的性质得到EDB B ∠=∠，利用90A B ∠+∠=︒，得到90PDA EDB ∠+∠=︒，于是得到结论；（2）连接PE ，设DE=x ，则EB=ED=x ，CE=8-x ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）DE DP ⊥．理由如下，∵90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，∵PD PA =，∴PDA A ∠=∠，∵EF 垂直平分BD ，∴ED EB =，∴EDB B ∠=∠，∴90PDA EDB ∠+∠=︒，∴18090PDE PDA EDB ∠=︒-∠-∠=︒，即DE DP ⊥.（2）连接PE ，设DE x =，由（1）得BE DE x ==，8CE BC BE x =-=-，又2PD PA ==，624PC CA PA =-=-=， ∵90PDE C ∠=∠=︒，∴22222PC CE PD DE PE +=+=，∴()2222248x x +=+-，解得194x =，即194DE =．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 26．（1）共有三种方案，分别为①A 型号16辆时， B 型号24辆；②A 型号17辆时，B 型号23辆；③A 型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【解析】【分析】（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答；（3）根据（2）中方案设计计算.【详解】（1）设生产A 型号x 辆,则B 型号（40-x ）辆1536≤34x+42(40-x)≤1552解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18共有三种方案，分别为A 型号16辆时，B 型号24辆A 型号17辆时，B 型号23辆A 型号18辆时，B 型号22辆（2）设总利润W 万元则W=()5840x x +-=3320x -+30k =-<Q∴w 随x 的增大而减小当16x =时，272W =最大万元（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题.27．（1）2、45、20；（2）72；（3）16 【解析】分析：（1）根据A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以D 等次百分比可得a 的值，再用B 、C 等次人数除以总人数可得b 、c 的值；（2）用360°乘以C 等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．详解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人， ∴a=40×5%=2，b=1840×100=45，c=840×100=20，（2）扇形统计图中表示C 等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，（3）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，故P （选中的两名同学恰好是甲、乙）=21=126．点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．。

吉林省长春市东北师大附中2019届九年级4月第二次中考模拟考试数学试题(解析版)

东北师大附中2019年4月第二次中考模拟考试·数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.）【答案】B【解析】【分析】先根据相反数的概念求出a的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵a与2互为相反数，∴a=-2，∴a+1=-2+1=-1．故选：B．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的概念得出a的值是解决此题的关键．2.“中国天眼”FAST射电望远镜的反射面总面积约250 000m2，数据250 000用科学记数法表示为（）．A. 25×104B. 2.5×105C. 2.5×106D. 0.25×106【答案】B【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将250000用科学记数法表示为：2.5×105．故选B．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察即可得到重合的点．【详解】解：折叠成正方体时，与点A重合的点为B、E．故选：D．【点睛】本题考查了几何体的展开图，仔细观察图形，得到折叠的正方体的图形是解题的关键．4.若□×3xy＝3x2y，则□内应填的单项式是( )A. xyB. 3xyC. xD. 3x【答案】C【解析】试题分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果．解：根据题意得：3x2y÷3xy=x，故选：C点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.如图，在下框解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（）．A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④【答案】C【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：第①步去分母是根据等式基本性质，第③步移项是根据等式基本性质.故选C.点睛：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6.西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。

吉林省长春市2019-2020学年度九年级中考模拟练习(数学)试题 PDF版

于点 D，E是
上一点，
20．（7分）图①、图②、图③都是 6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 AB的端点都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以 AB为边画
（第 6题）
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B在函数
（第 7题）
（x＞0）的图象上，分别过点 A、B作 x
轴的垂线交函数
（x＞0，k＞3）的图象于点 C、D， E是 y轴上的点，连结 AB、AD、
AE、CE．若点 A、B的横坐标分别为 2、3，△ACE与△ABD的面积之和为 2，则 k的值为
（A）．
（B）5．
（C）6．
（D）12．
（第 13题）
（第 14题）
14．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB的宽为 20m，如果水位上升 3m 达到警戒水位时，水面 CD的宽是 10m，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点．如果水位以 0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过 h水位达到桥拱最高点 O．
（B）
m．
（C）
m．（D）
m．
图①
图② （第 11题）
（第 12题）
12．如图，在平面直角坐标系中，直线
分别交 x轴、y轴于 A、B两点，点 P（m，1）
在△AOB的内部（不包含边界），则 m 的值可能是（写一个即可）．
13．把边长为 2的正方形纸片 ABCD分割成如图的三块，其中点 O为正方形的中心，E为 AD的中点．用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形 MNPQ（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形 MNPQ为矩形，则四边形 MNPQ的周长是．
16．（6分）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同．甲袋中三个小球上分别标有数字 1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字 4、5、6．小明分别从甲、乙两个袋子中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小明摸出的两个小球上的数字之和为 4的倍数的概率．

2024年吉林省长春市东北师范大学附属中学九年级下学期中考四模数学试题

2024年吉林省长春市东北师范大学附属中学九年级下学期中考四模数学试题1.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（）A．B．C．D．2.长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形任意两边之和大于第三边D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图相同B．左视图相同C．俯视图相同D．三种视图都不相同4.若则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．5.如图，直线a与直线b、c分别交于点A、B，将含角的直角三角板BCD如图所示放置，．若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转的最小角度为（）A．B．C．D．6.如图，在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使为等边三角形，下列作法不正确的是()A．B．C．D．7.如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为6m，坡比，则这两棵树之间的坡面的长为（）A．1m B．9mC．m D．m8.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（）A．这篇文章一共1500字．B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务．9.计算：______．10.若二次函数(k为常数)的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是_____．11.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有33个菱形，则______12.如图，，，，，是正五边形的外接圆的切线，则________度．13.如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为________cm．（结果保留）14.如图，抛物线交轴于点和，点在点左侧，交轴于点，抛物线的顶点为．给出下面四个结论：①；②当时，；③抛物线上有点和，若，且，则；④当时，对于抛物线上两点，，若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是________．15.先化简，再求值：，其中．16.动物分为无脊椎动物和脊椎动物，其中脊椎动物又分为：鱼类、两栖类、爬行类、鸟类和哺乳动物．下面有三张正面印有不同动物的卡片，A是老虎，B是燕子，C是鹦鹉，三张卡片除正面印的动物不同，其余均相同，将三张卡片背面向上放在桌面上．先从中随机抽取一张，记下动物名称后放回，再从中随机抽取一张，并记下动物名称．请用画树状图（或列表）的方法求抽取的两张卡片都是鸟类的概率．17.长春轨道交通7号线南起汽车公园站，北至东环城路站，一期全长23.11千米，共设19座车站，全部为地下车站，预计2025年通车．该项工程使用我因自主研发的“春城一号”盾构机．在挖掘某段长米的全风化泥岩和粉质粘土路段时，盾构机在这段的工作效率下降了，打通这段路段比正常路段施工多用了天，求正常路段盾构机每天能掘进多少米．18.如图，菱形的两条对角线交于点，为线段上一点，与相切于点．(1)求证：是的切线．(2)若经过点，，且的半径为，则菱形的边长为________．19.图①、图②、图③均是的正方形网格．每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，点在网格线上且不是格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，作四边形，使，且点为格点．(2)在图②中，作的中线．(3)在图③中，作．20.体育王老师为了提高学生男子1000米跑训练的科学性，对学生的配速、心率进行了测试，下面信息是从全年级600名男生中随机抽取的20名男生1000米跑的测试信息：信息一：20名男生1000米跑的配速（分．秒）分组及频数分布直方图为：A：；B：；C：；D：；E：；F：．信息二：D组5人的配速为：，，，，．信息三：完成1000米跑后的心率（次）：12345678910 168148162116163156180138136157 11121314151617181920152148161186118170171169162132根据以上信息解答下列问题：(1)20名男生1000米跑配速（分秒）的中位数是________．(2)若又有4名男生参加了此次测试，配速（分．秒）分别为：，，，，则中位数是否会受到影响：________．（填“受影响”或“不受影响”）(3)若心率不超过150次，可以增加训练强度，估计全年级600名男生可以有多少人能增加训练强度．21.随着城市基础建设的完善，长春市新修了很多绿道，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲、乙两人相约同时从伊通河绿道某地出发同向骑行，乙中途停车整理装备用了6分钟，然后继续骑行，追上甲后又骑行了2分钟一起到达终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)求甲的骑行速度．(2)求乙整理完装备后到追上甲时与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(3)两人相距不超过千米时，可以互相联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以联系到甲．22.【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图①，在中，，，点是边上一点，连结，在右侧作，使，，连结．求证：．①小智同学从和都是等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为．②小慧同学从结论的角度出发给出另外一种解题思路：如图②，在线段上截取，连结，通过证明，将转化为．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【拓展延伸】（2）如图③，在正方形中，是边上一动点（点不与点重合），将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连结、，若，则周长的最小值为________．23.如图，在中，，，的面积为22，于点，动点从点出发，沿折线向终点运动，在上的速度为每秒5个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度，当点出发后，且不与点重合时，将点绕的中点旋转得到点，连结、、．设点的运动时间为（秒）（）．(1)长为________．(2)用含的代数式表示四边形的面积．(3)当四边形被直线分得的两部分面积之比为时，求的值．(4)当直线垂直于的一边所在的直线时，直接写出的值．24.在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的顶点，点是抛物线上一点，横坐标为，过点作轴于点，点，以和为邻边作．(1)求此抛物线对应的函数表达式．(2)当点在线段上时，求的值．(3)当、、不重合时，连结、，当线段、、满足其中两条线段之和等于第三条线段时，求的取值范围．(4)若点在抛物线对称轴右侧，连结、、，当时，直接写出点的坐标．。

吉林省长春市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析

吉林省长春市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A ．12B ．11C ．10D ．94．下列运算正确的是( )A ．4x+5y=9xyB ．（−m ）3•m 7=m 10C ．（x 3y ）5=x 8y 5D ．a 12÷a 8=a 45．2017年，山西省经济发展由“疲”转“兴”，经济增长步入合理区间，各项社会事业发展取得显著成绩，全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳，第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元，比上年增长6.2%．数据3122亿元用科学记数法表示为（）A ．3122×10 8元B ．3.122×10 3元C ．3122×10 11 元D ．3.122×10 11 元6．如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点G ，∠ABC 的平分线交A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE7．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）A．12B．13C．23D．348．31-的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣39．下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形10．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若140∠=︒则∠2的度数为( )A．50°B．110°C．130°D．150°11．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图是某零件的示意图，它的俯视图是（）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．14．九（5）班有男生27人，女生23人，班主任发放准考证时，任意抽取一张准考证，恰好是女生的准考证的概率是________________．15．分式方程213024x x x -=+-的解为x =__________． 16．已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 D 、E 分别在边AC 、BC 上，且CD:CE=3︰1．将△CDE 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点 F 处时，BF 恰好是∠ABC 的平分线，此时线段CD 的长是________.17．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…，观察下面的一列数：-1，2,，-3， 4，-5，6…，将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是．18．已知关于x 的方程有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）小明准备用一块矩形材料剪出如图所示的四边形ABCD （阴影部分），做成要制作的飞机的一个机翼，请你根据图中的数据帮小明计算出CD 的长度．（结果保留根号）．20．（6分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆恰好与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．21．（6分）如图，抛物线2322y ax x =--（a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．22．（8分）某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程．经了解得到以下信息（如表）：工程队每天修路的长度（米）单独完成所需天数（天）每天所需费用（元）甲队30 n 600 乙队 m n ﹣14 1160（1）甲队单独完成这项工程所需天数n= ，乙队每天修路的长度m= （米）；（2）甲队先修了x 米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y 天完成这项工程（其中x ，y 为正整数）． ①当x=90时，求出乙队修路的天数；②求y 与x 之间的函数关系式（不用写出x 的取值范围）；③若总费用不超过22800元，求甲队至少先修了多少米．23．（8分）解不等式组22(4)113x x x x -≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解． 24．（10分）如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC=BC ，连接BC ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)⊙O 的半径为5，tanA=34，求FD 的长．25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12AB．求证：∠B=30°．请填空完成下列证明．证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=12AB=AD （）．∵AC=12 AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A=°．∴∠B=90°﹣∠A=30°．26．（12分）如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴1的直线上取点A（h，k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点和点A关于点P对称，过A作直线m⊥l．又分别过点B，C作直线BE⊥m和CD⊥m，垂足为E，D．在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC 叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．（1）直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标以及直径的长．（2）求抛物线y=14x2-32x+174的焦点坐标以及直径的长．（3）已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的直径为32，求a的值．（4）①已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．②直接写出抛物线y=14x2-32x+174的焦点短形与抛物线y=x2-2mx+m2+1公共点个数分别是1个以及2个时m的值．27．（12分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据抛物线和直线的关系分析.【详解】由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.故选D【点睛】考核知识点：反比例函数图象.2．C【解析】∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=1．故选C．考点：勾股定理的证明．3．A【解析】【分析】根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角=180°﹣150°=30°，再根据多边形外角和为360度即可求出边数．【详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴这个正多边形的每个外角=180°﹣150°=30°，∴这个正多边形的边数=36030︒︒=1．故选：A．【点睛】本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为360度以及正多边形的性质．4．D【解析】【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、4x+5y=4x+5y，错误；B、（-m）3•m7=-m10，错误；C、（x3y）5=x15y5，错误；D、a12÷a8=a4，正确；故选D．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．可以用排除法求解.【详解】第一，根据科学记数法的形式可以排除A选项和C选项，B选项明显不对，所以选D.【点睛】牢记科学记数法的规则是解决这一类题的关键.6．D【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD=BC，∴∠H=∠HBG．∵∠HBG=∠HBA，∴∠H=∠HBA，∴AH=AB．同理可证BG=AB，∴AH=BG．∵AD=BC，∴DH=CG，故C正确．∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，∴OH=OB，故A正确．∵DF∥AB，∴∠DFH=∠ABH．∵∠H=∠ABH，∴∠H=∠DFH，∴DF=DH．同理可证EC=CG．∵DH=CG，∴DF=CE，故B正确．无法证明AE=AB，故选D．7．D【解析】【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是34，故选：D.【点睛】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=.直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，31 =﹣1．故选：B．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,9．C【解析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：C．点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．C【解析】【分析】如图，根据长方形的性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．【详解】∵EF∥GH，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键．【详解】解：根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．12．C【解析】【分析】物体的俯视图，即是从上面看物体得到的结果；根据三视图的定义，从上面看物体可以看到是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，由此可以确定答案.【详解】从上面看是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆.故答案选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握几何体三视图的定义.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1，故答案为5.5×1．点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．【解析】【分析】用女生人数除以总人数即可.由题意得，恰好是女生的准考证的概率是.故答案为：.【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．-1【解析】【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得.【详解】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0，解得：x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0，所以x=-1是分式方程的解，故答案为：-1.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.16．2【解析】分析：设CD=3x，则CE=1x，BE=12﹣1x，依据∠EBF=∠EFB，可得EF=BE=12﹣1x，由旋转可得DF=CD=3x，再根据Rt△DCE中，CD2+CE2=DE2，即可得到（3x）2+（1x）2=（3x+12﹣1x）2，进而得出CD=2．详解：如图所示，设CD=3x，则CE=1x，BE=12﹣1x．∵CD CACE CB=34，∠DCE=∠ACB=90°，∴△ACB∽△DCE，∴∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∴∠ABF=∠BFE．又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠EBF=∠EFB，∴EF=BE=12﹣1x，由旋转可得DF=CD=3x．在Rt△DCE 中，∵CD2+CE2=DE2，∴（3x）2+（1x）2=（3x+12﹣1x）2，解得x1=2，x2=﹣3（舍去），∴CD=2×3=2．故答案为2．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．2【解析】【分析】先求出19行有多少个数，再加3就等于第20行第三个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正．【详解】∵1行1个数，2行3个数，3行5个数，4行7个数，…19行应有2×19-1=37个数∴到第19行一共有1+3+5+7+9+…+37=19×19=1．第20行第3个数的绝对值是1+3=2．又2是偶数，故第20行第3个数是2．18．【解析】试题分析：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜1．考点：根的判别式．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．CD的长度为317cm．【解析】【分析】在直角三角形中用三角函数求出FD，BE的长，而FC＝AE＝AB＋BE，而CD＝FC－FD，从而得到答案. 【详解】解：由题意，在Rt△BEC中，∠E=90°，∠EBC=60°，∴∠BCE=30°，tan30°=BE EC，∴BE=ECtan30°=51×33（cm）；∴CF=AE=34+BE=（34+173）cm，在Rt△AFD中，∠FAD=45°，∴∠FDA=45°，∴DF=AF=EC=51cm，则CD=FC﹣FD=34+173﹣51=173﹣17，答：CD的长度为173﹣17cm．【点睛】本题主要考查了在直角三角形中三角函数的应用，解本题的要点在于求出FC与FD的长度，即可求出答案.20．（1）证明见解析；（2）；3．【解析】试题分析：（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE 是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC•AF，进而求出AD．试题解析：（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．∵BC与⊙O相切于一点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=AO=0D，∴四边形AODE是平行四边形，∵OA=OD，∴四边形AODE是菱形．（2）解：设⊙O的半径为r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即8r=6（8﹣r）．解得r=，∴⊙O的半径为．如图2，连接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直径，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC•AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．21．（1）213222y x x =--；（2）（32，0）；（3）1，M （2，﹣3）．【解析】试题分析：方法一：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明△ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC 的面积可由S △MBC =12BC×h 表示，若要它的面积最大，需要使h 取最大值，即点M 到直线BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M ．方法二：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可．（2）通过求出A ，B ，C 三点坐标，利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC ⊥BC ，从而求出圆心坐标．（3）利用三角形面积公式，过M 点作x 轴垂线，水平底与铅垂高乘积的一半，得出△MBC 的面积函数，从而求出M 点．试题解析：解：方法一：（1）将B （1，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a ﹣32×1﹣2，即：a=12，∴抛物线的解析式为：213222y x x =--．（2）由（1）的函数解析式可求得：A （﹣1，0）、C （0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=1，即：OC 2=OA•OB ，又：OC ⊥AB ，∴△OAC ∽△OCB ，得：∠OCA=∠OBC ； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC 为直角三角形，AB 为△ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为：（32，0）．（3）已求得：B （1，0）、C （0，﹣2），可得直线BC 的解析式为：y=12x ﹣2；设直线l ∥BC ，则该直线的解析式可表示为：y=12x+b ，当直线l 与抛物线只有一个交点时，可列方程： 12x+b=213222x x --，即：212202x x b ---=，且△=0；∴1﹣1×12（﹣2﹣b）=0，即b=﹣1；∴直线l：y=12x﹣1．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：213222142y x xy x⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：23xy=⎧⎨=-⎩即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=12×2×（2+3）+12×2×3﹣12×2×1=1．方法二：（1）将B（1，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣32×1﹣2，即：a=12，∴抛物线的解析式为：213222y x x=--．（2）∵y=12（x﹣1）（x+1），∴A（﹣1，0），B（1，0）．C（0，﹣2），∴K AC=0210+--=﹣2，K BC=0240+-=12，∴K AC×K BC=﹣1，∴AC⊥BC，∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形，△ABC的外接圆的圆心是AB的中点，△ABC的外接圆的圆心坐标为（32，0）．（3）过点M作x轴的垂线交BC′于H，∵B（1，0），C（0，﹣2），∴l BC：y=12x﹣2，设H（t，12t﹣2），M（t，213222t t--），∴S△MBC=12×（H Y﹣M Y）（B X﹣C X）=12×（12t﹣2﹣213222t t++）（1﹣0）=﹣t2+1t，∴当t=2时，S有最大值1，∴M（2，﹣3）．点睛：考查了二次函数综合题，该题的难度不算太大，但用到的琐碎知识点较多，综合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键．22．（1）35，50；（2）①12；②y=﹣180x+1058；③150米．【解析】【分析】（1）用总长度÷每天修路的长度可得n的值，继而可得乙队单独完成时间，再用总长度÷乙单独完成所需时间可得乙队每天修路的长度m；（2）①根据：甲队先修建的长度+（甲队每天修建长度+乙队每天修建长度）×两队合作时间=总长度，列式计算可得；②由①中的相等关系可得y与x之间的函数关系式；③根据：甲队先修x米的费用+甲、乙两队每天费用×合作时间≤22800，列不等式求解可得．【详解】解：（1）甲队单独完成这项工程所需天数n=1050÷30=35（天），则乙单独完成所需天数为21天，∴乙队每天修路的长度m=1050÷21=50（米），故答案为35，50；（2）①乙队修路的天数为=12（天）；②由题意，得：x+（30+50）y=1050，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x+；③由题意，得：600×+（600+1160）（﹣x+）≤22800，解得：x≥150，答：若总费用不超过22800元，甲队至少先修了150米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.23．﹣2，﹣1，0【解析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集．本题解析：()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②，解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0，24．（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由点G 是AE 的中点，根据垂径定理可知OD ⊥AE ，由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG ，∠D=∠OBD ，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可证结论；（2）连接AD ，解Rt △OAG 可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG 的长，再证明△DAG ∽△FDG ，由相似三角形的性质求出FG 的长，再由勾股定理即可求出FD 的长.【详解】（1）∵点G 是AE 的中点，∴OD ⊥AE ，∵FC=BC ，∴∠CBF=∠CFB ，∵∠CFB=∠DFG ，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD ，∴∠D=∠OBD ，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）连接AD ，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG，∴，∴DG2=AG•FG，∴4=4FG，∴FG=1∴由勾股定理可知：5【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD是解（1）的关键，证明证明△DAG∽△FDG是解（2）的关键.25．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；1．【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质填空即可．【详解】证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=12AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵AC=12 AB，∴AC=CD=AD 即△ACD 是等边三角形，∴∠A=1°，∴∠B=90°﹣∠A=30°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，重点在于逻辑思维能力的训练．26．（1）4（1）4（3）23±（4）①a=±12；②当时，1个公共点，当＜m≤1或5≤m ＜时，1个公共点，【解析】【分析】（1）根据题意可以求得抛物线y=14x 1的焦点坐标以及直径的长；（1）根据题意可以求得抛物线y=14x 1-32x+174的焦点坐标以及直径的长；（3）根据题意和y=a （x-h ）1+k （a≠0）的直径为32，可以求得a 的值；（4）①根据题意和抛物线y=ax 1+bx+c （a≠0）的焦点矩形的面积为1，可以求得a 的值；②根据（1）中的结果和图形可以求得抛物线y=14x 1-32x+174的焦点矩形与抛物线y=x 1-1mx+m 1+1公共点个数分别是1个以及1个时m 的值．【详解】（1）∵抛物线y=14x 1， ∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+1144⨯=1，∴抛物线y=14x 1的焦点坐标为（0，1），将y=1代入y=14x 1，得x 1=-1，x 1=1， ∴此抛物线的直径是：1-（-1）=4；（1）∵y=14x 1-32x+174=14（x-3）1+1， ∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：1+1144⨯=3， ∴焦点坐标为（3，3），将y=3代入y=14（x-3）1+1，得 3=14（x-3）1+1，解得，x 1=5，x 1=1，∴此抛物线的直径时5-1=4；（3）∵焦点A（h，k+14a），∴k+14a=a（x-h）1+k，解得，x1=h+12a，x1=h-12a，∴直径为：h+12a-（h-12a）=1a=32，解得，a=±23，即a的值是23 ；（4）①由（3）得，BC=1 a，又CD=A'A=12a．所以，S=BC•CD=1a•12a=212a=1．解得，a=±12；②当时，1个公共点，当＜m≤1或5≤m＜1个公共点，理由：由（1）知抛，物线y=14x1-32x+174的焦点矩形顶点坐标分别为：B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），当y=x1-1mx+m1+1=（x-m）1+1过B（1，3）时，或，过C（5，3）时，（舍去）或，∴当时，1个公共点；当＜m≤1或5≤m＜时，1个公共点．由图可知，公共点个数随m的变化关系为当m＜当1个公共点；当＜m≤1时，1个公共点；当1＜m＜5时，3个公共点；当5≤m＜时，1个公共点；当1个公共点；当m＞时，无公共点；由上可得，当或1个公共点；当＜m≤1或5≤m＜时，1个公共点．【点睛】考查了二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，知道什么是抛物线的焦点、直径、焦点四边形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质、矩形的性质解答．27．（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【解析】【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x ﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）=﹣10x2+1140x﹣29600=﹣10（x﹣57）2+2890，当x＜57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．。

2020年吉林省长春市东北师大附中九年级下学期二模数学试题

初三年级综合测试数学学科试卷考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1.如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A. ﹣1.5B. ﹣2.5C. ﹣0.5D. 0.5 2.已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为（）A. 152×105米B. 1.52×10﹣5米C. ﹣1.52×105米D. 1.52×10﹣4米 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则该几何体的（）A. 主视图会发生改变B. 俯视图会发生改变C. 左视图会发生改变D. 三种视图都会发生改变 4.不等式54x +>的解集为( )A. 1x <B. 1x >C. 1x <-D. 1x >-5.下列计算正确的是( )A. ()325a a =B. 23a a a ⋅=C. 221a a -÷=-D. ()2211a a -=- 6.点()4,3经过某种图形变换后得到点()4,3,B -这种图形变换可以是( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 绕原点逆时针旋转90D. 绕原点顺时针旋转907.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O 旋转到CD 的位置．已知4AO =米，若栏杆的旋转角27AOD ∠=，则栏杆端点A 升高的高度为( )A. 4sin 27米 B. 4sin 27米 C. 4cos 27米 D. 4tan 27米 8.（2016山西省）宽与长的比是51-（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD 、BC 的中点E 、F ，连接EF ：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A . 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.分解因式：2a ab -=_______________．10.若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是____．11.颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．12.如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下：连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．14.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为____.m三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简(1+11x -)÷21x x -，再选择一个恰当的x 值代人并求值． 16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1， 2， 3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点．以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点E ；过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证：EF AC ⊥．19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元)．（3）在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．20.图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，点D 为边AC 的中点．分别在图①、图②中ABC 的边AB 上确定点,P 并作出直线DP ，使ADP △与ABC相似．要求：（1）图①、图②中的点P 位置不同．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由．22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合．（1）如图①，在ABC 中，4,120AB AC BAC ==∠=︒，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP △中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到（1）的情况，则PE EF +的最小值为；（3）解决问题：如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值．23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN ，设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位)．（1）当点Q 与点D 重合时，求t 的值；（2）用含t 的代数式表示QM 的长；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值．24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G ．（1）当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G ；②直接写出图象G 对应函数的表达式；③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围．（2）当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围．（3）若图象G 上有且只有三个点到直线2y =距离为3，直接写出m 的值．初三年级综合测试数学学科试卷考试时长：120分钟试卷分值：120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1.C2. B3.A4.D5.B6.A7.B8.D二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9.分解因式：2a ab -=_______________．【答案】a （a ﹣b ）．10.若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是____．【答案】14k > 11.颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则∠1＝__°．【答案】4512.如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下：连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是____．(只填序号)【答案】②③13.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20=>y x x的图象交于点(,)Q m n .若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．【答案】223m << 14.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为____.m【答案】5三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简(1+11x -)÷21x x -，再选择一个恰当的x 值代人并求值．解：原式=11(1)(1)()11x x x x x x-+-+-- =(1)(1)•1x x x x x +--=x+1 当x=2时，原式=x+1=2+1=3.16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1， 2， 3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张一记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种结果， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为3193=. 【点睛】本题考查了树状图的概率问题，掌握画树状图的方法、树状图的性质是解题的关键．17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积．观察图②和图③可得：3532a b a b =⎧⎨+=⎩，解得：159a b =⎧⎨=⎩， ∴一个小长方形模具的面积为2159135cm ⨯=，答：一个小长方形模具的面积为2135cm ． 18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点．以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点E ；过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证：EF AC ⊥．连接,OE 如图，,OB OE =,B OEB ∴∠=∠,AB AC =,∴∠=∠B C∴∠=∠,OEB C∴//,OE AGEF为切线∴⊥,OE EF∴⊥．EF AC19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源：公司财报、中商产业研究院)．综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入亿元，净利润亿元．（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元)．（3）在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长亿元，并说明理由．（1）由图1得：2018年，伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元，故答案为：795.5，64.4；⨯---≈81.1（亿元）；（2）“奶粉及奶制品”业务的营业收入为：795.5(183.2%0.3% 6.3%)（3）2014年净利比上一年增长额为60-49.4=10.6,亿元，2015年净利比上一年增长额21-60=-39亿元，2016年净利比上一年增长额为34.5-21=13.5亿元，2017年净利比上一年增长额为50.5-34.5=16亿元，2018年净利比上一年增长额为64.4-50.5=13.9亿元，∴净利比上一年增长额最多的是2017年；∵2013年到2015年数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿元，16亿元，13.9亿元，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元，故答案为：2017，15.的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点均在格点上，点D 20.图①、图②均是66为边AC的中点．分别在图①、图②中ABC的边AB上确定点,P并作出直线DP，使ADP△与ABC 相似．要求：（1）图①、图②中的点P位置不同．（2）只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．解：（1）如图：找到格点N、M，连接NM交AB于点P，过P点和D点作直线PD，此时△APD∽△ACB.理由如下：找到格点N 、M 、Q ，连接NM 交AB 于点P ，连接NQ 交AB 于点T ，连接TP ，由图可知，∠NTP=∠NQM ，∠QNM=∠TNP ，∴△TNP ∽△QNM ， ∴16TP NT QM NQ ==， ∴16TP =， ∴113266AP =+=，∵AC ==D 为AC 的中点，∴2AD =，236AD AB ∴==， 13AP AC ==，在△APD 和△ACB 中，∠DAP=∠BAC ，AD AP AB AC ∴==， ∴△APD ∽△ACB.（2）如图：找到格点K ，L ，连接KL ，交AB 于点P ，过P 点和D 点作直线PD ，此时△ABC ∽△APD.理由如下：找到格点W 、G ，连接WG ，KW ，GL ，由图可知，KW ∥GL ，∴∠KPW=∠LPG ，∠KWP=∠LGP ，又∵KW=LG ，∴△KWG ≌LGP ，∴WP=GP ，∴P 为WG 的中点，∵AW+WP=BG+GP ，∴AP=BP ，∴P 为AB 的中点，∵D 点为AC 的中点，∴PD 为△ABC 的中位线，∴PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC.21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程．某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由．解：（1）2.7-1.5=1.2h ，（2）设排水过程中y 与x 之间的函数关系式为0 1.5)y kx b x =+≤≤（，由题意得函数图象经过点()()0,1200,1.5,0，∴12001.50b k b =⎧⎨+=⎩ 解得1200800b k =⎧⎨=-⎩∴y 与x 之间的函数关系式为80012000 1.5)y x x =-+≤≤（；（3）由题意得排水速度为1200÷1.5=800m 3/h ，∴灌水速度为800÷1.6=500 m 3/h ，∴灌水时间为1200÷500=2.4h ，所以对外开放时间为7+2.7+2.4+0.5=12.6＞12.5∴小致不能在中午12:30进入该游泳馆游泳．22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合．（1）如图①，在ABC 中，4,120AB AC BAC ==∠=︒，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________．（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP △中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到（1）的情况，则PE EF +的最小值为；（3）解决问题：如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值．（1）如图，过点A 作⊥AP BC ，此时AP 的值最小．∵4,120AB AC BAC ==∠=︒，30ABC ∴∠=︒， 122AP AB ∴==，故答案为：2．（2）根据小致的思路作出图形，可知当PN AB ⊥时PE EF +的值最小，如图：∵30ABC ∠=︒，122AP AB ==， ∴23BP =，∵1122BP AP AB PN ⋅=⋅， ∴3PN =，故答案为：3．（3）如图3中，在AB 上取一点K ，使得AK AC =，连接CK ，DK ．90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60CAK ∴∠=︒，PAD CAK ∴∠=∠，PAC DAK ∴∠=∠，PA DA =，CA KA =，()PAC DAK SAS ∴△≌△，PC DK ∴=，KD BC ⊥时，KD 的值最小，最小值为3，PC ∴的最小值为3．23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN ，设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位)．（1）当点Q 与点D 重合时，求t 的值；（2）用含t 的代数式表示QM 的长；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值．解：（1）9068ABC BC AB ∠=︒==,,∴由勾股定理可得：22228610AC AB BC =+=+=D 为边AC 的中点 ∴152CD AC == ∴6511BC CD +=+= ∴当点Q 与点D 重合时，111122t =÷=（2）当点Q 边BC 上时，此时，026t <<，即03t <<//QM ABCMQ CAB ∴△△CQ QM CB BA∴= 即6268t QM -= 6288863t QM t -∴=⋅=-+当点Q 在边CD 上时，此时，0265t <-<，即1132t << //QM ABCQM CAB ∴△△CQ QMCA AB ∴=即26108t QM-=2682481055t QM t -∴=⋅=-综上所述：88(03)382411(3)552t t QM t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩．（3）当点Q 在边BC 上，即03t <<时，由（2）知883QM t =-+2816(8)21633S QM BQ t t t t ∴==-+=-+ 当点Q 在边CD 上，即1132t <<时，由（2）知82455QM t =-，CQM CAB △△ CQ CM CA CB∴= 即26106t CM -= 2661861055t CM t -∴=⋅=- 6186486()5555BM BC CM t t ∴=-=--=-+ 2824648485281152()()5555252525S QM BM t t t t ∴==--+=-+- 综上所述：221616(03)348528115211(3)2525252t t t S t t t ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎩．（4）以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立如图所致平面直角坐标系，当点Q 在边BC 上时，由题设条件可知：(8,0)P t -+，(0,2)Q t ，(0,0)B ，(4,3)D -易得：PQ 中点E 的坐标为(4,)2t t -+直线BD 的解析式为34y x =- 若BD 将PMQN 分成面积相等的两部分，则此时点E 在直线BD 上，将(4,)2t E t -+代入34y x =-，得：3(4)42t t =--+ 解得：2411t =当点Q 在边CD 上时，由题设条件可知：(8,0)P t -+，824648(,)5555Q t t -+-+，(0,0)B ，(4,3)D - 易得：PQ 中点E 的坐标为38324(,)10555t t ---+ 直线BD 的解析式为34y x =- 若BD 将PMQN 分成面积相等的两部分，则此时点E 在直线BD 上，将38324(,)10555t t ---+代入34y x =-，得：324338()554105t t -+=--- 解得：4811t =24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G ．（1）当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G ；②直接写出图象G 对应函数的表达式；③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围．（2）当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围．（3）若图象G 上有且只有三个点到直线2y =的距离为3，直接写出m 的值．（1）①当1m =时，抛物线解析式为：222y x x -=+，则()2,2A ，因此翻折后的图象如图：②当2x ≤时为解析式为222y x x -=+，沿2y =翻折之后，开口向下，形状不变，故设翻折之后的解析式为：2y x bx c =-++，将点()2,2，()3,5代入可得：422935b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得22b c =⎧⎨=⎩， ∴当2x >时，222y x x =-++，故图象G 对应函数的表达式为：2222,222,2x x x y x x x ⎧-+≤=⎨-++>⎩③把1y =代入222y x x =-++得12x =±，∵1x >，12x ∴=+112k ∴≤≤+；（2）当2n =-时，原函数222y x x -=+的顶点坐标为()3,1-，故图象G 如图：根据图象可知y 随x 增大而减小时x 的取值范围为：2x ≤或3x ≥；（3）点()2,A n 在抛物线222y x mx m =-+上，故44224n m m m =-+=-+，翻折之前的顶点坐标为()2,2m m m -+，翻折之后的解析式为222y x mx m +=-+，翻折之后的顶点坐标为()2,2m m m +，①当点A 在对称轴右侧时，即2m <时：若直线2y =在点A 上方，则只需让点A 到直线2y =的距离为3即可，即()2243m --+=，解得：52m =（舍）；若直线2y =在点A 下方，且在翻折前顶点的上方，则需让222y x mx m =-+的顶点和点A 到直线2y =的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即()22423223m m m -+-=⎧⎪⎨--+<⎪⎩或()22423223m m m -+-<⎧⎪⎨--+=⎪⎩，解得：12m =-；若直线2y =在翻折前顶点的下方，则只需让翻折前顶点到直线2y =的距离 3即可，即2223m m -+-=，此时无解；②当点A 在对称轴左侧时，即2m >时：若直线2y =在翻折后顶点的上方，则只需让翻折后顶点到直线2y =的距离 3即可，即()2223m m -+=，解得1m =-（舍）；若直线2y =在点A 上方，且在翻折后顶点的下方，则需让222y x mx m =-+的顶点和点A 到直线2y =的距离一个刚好等于3，一个小于3即可，即()22243223m m m ⎧--+=⎨+-<⎩或()22243223m m m ⎧--+<⎨+-=⎩，解得：52m =；若直线2y =在点A 下方，则只需让点A 到直线2y =的距离为3即可，此时3m =；综上所述，m 的值为：512,,32．。