环境系统分析PPT第9讲

环境系统分析
第9讲
主讲: 李明俊 教授 2006.5.8
第五章
环境系统的最优化
在对环境问题系统化后，对其中各子系 统，各因素之间关系建立数学模型，有了系 统化和模型化，便可对适合于不同经济和水 质目标的种种可供选择的方案，定量的进行 费用效益分析，在综合评价（优化）的基础 上确定近远期的经济和水质目标，最后制定 出可供实施的控制规划方案等内容，因此最 优化是综合评价的关键手段。
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需决定的问题是：采取什么治理措 施才能既使排放总量削减到允许排放量 以下，又使总的治理费用最小。 b．把问题抽象为线性规划数学模型 把一个实际问题抽象为一个线性规 划数学模型，一般包括确定评价指标， 明确决定变量，建立目标函数和建立约 束条件四个步骤。
此即为本例的目标函数。
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建立约束条件： 在解决水环境系统问题时除了要节省 费用外，还必须使采取的方案能实现预 期的治理目标（使排放量减到允许排放 量或使水质达到期望指标等等），以及 考虑技术上的可行性等。这类在作出决 定时需要考虑的因素在抽象为线性规划 数学模型时就成为约束条件。
式中的 （≥＝≤）表示三种符号中取一个。
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2、线性规划问题的解法简介 线性规划问题有一种很有效的解法 单纯形法，此法仅用到加、减、乘、除， 故易于推广应用。 下面介绍单纯形法基本出发点和一般 解算过程，为了便于理解，先介绍一个 只有二个决定变量的线性规划问题的图 解方法。
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a．约束条件的图表表达形式：
先在 x-y 坐标平面上画出各约束条件 取等于符号时的直线（见下图），并按 不等号方向找出可行域。
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b．目标函数的图形表达方式： 在约束条件图上可作出一系列目标 函数的等值线（见下图），如设Z=0，则 相应的等值线为y=5x，Z=6则y=5x－6
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等值线穿过可行域的线段（如EF）上的 各点既满足约束条件，又有相同的Z值。 越靠近右边的等值线Z值越大。

c．确定最优解
与可行域相切的最右边的一条等值线 的Z值为最大值，切点即为决定变量的最 优解，相反最左边的一条为最小值。 本例为 x*=3.3 y*=0.9 z=15.6
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为此定义一个决定变量Xi,j，为第i个 污染源采用它所能采用的第 j 种治理方法 所承担的 BOD5削减量与该方法的最大可 能削减量之比，即
可知：0≤xi,j≤1 Xi,j=0时表示不采用第i个源的第j种方法。 Xi,j=1时表示要求第i个源用第j种方法治理 达到最大能力 。
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例：投资预算模型
某环保部门拟治理一批污染源，现有 资金为D万元，今年初步规划选出n个治 理对象点，在j （j=1,2……,n）点治理费 用需dj万元，投资回报为rj万元，环保部 门因总费用的限制，∑dj≤D，故只能从 n个污染源中选定n‘个，且要求使期望效 益大。
对于本例问题作决定时有两个必须考 虑的因素： 已给定的最大允许排放强度 （91.3吨BOD5/日）和每种治理方法所能 达到的最大能力。
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可抽象为： a．最大允许排放强度约束 106+60－M1,1－M1,2－M2,1≤91.3 (5-4)
代入式（5-1，d）、（5-1，e）
X1,1≤1 ； X1,2≤1 ；
X2,1≤1
；
Xi,j≥0
；
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c．线性规划数学模型的一般形式： 求一组变量Xi (i=1,2……n) 使目标函数Z=C1X1+ C2X2 +……+CnXn 取极值（最大或最小）, 同时满足： a11x1+ a12x2+ ……+a1nxn （≥＝≤）b1 a21x1+ a22x2+ ……+a2nxn （≥＝≤）b2 …………………………………… am1x1+ am2x2+ ……+amnxn （≥＝≤）bm 和Xi≥0 （i=1,……，n）
和（5-1，f）并整理得：
84.8X1,1+31.8X1,2+48X2,1≥74.7
(5-4 a)
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b.治理能力约束 M1,1≤M1,1max M1,2≤M1,2max M2,1≤M2,1max 即 X1,1≤1 X1,2≤1 X2,1≤1
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几个解的概念 可行解：满足约束条件及非负条件的解 最优解：使目标函数达到极值的可行解。 基本解：约束方程为 m 个，而变量为 n， 且n＞m，则可行解有无穷多个。选出m个 变量构成m个方程，并令其余（n－m）个 变量取零值，若此时约束方程组有唯一解， 则该解称为基本解，被求解的 m个变量为 基变量，其余为非基变量。 基本可行解：若基本解满足非负条件则称 为基本可行解。
（5-5 （5-5 （5-5
a） b） c）
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c．非负变量约束
按关于线性规划问题的定义，所求的 变量应是非负的，故要求： X1,1≥0 X1,2≥0 X2,1≥0 （5-6 a） （5-6 b） （5-6 c）
从式（5-4）到（5-6）都是约束条件， 可以看出约束条件的作用是规定了决定 变量可以取值的范围。
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确定评价指标 前述问题要求我们找到一个最省钱 的治理方案，因此对于此问题的评价指 标就是费用，设所需的总费用为 Z，则 Z 最小的方案就是理想的方案。

明确决定变量 对于该例子，应决定的事是选择治 理方案，决定每种治理方案所应削减的 BOD5量，也即每种方法所应承担任务的 大小。
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（2）单线形法的基本出发点和一般算法
事实上对于多个变量的线性规划问 题，最优解也一定是可行域的一角点， 如果能设法通过一些代数运算，从某一 角点开始，找出另一个使目标函数值上 升（求最大值问题）或下降（求最小值 问题）的角点，依次逐点寻找，最后必 可找到使目标函数取极值（最大或最小） 的角点，从而比较快地找到最优解。这 就是 1947 年美国数学家 Geoge B.Dantzig 提出的单纯形法的基本出发点。
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（1）线性规划问题的图解法。 设有以下线性规划问题：
求非负变量x和y，使目标函数Z=5x－y 最 大，并满足： 3x－y≤9
0.45x+0.85y≤2.25 －3x+y≤0 x≥ 0 y≥ 0
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（5-9 a）
（5-9 b） （5-9 c） （5-9 d） （5-9 e）
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对于前述问题，可以写出：
所以：
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建立目标函数 为了把决定变量与评价指标联系起来， 则需建立 Xi,j 与 Z 之间的函数关系，即建 立目标函数。
对本例，各方案已知费用与BOD5的 削减量成正比（并假设为线关系），因 此可以写出对第i个污染源使用第j种治理 方法的费用Ci,j，即有：
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最优化方法是指系统对某一具体的目标 函数在满足给定的约束条件下取最优值 的分析求解方法 目前应用较多的是线性规划和动态规划 方法
用线性规划或动态规划方法求解最优方 案虽能解决许多问题，但仍有许多问题 它不能解决，而运用系统化却可以容纳 人类过去有的大多数知识与经验，解决 更多的问题，然而，能够采用最优化方 法的情况，应该尽量采用。
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3、0-1型整数规划简介
单纯形法是解变量为非负值的任何 线性规划的基础，但是，如果至少有一 个变量进一步限制为非负的整数，该模 型即变成一个完全的整数或混合整数线 性规划模型，若在整数规划中，再限定 分量只能取 0 或1 ，则称之为0-1型整数规 划。
前面已举过的例题（河流、城市污水、 制糖厂污水） 的解为： z*= 10855万元 X*1，1=0 X*2，1=1 X*1，2=0.84 故 M*1,1=0 即对于该城市污水不需 要二级处理。 M*1,2=31.8×0.84=26.71吨BOD5/日 （84%） M*2,1=48×X*2,1=48×1=48吨BOD5/日 =M2,1max 即制糖厂污水按最大能削减量处理， 如此可达最低费用10885万元，且达标。
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一、线性规划的方法与0-1型整数规划
1、什么是线性规划问题 线性规划问题就是求一些非负的变 量，它们应满足一组表述为线性等式或
线性不等式的约束条件，并使线性的目
标函数取极值（最大或最小）
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线性规划问题有标准型和非标准型两种： 标准型是指求一组非负变量 x1……， xn ，使目标函数Z值取最大值，并满足 只含“≤”号的一系列约束条件的线性 规划问题。 不符合上述定义的即为非标准型 （如求最小值等） 标准型线性规划问题的单纯形法已 有非常成熟的解法和计算机程序软件 。