产销不平衡的运输问题及其应用解析精选课件PPT
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产销不平衡的运输问题
优化运输路线：通过 合理规划运输路线， 减少重复运输和空驶， 提高运输效率。
发展多式联运：将不同 运输方式有机结合起来 ，形成一体化的运输体 系，提高运输效率。
推广智能化运输：利 用信息技术和大数据 分析，实现运输过程 的智能化和自动化， 提高运输效率。
提升运输效率
优化运输路线，减 少运输时间和成本
优化运输路线，减少迂回和重复运输 合理配置仓库，提高仓储效率 引入先进的物流信息技术，实现信息共享和实时监控 加强物流人才培养，提高物流服务水平
加强政策引导和支持
制定优惠政策，鼓励企业加大 运输投入
设立专项资金，支持企业进行 运输技术创新
优化税收政策，减轻பைடு நூலகம்业运输 成本负担
加强政策宣传，提高企业对运 输管理的重视程度
感谢您的观看
绿色物流的发展趋势和未 来展望
多元化运输方式的融合发展
多种运输方式 协同发展，形 成优势互补的
格局
智能化技术的 应用，提高运 输效率与降低
成本
绿色低碳的发 展理念，推动 环保型运输方
式的普及
多元化运输方 式融合发展， 促进产业升级 与区域经济发
展
区域物流协同发展
区域物流协同发展的必要性：解决产销不平衡的运输问题 区域物流协同发展的优势：提高物流效率，降低运输成本 区域物流协同发展的关键因素：信息共享、资源整合、政策支持 区域物流协同发展的未来展望：实现更高效、更智能的物流运输
运输需求减少，导致运输效率降低，增加运输成本 运输需求波动大，需要更多的运输工具和人力来应对，增加运输成本 运输需求不均衡，需要更多的中转和仓储，增加运输成本 运输需求不稳定，需要更多的保险和备用运输工具，增加运输成本
运输需求减少：由于产销不平衡， 运输需求量减少，导致运输效率降 低。
产销不平衡的运输问题及其求解方法
亠0就转化成一个产销平衡的运输问题当销大于产时可以在产销平衡表中增加一个假想的产地iml该地产量为nmdjdjjl心1在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价0同样可以转化为个产销平衡的运输问题例2设有三个化肥厂abc供应四个地区iiiiiiiv的农用化肥
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第3章 运输问题 （继续）
若当产大于销时，
只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)， 该销地总需要量为
i 1
ai b j
j 1
m
n
而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为， ; ci ,n1 0 就转化成一个产销平衡的运输问题
当销大于产时，
可以在产销平衡表中增加一个假想的产地 i=m+1，该地产量为
例5
在本章的例1中，如果假定
• ①每个工厂生产的产品不一定直接发运到销售点， 可以将其中几个产地集中一起运； • ②运往各销地的产品可以先运给其中几个销地，再 转运给其他销地； • ③除产、销地之外，中间还可以有几个转运站，在 产地之间、销地之间或产地与销地间转运。已知各 产地、销地、中间转运站及相互之间每吨产品的运 价如表3-40所示，问在考虑到产销地之间直接运输 和非直接运输的各种可能方案的情况下，如何将三 个厂每天生产的产品运往销售地，使总的运费最少。
表3-29
季度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
生产能力(台) 25 35 30 10
单位成本(万元) 10.8 11.1 11.0 11.3
解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季 交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交 货的柴油机数。根据合同要求，必须满足
x11 10 x x 15 12 22 x x x 25 13 23 33 x14 x24 x34 x44 20
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第3章 运输问题 （继续）
若当产大于销时，
只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)， 该销地总需要量为
i 1
ai b j
j 1
m
n
而在单位运价表中从各产地到假想销地的单位运价为， ; ci ,n1 0 就转化成一个产销平衡的运输问题
当销大于产时，
可以在产销平衡表中增加一个假想的产地 i=m+1，该地产量为
例5
在本章的例1中，如果假定
• ①每个工厂生产的产品不一定直接发运到销售点， 可以将其中几个产地集中一起运； • ②运往各销地的产品可以先运给其中几个销地，再 转运给其他销地； • ③除产、销地之外，中间还可以有几个转运站，在 产地之间、销地之间或产地与销地间转运。已知各 产地、销地、中间转运站及相互之间每吨产品的运 价如表3-40所示，问在考虑到产销地之间直接运输 和非直接运输的各种可能方案的情况下，如何将三 个厂每天生产的产品运往销售地，使总的运费最少。
表3-29
季度 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
生产能力(台) 25 35 30 10
单位成本(万元) 10.8 11.1 11.0 11.3
解 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季 交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交 货的柴油机数。根据合同要求，必须满足
x11 10 x x 15 12 22 x x x 25 13 23 33 x14 x24 x34 x44 20
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
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.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
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.
.
.
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.
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Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
第三节 产销不平衡的运输问题及其
B4 M 0 M M 0 5
产量 6 5 7 4 3
A1′ A1'' A2 A 3′ A 3'' 销量
管理工程学院
12
《运筹学》
13
例：设有三个化肥厂供应四个地区的农用化 肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相 同，已知各化肥厂年产量，各地区年需要量 及各化肥厂到各地区单位化肥的运价表如表 所示，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
16 14 19 M 16 14 19 0 13 13 20 M
Ⅲ Ⅳ´ Ⅳ´´
22 19 23 0 17 15 M M 17 15 M 0
产 量 50 60 50 50
销量 30
20
70
30
10
50
管理工程学院
15
《运筹学》
16
例：设有A1、A2 、A3三个产地生产某种物资， 其产量分别为7、5、7t，B1、B2 、B3 、B4四 个销地需要该种物资，销量分别为2、3、4、 6t，各产销地之间单位运价见表。又知产地 的物资若有剩余，将发生存储费用，三个产 地单位物资的存储费用分别为2，2，1。试 决定总运费最少的调运方案。
管理工程学院
13
《运筹学》
14
需求地区 化肥厂
Ⅰ
16 14 19 30 50
Ⅱ
13 13 20 70 70
Ⅲ
22 19 23 0 30
Ⅳ
17 15 — 10 不限
产 量(万t)
A B C 最低需求(万t) 最高需求(万t)
50 60 50
管理工程学院
14
《运筹学》
15
销地 产地 A B C D
Ⅰ´ Ⅰ´´ Ⅱ
3.3产销不平衡的运输问题
算检验 数如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
产销不平衡的运输问题-运筹学 PPT课件
j 1
i 1
就可以作为一个初始基可行解。
运输问题
3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初 始基可行解，从每一空格出发可以找出 而且仅能找出唯一的闭回路。
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值， 运输问题的最优解也为整数值。
5、如果运输问题单位运价表的某一行（或 某一列）元素分别加上一个常数k，最优 调运方案将不会发生变化。
0
1n 1n1 1
x x a c2n
0
2n 2n1 2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
j 1,2, n
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2, , m
j 1
m
xij
b j , j 1,2, , n, n 1
i 1
xij 0, i 1,2, , m
j 1,2, n, n 1
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2, , m
j 1
m
xij
b j , j 1,2, , n
第七章 运输问题(2应用)
1’ 16 14 19 M 30
1” 16 14 19 0 20
2 13 13 20 M 70
3 22 19 23 0 30
4’ 17 15 M M 10
4” 17 15 M 0 50 210
产量 50 60 50 50 210
第七章 运输问题
7.3 运输问题的应用
一、产销不平衡的运输问题 二、生产与储存问题
j i Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 销量 10 15 25 Ⅰ 10.8 Ⅱ 10.95 11.10 Ⅲ 11.10 11.25 11.00 Ⅳ 11.25 11.40 11.15 11.30 2货的柴油机数， 设 xij 为第 i 季度生产的第 j 季度交货的柴油机数，则 min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25 x14 +11.1 x22
A B C 最低需要量 最高需要量
1 16 14 19 30 50
2 13 13 20 70 70
3 22 19 23 0 30
4 17 15 --10 60 不限
产量 50 60 50
§ 7.3 运输问题的应用
增加一个假想的化肥厂D 产量为50万吨。 增加一个假想的化肥厂D，产量为50万吨。 50万吨 由于1 地区需求量包含最低需求和最高需求两个部分，故可将1 由于1、4 地区需求量包含最低需求和最高需求两个部分，故可将1、 地区各按两个地区看待。 4 地区各按两个地区看待。 最低需求必须满足， 最低需求必须满足，因此把相应的虚设产地的运费取为 M ， 最高需求与最低需求的差允许按需要安排， 最高需求与最低需求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地 的运费取为 0 。
AA BB C C 最低需要量 D 最高需要量 销量 1 1’ 16 16 14 14 19 19 30 M 50 30
3_03产销不平衡的运输问题及其应用
运输问题
产地
中间转运站
销地
A1 A1
产地
A2 1
A3 3
T1 2 3 1
T2 1 5 1
T3 4 2 3 1
T4 3 2 3 2 1 2
B1 3 1 7 2 4 1 1
B2 11 9 4 8 5 8 1
B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2
B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
B1 A1 A2 A3
销量
运输问题
B2
4 2 8 12 10 5
B3
4 3 11
B4
11 9 6
产量
8 5 9
4
10
5
6
最优方案为：
B1 A 1 A2 A3 A4
销量
运输问题
B2
4 12
4
2
8
10
B3 B4 产量 5 4 311 8 3 19 5
11 6
9 1
5
9 3
0
0
0
2 6
0
4
10
5
例3、设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥.假定等 量的化肥在这些地区使用效果相同,已知各化肥厂年需 要量及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价如下表，试 决定使总的运费最节省的化肥调拨方案。
第三节 运输问题的 进一步讨论
上节给出产销平衡运输问题的表上 作业法，本节以下问题进一步讨论： 一、产销不平衡的运输问题 二、有转运的运输问题 并附有运输问题的思考题及练习题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
a
i 1
m
i
b
j 1
i
产地
中间转运站
销地
A1 A1
产地
A2 1
A3 3
T1 2 3 1
T2 1 5 1
T3 4 2 3 1
T4 3 2 3 2 1 2
B1 3 1 7 2 4 1 1
B2 11 9 4 8 5 8 1
B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2
B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3
B1 A1 A2 A3
销量
运输问题
B2
4 2 8 12 10 5
B3
4 3 11
B4
11 9 6
产量
8 5 9
4
10
5
6
最优方案为：
B1 A 1 A2 A3 A4
销量
运输问题
B2
4 12
4
2
8
10
B3 B4 产量 5 4 311 8 3 19 5
11 6
9 1
5
9 3
0
0
0
2 6
0
4
10
5
例3、设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥.假定等 量的化肥在这些地区使用效果相同,已知各化肥厂年需 要量及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价如下表，试 决定使总的运费最节省的化肥调拨方案。
第三节 运输问题的 进一步讨论
上节给出产销平衡运输问题的表上 作业法，本节以下问题进一步讨论： 一、产销不平衡的运输问题 二、有转运的运输问题 并附有运输问题的思考题及练习题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
a
i 1
m
i
b
j 1
i
运筹学第二章运输问题PPT课件
设从Ai 到Bj的运量是xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4),z为总费用。
min z =3x11+11x12+3x13+10x14 +x21+ 9x22+ 2x23+ 8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
x11+ x12+ x13+ x14=7 x21+ x22+ x23+ x24=4 x31+ x32+ x33+ x34=9 x11+ x21 + x31 =3 x12 + x22+ x32 =6 x13 + x23 + x33 =5 x14 + x24+ x34 =6 xij≥0 (i=1,2,3 ; j=1,2,3,4)
注：运输问题检验数的经济意义： 当该空格增运1单位时引起的总运
费的增量。 本例中由于σ24=-1<0，所以该方案非最 优方案。
18
三、调整
从σij为最小负值的空格出发，对其闭 回路上的奇数顶点运量加Ө，偶数顶点运 量减Ө。
调量Ө=该闭回路的偶数顶点运量中的 最小值
调整后得到新方案，转第二步检验。
19
13
注：
（1）有数字格表示基变量，
其个数为m+n-1，空格表示非基变量。
（2）每填上一个数后，则只能划去一行（ 或一列）。 （3）若中间过程填上一个数后，同时划去一 行和一列，有数字格的个数将少1个，这时， 要在所划去的该行（或该列）上任意一格填 一个0，此格当有数格对待。
14
二、最优性检验---（计算空格检验数） ➢方法：⑴ 找出每个空格的闭回路。
min z =3x11+11x12+3x13+10x14 +x21+ 9x22+ 2x23+ 8x24 +7x31+4x32+10x33+5x34
x11+ x12+ x13+ x14=7 x21+ x22+ x23+ x24=4 x31+ x32+ x33+ x34=9 x11+ x21 + x31 =3 x12 + x22+ x32 =6 x13 + x23 + x33 =5 x14 + x24+ x34 =6 xij≥0 (i=1,2,3 ; j=1,2,3,4)
注：运输问题检验数的经济意义： 当该空格增运1单位时引起的总运
费的增量。 本例中由于σ24=-1<0，所以该方案非最 优方案。
18
三、调整
从σij为最小负值的空格出发，对其闭 回路上的奇数顶点运量加Ө，偶数顶点运 量减Ө。
调量Ө=该闭回路的偶数顶点运量中的 最小值
调整后得到新方案，转第二步检验。
19
13
注：
（1）有数字格表示基变量，
其个数为m+n-1，空格表示非基变量。
（2）每填上一个数后，则只能划去一行（ 或一列）。 （3）若中间过程填上一个数后，同时划去一 行和一列，有数字格的个数将少1个，这时， 要在所划去的该行（或该列）上任意一格填 一个0，此格当有数格对待。
14
二、最优性检验---（计算空格检验数） ➢方法：⑴ 找出每个空格的闭回路。
运输问题 PPT课件
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 4
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 8
证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 8
证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
产销不平衡的运输问题(课堂PPT)
1460
48
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2
82
10
3 2 9 10
A3
8 14 5
11 用8最小6 元2素2 法
求出的目标函
销量 8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z ，1伏2 格4 尔4法1 得1 出8的2 初始解2 的质9 量1最4 好5，8常用6 来2作44 为运输问题最优解的近似解。
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 4 6 0 300 A2 6 5 5 0 300
销量 150 150 200 100
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1 bj ai
j1
i1
仿照上述类似处理。
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从 产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为
c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡
的问题。
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
产大于销
销大于产
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai bj
产销不平衡的运输问题32页PPT
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
产销不平衡的运输问题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
产销不平衡的运输问题
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
产销不平衡的运输问题 ppt课件
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2.供不应求的情况，即
m
i1
a
i
＜
n
j1
b
j
与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产
地Am+1 ，该产地的产量为
am1j n 1bji m1ai
再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题
可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1
（2） 用位势法计算检验数
如黄表所示：
产销不平衡的运输问题
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
（8） （1） （9）（5）
（-4）（-7）
（5）第二次调整量θ=1，调 （6）再用位势法计算检验数如
整后的方案如下表所示：
下表所示：
产销不平衡的运输问题
（8） （8）（7） （2）（-2）
（3）
到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。
在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存，
或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数）
例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6，8 吨，B1、
B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨，又已知各产销地之间的单 位运价如下表所列，试确定总运费最少的调运方案。
解：产地总产量为19 吨，
销地总销量为18 吨，产
大于销。故虚设销地B4， 令其销量b4=1 吨，运价 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 产销不平衡的运输问题成如下运输问题：
（8） （10）
2.供不应求的情况，即
m
i1
a
i
＜
n
j1
b
j
与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产
地Am+1 ，该产地的产量为
am1j n 1bji m1ai
再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题
可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1
（2） 用位势法计算检验数
如黄表所示：
产销不平衡的运输问题
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
（8） （1） （9）（5）
（-4）（-7）
（5）第二次调整量θ=1，调 （6）再用位势法计算检验数如
整后的方案如下表所示：
下表所示：
产销不平衡的运输问题
（8） （8）（7） （2）（-2）
（3）
到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。
在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存，
或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数）
例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6，8 吨，B1、
B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨，又已知各产销地之间的单 位运价如下表所列，试确定总运费最少的调运方案。
解：产地总产量为19 吨，
销地总销量为18 吨，产
大于销。故虚设销地B4， 令其销量b4=1 吨，运价 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 产销不平衡的运输问题成如下运输问题：
（8） （10）
常见的不合理运输ppt课件
迂回运输
舍近取远的一种运输，可以选取短距离进行运输而不
选，却选择路程较长路线进行运输的一种不合理形式。 迂回运输有一定复杂性，不能简单处之，只有当计划 不周、地理不熟、组织不当而发生的迂回，才属于不 合理运输。某种物资本来可以从起运地一次直运达到 目的地，但由于批发机构或商业仓库设置不当。或计 划不周人为的运到中途地点（例如中转仓库）卸下后， 又二次装运的不合理现象，重复运输增加了一道中间 装卸环节，增加了装卸搬运费用，延长了商品在途时 间。如果最短距离有交通阻塞、道路情况不好或有对 噪音、排气等特殊限制而不能使用时发生的迂回．不 能称不合理运输
精品课件
9
• 原因：重复运输是供销环节安排欠妥引 起的，往往货物在流转中，先由产地运 到中转站的货栈，然后再分运至销地。
• 解决方法：尽量发展直达运输。直达运 输是指把商品从产地直接运到达要货单 位的运输，中间不需要经过各级批发企 业的仓库的运输，直线运输是指减少商 品流通环节，采用最短运距的运输。
常见的不合理运输 现象、原因及解决方法
精品课件
1
对流运输
对流运输可以分为两种情况：一种是明
显的对流运输，即在同一运输线上对流 。如一方面把甲地的物资运往乙地，而 另一方面又把乙地的同样物资运往甲地 ，产生这种情况大都是由于货主所属的 地区不同企业不同所造成的。另一种是 隐蔽性的对流运输，即把同种物资采用 不同的运输方式在平行的两条路线上， 朝着相反的方向运输。
精品课件
2
• 产生原因：主要是因为物流运输没有进 行合理化安排
• 解决方法：物流运输合理化，可以使货 物走最合理的路线，经最少的环节，以 最快的时间，取最短的里程到达目的地， 从而加速货物流通；同时还可以消除运 输中的种种浪费现象，提高商品运输质 量，充分发挥运输工具的效能，节约运 力和劳动力。
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第三章 运输问题
3.1 运输问题及其数学模型 3.2 表上作业法 3.3 产销不平衡的运输问题及其应用
第1页
表
上
作 业 法
求 解 步
骤
分析实际问题 列出产销平衡表
及单位运价表
确定初始调运方案 （西北角法、最小元素法
或Vogel法）
求检验数 （闭回路法或位势法）
所有检验数≥0
是 得到最优方案 算出的总运价
C2n
┊ ┆┊┈┊
Am Cm1 Cm2 ┈ Cmn
Bn+1 产量
０
a1
０
a2
┆┊
０
am
销量
b1
b2
┈ bn aibj
相当于：增加一个假想销地
第5页
mn
MinZ
cij xij
i1 j1
n
xij ai i 1, 2, , m
s.t.
j1 m
xij
bj
j 1,2, ,n
i1
xij 0
循
否
环
找出绝对值最大的负
的检验数用闭回路调整
，得出新的调运方案
第2页
3.3产销不平衡运输问题及其应用
一、产销不平衡问题 1产销 2销产 二、一些变形和推广 三、有转运的运输问题
第3页
一、产销不平衡的问题
1、产大于销的运输问题
在实际问题中，产大于销意味着某些产品被积压 在仓库中。可以这样设想，如果把仓库也看成是 一个假想的销地，并令其销量刚好等于总产量与 总销量的差；那么，产大于销的运输问题就转换 成产销平衡的运输问题
2
8
0
4
C
7
4
10
5
0
12
销量（bj）
3
6
5
6
3
第8页
例2 求下列表中极小化运输问题的最优解。
B1
B2
B3
B4
A1
5
9
2
3
A2
--
4
7
8
A3
3
6
4
2
A4
4810源自11bj2060
35
45
因为有：
4
4
ai 180bj 160
i1
j1
所以是一个产大于销的运输问题。
ai
60 40 30 50
180 160
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
12
销量（bj） 3
6
5
6
解 此运输问题的总产量为23、总销量为20，所以 假设一个销地戊并令其销量刚好等于总产量与总销 量的差“3”。取假想的戊列所对应的运价都为 “0”，可得下表所示的产销平衡运输问题。
第7页
甲
乙
丙
丁
戊
产量（ai）
A
3
11
3
10
0
7
B
1
9
20
60
35
45
20 180
下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位 没有运出。
B1
B2
B3
B4
B5
Ai
A1
35
25
60
A2
40
40
A3
10
20
30
A4
20
10
20
50
Bj
20
60
35
45
20
180
2.销大于产的运输问题
可以这样设想，假想一个产地，并令其产量刚好 等于总销量与总产量的差；那么，销大于产的运 输问题同样可以转换成产销平衡的运输问题
第17页
二、一些变形和推广
销量不确定（有最高需求和最低需求） 设销地Bk的最低需求为bk’，最高需求为bk” ，
这时可把看作Bk’和Bk”两个销地， Bk’需求 量bk’ ，Bk”的需求量bk” - bk’
第18页
例4 需求量不确定的运输问题
例2中，假定B1的需要量是20到60之间，B2的需要量 是50到70，试求极小化问题的最优解。
xij 0
m1 n
MinZ cijxij i1 j1
n
xij ai
i1,2, ,m1
产量约地束束 m+n+1个约束条件
s.t.
jm11xij bj
j1,2, ,n
销量约量束束 (m+1)×n个决策变量
i1
xij 0
第14页
例3 将表二所示的销大于产的运输问题 转换成产销平衡的运输问题
表二
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量（bj）
11
6
5
6
解 此运输问题的总产量为20、总销量为28，所以
假设一个产地D并令其产量刚好等于总销量与总产量 的差“8”。令假想的D行所对应的运价都为“0”
，可得下表所示的产销平衡运输问题。
第15页
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
D
0
0
0
0
8
销量（bj）
11
6
5
6
第16页
产销不平衡问题 小结
（变成产销平衡问题） 当总产量>总销量时，可增加一个假想销地Bn+1, 销量＝ ∑ai－ ∑bj，Ci,n+1=0， 当总产量<总销量时，可增加一个假想产地Am+1,产量＝ ∑bj －∑ai ，Cm+1，j=0
第9页
表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚 设一个销量为b5=180－160=20的销地B5，Ci5=0，i=1，2， 3，4。表的右边增添一列
这样可得新的运价表：
B1 B2 B3 B4 B5
ai
A1
5
9
2
3
0
60
A2 M
4
7
8
0
40
A3
3
6
4
2
0
30
A4
4
8
10
11
0
50
bj
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
Am+1 0
0┈
Bn
产量
C1n
a1
C2n
a2
┊┊
Cmn am
0 bjai
销量
b1
b2
┈ bn
相当于：增加一个假想产地
第13页
mn
MinZ
cij xij
i1 j1
n
xij ai i 1, 2, , m
s.t.
j1 m
xij
bj
j 1,2, ,n
i1
m n1
MinZ cijxij
i1 j1
n1
xij ai i1,2, ,m
产量约地束束 m+n+1个约束条件
s.t.
jm1xij bj
m×(n+1)个决策变量 j1,2, ,n1 销量约量束束
i1
xij 0
第6页
例1 将表一所示的产大于销的运输 问题转换成产销平衡的运输问题
表一
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
B1
B2
B3
A1
5
9
2
A2
--
4
7
A3
3
6
4
A4
4
8
10
bj
20～60 50～70
35
B4
ai
3
60
8
40
2
30
11
50
180 45 150～210
第19页
先作如下分析：
（1）总产量为180，B1，…，B4的最低需求量 20+50+35+45=150，这时属产大于销；
假想一个销地，相当于在原产销关系表上增加一 列。
由于假想的销地代表的是仓库，实际上没有产生 运输，所以假想列所对应的运价应取为“0”。
至此，我们又将销大于产的运输问题转换成了产 销平衡的运输问题。
第4页
产销问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈ Bn
A1
C11
C12
┈
C1n
A2
C21
C22
┈
假想一个产地，相当于在原产销关系表上增加一 行。
由于假想的产地与各销地之间并不存在实际的运 输，所以假想的产地行所有的运价都应该是“0”
至此，我们又将销大于产的运输问题转换成了产 销平衡的运输问题。
第12页
销产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
3.1 运输问题及其数学模型 3.2 表上作业法 3.3 产销不平衡的运输问题及其应用
第1页
表
上
作 业 法
求 解 步
骤
分析实际问题 列出产销平衡表
及单位运价表
确定初始调运方案 （西北角法、最小元素法
或Vogel法）
求检验数 （闭回路法或位势法）
所有检验数≥0
是 得到最优方案 算出的总运价
C2n
┊ ┆┊┈┊
Am Cm1 Cm2 ┈ Cmn
Bn+1 产量
０
a1
０
a2
┆┊
０
am
销量
b1
b2
┈ bn aibj
相当于：增加一个假想销地
第5页
mn
MinZ
cij xij
i1 j1
n
xij ai i 1, 2, , m
s.t.
j1 m
xij
bj
j 1,2, ,n
i1
xij 0
循
否
环
找出绝对值最大的负
的检验数用闭回路调整
，得出新的调运方案
第2页
3.3产销不平衡运输问题及其应用
一、产销不平衡问题 1产销 2销产 二、一些变形和推广 三、有转运的运输问题
第3页
一、产销不平衡的问题
1、产大于销的运输问题
在实际问题中，产大于销意味着某些产品被积压 在仓库中。可以这样设想，如果把仓库也看成是 一个假想的销地，并令其销量刚好等于总产量与 总销量的差；那么，产大于销的运输问题就转换 成产销平衡的运输问题
2
8
0
4
C
7
4
10
5
0
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销量（bj）
3
6
5
6
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例2 求下列表中极小化运输问题的最优解。
B1
B2
B3
B4
A1
5
9
2
3
A2
--
4
7
8
A3
3
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A4
4810源自11bj2060
35
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因为有：
4
4
ai 180bj 160
i1
j1
所以是一个产大于销的运输问题。
ai
60 40 30 50
180 160
A
3
11
3
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7
B
1
9
2
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C
7
4
10
5
12
销量（bj） 3
6
5
6
解 此运输问题的总产量为23、总销量为20，所以 假设一个销地戊并令其销量刚好等于总产量与总销 量的差“3”。取假想的戊列所对应的运价都为 “0”，可得下表所示的产销平衡运输问题。
第7页
甲
乙
丙
丁
戊
产量（ai）
A
3
11
3
10
0
7
B
1
9
20
60
35
45
20 180
下表为计算结果。可看出：产地A4还有20个单位 没有运出。
B1
B2
B3
B4
B5
Ai
A1
35
25
60
A2
40
40
A3
10
20
30
A4
20
10
20
50
Bj
20
60
35
45
20
180
2.销大于产的运输问题
可以这样设想，假想一个产地，并令其产量刚好 等于总销量与总产量的差；那么，销大于产的运 输问题同样可以转换成产销平衡的运输问题
第17页
二、一些变形和推广
销量不确定（有最高需求和最低需求） 设销地Bk的最低需求为bk’，最高需求为bk” ，
这时可把看作Bk’和Bk”两个销地， Bk’需求 量bk’ ，Bk”的需求量bk” - bk’
第18页
例4 需求量不确定的运输问题
例2中，假定B1的需要量是20到60之间，B2的需要量 是50到70，试求极小化问题的最优解。
xij 0
m1 n
MinZ cijxij i1 j1
n
xij ai
i1,2, ,m1
产量约地束束 m+n+1个约束条件
s.t.
jm11xij bj
j1,2, ,n
销量约量束束 (m+1)×n个决策变量
i1
xij 0
第14页
例3 将表二所示的销大于产的运输问题 转换成产销平衡的运输问题
表二
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
销量（bj）
11
6
5
6
解 此运输问题的总产量为20、总销量为28，所以
假设一个产地D并令其产量刚好等于总销量与总产量 的差“8”。令假想的D行所对应的运价都为“0”
，可得下表所示的产销平衡运输问题。
第15页
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
A
3
11
3
10
7
B
1
9
2
8
4
C
7
4
10
5
9
D
0
0
0
0
8
销量（bj）
11
6
5
6
第16页
产销不平衡问题 小结
（变成产销平衡问题） 当总产量>总销量时，可增加一个假想销地Bn+1, 销量＝ ∑ai－ ∑bj，Ci,n+1=0， 当总产量<总销量时，可增加一个假想产地Am+1,产量＝ ∑bj －∑ai ，Cm+1，j=0
第9页
表中A2不可达B1，用一个很大的正数M表示运价C21。虚 设一个销量为b5=180－160=20的销地B5，Ci5=0，i=1，2， 3，4。表的右边增添一列
这样可得新的运价表：
B1 B2 B3 B4 B5
ai
A1
5
9
2
3
0
60
A2 M
4
7
8
0
40
A3
3
6
4
2
0
30
A4
4
8
10
11
0
50
bj
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
Am+1 0
0┈
Bn
产量
C1n
a1
C2n
a2
┊┊
Cmn am
0 bjai
销量
b1
b2
┈ bn
相当于：增加一个假想产地
第13页
mn
MinZ
cij xij
i1 j1
n
xij ai i 1, 2, , m
s.t.
j1 m
xij
bj
j 1,2, ,n
i1
m n1
MinZ cijxij
i1 j1
n1
xij ai i1,2, ,m
产量约地束束 m+n+1个约束条件
s.t.
jm1xij bj
m×(n+1)个决策变量 j1,2, ,n1 销量约量束束
i1
xij 0
第6页
例1 将表一所示的产大于销的运输 问题转换成产销平衡的运输问题
表一
甲
乙
丙
丁
产量（ai）
B1
B2
B3
A1
5
9
2
A2
--
4
7
A3
3
6
4
A4
4
8
10
bj
20～60 50～70
35
B4
ai
3
60
8
40
2
30
11
50
180 45 150～210
第19页
先作如下分析：
（1）总产量为180，B1，…，B4的最低需求量 20+50+35+45=150，这时属产大于销；
假想一个销地，相当于在原产销关系表上增加一 列。
由于假想的销地代表的是仓库，实际上没有产生 运输，所以假想列所对应的运价应取为“0”。
至此，我们又将销大于产的运输问题转换成了产 销平衡的运输问题。
第4页
产销问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈ Bn
A1
C11
C12
┈
C1n
A2
C21
C22
┈
假想一个产地，相当于在原产销关系表上增加一 行。
由于假想的产地与各销地之间并不存在实际的运 输，所以假想的产地行所有的运价都应该是“0”
至此，我们又将销大于产的运输问题转换成了产 销平衡的运输问题。
第12页
销产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈