24.3.2等分圆周法
九年级数学上册第24章《圆》整章分析(人教版)
第二十四章“圆”简介与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，是人们生活中常见的图形，也是“图形与几何”的主要研究对象。
本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。
本章共安排四节和三个选学内容，教学时间大约需要16课时，具体安排如下（仅供参考）：24.1 圆的有关性质5课时24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 5课时24.3 正多边形和圆2课时24.4 弧长和扇形面积 2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和本章学习目标1．本章知识结构本章知识结构如下图所示：2．教科书内容本章在学习了直线图形有关性质的基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。
圆是常见的几何图形之一，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。
圆的有关性质，也被广泛应用。
圆也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。
圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。
所以本章教学在初中占有重要地位。
本章在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系。
本章共分四节，第1节是“圆的有关性质”，主要内容是圆的概念和有关性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置和数量关系的主要依据，是全章的基础。
这一节包括“圆”“垂直于圆的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四小节。
“24.1.1 圆”的主要内容是圆的概念和圆中一些相关概念。
圆的概念是研究圆的性质的基础，在小学，学生接触过圆，对它有一定的认识。
教科书首先结合生活中一些圆的实际例子，在小学画圆的基础上，用“发生法”给出圆的概念。
24.3 正多边形和圆 教学案
24.3 正多边形和圆自主学习案●明确学习内容教材第104至106页●理清学习目标1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．●清晰重点难点1.探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算（重点）．2.探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系（难点）．●自主预习练习1.自读课本第104至106页.2.学习至此：请完成学生用书“自主学习案”部分.●激情导入十分观察上图中美丽的图案，思考下面的问题：（1）这些都是日常生活中经常见到的利用正多边形得到的物体，你能从中找出正多边形吗？（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样作一个正多边形？今天我们就这些内容进行探究.课堂探究案●聚焦主题合作探究认识正多边形和圆的关系阅读课本第104页图24.3－1下面内容解决问题：如图，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得六边形ABCDEF .求证六边形ABCDEF 是正六边形【证明】：∵ AB ︵=BC ︵=CD ︵=DE ︵=EF ︵=F A ︵，∴ = = = = = ， BCF ︵=CDA ︵= AB ︵.∴∠ =∠同理∠ =∠ =∠ =∠ =∠又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴六边形ABCDEF 是⊙O 的 ，⊙O 是六边形ABCDEF 的思考：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形．教材是如何证明这个真命题的？试结合上面问题解决过程说明它的证明思路．【反思小结】证明的思路是：弧相等→弦相等、圆周角相等→多边形各边相等、各角相等→多边形是正多边形．【针对训练】1.下列多边形一定是正多边形的是（ ）A平行四边形B矩形C菱形D正方形2.针对下面两个命题：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各角相等的圆内接多边形是正多边形．其中说法正确的是 （ ）A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①②均错D ．①②均正确与正多边形有关的计算例有一个亭子它的地基是半径为4m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．思考：结合图形识记正多边形的有关概念，讨论正多边形的中心、半径、中心角、边心距之间的关系如何？例题求边心距是在哪个三角形中进行的？这样的三角形涉及到哪几个量？它们之间有何关系？【反思小结】正多边形的性质：①正多边形的一个内角等于（n－2）180°/n；②正多边形的中心角等于360°/n；③正多边形的中心角与外角相等.另外有：正多边形的边数是奇数时，只是轴对称图形；边数是偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.【针对训练】3.请找出下列图形中的中心，并画出它们的半径，边心距，中心角.4.已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为.正多边形的画法例阅读教材第106页内容．思考：借助圆画正多边形的关键是什么？如何等分圆周？教材介绍了哪几种方法？【反思小结】等分圆周，一可以用量角器等分圆周，二可以用尺规等分圆周.用量角器等分圆周时可以依次作相等的圆心角来达到等分圆的目的.对于尺规方法，理论上讲是精确的，但不是任意等分圆都能用这种方法，而且作图时也存在误差.【针对训练】5.在下面两圆中分别作出正八边形和正十二边形．●总结梳理整合提高1.正多边形的概念要具备______和______两个要素，二者必须同时具备．2.正多边形与圆（试观察下图填空）．正多边形的中心：．正多边形的半径：．正多边形的中心角：．正n边形的每个中心角都等于．正多边形的边心距：．3.画正多边形技巧．（1）用量角器等分圆：先用量角器画一个等于360n的圆心角，再在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧．（2）用尺规等分圆：可作正2n（n≥2的整数）边形，如正四、八、……边形；可作正3n（n≥2的整数）边形，如正三、六、十二、……边形．随堂检测案●针对训练规律总结请随机完成学生用书“课堂探究案”中针对训练部分.●当堂检测反馈矫正1.如图，点M、N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形的中心，则∠MON= 45°．2.边长为a的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为（A）．A．1：2：３B．１：2：3C．2：3：２D．１：2：5 3.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则他们的面积比为（B）．A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：24.已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积为（B）．A．12πB．πC．2πD．3π5.如果一个正多边形的外角等于它内角的12，则这个多边形是（D）．A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形·OC ANBM课后评价案●课后作业测评1．上交作业教科书第107页第1，２，３题.2．课后作业见学生用书的“课后评价案”部分.●教学反思在线。
圆周等分孔的计算方法
圆周等分孔的计算方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊圆周等分孔的计算方法，这可真是个有意思的事儿呢！你想想看，一个圆，就像一个大蛋糕，咱要把它切成好几块一样大小的，这可不简单呐！那怎么才能精确地算出这些等分孔的位置呢？咱先从最基本的说起哈。
假如你要把一个圆分成 4 等份，那多容易呀，画两条互相垂直的直径不就得了！这就好像把蛋糕横竖切两刀，简单粗暴，谁都能懂。
可要是想分成更多等份呢？那就得动点小脑筋啦。
比如说分成 6 等份，这时候咱就得借助一些数学知识咯。
咱可以先算出整个圆的周长，然后除以 6，这样不就得到每一份弧长了嘛。
然后呢，从圆心开始，按照这个弧长一段一段地去量，就能找到那些等分点啦。
哎呀，这就好像是走迷宫，得一步一步地找路。
你可别小瞧这每一步，稍微错一点，那可就全歪啦！再难一点，要是分成 8 等份呢？嘿嘿，别怕，还是老办法，先算出周长，再除以 8 嘛。
不过这时候可得更细心了，量的时候手千万别抖呀！你说这像不像搭积木呀，一块一块地往上堆，得堆得稳稳当当的。
那要是遇到更复杂的情况呢？比如说要非常非常精确地等分一个圆，那可就得用上更高级的工具和方法啦。
就像大厨做菜，普通的菜随便炒炒就行，要是做个满汉全席，那各种调料、工具都得上阵啦。
咱还可以想象一下，要是在一个超级大的圆上打孔，那得是个多大的工程呀！这可不是随便比划比划就能搞定的。
总之呢，圆周等分孔的计算方法说难不难，说简单也不简单。
关键是要有耐心，要细心，还要有点小智慧。
就像我们过日子一样，一步一步来，总能把事情做好。
所以啊，朋友们，别看到数学就头疼，其实这里面也有很多好玩的东西呢！只要你用心去琢磨，就会发现它就像一个藏着无数宝贝的大宝藏，等你去挖掘呢！别犹豫啦，赶紧去试试吧，看看你能不能算出那些漂亮的圆周等分孔来！。
等分圆周的分类
等分圆周的分类等分圆周是尺规作图的一小部分的内容，把一个圆周分成n 等份，就可以作出圆内接或外切正n边形，即有趣又实用的几何作图问题。
等分圆周分成两大类的作图法：一类是能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，例如：二等分圆周、三等分圆周、四等分圆周、五等分圆周、六等分圆周、八等分圆周、十等分圆周、十二等分圆周、十七等分圆周等等；二类是不能用尺规准备作出等分圆周的问题，即用尺规等分圆周的近似作图的问题，有四种方法能近似作出等分圆周，例如：1、莱纳基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、对称、对应中心投影法等等。
根据自己在读大专时，已经学习过几何作图这本书，对这本书里面的内容也掌握地比较好，再加上自己对作用也比较感兴趣，另外在这学期，自己也学习本科开设的初等几何研究的课程。
所以自己对一些等分圆周的作图还是掌握地比较好，现在介绍自己学习过的等分圆周的作图。
一、能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，而且这些作法的正确性能用平面几何去证明。
1、二等分圆周的尺规作图例1、已知：一个圆。
B A求作：圆的二等分。
作法：(1)作圆O；(2)作圆的直径A B；证明：因为角A O B为180°，所以A、B是圆O的二等分点。
2、三等分圆周的尺规作图例2、已知：一个圆。
A求作：圆的三等分。
作法：(1)作圆的直径A D；(2)以D为圆心、O D为半径作圆，交圆于B、C两点；(3)连结A B、A C、B C；则三角形A B C为所求作圆的内接正三角形，即A、B、C圆的三等分。
证明：连结C O、C D,由作图可知圆O和圆D的半径相等，从而有O C=O D=C D=1/2A D,因为三角形是圆O的内接三角形，A D是圆O的直径，所以三角形是直角三角形，所以角C A D=30°；同理：角B A D=30°，所以角B A C=60°；又因为A D是圆O和圆D两圆的圆心连线，C B是圆O和圆D的公共弦。
数学知识点秋人教版数学九年级上册24.3.2《正多边形和圆》word教案-总结
师生行为 教师提出问题，学生进行 回答 教师可再展示一些图片让 学生欣赏．
设 计 意 图 复习正多边形的 概念，为本节课 做准备． 培养学生的思维 品质，将正多边 形与圆联系起 来．并由此引出 今天的课题． 使学生理解、体 会圆与正多边形 的内在联系． 充分发展学生的 发散思维． 教给学生等分圆 周的方法，尤其 是尺规作正六边 形．
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
作 课 类 别 教 学 媒 体 知 识 教 学 目 标 技 能 过 程 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点
课 题
24.3 .2 正多边形和圆 多媒体
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
学生根据教师提出的问题 进行思考，回忆圆的有关 知识，进而回答教师提出 的问题．即等分圆周，就 可以得到圆内接正多边 形．
Байду номын сангаас
教师提出问题后，学 生认真思考、交流，充分 发表自己的见解，并互相 补充．教师在学生归纳的 基础上进行补充，并以正 五边形为例进行证明． 教师提出问题后，学生思 考、交流自己的见解，教 师组织学生进行作图，方 法不限． 在学生作图的基础上，教 师归纳出等分圆周的方 法：1.用量角器等分圆： 依据：同圆中相等的圆心 角所对应的弧相等． 操作：两种情况：其一是 依次画出相等的圆心角来 等分圆，这种方法比较准 确，但是麻烦；其二是先 用量角器画一个圆心角， 然后在圆上依次截取等于 该圆心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点，这 种方法比较方便，但画图 的误差积累到最后一个等 分点，使画出的正多边形 的边长误差较大． 2.用尺规等分圆： 教师组织学生，分析、作 图、归纳：理论上我们可 以一直画下去，但大家不 难发现，随着边数的增
九年级数学人教版(上册)24.3正多边形和圆
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
1. 填表
正多边 形边数
3 4 6
半径 边长 边心距 周长
2 23
22 22
1 23
1
8
3
12
面积
33
4Hale Waihona Puke 632. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这 个多边形的边数是 3 .
侵权必究
当堂练习
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似 看作为正七边形，则一个内角为 128 4 ___度.
(1)求图①中∠MON=___1_2_0_°_;图②中∠MON= 90 °;
图③中∠MON= 72 °;
MON 360
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
n
E
A
A
D
M .O
O M
A
D
O
M
B
NC B
图① 侵权必究
NC
图②
N
B
C
图③
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
正多边形 的对称性
侵权必究
新课导入
观察下列图形他们有什么特点？
侵权必究
讲授新课
✓ 典例精讲 ✓ 归纳总结
侵权必究
讲授新课
知识点 1 正多边形的概念
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 （60度）.
正方形
四条边相等， 四个角相等 （900）.
侵权必究
讲授新课
定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边 形叫做正n边形.
24.3 正多边形和圆教学设计
24.3 正多边形和圆正多边形和圆是在学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容，是前一阶段知识的运用和提高．正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性．研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础．本课时注意培养学生观察、猜想、推理和迁移的能力以及具体到抽象，亲身体验知识的发生与发展的过程．利用正多边形和圆的位置关系，把形的问题转化成了数的问题，体现了数形结合的思想．【情景导入】(1)我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750≈3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．(2)你知道正多边形和圆有什么关系吗？给你一个圆，怎样作出一个正多边形？圆中依次出现几段相等的弧？【说明与建议】 说明：通过对“割圆术”的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能让学生对古代数学的伟大成就有所了解，增强爱国热情．建议：研究正多边形和圆的时候，可以让学生回顾在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆周角相等这两个结论．【复习导入】(1)观察下图中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形，你能说出这些图形的各自特征吗？(2)回顾：等边三角形和正方形的边、角各有什么性质？ (3)正多边形的定义是什么？正多边形和圆有什么关系？【说明与建议】 说明：通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：为了明确正多边形的概念，可以请同学们举自己在日常生活中见过的正多边形的例子(正三角形、正方形、正六边形……)．命题角度1 与正多边形有关的计算1．(河池中考)如图，在正六边形ABCDEF 中，AC ＝23，则它的边长是(D)A ．1B. 2C. 3D ．22．(广元中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是AE ︵的一点，则∠CPD 的度数是(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°3．(德阳中考)已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是(B) A ．2B ．1C. 3D.324．(广州中考)已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A ．3 3B ．9 3C ．18 3D ．36 3命题角度2 画正多边形5．(兰州中考)如图，已知⊙O ，用尺规作⊙O 的内接正四边形ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)解：如图所示，四边形ABCD 即为所求作．关于圆周率π我们知道，圆的周长C ＝2πR.但是，你知道公式中的π值是怎样算出来的吗？实际上π＝C2R ，式中圆的周长C 是可以用圆内接正多边形的周长p n 来近似代替的．如图，当圆内接正n 边形的边数不断地成倍增大时，它的周长p n 就不断地增大，并会越来越接近于圆的周长C ，于是p n 2R 的值越来越接近C2R的值．如果半径为R 的圆内接正n 边形的边长为a n ，可以求得它的内接正2n 边形的边长这个公式叫倍边公式，利用它就可以算出半径为R 的圆内接正2n 、4n 、8n 、…边形的边长，进而可计算p 2n 2R 、p 4n 2R 、p 8n 2R 、…，这些值就越来越接近于圆的周长与直径的比值C2R ，这个数就是圆周率π.π的精确值是一个无限不循环小数，就是说，π是一个无理数．π＝3.141 592 653 589 793…，应用时根据实际需要，取π的近似值．我国古代数学家刘徽，在公元三世纪用“割圆术”求得π的近似值为15750＝3.14，祖冲之在公元五世纪又进一步求得π的值在3.141 592 6与3.141 592 7之间，是当时世界上最先进的成就．现代利用电子计算机，已有人把π的值算到小数点后几十万位．下表是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果．由于C2R＝π，所以C ＝2πR.另外，根据正n 边形的面积S n ＝12r n p n ，当边数n 无限增大时，r n 趋近于R ，p n 趋近于C ，所以圆的面积S ＝12RC ＝12R ·2πR ＝πR 2.我国许多数学家对圆周率的研究做出过很大贡献．在公元前一世纪的《周髀算经》里，已谈到“周三径一”，称之为古率．西汉末年，刘歆定圆周率为3.1547，后人称做歆率．三国时魏刘徽(公元263年)，始创“割圆求周”的方法，他从圆内接正六边形算起，算到正192边形，他取3.14或15750作为圆周率，我们称3.14为徽率．到南朝祖冲之(公元429～500年)求得圆周率在3.141 592 6～3.141 592 7之间，把π＝355113叫做密率，π＝227叫做约率，后人称之为祖率，他所得的结果，精确到了七位小数，在当时世界上是最好的结果．【探究新知】问题1：针对【课堂引入】的问题进行探究．师生活动：教师演示作图，并引导学生从正多边形的定义入手来证明，让学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程： 如图，∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EA ︵，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ，BAD ︵＝CAE ︵＝3AB ︵. ∴∠C ＝∠D.同理可证：∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ， ∴五边形ABCDE 是正五边形． ∵点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形．问题2：如果将圆n 等分，依次连接各等分点得到一个n 边形，这个n 边形一定是正n 边形吗？师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总结．教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n 边形．问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？请说明理由．师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解.活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念(如图)．教师提出问题：(1)正多边形的中心角怎么计算？(2)边长a ，半径R ，边心距r 之间有什么关系？ (3)正多边形的面积如何计算？师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论： 正n 边形的中心角等于360°n ，边长a ，半径R 和边心距r 的关系为(a 2)2＋r 2＝R 2. 活动二：提出问题：如何把一个圆n 等分呢？师生活动：学生小组内讨论，如果把360°的圆心角n 等分，那么弧也被n 等分，即可得到正多边形． 教师引导分析：①正方形的中心角为90°，说明相邻两条半径互相垂直；②正六边形的中心角为60°，说明相邻半径和边构成的三角形是等边三角形.面积．例2 利用手中的工具求作一个边长为3 cm 的正六边形．师生活动：学生先独立解决问题，然后小组内讨论，教师鼓励学生勇于探索实践，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题过程．图1 图2解：方法一：如图1，以3 cm 为半径作一个⊙O ，用量角器画一个等于360°÷6＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，即可得到正六边形． 方法二：如图2，以 3 cm 为半径作一个⊙O ，由于正六边形的半径等于边长，所以在圆上依次截取长度等于3 cm 的弦，就可以将圆六等分，顺次连接各等分点即可． 【变式训练】在半径为2 cm 的圆上，用量角器作出它的圆内接正七边形． 解：(1)作⊙O ，使r ＝2 cm ； (2)计算360°7≈51.4°；(3)用量角器在圆上画一个∠AOB ＝51.4°； (4)在圆上依次截取BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FG ︵＝GA ︵＝AB ︵；(5)依次连接AB ，BC ，…，GA ，则七边形ABCDEFG 为所作正七边形.4．如图，正方形的边长为1 dm ，剪去四个角后成为一个正八边形．求这个正八边形的边长和面积．解：设正八边形的边长为x ，则被剪掉小直角三角形的直角边为22x ， 由题意，得x ＋2·22x ＝1， 解得x ＝2－1.所以小直角三角形的直角边为22(2－1)＝1－22. 所以正八边形的面积为12－4×12×(1－22)2＝1－2×(32－2)＝22－2.答：这个正八边形的边长为(2－1)dm ，面积为(22－2)dm 2.。
24.3正多边形和圆教学设计.doc
24.3 《正多边形和圆》教学设计教学时间2016 年12 月29 日讲课教师海沧中学蓝文英知识与技能：复习正多边形的有关概念（正多边形的中心、半径、中心角、边心距）；能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题；掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．教学目标数学思考：把正多边形和圆的问题转化为解直角三角形问题.问题解决：通过正多边形和圆的复习教学，培养学生观察、猜想、推理、迁移、归纳能力.情感态度：通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．教学重点充分了解圆与正多边形的关系的基础上进行有关计算，并能通过等分圆周画圆的内接正多边形教学难点正多边形与圆相关计算的灵活应用教学方法任务驱动启发式教学，讲练结合教学过程教学活动设计意图1．定义：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的，外接圆的半径叫做这个正多边形的，正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的，到正多边形一边的距离叫做正多边形的．趁热打铁：第一组：学前准备课前完成（1）如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为___ ．（2）正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是__ .B第二组：（1）在Rt△ABC中，∠C =90°. ca①已知b=6，∠A=30°，求a，c.ACb=61②已知c=4，∠A=45°，求a，b.Ac=4b③已知c=2 x，∠A=45°，求a，b.C Ba第三组：（1）画两个圆，再用圆规和直尺作出正方形和正六边形．追问：圆的内接正六边形的边长与半径有什么关系？1. 复习回顾“正多边形和圆的关系”1.引出课题①正多边形的定义（生举例，师展示图片）’②圆的内接正多边形，怎么得到？播放短视频（分钟1-2）2.观察短视频，③完成简单辨析：激情引趣。
师：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举反例练：把一个圆n 等分，连接各分点所得到的多边形创设情境是，它的中心角等于__ 360n __．导入新课④进而得到圆内接正多边形的画法：等分圆周利用量角器等分圆心角的方法等分圆周尺规作正方形、正六边形等⑤正多边形的对称性（当边数为n）正n 边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有条对称轴，每条对称轴都通过n 边形的中心。
人教版九年级数学上册 正多边形的画法(第2课时)
DE 为 O 的内接正十二边形的一边.
AOD
2．(平阳县一模)我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，
“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发
现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立
“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形
多边形.
动手试一试
正八边形：再用直尺和圆规分别作与正四边形相邻两边垂直
的直径，就可以作出正八边形，如上图所示.
正六边形：如下图所以，先画 O的任意一条直径AB，再
分别以点A，B为圆心，以 O 的半径R为半径画弧，与 O 相交于点C，
D和E，F，顺次连接点A，C，E，B，F，D，A，得正六边形
ACEBFD；
(2)图②中，∠MON 的度数是
，图③中∠MON 的度数是
；
(3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系(直接写出答案)．
解：(1)120°
(2)90°
72°
360°
(3)∠MON＝
n
课堂小结
1.画正多边形的方法：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因
此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形,
用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正
三角形．
正多边形的画法
例 已知☉O和☉O上的一点A(如图).
求作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
解：作法:①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A、B、C、D四点.
A
O
∴四边形ABCD即为☉O的内接正方形.
24.3 正多边形和圆 人教版数学九年级上册说课稿
正多边形和圆说课稿尊敬的各位评委、各位老师:大家好！我是号选手.我说课的内容是人教版数学教材九年级上册第二十四章第三节：正多边形和圆（板书）。
根据教材编排,本节课分两课时完成。
在此，我说第一课时。
下面，我将从教材分析、教法和学法、教学过程、板书设计四个方面对本课时的设计进行说明。
首先来说教材分析.教材所处的地位和作用正多边形是和圆是在学生学习了三角形、四边形、多边形以及圆的相关知识后的内容,是前一阶段知识的运用和提高。
正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的特性；研究正多边形和圆的关系，掌握有关正多边形的计算是进一步学习数学及其它学科的重要基础。
根据新课标要求，结合教材特点，我把教学目标定为以下三个方面。
知识与技能让学生经历正多边形的形成过程;理解正多边形的有关概念及正多边形和圆的关系;掌握正多边形的有关计算方法。
过程与方法通过正多边形定义的教学，培养学生的归纳能力;通过正多边形与圆的关系教学,培养学生观察、猜想、推理、迁移能力,以及从具体到抽象，从特殊到一般,从部分到整体的认识事物规律的能力.情感态度与价值观通过“寻找生活中的正多边形”等活动，使学生在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点,培养学生细心观察生活的习惯,使学生了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.同时，向学生渗透“特殊到一般”再“一般到特殊”的唯物辩证法思想．再来看教学重点和难点本节课的教学重点是:了解正多边形的有关概念；理解正多边形和圆的关系；掌握有关正多边形的计算方法。
难点是：对正多边形和圆的关系的理解及正多边形相关概念计算的准确性.教法学法按照新的课程理论和九年级学生的特点，我确定如下教法学法：教法：本节课我采用发现式教学法,让学生经历正多边形的定义以及正多边形和圆的关系的探索过程，并积极为学生创设再发现的机会和条件，在探索发现过程中培养学生的思维能力和创新精神的培养。
学法:采用自主探索、合作交流的学习方法，并在此过程中培养学生动脑、动口的能力，发展学生的形象思维。
《正多边形和圆2》优秀教学设计(教案)
24.3.2正多边形和圆（2）教学设计一、基本信息学校福建省福州金山中学课名24.3.2正多边形和圆（2）教师姓名冯学武学科（版本）数学（人教版）章节第24章第3节第2课时学时1课时年级九年级二、教学目标知识技能：进一步了解正多边形与圆的关系，掌握不同条件下用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．数学思考：学生在探索不同条件下画圆内接正多边形的过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．解决问题：在探索圆内接正多边形的过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题．情感态度：通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心，同时体会到事物之间是相互联系，相互作用的．三、学习者分析学生来自九年级，好奇心、好胜心强。
有一定的动手操作能力和对“交互式电子白板”这一软件的使用能力.圆有关的概念在小学里学过，学生并不陌生；在学习圆之前，学生已经学习了三角形、正多边形和轴对称等许多知识，掌握了一些探索和证明图形性质的方法，这是《正多边形和圆》第二课时，在第一课时中已经学过正多边形和圆的密切关系，这些都为本节课的学习奠定了坚实的知识基础.学生掌握画圆内接正多边形的基本方法不会存在太大的问题，而初中生的拓展和化归能力较弱，所以探索不同条件下画圆内接正多边形的方法有一定的难度.因此本节课的学习就要让学生充分利用好已有知识，调动他们多种感官全面参与新知的发生发展和形成的过程中来.四、教学重难点分析及解决措施在小学阶段，学生已经对圆的有关概念有所了解，在此之前又刚刚学习了轴对称、圆有关概念性质及正多边形与圆的关系.因此，这节课的教学重点是：探索不同条件下画圆内接正多边形的方法.不同条件下画圆内接正多边形的主要困难在于如何将新问题转化为已知的问题求解.由于学生已经具备利用找圆心、等分圆等知识与方法，在探索不同条件下画圆内接正多边形时，教师应引导学生由目标（画圆内接正多边形）出发分析达到目标的方法（通过等分圆），引导学生利用学过的圆的有关性质定理进行探索.基于以上分析，本节课的教学难点是：探索不同条件下等分圆的方法.解决措施：1、学生通过复习“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，弦也相等”等定理，掌握等分圆的基本方法.3. 学生在作业本上书写推理过程：A画圆内接正多边形方法层面：两种思想：类比思想、化归思想想、方法，培养学生自我反馈、自主发展的意识．课后作业作业：1．书面作业：优化设计P492．利用圆形纸片折圆内接正四边形、正六边形.回家练习巩固进一步巩固本堂课所学内容．。
人教版九年级上册数学 24.3 正多边形和圆 优秀教案
四、归纳总结，板书设计（幻灯 21）
正多边形的定义与对称性
正多边形
正多形的有 关概念及性质
① 正多边形的内角
(n 2) 180
=
n ② 中心角＝3600÷n
五、课后作业，目标检测
正多边形的 有关计算
通常添加辅助线的方法 为：连半径，作边心距
见《学练优》本课时内容 教学反思 可取之处：正多边形是一种特殊的多边形，在生产生活中应用广泛。本节课抓住正多边形的核心概念，从学 生已有的知识出发，将圆的有关概念与正多边形诸多概念进行对比学习，学生易于理解和掌握，这样设计突 出了知识间的联系，关注学生的最近发展区，知识不枯燥乏味并且突出重点。利用圆的垂径定理，将正多边 形的半径、边心距、边长一半转化为直角三角形的有关计算问题，难点有效突破，充分体现了转化的数学思 想。让学生感受转化思想的魅力，精心设计练习，具有针对性，并将知识点结合习题有效落实。 不足之处：有的学生利用正多边形的定义去判定一个多边形是不是正多边形，只考虑其中一个必备条件；在 正多边形的有关概念只去死记硬背，而不去结合图形记忆。
问题 2：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
【教师强调】判断一个多边形是否是正多边形，必须同时具备两个必备条件：①各边相
等；②各角相等。二者缺一不可。
问题 3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称
图形吗？
【设计意图】意
【教师强调】正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，且只有边数为偶数的正多边 形才是中心对称图形。
问题 3：刚才把圆进行四等分，依次连接各等分点，得到一个正四边形；你可以从哪方 面证明？
练一练：把⊙O 进行 5 等分,依次连接各等分点得到五边形 ABCDE ，
24.3.2证明
当n为大于2的正整数时，a、b、c
没有正整数。
在随后的二百年间只解决了n=3, 4, 5, 7四种情形，数学家 们利用 最现代的电脑加数学技巧，验证了四百万以内的n，但这对最终 证明无济于事。1994年9月19日, 怀尔斯（美国普林斯大学教授） 解决了这一世纪难题。由此，费尔马猜想也就成了费尔马大定 理。 1997年6月27日,怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖， 他还获得沃尔夫奖（1996.3）,美国国家科学院奖（1996.6）, 菲尔 斯特别奖(1998.8).
凭估计，说 不定拳头还 是放得下
A:当然不可
以，与赤道相 比1米可忽略， 我估计一根针 也插不进
那就做个圈 试一下吧！
做一做：
当小圆半径 r = 1cm时，圆周 长增加1m时,中间的间隙有多大？ 小圆周长=2πr=2π×0.01=0.02π+1（m）
大圆半径R=（0.02π+1）÷2π = 0.01+1/ 2π （m）
24.3(2) 证明
问题1：
用一根铁丝围成一个半径为1cm的圆，再用比 这根铁丝长1m的铁丝做成一个铁丝圈，把两个圆 套成同心圆，试问：在两个圆中间，能放下一个拳 头吗？
思考:
如果在地球的赤道外，也围一个周长比赤道长 1M的铁丝圈，将这个铁丝圈与赤道构成同心圆，试 问：在这两个圆的中间还能放下一个拳头吗？ B:怎么可以
同学们：你想清楚了吗？两圆半径差 （R-r )是多少？
你会解决地球赤道外围一圈的问题吗？ 解：设地球半径为r米 ∴地球周长为2πr米，铁丝圈的周长 为（2πr+1）米 则：铁丝圈的半径R=（2πr+1）/2π =（r+1/2π）米
∴两个同心圆之间的空隙为： （r+1/2π）-r=1/2π米≈16厘米
24等分 原理
24等分原理24等分原理解析1. 引言在日常生活中，我们经常遇到需要将一个整体平均分成若干等份的情况。
其中，最常见的就是将一个圆形物体分成24等份。
本文将围绕“24等分原理”展开解析，从浅入深地介绍相关原理和具体计算方法。
2. 圆的性质在探讨“24等分原理”之前，我们先来了解一些与圆有关的基本性质。
- 圆的直径是其最长的一条线段，它可以通过圆心并且两端点在圆上。
- 圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离，它等于直径的一半。
- 圆的周长是圆周对应的一条完整的线段。
- 圆的面积是圆周围成的面积。
3. 将圆分成N等份的原理现在我们来具体讨论如何将一个圆平均分成N等份，以N=24为例。
- 首先，我们将圆心和圆周上的一个点连接起来得到一条线段，这条线段称为半径。
- 然后，我们将圆周分成N个等弧，在圆周上顺次选择N个等分点。
- 最后，将圆心与每个等分点相连，得到N条半径，这样就将圆分成了N等份。
4. 计算每个等分点的坐标下面我们来具体计算在N=24的情况下，每个等分点的坐标。
-首先，我们假设圆的半径为r，圆心的坐标为(x0, y0)。
- 由于圆是对称的，我们可以先计算其中一个象限内的等分点坐标。
- 对于第一象限内的等分点，假设等分点坐标为(xi, yi)，其中i从1到12。
- 每个等分点的x坐标可以由以下公式计算：xi = x0 + r * cos(θi)- 每个等分点的y坐标可以由以下公式计算：yi = y0 + r * sin(θi) - 同理，其他三个象限内的等分点的坐标可以通过对称性得到，具体计算方式与第一象限类似。
5. 实际应用将圆分成24等份的原理在生活中有着广泛的应用。
- 美术绘画中，将圆分成24等份可以帮助艺术家更精确地描绘圆形物体的轮廓，提高绘画的准确度。
- 钟表制造中，将钟表的表盘分成24等份可以使时间的显示更加精准，提高钟表的准确度。
- 圆舞编排中，将舞台分成24等份可以帮助舞蹈编排者更好地安排舞者的位置，使得整个舞蹈更加协调自然。
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O
C
A
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正方形．
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正六角形．
探ห้องสมุดไป่ตู้新知
如何用等分圆周的方法画正多边形？ 其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上 依次截取等于该中心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点．
巩固练习
课本第108页：练习1.
课堂小结
如何用等分圆周的方法画正多边形？ 其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上 依次截取等于该中心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点．
测试作业
课本第108页：练习2（任选一个图案）．
九年级
上册
24.3 正多边形和圆（第2课时）
情境导入
借助圆画一个正多边形.
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
O
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
度量法： 用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°． B
O A
C
探究新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 尺规法： 用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径 （2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．