《风险价值(VaR)》第4章

《金融风险管理》 Financial Risk Management
朱 波
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对数正态分布
l 如果Y=Ln（X）服从正态分布，那么X服从对数正态 分布
l 均值和方差
l 资产价格不能为负 具有右偏特征。
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分布函数的表达式为：
f ( x) = 1 2πσ
2
e
− ( x − µ )2 /(2σ 2 )
l 95%的置信区间（1%的均值，12%的标准差）
l 标准正态分布的变换
l 累积分布函数的性质
N ( − x ) = 1 − N ( x)
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l 假定合约的面值为1亿美元，计算外汇头寸的RAROC。德国马克 兑美元的变动率是每年12%，企业需要持有足够的资本以应付 99%的可能损失。由于在正态分布的情况下，当1%的正态分布 在均值下有2. 33的标准差时，可能发生的最大损失为 2.33×0.12×1亿$ = 2 800万美元，这也是保持一定头寸所需的资 本。因此，外汇交易商的RAROC是$ 10/$ 28=36%。这种方法用 收益率对风险比进行风险度量。 l 我们现在转向债券交易商。假定收益是用平均票面值为2亿美元 的债券获得的，债券的风险约为4%。则最大损失为 2.33×0.04×$2亿=1900万美元。债券交易商的RAROC是$10/$ 19= 54%。经过资本调整可知，债券交易商的表现更好。
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4.2 概率工具
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概率定义 （数学）
l 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一 个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函 数，P(·)要满足下列条件：
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风险与 RAROC
l 为了对不同资产的风险进行比较，为了对不同投资的绩 效进行比较，对收益进行“风险”调整时必要的。
Ø夏普比=超额收益/σ ØTreynor指数=超额收益/β ØJensen α=超额收益- β×市场投资组合的超额收益 ØRAROC=收益/VaR
Ø （1）非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0; Ø （2）规范性：对于必然事件S，有P(S)=1; Ø （3）可列可加性：设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于 i≠j，Ai∩Aj=φ，（i, j=1,2……），则有
P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
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峰度
l 峰度（kurtosis）描述的是分布尾部 的肥厚程度:
4 +∞ 4 δ = ∫ [ x − E ( X )] f ( x)dx / σ -∞
l 肥尾，大的观察值有着更大的权重。 l 正态分布的峰度值为3。
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学生分布
l 学生t分布的尾部比正态分布后，我们也经常用它来刻画 金融资产的收益。
l 均值为0，方差为 l 偏度为0，峰度为
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二项式分布
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CVaR
l 一个辅助的测量方法是超过分位数的期望值：
∫ E( X | X < q) = ∫
q
−∞ q −∞
xf ( x)dx f ( x)dx
这个也被称作预期不足额、尾部条件预期、条件损失和尾部损失。
l 在损失确定超过VaR的条件下，极左尾的平均损失大小。
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4.3 风险
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风险与离差
l 风险可以用可能结果的离差来衡量。分布较平缓意味着 风险较大，而分布较陡峭意味着风险较小。
i =1
n
方差为：V ( X ) = ∑ pi [ xi − E( X )]
i =1
n
2
标准差或波动性：SD(X)=σ = V ( X )
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连续型随机变量及其数字特征
l 连续型随机变量及其概率密度函数
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4.1 市场风险
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引言
l 四种类型的市场风险：
Ø利率风险 Ø汇率风险 Ø股权风险 Ø商品价格风险
l 问题：如何度量市场风险？ l 风险可以用“预料不到结果”的标准差来进行度量（σ），也 称为波动率。 l “市场风险”在金融中有很多种表述形式。
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偏度
l 偏态（skewness）描述的是分布（非）对称的程度：
3 +∞ 3 γ = ∫ [ x − E ( X )] f ( x)dx / σ -∞
l 正态分布的偏度为零。 l 左偏：偏度值为负；长左尾； l 右偏：偏度值为正；长右尾。 （权重）
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期望与方差
l 随机变量的线性组合，如包含两只股票的投资组合的收 益， Y = X 1 + X 2 l 股票收益的概率分布函数为 f ( x1 , x2 ) ，则有：
E(X 1 + X 2 )= E(X 1 )+ E(X 2 ) V(X 1 + X 2 )= V(X 1 )+V(X 2 )+ 2cov(X 1 , X 2 )
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离散型随机变量及其数值特征
分布列:定义X为利益的随机变量，它的可能取值为xi , i = 1,2,Ln, 对应的概率为pi , 且有∑ pi = 1.
i =1 n
期望：E(X)=∑ pi xi
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风险与分位数
l 风险也可以用分位数（百分位数）来刻画：
l 如果是正态分布，则分为数可以从统计表中得到：
c = prob(ε ≥ −α ) = ∫ Φ(ε )dε
−α
+∞
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l N次独立的贝努力实验
l 这在VaR的回测中用得较多。
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广义帕累托分布
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第4章 金融风险度量工具
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l 股票市场会波动。
JP摩根在问及市场将如何变动时的回答。
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市场风险的表述形式
l 线性度量
Ø固定收益市场的久期 Ø股票市场的β Ø衍生金融工具市场的Δ
l 二阶度量：
凸度或伽马Γ
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∫
+∞
-∞
f ( x)dx = 1
x -∞
F ( x) = ∫ f (t )dt
l 期望和方差分别为：
E( X ) = ∫ V(X) = ∫
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+∞
-∞ +∞
xf ( x) dx
2
x − E( X )] [ -∞
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f ( x) dx
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概率定义（统计）
l 在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A 发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定 在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生 的概率，记做P(A)=p。 l 由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可 知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
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l RAROC也提供交易限额的信号。例如，一个在一月之内损失其 l0%的RAROC资本的交易商必须停止交易。同样，RAROC可使 不同市场间的比较更有意义。 l 人们从风险调整中得到许多深刻的启示，它们将影响信孚银行的 发展战略。银行根据RAROC给交易商进行补偿，风险管理意识 已渗透到了公司文化中。用其自身的话来说，风险调整是“用 整体的方式”来进行的。信孚银行发现其大部分贷款收益低于 其他业务收益，便对银行的发展方向进行战略性调整，引入收益 更高的风险管理功能当然，假定收益的变动包括商业风险的所有 必要方面。
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4.4 真实数据及其处理
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算术平均收益与几何平均收益
l 单利、复利、连续复利 l 算术平均收益 l 几何平均收益 l 算术平均收益虽然简单、方便，但有时会对真实 收益进行错误估计。 l 一个例子
l 如果两个变量是相互独立的，则有：
V(X 1 + X 2 )= V(X 1 )+V(X 2 )
l 独立与不相关 l 随机变量之积
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正态分布
2 x ~ N ( µ , σ ) ，该正态 l 收益随机变量X服从正态分布，记为
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l 但是，对“市场风险”的正确度量而言，上述方法都存 在一定的缺陷，例如，没有充分考虑“风险的时变性”、 “风险的加总问题”、“左偏、肥尾、波动率聚集”。
l 因此，为了正确地理解和描述市场风险，我们需要一些 概率论的基础知识。
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案例 RAROC：信孚银行的风险调整
l 信孚银行一直是风险管理的先驱，它在70年代末首先通过其资本 风险调整收益(risk adjusted return on capital, RAROC)系统进行风 险度量。该系统是由于为了交易商风险而调整其利润的需要而产 生的。 l 例如有两个交易商，每人都赚了1 000万美元，一个通过短期国 库券，另一个通过外汇。这就引出许多基本问题:哪个交易商表 现更好?他们应当怎样得到利润方面的补偿?此外，企业应将更多 的资本投往何处? l RAROC用风险资本对利润进行调整，其定义为在一年内应付 99%最大预期损失所需的资本。所有RAROC的计算都用一年的 时段，不考虑资产实际持有的期限，以使不同资产的比较百有意 义。