2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4

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2020年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解4

1．（本小题满分14分）

已知f(x)=2

22+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ；

（Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x

1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.

本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨

论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)

2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，

即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①

设ϕ(x)=x 2－ax －2，

方法一：

ϕ(1)=1－a －2≤0，

— 2 —

① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，

ϕ(－1)=1+a －2≤0.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：

2a ≥0， 2

a <0， ①⇔ 或

ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0

⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0

⇔ －1≤a ≤1.

∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇

(1)=0

∴A={a|－1≤a ≤1}.

（Ⅱ）由222+-x a x =x

1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，

x 1+x 2=a ，

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∴ 从而|x 1－x 2|=212

214)(x x x x -+=82+a .

x 1x 2=－2， ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.

要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，

即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②

设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，

方法一：

g(－1)=m 2－m －2≥0，

② ⇔

g(1)=m 2+m －2≥0，

⇔m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

— 4 —

当m ≠0时，

m>0， m<0，

②⇔ 或

g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0

⇔ m ≥2或m ≤－2.

所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.

2．（本小题满分12分）

如图，P 是抛物线C ：y=2

1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的

轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围.

本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思

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想和综合解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.

由y=21

x 2， ①

得y ＇=x.

∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，

∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-1

1

x ，

∴直线l 的方程为y －21

x 12=－1

1

x (x －x 1)，

方法一：

联立①②消去y ，得x 2+1

2

x x －x 12－2=0.

∵M 是PQ 的中点

x 0=22

1x

x =-1

1

x ，

∴

y 0=21x 12－1

1

x (x 0－x 1).

消去x 1，得y 0=x 02+20

21x +1(x 0≠0)，

— 6 —

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021

x +1(x ≠0).

方法二：

由y 1=21x 12，y 2=2

1x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=2

1(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-1

1x ， ∴x 1=－

01x ， 将上式代入②并整理，得

y 0=x 02+2021

x +1(x 0≠0)，

∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021

x +1(x ≠0).

（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).

分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则

=+||||||||SQ ST SP ST |

|||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y=2

1x 2