函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文
高考数学重难点分析：函数的周期性与对称性(题型战法)(解析版)
第二章 函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一 函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； 二 函数的对称性轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +，m) 对称.三 由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一 周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（ ） ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得. 【详解】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2y x 不是周期函数. 故选：C.变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】C 【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 变式1-2．函数x y e =与x y e -=的图象（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，证明00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上.【详解】解：设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，则00xy e =，则00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -满足0()0x x y ee --==， 所以点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上. 故选：B变式1-3．函数91()3x x f x +=的图像（ ）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称【答案】B 【解析】 【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性. 【详解】 解：因为()()231911333333x xx x x xxxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+= 易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称. 故选：B.变式1-4．函数1()f x x x=+的图象关于（ ）对称. A ．直线y x = B ．原点C ．y 轴D ．x 轴【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性判断. 【详解】因为函数1()f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称， 又11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称， 故选：B题型战法二 由函数周期性求函数值典例2．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()4f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2021f -等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．2log 6 D ．23log 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解. 【详解】①()y f x =为R 上的偶函数，①(2021)(2021)f f -=， 又当0x ≥时，()(4)f x f x =+， ①(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=， 当[)0,2x ∈时，2()log (1)=+f x x ， ①2(2021)(1)log (11)1f f -==+=. 故选：A.变式2-1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（ ） A ．1716B ．54C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上，代入求值即可. 【详解】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+， ①1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B变式2-2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由()()2f x f x +=可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得()()()()2013201410f f f f -+=+，然后由已知的解析式可求得答案【详解】①函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数， ①()()f x f x -=，又①对于0x ≥都有()()2f x f x +=，①2T =，①当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，①()()()()()()201320142013201421006121007f f f f f f -+=+=⨯++⨯()()2210log 2log 11f f =+=+=，故选：C.变式2-3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当03x ≤≤时，()26f x x =-，则()2021f =（ ） A ．0 B ．2-C ．4-D ．2【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的周期，结合奇偶性求得()2021f 的值. 【详解】依题意对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立， 令3x =-，则()()()()33323f f f f =-+=， 所以()30f =，故()()6f x f x +=， 所以()f x 是周期为6的周期函数，故()()()()202163371112164f f f f =⨯-=-==⨯-=-. 故选：C变式2-4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（ ）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-， 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.题型战法三 由函数对称性求函数值典例3．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()1()f x f x +=-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．－1【答案】C 【解析】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，根据对称性，要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，代入即可得解. 【详解】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称， 那么要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和， 即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，因为()()2log 31f x x =-递增，所以最小值与最大值分别为：(1)1f =，(3)3f =， (1)(3)4f f +=，故答案为：C. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.变式3-1．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（ ） A ．－14 B ．14 C ．6 D ．10【答案】A 【解析】 【分析】先计算(2)+(2)f f -，再代入数值得结果. 【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-,又(2)6f =，所以(2)14,f -=-故选A 【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.变式3-2．已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】 【分析】指数函数xy a =关于y 轴对称的函数为1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得到124a -与a 的关系，即可求解出a 的值. 【详解】因为两函数的图象关于y 轴对称，所以124a -与a 互为倒数， 所以124aa =-，解得4a =． 故选C. 【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于y 轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：因为函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，所以点()()1,1f --与点()(),a f a ，关于直线1x =对称，11,32aa -+==，故选D.考点： 函数的图象与性质.变式3-4．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB C ．D【解析】 【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112=-，解得a =4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故选：B题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式典例4．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（ ） A ．4x + B ．2x - C ．31x -+ D ．21x -+【答案】C 【解析】 【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案． 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-， 综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档． 变式4-1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =，则当x ①（-3，-2）时，()f x 等于（ ） A ．2x B ．2x - C ．22x + D ．(2)2x -+-【答案】C 【解析】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0，根据(1,0)x ∈-时，f （x ）＝2x ，可求得f （x +2）的解析式，再根据f （x +2）＝f （x ），即可求得f （x ）解析式． 【详解】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0， ①当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =， ①f （x +2）＝2x +2， ①f （x +2）＝f （x ），①f （x +2）＝f （x ）＝2x +2，(32)x ∈--，． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．变式4-2．已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[]1,1x ∈-时，()||f x x =，那么当[]7,5x ∈--时()f x =（ ） A ．|3|x + B ．|3|x -C ．|6|x +D ．|6|x -【答案】C 【解析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】设[]7,5x ∈--,则[]61,1x +∈-, 由题意知,()66f x x +=+,因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数, 所以()()6f x f x +=,即()6f x x =+.故选: C 【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3．若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称，则()f x =（ ）A ．33x -B ．33x -C ．63x -D ．63x -【答案】D 【解析】 【分析】先设出函数()f x 图像上任意点的坐标，再求出关于直线3x =对称的点，代入函数()g x 的解析式即可求解． 【详解】解：设函数()y f x =图像上的点为(,)M x y ，关于直线3x =对称的点为(6,)N x y -， 将点N 代入函数()y g x =的解析式可得：63x y -=， 故6()3x f x -=， 故选：D ．变式4-4．下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是（ ） A ．12x y -= B ．22x y -= C ．12x y += D ．22x y +=【答案】B 【解析】 【分析】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，由其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，则其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上，所以22x y -=.故选：B.题型战法五 由周期性与对称性比较大小典例5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=，得到()f x 是周期为4的周期函数，得到(6)(2),(4)(0)f f f f =-=，4)f f =，结合()f x 在[]2,0-上单调递增，得到(2)4)(0)f f f -<<，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则(6)(68)(2),4),(4)(0)f f f f f f f =-=-==，又由函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，可得(2)4)(0)f f f -<<，即(6)(4)f f f <<，所以c b a >>. 故选：D.变式5-1．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（ ） A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+⇒=+，由此可知函数()f x 的周期为4，函数()f x 是奇函数，()()2f x f x +=-，所以有：55771142333333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，113311142222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()f x 在区间[]0,1是减函数，11132<<， 所以()11132f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B变式5-2．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；①(8)()f x f x +=；①(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D 【解析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增，周期为8，对称轴为4x =.则()7a f =，()5b f =，()4c f =，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由①知，()f x 的周期为8； 由①知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；①对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（ ）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】由①①可得函数()f x 是周期为4的函数，且()f x 是奇函数，由①可得函数()f x 在[]0,1上单调递增，进而可得函数()f x 在[]1,1-上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解. 【详解】解：由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+， 所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-， 因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数， 所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-， 因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 所以函数()f x 在[]0,1上单调递增， 所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>， 故选：B.变式5-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()2f x f x +=，① ()2f x -为奇函数，①当[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的是（ ） A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据单调性的定义可得()f x 在0,1上单调递增，根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，根据周期性和单调性即可求解. 【详解】由()()2f x f x +=可得()f x 的周期为2， 因为()2f x -为奇函数，所以()f x 为奇函数， 因为[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在1,0上单调递增， 所以()f x 在()1,1-上单调递增， 因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()44220f f f =-⨯=，1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（ ） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】 【分析】根据()1g x +得到()g x 关于1x =对称，得到()()2g x g x =-，结合()()()1g x x f x =-和()f x 为偶函数即可得()f x 周期为4，进而即得.【详解】因为()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =-. 即()()()()112x f x x f x -=--，即()()20f x f x +-=，()10f =也满足. 又()f x 是定义域为R 偶函数，关于y 轴对称，①()()2f x f x =--，()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=， ①()f x 周期为4，①()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==， ①()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f -===. 故选：D.变式6-1．已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（ ）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用赋值法求出()20f =，代入等式赋值得到(4)()f x f x +=-，即对称轴为2x =，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到(45)(3)(3)(1)f f f f =-=-=-.【详解】因为对任意x ∈R ，都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+ 令1,x =- 得(2)(2)9(2),f f f =+ 解得(2)0,f = 则(3)(1),f x f x +=- 即(4)(),f x f x +=- 所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称， 即函数()f x 为奇函数，所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+= 所以8是函数()f x 的一个周期， 所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=- 故选：D.变式6-2．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件得到()f x 为周期函数，最小正周期为4，进而得到()()20211f f =，利用()f x 是偶函数得到()()11f f -=，进而得到()211f =，结合()0f x >，得到()11f =.【详解】1(2)()f x f x +=，则1()(2)f x f x =-，所以1(2)(2)()f x f x f x +==-，即()()4f x f x +=，()f x 为周期函数，最小正周期为4，则()()()2021505411f f f =⨯+=，令1x =-得：1(12)(1)f f -+=-，即()()111f f =-，又因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，故()()111f f =，即()211f =，因为()0f x >，所以()11f =.故选：D变式6-3．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（ ）A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导()f x 的周期，然后求出函数值即可. 【详解】()()0f x f x -+=,()()f x f x ∴-=-,()f x ∴是奇函数，x R ∈,(0)=0f ∴.(5)(5)f x f x -=+,()(10)f x f x ∴-=+,由()()()(10)f x f x f x f x ,()(20)f x f x ∴=+，()f x ∴的周期为20T =.0(1)202()20=f f =，.(0)(1)020222022(2020)(2021)f f f f ∴-=-=--=.故选：C变式6-4．函数()f x 定义域为R ，且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+，若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（ ） A ．3 B ．-3C ．6D ．-6【答案】A 【解析】 【分析】由题设可知()f x 为偶函数且(2)(2)2(2)f f f =-+，即可得(2)0f =，易知()f x 是周期为4的函数，利用周期性求(2021)f 即可. 【详解】①(1)f x +的图象关于1x =-对称， ①()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又(2)(2)2(2)f f f =-+，即(2)(2)0f f +-=，而(2)(2)f f =-， ①(2)(2)0f f =-=，故,(4)()x R f x f x ∀∈+=， ①()f x 是周期为4的函数，综上，(2021)(45051)(1)3f f f =⨯+==. 故选：A。
高中数学专项解题模板：专题1-函数图像 解析——王彦文
专题一：函数图像的变换与解答技巧【高考地位】函数图像作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已经成为各省市高考命题的一个热点。
在高考中经常以几类初等函数的图像为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。
【方法点评】方法一 特值法:使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下 解题模板：第一步 将自变量或者函数值赋以特殊值；第二步 分别一一验证选项是否符合要求； 第三步 得出结论.例1 函数x x x y sin cos +=的图象大致为（ ）【答案】C考点：函数的图像【点评】特值法是解决复杂函数的图像问题的方法之一，其将复杂问题简单化，且操作性简单可行。
【变式演练1】函数()2ln y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 试题分析：解:令()2ln y x x =+0=,解得1,1,2--=x ,∴该函数有三个零点,故排除B ；当2-<x 时,02<+x ,2>x ,02ln ln >>∴x ,∴当2-<x 时,()2ln y x x =+0<,排除C 、D ．故选A ． 考点：函数的图象．【变式演练2】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）【答案】D 【解析】考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 【变式演练3】现有四个函数：①②③④的图象（部分）如下，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②① 【答案】C 试题分析：因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，即与左1图对应，故排除选项A 、D ， 因为当时，，故函数的图象与左3图对应，故排除选项B ；故选C ． 【方法点睛】本题考查通过函数的解析式和性质确定函数的图象，属于中档题；已知函数的解析式确定函数的图象，往往从以下几方面考虑：定义域（确定图象是否连续），奇偶性（确定图象的对称性），单调性（确定图象的变化趋势），最值（确定图象的最高点或最低点），特殊点的函数值（通过特殊函数值排除选项），其主要方法是排除法． 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的图象．【变式演练4】函数xe x y )1(2-=的图象大致是（ ）【答案】C考点：偶函数图象的性质.方法二 利用函数的基本性质判断其图像 使用情景：函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板：第一步 根据已知函数解析式分析其变化特征如单调性、奇偶性、定义域和值域等；第二步 结合简单的基本初等函数的图像特征如对称性、周期性等进行判断即可； 第三步 得出结论.例2 函数()(1)ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）【答案】A 【解析】考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、函数的图像．【思路点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用和函数的图像，具有一定的综合性，属中档题．其解题的一般思路为：首先观察函数的表达式的特征如0)1(=f ，然后运用导数在研究函数的单调性和极值中的应用求出函数的单调区间，进而判断选项，最后将所选的选项进行验证得出答案即可．其解题的关键是合理地分段求出函数的单调性． 【变式演练5】函数()21x f x e-=（e 是自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）【答案】C 【解析】【变式演练8】函数2ln x xy x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出1,0±≠x ,且当0>x 时, x x y ln =,由于x y ln 1/+=,故函数x x y ln =在区间)1,0(e 单调递减;在区间),1(+∞e单调递增.由函数图象的对称性可知应选D. 考点：函数图象的性质及运用. 【变式演练6】函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B考点：函数的奇偶性及函数的图象． 【变式演练7】若函数()2(2)m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,2 【答案】D考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.导数的应用.【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项. 2.【2015高考安徽，理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <【答案】C【考点定位】1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等；二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外，根据特殊点的位置能够判断,,a b c 的正负关系.3．【2014年.浙江卷.理7】在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）答案：D考点：函数图像.【名师点睛】本题主要考查了函数的指数与对数函数图像和性质，属于常见题目，难度不大；识图常用的方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．4. 【2014福建,理4】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）DC BAxx【答案】B 【解析】考点：函数的图象.【名师点睛】本题主要考查函数图像的识别问题及分析问题解决问题的能力，求解此题首先要根据图像经过的特殊点，确定参数的值，然后利用函数的单调性确定正确选项，解决此类问题要重视特殊点及单调性的应用.【反馈练习】1. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，文5】函数111y x =--的图象是（ ）【答案】B 【解析】试题分析：将1y x =-的图象沿x 轴向右平移1个单位得到11y x =--的图象，再沿y 轴向上平移1个单位得到111y x =--的图象.故选B ． 考点：函数图象的平移变换．2. 【2017届广东华南师大附中高三综合测试一数学试卷，文10】函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B3. 【2017届广东佛山一中高三上学期月考一数学试卷，理6】函数22x y x-=的图象大致是（ ）【答案】A试题分析：当1x <-时，22x x <，即220x x -<，排除C 、D ，当3x =时，322310y =-=-<，排除B ， 故选A ．考点：函数的图象．4. 【2016-2017学年山西榆社中学高一10月月考数学试卷，理7】已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是图乙中的（ ）【答案】B考点：函数图象与性质．5. 【2016-2017学年河北徐水县一中高一上月考一数学试卷，理5】下列图中，画在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与y ax b =+（0a ≠，0b ≠）函数的图象只可能是（ ）【答案】B试题分析：()2f x ax bx =+图象是抛物线，()g x ax b =+图象是直线.A 选项()f x 开口向上，说明0a >，直线应斜向上，故A 错误.D 选项()f x 开口向下，说明0a <，直线应斜向下，故D 错误. C 选项()f x 图象不过原点，错误.故选B.考点：函数图象与性质．6. 【2017届湖南长沙长郡中学高三上周测十二数学试卷，文8】函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）【答案】A试题分析：因为22()(44)log x x f x x -=-，()2222()(44)log (44)log xx x x f x x x f x ---=-=--=-，所以22()(44)log x x f x x -=-是奇函数，排除B 、C,又因为0x →时，0y →，所以排除D ，故选A.考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性.7．【 2017届河南新乡一中高三9月月考数学试卷，文7】设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）【答案】A试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A ．考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法．10. 【2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考数学试卷，文6】已知函数)(x f 是定义在R 上的增函数，则函数1|)1(|--=x f y 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数的图象，图象变换．。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。
一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。
周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。
以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。
这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。
在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。
例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。
二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。
常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。
1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。
奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。
以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。
函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。
例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。
2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。
轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。
轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
高考数学讲义微专题05函数的对称性与周期性(含详细解析)
微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)
【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ， 因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ， 因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称， 所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ， 所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ， 又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ， 由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ， 由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
函数对称性、周期性全解析
函数的对称性和奇偶性函数 函数对称性、周期性根本知识 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、 对称性定义〔略〕，请用图形来理解。
3、 对称性：我们知道：偶函数关于y 〔即x=0〕轴对称，偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于〔0，0〕对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进展拓展？答案是肯定的 探讨：〔1〕函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+、、(异号考虑对称) )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -=或)2()(x a f x f +=-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
假设写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称〔2〕函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过bx f x a f 2)()2(=+-可知，bx f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数的周期性和对称性解析王彦文
专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则()2015f 的值为（ ）【答案】A试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性． 二、函数的对称性问题 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-，(1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称 【答案】D2．【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A 试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4]【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6. 【2017届河北武邑中学高三上周考数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称；③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析： ①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x 对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛043-，成中心对称，所以()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x +=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f 2323，即()()x f x f =-，又根据3()()2f x f x +=-，可得函数的周期3=T ,又有()()x f x f =-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+232323x f x f x f ，所以函数关于直线23-=x 对称；③正确，因为()()3242=+-++x x ，所以函数()x f 关于点()0,3对称，而函数()3+=x f y 是函数()x f y =向左平移3个单位得到，所以函数()3+=x f y 是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12的图像上关于原点对称的点有（ ）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个 【答案】B2241y x x =++关于原点对称的图象，记为曲线C .容易发现与曲线C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B 就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。
完整版)函数的周期性与对称性总结
完整版)函数的周期性与对称性总结在已知条件$f(a+x)=f(b-x)$或$f(x+a)=f(x-b)$中，可以得到以下结论：1.当等式两端的两自变量部分相加得常数，如$(a+x)+(b-x)=a+b$，则$f(x)$的图像具有对称性，其对称轴为$x=\frac{a+b}{2}$。
2.当等式两端的两自变量部分相减得常数，如$(x+a)-(x-b)=a+b$，则$f(x)$的图像具有周期性，其周期$T=a+b$。
如果对于$f(x)$定义域内的任意$x$，恒有下列条件之一成立：周期性规律对称性规律1.$f(x-a)=f(x+a)$，则$T=2a$；$f(a+x)=f(a-x)$，则$x=\frac{a^2+b^2}{2a+b}$。
2.$f(x)=f(x+a)$，则$T=a$；$f(a+x)=f(b-x)$，则$x=\frac{a+b}{2}$。
3.$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(a-x)=f(b+x)$，则$x=2a-b$。
4.$f(x+a)=\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(b-x)$，则点$(a,-\frac{1}{2})$为对称中心。
5.$f(x+a)=-\frac{1}{a+b}$，则$T=2a$；$f(a+x)=-f(a-x)$，则点$(a,0)$为对称中心。
6.$f(x+a)=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}$，则$T=2a$；$f(x+a)=\frac{f(x)-1}{1+f(x)}$，则$T=2a$。
7.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a$。
8.$f(x+a)=-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
9.$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1+f(x)}$，则$T=4a$。
10.$f(x)=f(x-a)+f(x+a)$，且$a>0$，则$T=6a$。
2014春季高二文科 第4讲 函数的周期性与对称性 删解析版
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数()f x ，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．今后涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期．<教师备案> ⑴并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数()()f x a x =∈R .⑵周期函数的定义域是无界的，⑶若T 为()y f x =的周期，则nT (n ∈Z 且0n ≠)均为()y f x =的周期 ⑷常见周期函数形式（其中0a >）： ()()f x f x a =-+，最小正周期为2a()()f x a f x a +=-，最小正周期为2a1()()f x a f x +=，最小正周期为2a1()()f x a f x +=-，最小正周期为2a考点：周期性的应用【例1】 ⑴ 设函数()y f x =是周期为2，且在区间[01]，内单调递减，则(1)(2.5)(0)f f f -，，的大小 关系为________．⑵ 已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x <<时，()f x 的解析式是________；⑶ 设函数()f x (x ∈R )是以3为周期的奇函数，且()()112f f a >=，，则（ ）A ．2a >B ．2a <-C ．1a >D ．1a <-⑷ 定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)()f x f x +=，且()f x 在区间[]01，上单调递减，则经典精讲知识点睛4.1函数的周期性第4讲 函数的周期性与对称性（ ）．A．(3)(2)f ff << B．(2)(3)f f f <<C．(3)(2)f f f <<D．(2)(3)ff f <<【解析】 ⑴ (0)(2.5)(1)f f f >>-⑵ 2()40401f x x x =-+ ⑶ D⑷ A【例2】 ⑴ 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，则(9)f =_____．⑵ 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，1()3f x x =，则使1()3f x =-的x 值等于（ ）A ．41k k -∈Z ，B ．41k k +∈Z ，C ．21k k +∈Z ，D ．2k k ∈Z ， ⑶ 设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f =_______【解析】 ⑴ 0⑵ A⑶ 132尖子班学案1【拓1】 设()f x 的定义域为{|x x ∈R 且2kx ≠，}k ∈Z ，且1(1)()f x f x +=-，如果()f x 为奇函数，当102x <<时，()3x f x =，则20014f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______；当12212k x k +<<+()k ∈Z 时，()f x =_____． 【解析】213x k --目标班学案1【拓2】 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对于任意的x ∈R ，都有1()(1)1()f x f x f x -+=+，当01x <≤时，()2f x x =，则(11.5)f =_____【解析】 1-；4.2函数的对称性<教师备案> 由奇偶性引入对称性 1．轴对称⑴()()f a x f a x +=-()f x ⇔的图象关于直线x a =对称； ⑵()(2)f x f a x =-()f x ⇔的图象关于直线x a =对称；⑶()()f a x f b x +=-()f x ⇔的图象关于直线2a bx +=对称．<教师备案> 证明：以⑴为例，利用点的对称性证明函数图象的对称性．设点()00()P a x f a x ++，为函数()f x 图象上任意一点，则该点关于直线x a =的对称点为 ()00()P a x f a x '-+，，而00()()f a x f a x +=-，所以()00()P a x f a x '--，，即点'P 在函数()f x 的图象上，即函数()f x 的图象关于直线x a =对称．2．中心对称⑴()()0f a x f a x ++-=()f x ⇔的图象关于点(0)a ，中心对称；⑵()(2)2f x f a x b +-=()f x ⇔的图象关于点()a b ，中心对称； ⑶()()2f a x f b x c ++-=()f x ⇔的图象关于点2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称； <教师备案> 证明：以⑴为例，利用点的对称性证明函数图象的对称性．设点()00()P a x f a x ++，为函数()f x 图象上任意一点，则该点关于点(0)a ，的对称点为()00()P a x f a x '--+，，而()()0f a x f a x ++-=，即()00()P a x f a x '--，，即点'P 在函数()f x 的图象上，也就是说函数()f x 的图象关于点(0)a ，对称．考点：对称性的应用【例3】 ⑴ 若函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，当2x ≤时，2()1f x x =-，则当2x >时，()f x =＿＿＿＿＿．⑵ 二次函数()2f x ax bx c =++()x ∈R 的最小值为()1f，则f，32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，f 的大小关系是________；⑶ 如果函数(1)y f x =+是偶函数，那么函数()y f x =的图象关于________对称. ⑷ 若函数(1)y f x =-是奇函数，那么函数()y f x =的图象关于____________对称．【解析】 ⑴ 2815x x -+-⑵32f f f⎛⎫->> ⎪⎝⎭⑶ 直线1x = ⑷ 点(10)-，经典精讲知识点睛尖子班学案2【拓1】 函数()y f x =在(02)，上是增函数，(2)y f x =+是偶函数，则(1)f ，52f ⎛⎫⎪⎝⎭，72f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是______ 【解析】 75(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭目标班学案2【拓2】 函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且}1x ≠，已知(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =--，那么，当1x >时，()f x 的递减区间是_________． 【解析】 74⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，考点：对称性与周期性综合应用【例4】 ⑴ 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(03)，内单调递减，且()y f x =的图象 关于直线3x =对称，则下面正确的结论是（ ）A ．()()()1.5 3.5 6.5f f f <<；B ．()()()3.5 1.5 6.5f f f <<；C ．()()()6.5 3.5 1.5f f f <<；D ．()()()3.5 6.5 1.5f f f << ⑵ 定义在R 上的函数()f x ，其图象关于点304⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称，且3()2f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(2010)(2011)f f f f ++++=_____．【解析】 ⑴ B ；⑵ 11．平移变换：()y f x =向左平移()0a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象；()y f x =向右平移()0a a >个单位得到函数()y f x a =-的图象； ()y f x =向上平移()0h h >个单位得到函数()y f x h =+的图象； ()y f x =向下平移()0h h >个单位得到函数()y f x h =-的图象．简记为“左加右减，上加下减”． 2．对称变换：知识点睛4.3函数的图象变换函数()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称； 函数()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称； 函数()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称； 3．翻折变换：()y f x =的图象：可将()y f x =的图象在x 轴下方的部分对应翻折到x 轴上方，其余部分不变；()y f x =的图象：可先作出()()0y f x x =≥的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出()()0y f x x =≤的图象．【例5】 ⑴ 设a 为常数，函数()243f x x x =-+．若()f x a +为偶函数，则a 等于_____；⑵ 已知()()()2f x x a x b =---，并且α，β是方程()0f x =的两根，实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）；A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<【解析】 ⑴ 2⑵ D【例6】 ⑴ 若函数10()103xx x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，≥则不等式1()3f x ≥的解集为________； ⑵ 若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是______________．【解析】 ⑴ []31-，． ⑵ [10)-，【备选】 函数()232f x x x =-+单调减区间是 ．【解析】 32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，，302⎛⎫ ⎪⎝⎭，【例7】 对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(10)A ，对称②若对x ∈R ，有(1)(1)f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线1x =对称 ③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数 ④函数(1)f x +与函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称 其中正确命题的序号为__________.经典精讲【解析】 ①③函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)9f =，则(8.5)f =______．【解析】9 【点评】当函数具有双对称性时，可推导出函数具有周期性． ⑴ 函数有对称轴x a =，x b =，则函数的周期为2()b a - ()(2)f x f a x =-，()()f b x f b x +=-则[][][]()(2)(2)(2)2()f x f a x f b a x b f b a x b f x b a =-=--++=+-++=+-⑵ 函数具有对称轴x a =，对称中心(0)b ，，则函数的周期为4()b a -【演练1】 函数()f x 既是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若()f x 在[]10-，上是减函数，那么()f x 在[]23，上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减函数 D ．先减后增函数【解析】 A【演练2】 已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg f x x =，设65a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,52c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解析】 D ；【演练3】 设()f x 是定义在R 上的奇函数,且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=_______．【解析】 0【演练4】 若函数()()y f x x =∈R 满足(2)()f x f x +=，且(11]x ∈-，时，()f x x =，则函数()y f x =的图象与函数4log y x =图象的交点的个数为______．实战演练【解析】6大千世界（湖南省高中数学竞赛）函数()f x-都是奇函数，则（）f x的定义域为R，若(1)f x+与(1)A．()f x是偶函数B．()f x是奇函数C．(3)f x+是奇函数D．(3)f x+是偶函数【解析】C()1⇒-+=-+⇒-=-；f x f x f t f tf x+为奇函数()()()()112()1⇒--=--⇒-=--；f x f x f t f tf x-为奇函数()()()()112()()()()⇒-=--⇒=-，()f t f t f x f x224f x周期为4，∴()3⇔-+=--=--=-+．3113f x+为奇函数()()()()f x f x f x f x。
高中函数对称性和周期性全解析
高中函数对称性和周期性全解析一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。
2025新高考函数压轴小题专题突破——专题3 函数的周期性、对称性(解析版)
专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．③f(x)在33(,(22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是()A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④3．设函数为定义域为R 的奇函数，且=2−，当∈0,1时，=sin ，则函数g =cos B −在区间−52）A ．6B ．7C ．13D ．144．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（)A ．15B ．16C ．17D ．185．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe-=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数2025新高考函数压轴小题专题突破——专题3 函数的周期性、对称性（解析版）()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或17．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为788．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[22,22-]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=09．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1C D ．210．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．611．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](3g f x g a a ≤-+对48[,33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．RB ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞ 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =；②函数()f x 的值域是[0,)+∞；③存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219nf +=；15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,2x ∈时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________．16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=；②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.20．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，，D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-，(2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=，()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x ==，[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=-- ，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=，当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+=，做出函数()f x 图像，如下图所示：令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点，同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点，则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点，则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4，b 范围也表示为11544b <<，所以所有b 的取值范围是1154444k b k k Z +<<+∈.故选:D.2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数．②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3．③f(x)在33(,(22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是()A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④【解析】()(2)(4)4f x f x f x T =--=-∴=当13x ≤≤时,33()(2)[(2)](2)f x f x x x =--=--=-当13x ≤≤时,23331()3(2)()()2428f x x k f f =--∴=-'='=,所以切线方程为133()3450842y x x y -=--∴+-=()(2)(2),(2)()()f x f x f x f x f x f x =--=--=-=-∴ f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.3．设函数为定义域为R 的奇函数，且=2−，当∈0,1时，=sin ，则函数g =cos B −在区间−52）A ．6B ．7C ．13D ．14【解析】由题意，函数o −p =−op ，op =o2−p ，则−o −p =o2−p ，可得o +4)=op ，即函数的周期为4，且=op 的图象关于直线=1对称．op =|cos(πp|−op 在区间[−52，92]上的零点，即方程|cos(πp|=op 的零点，分别画=|cos(πp|与=op 的函数图象，∵两个函数的图象都关于直线=1对称，∴方程|cos(πp|=op 的零点关于直线=1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（)A ．15B ．16C ．17D ．18【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（），即4 f x f x +=-（）（），则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（）的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a -取最小值，141420f f f -=-== （），（），（），，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D5．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe -=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，所以()()()6f x f x f x -==-，即()()6+f x f x =，所以函数()f x 是以6为周期的周期函数，当[]0,3x ∈时，()2x f x xe -=，所以()22xx f x e -'=（1-，当02x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 递增；当23x <≤时，()0f x '<，函数()f x 递减；当当2x =时，函数()f x 取得极大值()2f x e=，作出函数()f x 在(3,3]-上的图象，如图所示：因为不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，所以不等式()()20fx tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解，当()0f x =时，不符合题意，故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解，因为()()1322133,f e f e --==，所以()()3311f f e=>，即()()13f f <，故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2，2，3，所以，()()13f f t <<，即32123t ee --<<，故选：B6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【解析】解：已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xex x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称，则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称，由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（）A ．最小值为34-B ．最小值为78-C ．最大值为0D ．最大值为78【解析】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-Q ，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间[]3,2-上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减，又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12x f x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-.故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34-故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论：（1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ；（3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a -；（5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -；（6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[,22-]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称D ．f (2020)=0【解析】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+，则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ；再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--，所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x 时，()[0f x =，2，又函数是奇函数，102x - 时，2()[2f x =-，0]，即1122x - 时22()[]22f x ∈-，又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时22()[]22f x ∈-，所以1322x - 时22()[]22f x ∈-又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为22[,22-，B 正确，排除B ；故选：A ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2x f x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（）A ．12B ．1C D ．2【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1.故选：B.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．6【解析】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数，∴()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()4f x f x +=，∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=，当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=，方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数，在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根，从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=，当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .11．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式223[()](3g f x g a a ≤-+对48[,33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．RB ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞ 【解析】因为R x ∀∈都有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数，又当0x >时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在()0,+¥上单调递增，所以223[()]()3g f x g a a ≤-+等价于223|()|3f x a a ≤-+，只需2max 23|()|3f x a a ≤-+，48[,]33x ∈.因为R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，所以()()()3()23232f x f x x x =-=---，故48[,]33x ∈时，()()3()3232f x x x =---，求导得，()2()923f x x '=--，令()0f x '=，解得13482[,333x =-∈，238233x =+>，当43,233x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当38233x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以48[,]33x ∈时，3max ()3232333222333f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝⎭⎭233=，所以2232333a a ≤-+，又因为223123103234a a a ⎛⎫-+=-+-> ⎪⎝⎭，所以2223333a a a a -+=-+，则2232333a a ≤-+，解得1a ≥或0a ≤.所以实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞.故选：D.二、多选题12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【解析】解：对于A ，()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得，(4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f = ，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确；故选：BCD13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何m ∈Z ，都有(3)0m f =；②函数()f x 的值域是[0,)+∞；③存在n ∈Z ，使得(31)17n f +=；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；【解析】对于①，对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，所以()()()111333333(3)0m m m m f f f f ---=⋅==⋯==，①正确；对于②，取(m m 1x 3,3,(1,3]3m x +⎤∈∈⎦13,333333m m m m m x x x x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而函数()f x 的值域为[0，+∞），②正确；对于③，(1,3]x ∈时，()3f x x =-，对任意(0,)x ∈+∞，恒有(3)3()f x f x =成立，n Z ∈，所以()11131313313217333n n n n n n n f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得2n =，∴③正确；对于④，充分性：令133k k a b +≤<≤则1333k ka b ≤<≤所以()()3333k k k k ab f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k k k a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33333k k k a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦333k k k b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b a =->必要性：令0a b <<，()()3333k k k k a b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k k k a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减，所以033k k ab f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即33k k ab f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，且()3f x x =-为减函数，所以存在k ∈Z ，使得1333k k a b <<<，则133k k a b +<<<，所以(,)a b ⊆1(3,3)k k +∴函数()f x 在区间(,)a b ⊆1(3,3)k k +上单调递减，④正确；综上所述，正确结论的序号是①②③④．故答案为①②③④．14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③存在n Z ∈，使得()219n f +=；【解析】因为()()()11222220m m m f f f --==⋯==,所以①对;因为当(]1,2x ∈时，()[)20,1f x x =-∈，当1,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当111,22k k x -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()11220,22k k k f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当(12,2k k x -⎤∈⎦时，())1111220,22k k k f x x ---⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，因此当k →+∞时，112,02k k -→+∞→，从而函数()f x 的值域为[)0,+∞；所以②对;因为349(2,2)∈，所以由上可得()112121 229,142n n k k f k --⎛⎫++=-=-≥ ⎪⎝⎭,即2210k n -=，111122521,26k n n k -----=∴==无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,2x ∈时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________．【解析】因为函数定义域为R ，周期为3，所以39(0)(()022f f f ===如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在[]0,6上的零点为390,1,,2,3,4,,5,622所以共有9个零点16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【解析】试题分析：由于定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，()()()()()()()()()4484f x f x f x f x f x f x f x f x f x ∴-=-+=-∴+=-∴+=-+=，，，，∴函数()f x 为周期函数，且周期为8，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点的个数，即为函数()y f x =与y a =的交点的个数，作出函数()[],4,8y f x x =∈-上的函数的图象，显然，当0a =时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为()420246814-+-+++++=.17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______.【解析】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x ''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13-作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解.故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=；②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增；③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________.【解析】由题意，函数()f x 对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，可得()()2[(1)1][(1)1]f x f f x f x f x +=++=+-=，所以①正确；由[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得[]1,0x ∈-时，函数()f x 为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增，所以②正确；由②可得，当2x =时，函数取得最小值，最小值为()()1202f f ==；当3x =时，函数取得最大值，最大值为()()311f f ==，根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确；当()3,4x ∈时，则4(0,1)x -∈，可得()()1(4)3114(2)()()()22x x f x f x f x f x ----=-=-===，所以④正确.故答案为：①②④.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________.【解析】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+=所以()f x 的最小正周期为4又因为数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+①；当2n ≥时，11312n n S a n --=+-②；①减②得133122n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，()1311n n a a -=--所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13nn a =-所以2021202113a =-又()()2021202120211202020213414141C =-=++⋅-⋅- 所以20213被4除余3所以()()()()()202120212021()133111200f a f f f f f =-=--=---===故答案为：020．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称；③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）.【解析】因为{}x M =，函数(){}f x x x =-，所以()f x x M=-当0M =时，()11,22f x x x =-<≤，当1M =时，()111,1122f x x x =--<≤+，当2M =时，()112,2222f x x x =--<≤+，当3M =时，()113,3322f x x x =--<≤+，函数图象如图所示：由图象可知：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，故正确；③函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误；④其函数关于y 轴对称，所以()y f x =是偶函数，故正确.故答案为：①②④1．设函数32()2f x x ex mx lnx =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，]+∞D ．21(e e --，21]e e+2．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,]e e-B ．21(0,]e e +C ．21[,)e e -+∞D ．21(,]e e-∞+3．已知函数2()2lnxf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(,e e -∞+B ．21(,]e e -∞+C ．21[,)e e -+∞D ．21(,)e e-+∞4．若函数322()x ex mx lnxf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为()A ．(-∞，21]e e+B ．21[e e +，)+∞C ．(-∞，1}e e+D ．1[e e+，)+∞5．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是．1．设函数32()2f x x ex mx lnx =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，21]e e+B ．(0，21]e e+C ．21(e e+，]+∞D ．21(e e --，21]e e+【解析】解：32()2f x x ex mx lnx =-+- 的定义域为(0,)+∞，又()()f x g x x=，∴函数()g x 至少存在一个零点可化为函数32()2f x x ex mx lnx =-+-至少有一个零点；即方程3220x ex mx lnx -+-=有解，则32222x ex lnx lnxm x ex x x-++==-++，2211222()lnx lnxm x e x e x x --'=-++=--+；故当(0,)x e ∈时，0m '>，当(,)x e ∈+∞时，0m '<；则22lnxm x ex x=-++在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，故22112m e e e e e e-++=+ ；又 当0x +→时，22lnxm x ex x=-++→-∞，故21m e e+ ；故选：A ．2．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数，若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(0,]e e-B ．21(0,]e e+C ．21[,)e e-+∞D ．21(,e e-∞+【解析】解：令2()20lnxf x x ex a x=--+=，则22(0)lnxa x ex x x =-++>，设2()2lnxh x x ex x=-++，令21()2h x x ex =-+，2()lnxh x x=，221()lnxh x x -∴'=，发现函数1()h x ，2()h x 在(0,)e 上都是单调递增，在[e ，)+∞上都是单调递减，∴函数2()2lnxh x x ex x=-++在(0,)e 上单调递增，在[e ，)+∞上单调递减，故当x e =时，得21()max h x e e=+，∴函数()f x 至少存在一个零点需满足()max a h x ，即21a e e+ ．故选：D ．3．已知函数2()2lnxf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是()A ．21(,)e e-∞+B ．21(,]e e-∞+C ．21[,)e e-+∞D ．21(,)e e-+∞【解析】解：令2()20lnx f x x ex a x =-+-=，即22lnxx ex ax=-+，令2(),()2lnx g x h x x ex a x ==-+，则函数()lnxg x x=与函数2()2h x x ex a =-+至少有一个交点，易知，函数2()2h x x ex a =-+表示开口向上，对称轴为x e =的二次函数，函数()g x 的导函数2211()x lnxlnx x g x x x ⨯--'==，令()0g x '>，解得0x e <<，令()0g x '<，解得x e >，∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，1()()max g x g e e==，作出函数()g x 与函数()h x 的草图如下，由图可知，要使函数()g x 与()h x 至少一个交点，只需()()min max h x g x ，即2212e e a e -+ ，解得21a e e+ ．故选：B ．4．若函数322()x ex mx lnxf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为()A ．(-∞，21]e e+B ．21[e e +，)+∞C ．(-∞，1}e e+D ．1[e e+，)+∞【解析】解： 函数()f x 至少存在一个零点，∴3220x ex mx lnx x -+-=有解，即22lnxm x ex x=-++有解，221()222()lnx lnx lne m x e x e x x ---'=-++=--+，∴当(0,)x e ∈时，0m '>，m 为关于x 的增函数；当(,)x e ∈+∞时，0m '<，m 为关于x 的减函数．因此，画出函数22lnxy x ex x=-++的图象如右图所示，则若函数()f x 至少存在一个零点，则m 小于函数22lnxy x ex x=-++的最大值即可，函数22lnx y x ex x =-++的最大值为21e e+即21m e e+ ．故选：A ．5．设函数2()2lnxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是(-∞，21e e+．【解析】解：21()22lnxf x x e x-'=--，令()0f x '=得x e =，当0x e <<时，()0f x '<，当x e >时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，∴当x e =时，()f x 起点最小值f （e ）21e a e =--+，()f x 至少有1个零点，210e a e ∴--+ ，即21a e e + ．故答案为：(-∞，21]e e+．。
专题3 函数的周期性、对称性(解析版)
专题3函数的周期性、对称性1．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[]01x ∈，时，()12f x x =，若函数()()g x f x x b =--恰有一个零点，则实数b 的取值集合是（ ）A ．112244k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， B ．152222k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， C ．114444k k k z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，， D ．1154444k k k z ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，()(),(1)(1)f x f x f x f x -=---=-， (2)((1)1)()()f x f x f x f x -=--=-=-，即(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=，()f x ∴的周期为4.[]01x ∈，时，()12f x x ==，[]12,[0,1],()()1,0()x f x x x f x -∈-=-=-∈-，()f x ∴=(1)(1),()(2)f x f x f x f x --=-∴=--，()f x 周期为4，()(2)(2)f x f x f x ∴=--=-+，当[1,2],2[0,1],()(2)x x f x f x ∈-+∈=-+=当[2,3],2[1,0],()(2)x x f x f x ∈-+∈-=-+= 做出函数()f x 图像，如下图所示： 令()()0g x f x x b =--=，当[1,0]x ∈-，()()0g x f x x b x b =--=-=，x b --=22(21)0x b x b +++=，221(21)4410,4b b b b ∆=+-=+==-，此时直线与()f x 在[1,0]x ∈-函数图像相切，与函数有两个交点， 同理154b =-，直线与()f x 在[4,5]x ∈函数图像相切，与函数有两个交点， 则要使函数()f x 在[1,4]内与直线y x b =+只有一个交点，则b 满足15144b -<<-，()f x 周期为4， b 范围也表示为11544b <<，所以所有b 的取值范围是11544,44k b k k Z +<<+∈.故选:D.2．设函数y=f (x)是定义域为R 的奇函数，且满足f (x-2)=-f (x)对一切x ∈R 恒成立，当-1≤x ≤1时，f (x)=x 3，则下列四个命题：①f(x)是以4为周期的周期函数． ②f(x)在[1，3]上的解析式为f (x)=(2-x)3． ③f(x)在33(,())22f 处的切线方程为3x+4y-5=0．④f(x)的图象的对称轴中，有x=±1，其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．②③④C ．①③④D ．①②③④【解析】()(2)(4)4f x f x f x T =--=-∴=当13x ≤≤时, 33()(2)[(2)](2)f x f x x x =--=--=-当13x ≤≤时, 23331()3(2)(),()2428f x x k f f =--∴=-'='=,所以切线方程为133()3450842y x x y -=--∴+-=()(2)(2),(2)()()f x f x f x f x f x f x =--=--=-=-∴f(x)的图象关于x=±1对称,因此选D.3．设函数f (x )为定义域为R 的奇函数，且f (x )=f (2−x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=sin x ，则函数g (x )=|cos πx |−f (x )在区间[−52,92]上的所有零点的和为（ ）A ．6B ．7C ．13D ．14由题意，函数f(−x)=−f(x)，f(x)=f(2−x)，则−f(−x)=f(2−x)，可得f(x +4)=f(x)，即函数的周期为4，且y =f(x)的图象关于直线x =1对称．g(x)=|cos(πx)|−f(x)在区间[−52， 92]上的零点，即方程|cos(πx)|=f(x)的零点，分别画y =|cos(πx)|与y =f(x)的函数图象，∵两个函数的图象都关于直线x =1对称，∴方程|cos(πx)|=f(x)的零点关于直线x =1对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为（ )A ．15B ．16C ．17D ．18【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（）， 即4?f x f x +=-（）（）， 则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（） 的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a - 取最小值，141420f f f -=-==（），（），（）， ，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D5．已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[]0,3x ∈时，()2xf x xe-=，若关于x 的不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,2e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭因为偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-， 所以()()()6f x f x f x -==-，即()()6+f x f x =， 所以函数()f x 是以6为周期的周期函数， 当[]0,3x ∈时，()2x f x xe -=，所以()22xx f x e -'=（1-），当02x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 递增；当23x <≤时，()0f x '<，函数()f x 递减； 当当2x =时，函数()f x 取得极大值()2f x e=， 作出函数()f x 在(3,3]-上的图象，如图所示： 因为不等式()()20f x tf x ->在[]150,150-上有且只有150个整数解， 所以不等式()()20fx tf x ->在(3,3]-上有且只有3个整数解，当()0f x =时，不符合题意，故不等式()f x t >在(3,3]-上有且只有3个整数解， 因为()()1322133,f e f e --==，所以()()3311f f e=>，即13f f ，故不等式()f x t >在(3,3]-上的3个整数解分别为-2，2，3， 所以，()()13f f t <<，即32123t e e --<<， 故选：B6．已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1解：已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xex x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.7．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当x ∈(0，3)时，1()()12xf x =-，则函数()f x 在区间[2019,2024]上的（ ） A ．最小值为34- B ．最小值为78- C ．最大值为0 D ．最大值为78【解析】函数()f x 的图像关于点()3,0对称，()()6f x f x ∴+=--.又函数()f x 为奇函数，()()6f x f x ∴+=，∴函数()f x 是6T =的周期函数，201933763=⨯-，202433762=⨯+，由周期性可知，函数()f x 在区间[2019,2024]上的图像与在区间3,2上的图像一样，又当(0,3)x ∈时，1()()12xf x =-，由指数函数性质知()f x 在区间(0,3)上单调递减，又函数()f x 为R 上的奇函数，故当(3,0)x ∈-时，()12xf x =-，故()f x 在()3,0-上单调递减，且()00f =，所以()f x 在区间()3,3-上单调递减，即()f x 在区间(]3,2-上单调递减，函数取得最小值3(2)4f =-. 故函数()f x 在区间[2019,2024]上的最小值为34- 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题主要考查函数的性质及对称性与周期性的综合应用，函数周期性常用结论： （1）若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； （3）若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；（4）函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ；（5）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -； （6）若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()1f x f x =-+，当102x ≤≤时，()f x =论错误的是（ ）A ．方程()f x x a -+=0最多有四个解B ．函数()f x 的值域为[]C ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 D ．f (2020)=0 【解析】由()(1)f x f x =-+可得：(1)(2)f x f x +=-+， 则()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2， 所以(2020)(0)0f f ==，D 正确，排除D ； 再由()(1)f x f x =-+以及()()f x f x =--， 所以()(1)f x f x -=+，则函数()f x 的对称轴为12x =，C 正确，排除C ；当012x时，()[0f x =，]2，又函数是奇函数，102x -时，()[f x =，0]，即1122x -时()[f x ∈， 又因为函数()f x 的对称轴为12x =，所以1322x 时()[f x ∈，所以1322x -时()[f x ∈又因为函数()f x 的周期为2，所以函数()f x 的值域为[22-，B 正确，排除B ；故选：A ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±. ∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示： 结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1.故选：B.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（ ） A ．30 B ．14C ．12D ．6【解析】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称， ∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数， ∴()()()2f x f x f x -=+=-， ∴()()4f x f x +=， ∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=， 当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=， 方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数， 在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根， 从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=， 当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .11．已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式2[()](3g f x g a a ≤-+对48[,]33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．R B ．[1,)+∞C ．[0,1]D ．(,0][1,)-∞+∞【解析】因为R x ∀∈都有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数， 又当0x >时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在0,上单调递增，所以2[()](3g f x g a a ≤-+等价于2|()|f x a a ≤-+，只需2max |()|f x a a ≤-+，48[,]33x ∈. 因为R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2， 当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，所以()()()3()23232f x f x x x =-=---，故48[,]33x ∈时，()()3()3232f x x x =---，求导得，()2()923f x x '=--，令()0f x '=，解得1482[,]33x =，2823x =+>，当4,233x ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当82,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以48[,]33x ∈时，3max ()3232222333f x f ⎛⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝⎭⎭=，2a a ≤-+，又因为2211024a a a ⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭，所以223a a a a -=-+，2a a ≤-1a ≥或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞. 故选：D. 二、多选题12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()(2)f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点【解析】 解：对于A ，()1fx +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，②(]2,4x ∴∈时，()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点； 综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD13．已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =，且当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，在下列结论中，正确命题的序号是________① 对任何m ∈Z ，都有(3)0mf =； ② 函数()f x 的值域是[0,)+∞；③ 存在n ∈Z ，使得(31)17nf +=；④ “函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得1(,)(3,3)k k a b +⊆”；【解析】对于①，对任何(0,)+∞，都有(3)3()f x f x =， 当(1,3]x ∈时，()3f x x =-， 所以()()()111333333(3)0mm m m f f f f ---=⋅==⋯==，①正确；对于②，取(m m 1x 3,3,(1,3]3m x +⎤∈∈⎦13,333333mm m mm x x x xf f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而函数()f x 的值域为[0，+∞），②正确； 对于③，(1,3]x ∈时，()3f x x =-，对任意(0,)x ∈+∞，恒有(3)3()f x f x =成立，n Z ∈，所以()11131313313217333nnn n n n n f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦解得2n =，∴③正确；对于④，充分性：令133k k a b +≤<≤ 则1333k k a b ≤<≤ 所以()()3333kk kka b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333k kk a b f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦33333k kk a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦333k k k b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0b a =->必要性：令0a b <<，()()3333k k kk a b f a f b f f ⎛⎫⎛⎫-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333kk k ab f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减，所以033k k a b f f ⎛⎫⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即33k k a b f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又当(1,3]x ∈时，()3f x x =-，且 ()3f x x =-为减函数， 所以存在k ∈Z ，使得1333k k a b<<<，则133k k a b +<<<， 所以(,)a b ⊆1(3,3)kk +∴函数()f x 在区间(,)a b ⊆1(3,3)k k +上单调递减，④正确；综上所述，正确结论的序号是①②③④． 故答案为①②③④．14．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：对()0,x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对m Z ∀∈，有()20m f =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存在n Z ∈，使得()219nf +=； 【解析】 因为()()()11222220mm m f f f --==⋯==,所以①对;因为当(]1,2x ∈时，()[)20,1f x x =-∈，当1,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当111,22k k x -⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()()11220,22kk k f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭， 当(12,2k k x -⎤∈⎦时，())1111220,22k k k f x x ---⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭， 因此当k →+∞时， 112,02k k-→+∞→， 从而函数()f x 的值域为[)0,+∞；所以②对;因为349(2,2)∈，所以由上可得()112121?229,142n nk k f k --⎛⎫++=-=-≥ ⎪⎝⎭,即2210k n -=，111122521,26k n n k -----=∴==无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②15．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,)2x ∈时， ()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是__________． 【解析】因为函数定义域为R ，周期为3，所以39(0)()()022f f f ===如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知 在[]0,6 上的零点为390,1,,2,3,4,,5,622所以共有9个零点16．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，则函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【解析】试题分析：由于定义域为R 的奇函数()f x 满足()()13f x f x +=-，()()()()()()()()()4484f x f x f x f x f x f x f x f x f x ∴-=-+=-∴+=-∴+=-+=，，，，∴函数()f x 为周期函数，且周期为8， 当(]0,2x ∈时，()24f x x =-+，函数()()y f x a a R =-∈在区间[]4,8-上的零点的个数， 即为函数()y f x = 与y a = 的交点的个数， 作出函数 ()[],4,8y f x x =∈-上的函数的图象，显然，当0a = 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为()420246814-+-+++++= .17．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______. 【解析】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点， 联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13- 作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭18．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-，已知当[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列命题：①对任意x ∈R ，都有()()2f x f x +=； ②函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0；④当()3,4x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中正确命题的序号有_________. 【解析】由题意，函数()f x 对任意的x ∈R 恒有()()11f x f x =+-， 可得()()2[(1)1][(1)1]f x f f x f x f x +=++=+-=，所以①正确；由[]0,1x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可得[]1,0x ∈-时，函数()f x 为单调递减函数， 又由函数的周期为2，可得函数()f x 在()1,2上递减，在()2,3上递增，所以②正确； 由②可得，当2x =时，函数取得最小值，最小值为()()1202f f ==； 当3x =时，函数取得最大值，最大值为()()311f f ==， 根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确； 当()3,4x ∈时，则4(0,1)x -∈，可得()()1(4)3114(2)()()()22x x f x f x f x f x ----=-=-===，所以④正确. 故答案为：①②④.19．已知数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+(其中n S 为数列{}n a 前n 项和)，()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=，则2021()f a =___________. 【解析】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=所以()()()2f x f x f x -=+=-，()()()42f x f x f x +=-+= 所以()f x 的最小正周期为4 又因为数列{}n a 满足12a =-，且32n n S a n =+①； 当2n ≥时，11312n n S a n --=+-②； ①减②得133122n n n a a a -=-+，所以132n n a a -=-，1311n n a a所以{}1n a -以3-为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=-，即13nn a =- 所以2021202113a =-又()()2021202120211202020213414141C =-=++⋅-⋅-所以20213被4除余3所以()()()()()202120212021()133111200f a f f f f f =-=--=---=== 故答案为：020．给出定义：若1122M x M -<≤+（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x M =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论：①函数() y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②函数() y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称； ③函数() y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数； ④函数() y f x =是偶函数；其中正确结论的是________.（把正确的序号填在横线上）. 【解析】因为{}x M =，函数(){}f x x x =-， 所以()f x x M =- 当0M =时，()11,22f x x x =-<≤，当1M =时，()111,1122f x x x =--<≤+，当2M =时，()112,2222f x x x =--<≤+， 当3M =时，()113,3322f x x x =--<≤+，函数图象如图所示：由图象可知：①函数()y f x =的定义域为R ，值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故正确；②函数()y f x =的图象关于直线()2kx k Z =∈对称，故正确； ③函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故错误； ④其函数关于y 轴对称，所以()y f x =是偶函数，故正确. 故答案为：①②④。
函数对称性、周期性的应用(含解析)
函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称 在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期 分析： （4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为 证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（ ）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则 （ ）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称 【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（ ）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像 在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈， 如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（ ） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对； 由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对； 由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（ ）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（ ） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-， 结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=， 则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确； 无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤， 即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象； 再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确； 因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称 又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（ ）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数， 且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数． 方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-， 设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=， 又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-， 所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（ ）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=， 当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有 ， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立， 故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5）， 又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5） 即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（ ）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称， 作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)， 由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+， 所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。
2021年高考数学高分套路 函数的周期性、对称性(解析版)
1
f(4)．因为 f(2＋2)＝
，所以 f(4)＝－ ＝－
＝－2－ 3.故 f(2 020)＝－2－ 3.
－f2
f2 2－ 3
（3） ∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即 f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为 6 的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一 周期性
x1－x，0≤x≤1， 【例 1】（1）若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝
sin πx，1<x≤2，
29
41
则 f 4 ＋f 6 ＝________.
1
（2）已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)＝2－ 3，且对任意的 x 都有 f(x＋2)＝
函数的周期性与对称性
【套路秘籍】---千里之行始于足下
一．对称性 （一）对称轴 1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中 的轴对称，该直线称为函数的对称轴。 2.常见函数的对称轴 ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线 均为它的对称轴 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线 均为它的对称轴 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 x=-b/(2a) ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与 y=-x 均为它的对称轴 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是 y 轴；而其他的幂函数不具备对称性 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2 是它的对称轴 ⑨正弦型函数：正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出 x，就是 它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2 中解出 x，就是它的对称轴；需要注意 的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中 x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心 ⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有 的同学会误以为对称中心只是（kπ,0） ⑿对号函数：对号函数 y=x+a/x(其中 a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。 ⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性 得因题而异。 ⒁绝对值函数：这里主要说的是 y=f(│x│)和 y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于 y 轴对称; 后者是把 x 轴下方的图像对称到 x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 y=│lnx │就没有对称性，而 y=│sinx│却仍然是轴对称
函数的对称性与周期性(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第2讲函数的对称性与周期性【考点分析】1.函数的对称性、周期性是高考命题热点，近两年新高考都考了一道选择题，分值5分，知识点比较灵活，需要全面掌握常见对称性，周期性的结论考点一：函数常见对称性结论①若函数()x f 对于任意的x 均满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．②若函数()x f 对于任意的x 均满足()()2f a x f a x b ++-=则()y f x =关于点()a b ，对称．考点二：函数常见周期性结论若函数对于任意的x 都满足()()x f T x f =+，则T 为()x f 的一个周期，且()()x f nT x f =±几个常见周期性结论①若函数()y f x =满足()()f x m f x +=-，则2T m =．②若函数()y f x =满足)((1)f x m f x =±＋，则2T m =．③若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x -+=+，则2T m =．④若函数()y f x =满足()()b x f a x f +=+，则a b T -=．⑤若函数()y f x =的图象关于直线x a =，x b =都对称，则()f x 为周期函数且2||b a -是它的一个周期．⑥函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点0()A a y ，、0()B b y ，都对称，则函数()y f x =是以2||b a -为周⑦函数()y f x =()x R ∈的图象关于0()A a y ，和直线x b =都对称，则函数()y f x =是以4||b a -为周期的周期函数．⑧若函数()y f x =满足1()()1()f x f x m f x ++=-，则函数()f x 是以4m 为周期的周期函数．【题型目录】题型一：利用周期性求函数值题型二：利用周期性求函数解析式题型三：根据函数的对称性、周期性、奇偶性写函数题型四：根据函数的对称性、奇偶性、周期性综合运用【典型例题】题型一：利用周期性求函数值【例1】设()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，其中m R ∈．若13(()162f f =，则m 的值是．答案：1解析： ()x f 是定义在R 上周期为2的函数，当(11]x ∈-，时，2210()01x x m x f x x ⎧++-<<⎪=≤≤，，∴m m f f +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛432122121232，41161161==⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴14341=⇒+-=m m 【例2】设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________答案：5.0-解析： (2)()f x f x +=-，∴()x f 是周期为4的函数，所以()()()5.05.05.05.7-=-=-=f f f 【例3】定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于A.14B.12C.13D.35答案：D解析： ()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f =+-++--=+++-=+11111121214，所以()x f 是周期为4的函数，()()()()53212142016=+-==f f f f 【例4】（重庆南开高一上期中）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=,且()11f =,则()()20202019f f -的值为()A.1-B.0C.1D.2答案：C解析： ()()4f x f x +=所以4=T ，所以()()002020==f f ，()()()1112019-=-=-=f f f ，所以()()()20202010119f f =--=-【例5】（2022·云南昭通·高一期末）已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，且周期为2，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则132f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．1B ．1C 1D ．1【题型专练】1.（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【详解】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2.（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(6)()f x f x +=-，若当[]3,0x ∈-时，()6x f x -=，则(2021)f =（）A ．0B ．1C ．6D ．216【答案】C【分析】由(6)()f x f x +=-可得函数周期为6，进而(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，最后求出答案.【详解】根据题意，偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=-，即(6)()f x f x +=，()f x 是周期为6的周期函数，则(2021)(33761)(1)f f f =⨯-=-，当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则1(1)66f -==，故(2021)6f =故选：C3.（重庆南开高一上期末）函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()00f ≠.若对任意实数x ，y 都有()()222x y y y f f x f x f +-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝+⎪⎭，则()2020f =（）A.B.-1C.0D.1答案：D解析：由题意知，令0==y x ，可得()()02022f f =，因()00f ≠，所以()10=f 102f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以()()0212121=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++x x f x x f x f x f ，所以()()x f x f -=+1，所以2=T ，所以()()102020==f f 4．（2022·云南红河·高一期末）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，R x ∀∈，都有(4)()f x f x +=，若当[0,1]x ∈时，2()log ()f x x a =+，则(7)f -=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【分析】()f x 是定义在R 上的奇函数得a ，有(4)=()f x f x +得到()f x 是周期函数，利用函数周期性可得答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)=0f ∴，得=1a ，∴当[]0,1x ∈时，2()log (1)=+f x x ，R x ∀∈，都有(4)=()f x f x +，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()7=7811f f f ∴--+==.故选：C.5．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，又当(]0,1x ∈时，()3xf x =，则131log 72f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．题型二：利用周期性求函数解析式【例1】已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足：（1）()()x f x f =-；（2）()()x f x f -=+22；（3）当[]2,0∈x 时解析式为12-=x y ，当[]0,4-∈x 时，求函数的解析式。
函数的周期性与对称性-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)
函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数） （1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的周期性与对称性的分析与研究
函数的周期性与对称性的分析与研究函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的关系。
在函数的研究中，周期性和对称性是两个重要的概念。
周期性是指函数在一定区间内重复出现相同的值，而对称性则是指函数关于某一中心对称。
本文将对函数的周期性和对称性进行分析与研究，探讨它们在数学中的应用和意义。
一、周期性的分析与研究周期性是函数的一个重要特征，它描述了函数在一定区间内的重复性。
在函数图像中，周期性表现为图像在横轴方向上的重复。
周期性的研究对于理解函数的性质和行为具有重要意义。
1. 周期函数的定义与性质周期函数是指存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。
其中，T 称为函数的周期。
周期函数的性质包括：周期函数的图像在一个周期内是完全相同的，周期函数在一个周期内的最大值和最小值是相等的，周期函数的平均值等于周期内所有值的平均值。
2. 常见的周期函数常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数和周期方波函数等。
正弦函数和余弦函数的周期为2π，它们在数学和物理中具有广泛的应用。
周期方波函数是一种以矩形波形重复出现的周期函数，它在电子工程和通信领域有着重要的应用。
3. 周期函数的应用周期函数在数学和科学中有着广泛的应用。
例如，正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性的振动和波动现象，如声波、光波和电磁波等。
周期函数还可以用来描述周期性的物理过程，如天体运动、电路中的交流电流等。
二、对称性的分析与研究对称性是函数的另一个重要特征，它描述了函数图像关于某一中心的对称性。
对称性的研究有助于理解函数的形状和性质。
1. 对称函数的定义与性质对称函数是指存在一个中心点c，使得对于任意实数x，有f(2c-x)=f(x)。
其中，c称为函数的对称中心。
对称函数的性质包括：对称函数的图像关于对称中心对称，对称函数的奇偶性与对称中心的位置有关，对称函数的平均值等于对称中心两侧值的平均值。
2. 常见的对称函数常见的对称函数包括偶函数和奇函数。
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专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性．(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R上的函数()f x满足()()[)20,0,2f x f x x++=∈时，()31xf x=-，则()2015f的值为（）A.-2B.0C.2D.8【答案】A试题分析：由已知可得⇒=+-=+)()2()4(xfxfxf()f x的周期⇒=4T()2015f==)3(f2)1(-=-f，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R上的偶函数()y f x=满足(2)()f x f x+=-，且在[2,0]x∈-上为增函数，3()2a f=，7()2b f=，12(log8)c f=，则下列不等式成立的是（）A．a b c>> B．b c a>> C．b a c>> D．c a b>>【答案】B试题分析：因为定义在R上的偶函数()y f x=在[2,0]x∈-上为增函数，所以在[0,2]x∈上单调递减，又(4)()f x f x+=，所以()()1271(),(log8)3122b f fc f f f⎛⎫====-=⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a>>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类函数)(xf满足()()f x a f b x+=-时，函数()y f x=的图像关于直线2a bx+=对称；第二类函数)(xf满足()()cf x a f b x++-=时，函数()y f x=的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类函数()y f x a=+的图像与函数()y f b x=-的图像关于直线2b ax-=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R上的函数()f x满足()()f x f x-=-，(3)()f x f x-=，则(2019)f=（ ) A．3- B．0 C．1 D．3【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f-+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f-和(1)f，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考卷】设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a xf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R 若59()()22f f-=，则(5)f a的值是 .【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a-=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.【反馈练习】1. 【2016届一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x=定义在实数集R上，则函数()y f a x=-与()y f x a=-的图象（）A．关于直线0y=对称 B．关于直线0x=对称C．关于直线y a=对称 D．关于直线x a=对称【答案】D2．【 2017届夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x是定义在R的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f << 【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-. 考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4] 【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数围.6. 【2017届武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称； ③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析：①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛43-，成中心对称，所以()x fxf-=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x+=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛--xfxf2323，即()()x fxf=-，又根据3()()2f x f x+=-，可得函数的周期3=T,又有()()x fxf=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛+232323xfxfxf，所以函数关于直线23-=x对称；③正确，因为()()3242=+-++xx，所以函数()x f关于点()0,3对称，而函数()3+=xfy是函数()x fy=向左平移3个单位得到，所以函数()3+=xfy是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12】函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2)0(142)(x2xxxxxf的图像上关于原点对称的点有（）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【答案】B试题分析：作出函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2)0(142)(x2xxxxxf的图象如图所示，再作出2241y x x=++关于原点对称的图象，记为曲线C.容易发现与曲线C有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。