函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文
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专题二：函数的周期性和对称性
【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】
一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)
(1
)2(x f x f =
+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5
1- 【答案】D
考点：函数的周期性．
(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2
，则()=2016f （ ）
A 、-12
B 、-16
C 、-20
D 、0 【答案】A
试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此
()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．
【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法
【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
【变式演练2】定义在R上的函数()
f x满足()()[)
20,0,2
f x f x x
++=∈时，()31
x
f x=-，则()
2015
f的值为（）
A.-2
B.0
C.2
D.8
【答案】A
试题分析：由已知可得⇒
=
+
-
=
+)
(
)2
(
)4
(x
f
x
f
x
f()
f x的周期⇒
=4
T()
2015
f=
=)3(f
2
)1(-
=
-f，故选A.考点：函数的周期性.
【变式演练3】定义在R上的偶函数()
y f x
=满足(2)()
f x f x
+=-，且在[2,0]
x∈-上为增函数，
3
()
2
a f
=，
7
()
2
b f
=，
1
2
(log8)
c f
=，则下列不等式成立的是（）
A．a b c
>> B．b c a
>> C．b a c
>> D．c a b
>>
【答案】B
试题分析：因为定义在R上的偶函数()
y f x
=在[2,0]
x∈-上为增函数，所以在[0,2]
x∈上单调递减，又
(4)()
f x f x
+=，所以()()
1
2
71
(),(log8)31
22
b f f
c f f f
⎛⎫
====-=
⎪
⎝⎭
，又
13
1
22
<<，所以b c a
>>．
考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．
二、函数的对称性问题
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：记住常见的几种对称结论：
第一类函数)
(x
f满足()()
f x a f b x
+=-时，函数()
y f x
=的图像关于直线
2
a b
x
+
=对称；
第二类函数)
(x
f满足()()c
f x a f b x
++-=时，函数()
y f x
=的图像关于点(,)
22
a b c
+
对称；
第三类函数()
y f x a
=+的图像与函数()
y f b x
=-的图像关于直线
2
b a
x
-
=对称.
例2 ．（从对称性思考）已知定义在R上的函数()
f x满足()()
f x f x
-=-，(3)()
f x f x
-=，则(2019)
f=（ ) A．3
- B．0 C．1 D．3
【答案】B