九年级数学平行四边形的存在性(二)(含答案)
初三数学二次函数专题平行四边形存在性问题-
【详解】
解：（1）由题意得抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
∴△BD B 是等腰直角三角形，
∴yD = |BB |，
∴ = （t-1），
解得t=3，
∴B （3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B 右边，则P在x轴上方，且CP∥B Q，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B 左边，
当B Q为边时，则CP∥B Q，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．Байду номын сангаас
平行四边形存在性(二)(含答案)
平行四边形存在性（二）试卷简介:考查平行四边形存在性问题，从分析平行四边形的顶点开始，确定定点、动点，挖掘不变特征，借助平行四边形的性质以及函数特征建等式解决问题。
一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P（1，k）在直线BC上．已知点M在x轴上，点N在抛物线上，若以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点M有( )个．A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：易求得A（-1，0），P（1，-2）．A，P为定点，M，N分别为x轴和抛物线上的动点，要使得以A，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，需把线段AP当作平行四边形的边或者对角线进行分类讨论．当AP为边时，如图，平移AP使得线段两端点分别在抛物线和x轴上，共有4种情况，对应的点M分别为．当AP为对角线时，如图，记AP与y轴的交点为D，易求得，D为线段AP的中点．由点M在x轴上可知，此时PN∥x轴，点和点重合，连接并延长，交x轴于点，易证点与点重合（由于点P在对称轴上，故）．综上可得，满足条件的点M有4个．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性2.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标为（3，4）．E，F分别在OA，AB边上，且点F的坐标为（2，4），将矩形ABCO 沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处．若点N在x轴上，点M在直线EF上，且以M，N，F，G为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )A.B.C.D.答案：C解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．F，G为定点，M，N为动点，FG为定线段，把FG当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程由题意得，AF=2，BF=1，BC=4．由折叠可知，AF=GF=2，∠AFE=∠GFE．在Rt△BFG中，由勾股定理得，．∴∠GFB=60°，∴∠AFE=∠GFE=60°，∴直线EF的斜率为．又∵F（2，4），∴直线EF的解析式为．①如图，当FG为平行四边形的边时，易得点的纵坐标分别为．代入一次函数表达式得，．②如图，当FG为平行四边形的对角线时，过点作⊥AB于点D．易证，∴．∵，CD=4，∴，∴点的纵坐标为，代入一次函数表达式可得，．综上得，点M的坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．P为抛物线上一动点，Q为直线y=-x上一动点，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的横坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．O，B为定点，P，Q分别为抛物线和直线上的动点，把OB当作平行四边形的边或对角线来分类讨论．③每种情况下，分析几何特征，画出图形，表达线段长，建等式求解．2．解题过程设抛物线的解析式为，把点B的坐标代入上式，得，∴．①如图，当OB为边时，OB∥PQ且OB=PQ=4．设点Q的横坐标为m，则Q（m，-m），．或，由得，．由得，m=-4或m=0（舍去）．②如图，当OB为对角线时，记OB的中点为D．则D（0，-2），且点D为的中点．设点，，由中点坐标公式得，∴，即点的坐标．∵点在抛物线上，∴，∴n=4或n=0（舍去）．综上得，点Q的横坐标为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性4.如图，抛物线与直线交于A，B两点，线段MN在线段AB上移动，且MN=2，点A，M分别在点B，N的左侧．设点N的横坐标为，过点M作x轴的垂线，垂足为点P，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，若以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，则n的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题．②分析定点、动点，挖掘不变特征．P，M，Q，N均为动点，MP∥NQ，要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．③借助坐标表达线段长，建等式求解．2．解题过程如图，分别过点M，N作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点C，则∠MCN=90°．直线与x轴负半轴的夹角为60°，故∠MNC=60°，∠NMC=30°．∵MN=2，∴CN=1．∵点N的横坐标为n，∴点M的横坐标为n-1．由题意可知，．∵MP⊥x轴，NQ⊥x轴，∴MP∥NQ，点M与点P的横坐标相等，点N与点Q的横坐标相等，∴，．要使得以P，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形，只需MP=NQ．如图，当点M在y轴左侧时，，由得，．如图，当点M在y轴右侧时，，由得，．综上得，n的值为．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。
2020年(河南)中考数学压轴题全揭秘精品专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(含答案解析)
专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性 1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解. 3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值； （3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，△B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 234ax x c++得：16303a cc++=⎧⎨=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为：233384y x x=-++.（2）过点E作EF△x轴于F，交BC于M，设E（x，233384x x-++），则M（x，334x-+），△ME=233384x x-++－（334x-+）=23382x x-+△S△BEC=12×EM×OC=2EM=2(23382x x-+)=()23234x--+,△当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )△当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； △当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； △当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ △AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3，顶点M 的坐标为：（1，－4）； （2）连接BC ，BM ，CM ，过M 作MD △x 轴于D ，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，△S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.△当点Q在x轴上方时，过Q作QF△x轴于F，如图所示，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP△AC，QP=AC△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，△Q，3)或(1，3)；△当点Q在x轴下方时，过Q作QE△x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，△Q(2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE △x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =kx图象上一点，若以点B 、C 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), △CE △x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， △E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， △FH △CE ， △F (m ，m －5)，△FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S四边形CHEF=12·FH·CE=12（－m2+5m）×4=－2（m－52）2+252，当m=52时，四边形CHEF的面积取最大值252，此时H(52，354-).（3）设M（2，m），N(n，kn)，B(5,0)，C(0，－5)，△当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+kn=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(52，52-)，MH=12BC△22255222m⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，△当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则△BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH△y轴于H，则由OB=OC知，△OCB=45°，△△MCH=△CMH=45°，即CH=MH，△－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则△CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ， △3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF △x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点， △10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）△M 在x 轴上，N 在直线PF 上， △△NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， △|-n 2+2n +3|=|n -2|， 解得：nn或n或n， 故点M 的坐标为：（32+，0），（320），（12+，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分△PMO ，求t 的值. （3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），△31640ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434cba⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x294-x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=334x+，△点P的横坐标为t，△M(t, 334t+)，△PN△y轴，△△PMC=△MCO，△MC平分△PMO，△△PMC=△OMC，△△MCO=△OMC，即OM=OC=3，△OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，△当MC平分△PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，△当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD△y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),△PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD=54t -，△34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536；△当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△矩形OBDC的边CD＝1，△OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，△A（﹣3，0），B（1，0），△抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，△a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，△抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝23-x243-x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, y M)，N(－1，n)，y M=23-m243-m+2△当四边形ACMN为平行四边形时，有：312Mmy n-+=-⎧⎨=+⎩，解得：m=2，y M=103-，即M(2，103-)；△当四边形ACNM为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m=－4，y M=103-，即M(－4，103-)；△当四边形AMCN为平行四边形时，有：312Mmy n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m=－2，y M=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）．2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）△OA＝OB＝4，△△ABO＝45°，△△ABP＝90°，则△PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，△当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，△n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；△当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；△当四边形OFBE是平行四边形时，有：41Fnm y=+⎧⎨=+⎩,即n=3，F点坐标为（3，52）；综上所述：点F的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）．3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，EC△x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+； （2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1， 设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，△A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF △x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．△A（﹣3，0）．△抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，△109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．△当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；△当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；△当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，△当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH△x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：△APO=△MAH，△tan△APO= tan△MAH，即OA MHOP AH=2，△OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），△点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，△T(0，92 )；△当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数k yx =（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN△x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN△OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，△82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=或m=－，△点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）△二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），△493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y =43x 2﹣83x ﹣4； （2）过点D 作DM △y 轴于点M ，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， △点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF △AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ △AP =AQ =t ， △AP =AQ =QE =EP ， △四边形AQEP 为菱形， △FQ △OC ，△AF FQ AQOA OC AC ==， △345AF FQ t ==△AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， △E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， △﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， △t =14564或t =0（舍去）， △E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4， 即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， △MN =2712(2)22t t t -++--+ =2(2)4t --+，△当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）△四边形EFGH 是矩形，△当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >32， △EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，△2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍） △正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：△直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，△A (－1,0)，D (0，1)，△点C （a ，5）在直线y =x +1上，△a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， △抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），△DE =4，由题意知：DE △MN ，△当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，△| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m = 或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），（32，52），（32，52）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF △AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， △抛物线的解析式为：239344y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， △4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， △直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）△点C 的横坐标为m ，△D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)， AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+， △BC △y 轴， △43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， △CE =()344m -，AE =()544m -， △△DF A =△DCA =90°，△DBF =△AEC ，△△DFE △△ACE ，△S 1=4S 2，△AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56. （3）如图，过点G 作GM △DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+， 2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，△MG =4-2m ， 由45MG EG =得：EG =()5424m -, △C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，△当m=13时，C最大，此时n=113，即G(113，14)，E(13，114),由图象可知当E、G互换位置时满足题意，即G(13，114),E(113，14)，综上所述，G点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．△当△MBA＝△BDE时，求点M的坐标；△过点M作MN△x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，△抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）△过点M作MG△x轴于G，连接BM．则△MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），△MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，△DE△x轴，D（1，4），B（3，0），△△DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，△△MBA＝△BDE，△tan△MBA＝tan△BDE＝12，△2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）△满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；△△MN△x轴，△点M、N关于抛物线的对称轴对称，△四边形MPNQ是正方形，△OP＝1，由△QPM=△MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究
中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。
第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。
第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。
平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。
在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。
因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。
对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。
这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。
对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。
如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。
此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。
平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。
最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。
除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。
对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。
对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。
【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题
中考数学几何模型第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题422.二次函数正方形存在性问题(初三)在平面直角坐标系中,抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式,(2)如图,直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点,与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,交直线AD 于点G ,交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上,且S △EFG =59S △OFG 时,求m 的值;②在平面内是否存在点P ,使四边形EFHP 为正方形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,连接BC,OA =1,对称轴为直线x =2,点D 为此拋物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点,连接BE 和CE ,求△BCE 面积的最大值;(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q 的坐标.424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),点B(―3,0),且0O=OC.(1)求抛物线的解析式(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.426.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标(2)连接AC,直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上，点N在直线AC上,点P为拋物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.如图,抛物线y=12(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.①试探究:在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线1交于点M,与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时,请直接写出DM的长.428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘,以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB 交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.429.二次函数菱形存在性问题(初三)已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(―33,0).(1)求抛物线F的解析式.x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1,直线1:y=33值(用含m的式子表示);,设点A′是点A关于原点0的对称点,如图2.(3)在(2)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)如图,二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0),交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的表达式:(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;②若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.431.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ,二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.答案422【解】(1)∵抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,∴y =―13(x +3)(x ―4)=―13x 2+13x +4;(2)①如图1,∵B(4,0),C(0,4),∴设BC 的解析式为:y =kx +n,则{4k +n =0n =4,解得{k =―1n =4∴BC 的解析式为:y =―x +4,∴―x +4=34x +94,解得:x =1,∴E(1,3),∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴G (m,34m +94),F (m,―13m 2+13m +4),∴FG =―13m 2+13m +4―(34m +94)=―13m 2―512m +74∵S △EFG =59S △OEG ,△EFG 和△OEG 的水平宽度相同,∴FG =59ON,∴―13m 2―512m +74=59×94解得:m 1=34,m 2=―2;②存在,由①知:E(1,3),且∠CBM =45∘∴过点E 作AB 的平行线,与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点F.∴FH =EF,∠EFH =∠FHP =∠HPE =90∘,∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴H(m,―m +4),F (m,―13m 2+13m +4),分两种情况:第一种情况:当―3⩽m <1时,如图1,点F 在EP 的左侧∴FH =(―m +4)―(―13m 2+13m +4)=13m 2―43m,∴13m 2―43m =1―m,解得:m 1=1+132(舍),m 2=1―132,∴H(1―132,7+132),∴P (1,7+132),第二种情况:当1<m <4时,点F 在PE 的右边,如图2,同理得―13m 2+43m =m ―1,解得:m 1=1+132,m 2=1―132(舍)，同理得P (1,7―132);综上,点P 的坐标为:(1,7+132)或(1,7―132).423【解】(1)∵OA =1,∴A(―1,0),又∵对称轴为x =2,∴B(5,0),将A,B 代入解析式得:{0=a ―2+c0=25a +10+c ,解得{a =―12c =52,∴y =―12x 2+2x +52(2)由(1)得:C (0,52),D (2,92),∴由两点距离公式可得:CD =22,故答案为22;(3)∵B(5,0),C (0,52),∴直线BC 的解析式为:y =―12x +52,设E (x,―12x 2+2x +52),且0<x <5,如图,作EF ⊥x 轴交BC 于点F,则F (x,―12x +52),∴EF =―12x 2+2x +52―(―12x +52)=―12x 2+52x,S △BCE =12×EF ×BO =12×(―12x 2+52x )×5=―54(x ―52)2+12516当x =52时,S △BCE 有最大值为12516;(4).设P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C (0,52),分三种情况讨论:①若BC 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+0=2+m 0+52=y +n ,解得:{m =3n =52―y ,又∵∠BPC =90∘,∴PC 2+PB 2=BC 2,即:22+(52―y )2+32+y 2=52+(52)2,解得y =4或y =―32,∴n =―32或n =4,∴Q (3,―32)或Q(3,4)，②若BP 为矩形的对角线,由中点坐标公式得{5+2=0+m 0+y =52+n ,解得:{m =7n =y ―52,又∵∠BCP =90∘,BC 2+CP 2=BP 2即:52+(52)2+22+(52―y )2=32+y 2,解得y =132,∴Q(7,4),③若BQ 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+m =2+00+n =y +52,解得:{m =―3n =y +52,又∵∠BCQ =90∘,∴BC 2+CQ 2=BQ 2,即:52+(52)2+m 2+(52―n )2=(5―m)2+n 2,解得n =―72,∴Q (―3,―72),综上,点Q 的坐标为(3,―32)或(3,4),或(7,4)或(―3,―72).解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。
中考数学 专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(解析版)
专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1， 即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-， 由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ， 即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1， 设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)； 综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4， 由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形， 设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值； （3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。
平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。
专题22 平行四边形的存在性问题-备战2022年中考数学母题题源解密(解析版
专题22 平行四边形的存在性问题考向二次函数中的平行四边形的存在性问题【母题来源】2021年中考西藏卷【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A 的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：{0=−1−b+c5=c，解得{b=4 c=5，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或x＝﹣1，∴B （5，0），∴OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠CBO ＝45°，∵PD ⊥x 轴， ∴∠BQD ＝45°＝∠PQH ， ∴△PHQ 是等腰直角三角形，∴PH =√2， ∴当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx+5，将B （5，0）代入得0＝5k+5， ∴k ＝﹣1，∴直线BC 解析式为y ＝﹣x+5，设P （m ，﹣m 2+4m+5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m+5）， ∴PQ ＝（﹣m 2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m 2+5m ＝﹣（m −52）2+254， ∵a ＝﹣1＜0，∴当m =52时，PQ 最大为254，∴m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）存在，理由如下：抛物线y ＝﹣x 2+4x+5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2+4s+5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5）， ①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，如图：∴{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52，解得{s =3t =−3，∴M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，如图：∴{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52，解得{s =−3t =−21，∴M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，如图：{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得{s =7t =−11， ∴M （7，﹣16）；综上所述，M 的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．【试题解析】（1）将A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐（0，5）代入y ＝﹣x 2+bx+c ，即可得抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+4x+5；（2）过P 作PD ⊥x 轴于D ，交BC 于Q ，过P 作PH ⊥BC 于H ，由y ＝﹣x 2+4x+5可得B （5，0），故OB ＝OC ，△BOC 是等腰直角三角形，可证明△PHQ 是等腰直角三角形，即知PH =√2，当PQ 最大时，PH 最大，设直线BC 解析式为y ＝kx+5，将B （5，0）代入得直线BC 解析式为y ＝﹣x+5，设P （m ，﹣m 2+4m+5），（0＜m ＜5），则Q （m ，﹣m+5），PQ ＝﹣（m −52）2+254，故当m =52时，PH 最大，即点P 到直线BC 的距离最大，此时P （52，354）；（3）抛物线y ＝﹣x 2+4x+5对称轴为直线x ＝2，设M （s ，﹣s 2+4s+5），N （2，t ），而B （5，0），C （0，5），①以MN 、BC 为对角线，则MN 、BC 的中点重合，可列方程组{s+22=5+02−s 2+4s+5+t 2=0+52，即可解得M （3，8），②以MB 、NC 为对角线，则MB 、NC 的中点重合，同理可得{s+52=2+02−s 2+4s+4+02=t+52，解得M （﹣3，﹣16），③以MC 、NB 为对角线，则MC 、NB 中点重合，则{s+02=2+52−s 2+4s+5+52=t+02，解得M （7，﹣16）．【命题意图】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；多边形与平行四边形；几何直观；应用意识．【命题方向】二次函数综合题，一般为压轴题．命题形式有：（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题；（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题. 【得分要点】（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：以A ，B ，C 三点为顶点的平行四边形构造方法有：①作平行线：如图，连结AB ，BC ，AC ，分别过点A ，B ，C 作其对边的平行线，三条直线的交点为D ，E ，F ．则四边形ABCD ，ACBE ，ABFC 均为平行四边形．②倍长中线：如图，延长边AC ，AB ，BC 上的中线，使延长部分与中线相等，得点D ，E ，F ，连结DE ，EF ，FD ．则四边形ABCD ，ACBE，ABFC 均为平行四边形．FEDCBA（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答．如图，若AB ∥CD 且AB ＝CD ，分别过点B ，C 作一组平行线BE ，CF ，分别过点A ，D 作一组平行线AE ，DF ，则△AEB ≌△DFC ，从而得到线段间的关系式解决问题．（2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．如图．已知平行四边形ABCD ．连结AC ，BD 交于点O ．设顶点坐标为A （x A ，y A ）．B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．用平移的性质求未知点的坐标：,,.B ACD B C A D BACDBCAD x x x x x x x x y y y y y y y y 或②利用中点坐标公式求未知点的坐标：,22.22AC BD AC BDx x x x y y y y有时候几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好．ABCDEFABCDEFODCBA1．（2021•陕西模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x+3与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点．设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、点B 、点C 及抛物线的顶点坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？解：（1）在y ＝﹣x 2+2x+3中，令x ＝0得y ＝3，令y ＝0得x ＝﹣1或x ＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，3）， ∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）∵点D 与点C 关于x 轴对称， ∴D （0，﹣3），设直线BD 为y ＝kx+b ，将B （3，0），D （0，﹣3）代入得： {3k +b =0b =−3，解得{k =1b =−3， ∴直线BD 为y ＝x ﹣3，∵点P 的坐标为（m ，0）， ∴M （m ，m ﹣3），Q （m ，﹣m 2+2m+3）， ∵四边形CQMD 是平行四边形， ∴CM 的中点即是QD 的中点，而CM 的中点为（m2，m2），QD 的中点为（m2，−m 2+2m2），∴m 2=−m 2+2m2，解得m ＝0（舍去）或m ＝1，∴m 的值为1．2. （2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点是D ． （1）求抛物线顶点D 的坐标；（2）若P 是抛物线在第四象限内的一点，设点P 的横坐标是m ，连接AC 、CP 、BP ，当四边形ACPB 面积最大时，求点P 的坐标和最大面积；（3）若N 是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点M ，使得以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段CN 的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），如图1，过点P作PG⊥AB于G，设P（m，m2﹣2m﹣3），∴OG＝m，PG＝﹣m2+2m+3，∴S四边形ACPB＝S△AOC+S梯形OCPG+S△BGP=12×1×3+12m（3﹣m2+2m+3）+12（3﹣m）（﹣m2+2m+3）=−32m2+92m+6=−32（m−32）2+758，∵−32＜0，∴当m=32时，S四边形ACPB的最大值为758，此时P（32，−154）（3）点C（0，﹣3），点B（3，0），设点M（t，n），n＝t2﹣2t﹣3，点N（1，s），①当BC是边时，点C向右平移3个单位，向上平移3个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向上平移3个单位得到N（M），即t ±3＝1，n ±3＝s ，解得：t ＝﹣2或4，s ＝8或2， ∴点N （1，2）或（1，8），∴CN =√12+(2+3)2=√26或CN =√12+(8+3)2=√122； ②当BC 是对角线时，由中点公式得：3＝t+1，﹣3＝s+n ， 解得：s ＝0，∴点N （1，0），∴CN =√12+(0+3)2=√10． ∴CN 的长为√26或√122或√10．3．（2021•重庆模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+4经过点A （﹣1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在x 轴上方对称轴右侧上的一个动点，设点D 的横坐标为m ．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A （﹣1，0），B （2，0）代入y ＝ax 2+bx+4， ∴{a −b +4=04a +2b +c =0，∴{b =2a =−2， ∴y ＝﹣2x 2+2x+4；（2）令x ＝0，则y ＝4， ∴C （0，4），∴OC ＝4， ∵A （﹣1，0），∴OA ＝1， ∴S △OAC =12×1×4＝2， ∵△BCD 的面积与△AOC 的面积和为72，∴S △BCD =32， 过点D 作DE ⊥x 轴交BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ， ∴{b =42k +b =0，∴{k =−2b =4， ∴y ＝﹣2x+4，∵D （m ，﹣2m 2+2m+4），则E （m ，﹣2m+4），∴DE ＝﹣2m 2+4m ， ∴S △BCD =12×2×ED =32， ∴﹣2m 2+4m =32，∴m =12或m =32，∵y ＝﹣2x 2+2x+4的对称轴为直线x ＝1，D 点在对称轴右侧， ∴m =32；（3）存在点M 使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵m =32，∴D （32，52），设M （t ，0），N （n ，﹣2n 2+2n+4）， ①当DM 和BN 为平行四边形对角线时，此时{32+t =n +252=−2n 2+2n +4， ∴{n =−12t =0或{n =32t =2，∴M （0，0）或M （2，0）；②当DB 和MN 为平行四边形的对角线时，此时{32+2=t +n 52=−2n 2+2n +4， ∴{n =−12t =4或{n =32t =2，∴M （4，0）或M （2，0）；③当DN 和BM 为平行四边形的对角线时，此时{32+n =t +252−2n 2+2n +4=0，∴{n =1+√142t =√142或{n =1−√142t =−√142， ∴M （√142，0）或M （−√142，0）； 综上所述：M 点的坐标为（0，0）或（2，0）或（4，0）或（√142，0）或（−√142，0）． 4．（2021•河南南阳模拟）如图，抛物线y =−12x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），交y 轴于点C ，连接AC ，BC ，已知OA ＝2OC ，且△ABC 的面积为212．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AC 于点Q ．抛物线上是否存在点P ，使以P ，Q ，O ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线交y 轴于点C ， ∴C （0，c ），∴OC ＝c ， ∵OA ＝2OC ，∴OA ＝2c ， ∴A （﹣2c ，0），∵S △ABC =12AB •OC =12×（2c+1）•c ＝c 2+12c =212， ∴c =−72（舍去）或c ＝3， ∴C （0，3），A （﹣6，0），将c ＝3，B （1，0）代入y =−12x 2+bx+c 得， {−12+b +c =0c =3，∴{b =−52c =3∴抛物线的解析式为：y =−12x 2−52x+3． （2）设AC ：y ＝kx+b ，将点A 、C 的坐标代入y ＝kx+b 得， y =12x+3，设P （m ，−12m 2−52m+3）， ∴Q （m ，12m+3），∴PQ ＝（−12m 2−52m+3）﹣（12m+3）=−12m 2﹣3m ，令PQ ＝OC ，∴−12m 2﹣3m ＝3， ∴m 1＝﹣3+√3，m ＝﹣3−√3， ∴P （﹣3+√3，√3+92）或（﹣3−√3，−√3+92）． ∵PQ ∥OC ，∴四边形PQOC 是平行四边形．5．（2021•黑龙江大庆模拟）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过A （1，0），B （3，0），C （0，6）三点，直线y ＝2x+b ′经过点A ，交抛物线于点D ． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 在线段AD 上，且满足S △BDE ＝2S △ABE ，点F 在x 轴下方的抛物线上，设点F 的横坐标为t ，当t 为何值时，△FBE 的面积最大？并求出最大值；（3）P 为抛物线上的一动点，Q 为对称轴上一动点，若以A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求出点P 的坐标．解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点 A （1，0），B （3，0），∴设抛物线的解析式为 y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3），把点 C （0，6）代入，∴6＝a （0﹣1）（0﹣3），∴a ＝2，∴抛物线的解析式为 y ＝2（x ﹣1）（x ﹣3）＝2x 2﹣8x+6．（2）∵直线 y ＝2x+b ′经过点 A （1，0），∴0＝2+b ′，∴b ′＝﹣2，∴直线 AD 的解析式为 y ＝2x ﹣2，联立{y =2x −2y =2x 2−8x +6，解得：{x 1=1y 1=0， ∴点 D （4，6），∵A （1，0），B （3，0），∴AB ＝2，∴S △ABD =12×2×6=6， 设点 E （m ，2m ﹣2），∵S △BDE ＝2S △ABE ，∴S △ABE =13S △ABD =2，∴12×2×(2m −2)=2， ∴m ＝2，∴点 E （2，2），∴直线 BE 的解析式为 y ＝﹣2x+6，过点 F 作 FG ∥y 轴交直线 BE 于点 G ，∵点 F （t ，2t 2﹣8t+6）（1＜t ＜3），∴G （t ，﹣2t+6）．∴FG ＝﹣2t+6﹣（2t 2﹣8t+6）＝﹣2t 2+6t ，设点B 的横坐标为x B ，点E 的坐标为x E ，当1＜t ＜2时，S △FBE ＝S △FBG ﹣S △FEG =12FG •（x B ﹣x F ）−12FG •（x E ﹣x F ）=12FG •（x B ﹣x E ）=12（﹣2t 2+6t ）•（3﹣2）=−(t −32)2+94， ∴当 t =32 时，S △FBE 有最大值为 94． 当2≤t ＜3时，S △FBE ＝S △FBG +△FEG =12FG •（x B ﹣x F ）+12FG •（x F ﹣x E ）=12FG •（x B ﹣x E ）=12（﹣2t 2+6t ）•（3﹣2）=−(t −32)2+94，∴当t ＝2时，S △FBE 有最大值为 2，综上所述，当 t =32 时，△FBE 的最大面积为94．（3）由（2）知，A （1，0），D （4，6），设Q （2，m ），P （x ，2x 2﹣8x+6），①以AD 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+4=2+x 0+6=m +2x 2−8x +6，解得：{x =3m =6，∴P （3，0）；②以AP 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+x =2+40+2x 2−8x +6=m +6，解得：{x =5m =10，∴P （5，16）；③以AQ 为对角线时，∵以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴{1+2=4+x 0+m =2x 2−8x +6+6，解得：{x =−1m =22，∴P （﹣1，16）；综上所述，当点 P 的坐标为 （5，16）或 （﹣1，16）或（3，0）时，以 A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．5．（2021•四川南充模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A （4，0）、B （0，4）、C ．其对称轴l 交x 轴于点D ，交直线AB 于点F ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为直线l 上的动点，求△PBC 周长的最小值；（3）点N 为直线AB 上的一点（点N 不与点F 重合），在抛物线上是否存在一点M ，使以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标，不存在，说明理由．解：（1）把点A （4，0）、B （0，4）代入抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 中，得，{−16+4b +c =0c =4，解得{b =3c =4， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+3x+4，（2）由抛物线解析式可知，l ：x =32，C （﹣1，0），如图，作点B 关于直线l 的对称轴B ′，连接B ′C 交l 于一点P ，点P 即为使△PBC 周长最小的点，此时B ′（3，4），直线B ′C ：y ＝x+1，∴P （32，52）， ∵B （0，4），C （﹣1，0），B ′（3，4），∴BC =√17，CB ′＝4√2，∴△PBC 周长的最小值为：√17+4√2．（3）存在，以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为（4+√312，−7+2√314），（4−√312，−7−2√314）或（52，214）．理由如下： 由抛物线解析式可知，E （32，254），∵A （4，0）、B （0，4），∴直线AB 的解析式为：y ＝﹣x+4，∴F （32，52）． ∴EF =154． 设M （m ，﹣m 2+3m+4），①当EF 为边时，则EF ∥MN ，∴N （m ，﹣m+4），∴NM ＝EF =154，即|﹣m 2+3m+4﹣（﹣m+4）|=154， 解得m =32（舍）或52或4+√312或4−√312， ∴M （52，214）或（4+√312，7+2√314），（4−√312，−7−2√314））． ②当EF 为对角线时，EF 的中点为（32，358），∴点N 的坐标为（3﹣m ，m 2﹣3m +194）， ∴﹣3+m+4＝m 2﹣3m +194，解得m =32（舍），m =52， ∴M 3（52，214）．综上，满足以点E 、F 、N 、M 为顶点的四边形为平行四边形的点M 的坐标为（4+√312，−7+2√314），（4−√312，−7−2√314）或（52，214）．。
平行四边形存在性(习题及答案).
平行四边形存在性（习题）巩固练习1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线323y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在y 轴正半轴上，且12OB BC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ．在坐标平面内是否存在点M ，使得以A ，P ，C ，M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+交=-+与3y x于点A，与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上一动点，则在直线AB上是否存在点E，使得以O，D，A，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA边上，点E在OC 边上，将长方形OABC沿直线DE折叠，点O恰好落在BC边上的点F处，且43CFCE ．已知OC=8，BC=12，OD=10，请解答下列问题．（1）求直线DE的解析式．（2）若M为直线DF上一点，则在直线DE上是否存在点N，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．思考小结1.存在性问题处理框架是什么？①研究背景图形；2分析不变特征，确定分类标准；3分析形成因素，画图求解；4结果验证．2.拿“两定两动”的平行四边形存在性为例，我们一起看看存在性框架分析怎么用：第一步，研究背景图形需要研究哪些内容？答：研究背景图形需要研究边、角、特殊图形；坐标、解析式．第二步，如何分析不变特征，确定分类标准？答：分析谁是定点，谁是动点，两个定点连成定线段，定线段可以作为平行四边形的边或对角线来进行分类．第三步，分析形成因素，画图，求解；根据特征，往往需要利用______（填“判定”或“性质”）分析？定线段为边和为对角线分类作图时，依据的原理是什么？求解坐标的操作手段是什么？答：判定；定线段为边时依据的原理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定线段为对角线时依据的原理：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定线段为边时求解坐标：通过平移找点，“设→传→代”进行求解；定线段为对角线时求解坐标：通过旋转找点，利用中点坐标公式“设→传→代”进行求解．【参考答案】1．存在，点M 的坐标为(33-，3)，(33，9)或(3-，3-)．2．存在，点E 的坐标为(12，12)或(52-，72)．3．（1）152y x =-+．（2）存在，点N 的坐标为(345，85)或(665，85-)．。
2021年九年级数学中考专题复习：平行四边形的存在性
九年级数学专题平行四边形的存在性解题策略：1.平行四边形存在性问题的类型(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形的存在性问题以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有：①作平行线.如图,连接AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F，则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.②倍长中线,如图,延长AC,AB,BC边上的中线,使延长部分与对应的中线相等,得到点D,E,F,连接DE,EF,FD,则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形的存在性问题先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点,一个动点”的平行四边形存在性问题,再构造平行四边形.2.平行四边形存在性问题的解题策略解平行四边形存在性问题时,若没有指定四边形顶点顺序,则需要分类讨论.(1)几何法:先画出平行四边形,再构造三角形全等来解答.如图,已知 ABCD,过点B,C作一组平行线BE,CF,过点A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.如图,已知 ABCD,连接AC,BD,交于点O.设顶点坐标为A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),D(x D,y D).①利用平移的性质求未知点的坐标:{x B−x A=x C−x Dy B−y A=y C−y D或{x B−x C=x A−x Dy B−y C=y A−y D②利用中点坐标公式求未知点的坐标:{x A+x C2=x B+x D2y A+y C2=y B+y D2或{x A+x C=x B+x Dy A+y C=y B+y D1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=12x 2+bx+c 经过原点和点A(-4,0),点B 在y 轴上,且OA=OB,直线AB 与抛物线在第一象限交于点C.(1)求抛物线的解析式(2)在坐标平面内是否存在点N,使以A,O,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+6x+c(a ≠0)与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,直线y=x-5经过点B,C.过点A 作AM ⊥BC 于点M,过抛物线上一动点P(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线,与直线BC 交于点Q.若以A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标.3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式(2)已知E,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点,当B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时,求出所有符合条件的点E 的坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A(一5,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,5),有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边与抛物线交于P,Q两点,与直线AC 交于M,N两点在矩形的平移过程中,当以P,Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD与抛物线的另一交点为D,点D的横坐标为一2,P是线段AD上的动点(不与点A,D重合),过点P作x轴的垂线,与抛物线交于点Q.问:在平面内是否存在整点R(横,纵坐标都为整数),使得以P,Q,D，R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(-3,0),B(1,0),C(0,3),抛物线的顶点为P.问:直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,-3),B(3,0)两点,抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的解析式;(2)设直线AB与此抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,使得M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax-8a与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-4).(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段BC下方抛物线上的一个动点,如果在x轴上存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求出点Q的坐标.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D直线AC与抛物的对称轴BD的交点为,四边形BDEF为B(√3,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为4√33平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式(2)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C.Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线L 1:y=x 2+bx+c 过点C(0,-3),与抛物线L 2:y=-12x 2-32x+2的一个交点为A,且点A 的横坐标为2,P,Q 分别是抛物线L 1,L 2上的动点.(1)求抛物线L 1的解析式;(2)若以A,C,P.Q 为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P 的坐标.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x 2-2x+a(a>0)与y 轴交于点A,顶点为M,直线y=12x-a 分别与x 轴、y 轴交于点B,C,并且与直线MA 交于点N.问:抛物线上是否存在点P,使得以P,A,C,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。
专题14点线式秒杀函数压轴题03(平行四边形的存在性)(原卷版)
专题14 点线式秒杀函数压轴题03（平行四边形的存在性）二次函数与平行四边形的存在性的融合，是中考数学的经典的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。
一、函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。
点：（即所用到的点的坐标），线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。
式：分情况列出函数关系式或方程。
平行四边形的存在性法一：中点公式法黄金公式五：中点公式，和的一半法二：平移大法—距离相等得方程。
（先画图，定方向）。
如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B（6，0），C（0，﹣6）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．典例分析解题思路：（1）把B （6，0），C （0，﹣6）代入y =12x 2+bx +c ，用待定系数法可得该抛物线的函数表达式为y =12x 2−2x ﹣6；（2）过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，由B （6，0），C （0，﹣6）可得直线BC 解析式为y ＝x ﹣6，根据P （m ，12m 2﹣2m ﹣6），Q （m ，m ﹣6），得PQ =−12m 2+3m ，即得S △PBC =12PQ•|x B ﹣x C |=12（−12m 2+3m ）×6=−32（m ﹣3）2+272，由二次函数性质得当m 取3时，△PBC 的面积最大，△PBC 面积的最大值是272；（3）由（2）知，m ＝3，P （3，−152），由12x 2−2x ﹣6＝0可得A （﹣2，0），设M （2，p ），N （q ，12q 2﹣2q ﹣6），点分三种情况：①若P A ，MN 为对角线，则P A ，MN 的中点重合，有{3−2=2+q −152+0=p +12q 2−2q −6（线式）即中点重合，可得N （﹣1，−72），②若PM ，AN 为对角线，同理可得N （7，92），③若PN ，AM 为对角线，同理可得N （﹣3，3）．答案详解：解：（1）把B （6，0），C （0，﹣6）代入y =12x 2+bx +c 得：{12×36+6b +c =0c =−6，解得{b =−2c =−6，∴该抛物线的函数表达式为y =12x 2−2x ﹣6； （2）过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图：由B （6，0），C （0，﹣6）可得直线BC 解析式为y ＝x ﹣6， ∵n =12m 2﹣2m ﹣6，∴P （m ，12m 2﹣2m ﹣6），则Q （m ，m ﹣6），（点）∴PQ ＝（m ﹣6）﹣（12m 2﹣2m ﹣6）=−12m 2+3m ，（线）∴S △PBC =12PQ •|x B ﹣x C |=12（−12m 2+3m ）×6=−32m 2+9m =−32（m ﹣3）2+272，（式） ∵−32＜0，∴m ＝3时，S △PBC 取最大值，最大值为272，∴当m ＝3时，△PBC 的面积最大，△PBC 面积的最大值是272；（3）由（2）知，m ＝3，P （3，−152）， 由12x 2−2x ﹣6＝0得x 1＝﹣2，x 2＝6，∴A （﹣2，0），点抛物线y =12x 2−2x ﹣6的对称轴是直线x =−−22×12=2， 设M （2，p ），N （q ，12q 2﹣2q ﹣6），点① 若P A ，MN 为对角线，则P A ，MN 的中点重合， ∴{3−2=2+q−152+0=p +12q 2−2q −6，（线式）即中点重合 解得{p =−4q =−1，∴N （﹣1，−72），②若PM ，AN 为对角线，同理可得{p =12q =7，∴N （7，92），③若PN ，AM 为对角线，同理可得{p =−3q =−3，∴N（﹣3，3），综上所述，点N的坐标为（﹣1，−72）或（7，92）或（﹣3，3）．1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点B（3，0）和点C （0，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在第一象限，连接OP，交直线BC于点D，且PDOD =23，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线BC于点N，Q是直线BC上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A 在点B左侧，点B的坐标为（1，0），点C的坐标为为（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数关系式；实战训练（2）若点D 是x 轴上的一点，在抛物线上是否存在点E ，使以A 、C 、D 、E 为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c ，其对称轴为x ＝1，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M 为抛物线上第一象限内一动点，连接OM ，交BC 于点N ，当MN ON最大时，求点M 的坐标；（3）如图2，点P 为抛物线上一点，且在x 轴上方，一次函数y =32x +n 过点A ，点Q 是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．点C 的坐标为（m ，0），将线段BC 绕点C 顺时针旋转90°，并延长一倍得CD ，过D 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB ，（1）当m ＝3时，求出CF ，DF 的长； （2）当0＜m ＜6时，①求DE 的长（用含m 的代数式表示）；②请在直线AB 上找点P ，使得以C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P 的坐标．5．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，﹣1），顶点为点D ．（1）如图，若点D坐标为(1，−43 )，①求抛物线的解析式；②点P为线段AB上一点，过P作PH∥y轴分别与抛物线，直线y=13x+1交于G，H两点，抛物线上是否存在点Q，使得四边形CGQH为平行四边形，若存在，请求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）已知，点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（﹣2，0），若顶点D恰好在直线y ＝﹣x﹣2上，抛物线经过四个象限，且与线段MN有且只有一个公共点，直接写出b的取值范围．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标；（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），对称轴是直线x＝3．直线y=12x+m与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在x轴上，且△ABC和△PBC的面积相等时，求m的值；（3）求证：当四边形QBPC是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变．8．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线L1＝y＝ax2+bx+c的顶点为A（﹣1，4），且与y轴交于点C（0，3），抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L2．（1）求抛物线L2的表达式；（2）是否在抛物线L1上存在点P，在抛物线L2上存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以OC为边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图所示，一次函数y=32x+3与反比例函数y=k x(x＞0)的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A（a，4），B两点，连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数y＝x+2图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．11．如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C 在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =k 2x第一象限交于M （1，6）、N （6，m ）两点，点P 是x 轴负半轴上一动点，连接PM ，PN ． （1）求一次函数的表达式； （2）若△PMN 的面积为452，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点E 为直线PM 上一点，点F 为y 轴上一点，是否存在这样的点E 和点F ，使得四边形EFNM 是平行四边形？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y ＝ax 2+3ax +c （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，点B 的坐标为（1，0），OC ＝3OB ． （1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D 是x 轴上的一点，在抛物线上是否存在点E ，使以A ，C ，D ，E 为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．14．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=−43x2+bx+2经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式．（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．16．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点N为抛物线上的一点，点M为抛物线的顶点，B（3，0）、N（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM与x轴交于点D，求△ADM的面积；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，坐标平面内是否存在一点F，使以点C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．。
中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案
中考数学总复习《平行四边形存在性》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2,m).(1)求抛物线的解析式；(2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图，已知直线AB与抛物线C：y=ax2+2x+c相交于点A(−1,0)和点B(2,3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C上是否存在点P，P到对称轴的距离等于到直线y＝17的距离？若存在，求出点4P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E(8,0)，抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P(m,0)是线段OE上一动点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接BC和AD．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标（用含m的代数式表示）；(3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)交y轴正半轴于点C，交x轴分别于点A(−2,0)点B(8,0)，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上第一象限内的一点，过点P作x轴的垂线，交BC于点F，设点P的横坐标为t．①求t为何值时，四边形PFOC是平行四边形；②连接PA，当∠APF+∠ABC=90°时，求点F的坐标；x2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为5．如图，抛物线y=−34线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P,N,B,O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；6．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为__________，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m(0<m<8)，当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为(1,0)．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为(−2,−3)．(1)求抛物线和直线l的解析式；(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形？(3)在（2）的条件下，设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？x2+3x与x轴交于O，A两点，过点A的直线y= 9．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−34x+3与y轴交于点C，交抛物线于点D．−34(1)直接写出点A、C、D的坐标；(2)如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接AB和BD，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的3时，求m的值．4(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(3,0)，点C 的坐标为(0,3)，点C与点D关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线对称轴上一点，连接BD，以PD、PB为边作平行四边形PDNB，是否存在这样的点P，使得▱PDNB是矩形？若存在，请求出tan∠BDN的值；若不存在，请说明理由；(3)点Q在y轴右侧抛物线上运动，当△ACQ的面积与△ABQ的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．12．如图，抛物线y=−x2−bx+c与x轴交于A(−4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，−4)，作直线AC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接OD，当四边形ADBP的面积最大时．①求证：四边形OCPD是平行四边形：①连接AD，在抛物线上是否存在Q，使∠ADP=∠DPQ，若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(−2，0)，抛物线的对称轴直线x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求直线BC的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使三角形BFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标（直接写点的坐标）．x2+bx+c经过点A(−4,0)，点B在y轴上，14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，连接OC．(1)求抛物线的表达式及线段AB,AC的长；(2)若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1:2两部分，请求出点P的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A,O,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当△PBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△PBC面积的最大值；(3)点F是抛物线上的动点，作EF∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)y=x2−2x−3(2)存在，满足条件的点F的坐标为(0,−3)或(1+√7,3)或(1−√7,3)2．(1)y=−x2+2x+3；(2)274M(12,154)；(3)存在(32,154)或(12,154)．3．(1)y=14x2−2x(2)点C坐标是C(m+4,4−m)(3)点P的坐标为(−2+2√5,0)或(−2+2√13,0)4．(1)y=−14x2+32x+4(2)①t=4；①F(6,1)5．(1)抛物线y=−34x2+94x+3；抛物线的对称轴为直线x=32，顶点坐标为(32,7516)(2)2 6．(1)(0,5)(2)点P到直线AC距离为25√28，此时P(−52,354)(3)点M的坐标为(−3,8)或(−7,−16)或(3,−16)7．发现：(−2,0)，直线BC的解析式为y=12x−4；拓展：P(4,−6)；探究：当m=5时，四边形PMED为平行四边形8．(1)y=x2+2x−3y=x−1(2)t=0(3)−129．(1)A(4,0)C(0,3)D(1,94)(2)8132；(3)N1(2,0)N2(6,0)N3(−√7−1,0)10．(1)y=−84x2+32x+6(2)m=3(3)M的坐标为(2,0)或(√17−1,0)或(−√17−1,0)或(6,0)11．(1)y=−x2+2x+3；(2)存在，tan∠BDN=1或12；(3)点Q坐标为(125,5125)或(4,−5)．12．(1)y=−x2−5x−4(2)①见解析；①存在，Q(−3+√5，−3+√5)或Q(−4，0)13．(1)y =−x +4(2)当点F 的坐标为(2，4)，三角形BFC 的面积最大，最大值为4(3)(3，1)或(2+√7，2−√7)或(2−√7，2+√7)14．(1)抛物线的表达式为y =12x 2+2x AC =6√2(2)点P 坐标为(−2,2)或(0,4)(3)(6,6)或(−2,6)或(−6,−6)15．(1)A(−2，0) B(6，0) C(0，−6)(2)S △PBC 最大=272，此时P (3，−152)；(3)存在，F(4，−6)或(2+2√7，6)或(2−2√7，6)。
中考复习专题6二次函数与平行四边形存在性问题(含解析)
专题6二次函数与平行四边形存在性问题解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；四边形PBOC（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），＝x P＝＝3m，∴S△POCS△BOP＝|y P|＝+2m+6），＝＝18，∵S△BOC＝S四边形PBOC﹣S△BOC∴S△PBC+S△POB）﹣S△BOC＝（S△POC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，＝；∴当m＝3时，S△PBC最大方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴S△PBC＝；∴当m＝3时，S△PBC最大（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．【例3】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M 坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例4】（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．1．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y 轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；，利用二次函数求最值；（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，（2）作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，＝＝﹣，∴S△BEP最大为2．当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．2．（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN 由面积S△BCP有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，∴S△BCP∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝8，∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，∴PN＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P（2，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D（3，2），∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．3．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．（2）存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣2），B（4，0），设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±．4．（2021•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）填空：△ABC的形状是直角三角形．（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝（舍去）或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝（舍去）或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．5．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF ＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为（3，0），∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为（﹣1，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵Q为线段PB中点，＝S△CPB，∴S△CPQ面积最大时，△CPQ面积最大．当S△CPB设P坐标（a，﹣a2+2a+3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为（a，﹣a+3），∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•（x B﹣x C）＝•PH•3＝PH＝（﹣a2+3a）＝﹣（a2﹣3a+﹣）＝﹣（a﹣）2+，当a＝时，即P坐标为（，）时，＝S△CPB＝，最大S△CPQ∴P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），∵＝，∴＝，∴y D＝1，则1＝﹣（x﹣3）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2，（x﹣3）2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴x D＝4或x D＝2，＝⇒＝，∴x N＝7，或＝，∴x N＝5，∴N坐标为（7，0）或（5，0），或＝⇒＝，得y D＝﹣1，则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，（x﹣3）2＝3，x＝±+3，∴x D＝3﹣或x D＝3+，即x N＝﹣或，N坐标为（﹣，0）或（，0）．7．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；求得P坐标，②当S△COP（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：：S△COP＝1：2，∵S△AOP：S△AOC＝1：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝1：3，而C（2，6），即CH＝6，∴PQ＝2，即y P＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：：S△AOP＝1：2，∵S△COP：S△AOC＝2：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即y P＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），∴AN的中点为（，），OC中点为（，），∴，解得，∴N（6，6），②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N（﹣2，6），③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N（﹣6，﹣6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．8．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；＝S△CEF+S△BEF （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P（m，0），EF⊥x轴，∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B（3，0），∴OB＝3．＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∵S四边形CEBF∴＝﹣．∵＜0，有最大值＝．∴当m＝时，S四边形CEBF即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．（3）存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．∵A（﹣1，0），∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN（AAS）．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N（h﹣1，﹣h+4）．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N（h+1，﹣h+2）．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．9．（2021•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x ﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3（2）结论：四边形AMDN由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N 坐标为（3，4m﹣1），∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．解得：x＝，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．10．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E （x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵OB＝2OC，∴OB＝6，∴B（6，0），将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣3，∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t，∵CO＝3，BO＝6，∴BC＝3，在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝，∵PQ∥CO，∴∠HQP＝∠OCB，∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝，∴HP＝PQ，HQ＝PQ，∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，∵点P是直线BC下方，∴0＜t＜6，∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，∴D（﹣3，﹣5），设M（m，﹣m2+m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣3x﹣3，设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），①以EF为平行四边形的对角线时，．解得m＝或m＝，∴M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．11．（2022•平桂区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y ＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：n＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P（1，t），∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：。
九年级培优专题：平行四边形存在性分析
平行四边形的存在性问题——坐标法平移法、中点公式法求第四点坐标类型1：三个定点一个动点1.如图，点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点．（1）若A、B、C三点的坐标分别为(-1,6)、(-4,1)、(2,2)，画点D大概位置，使得这四个点为顶点的四边形是平行四边形，并写出点D的坐标．（2）若A、B、C三点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，写出第四个顶点D的坐标．2.抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且经过点（2,-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C、M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？3．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE和AD的长；（2）求过O、C、D三点的抛物线的解析式；（3）若点N在（2）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M、N、C、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．4．抛物线y＝ax2+bx+5的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B（点E在点B的左侧），点P为拋物线上一点．（1）求该抛物线的解析式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，当点P在AC上方时，作PD平行于y轴交AB于点D，求使四边形APCD的面积最大时点P的坐标；（3）设N为x轴上一点，当以A、E、N、P为顶点，AE为一边的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．5．已知，矩形OCBA 在坐标系中的位置如图，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 的坐标为（2，4），反比例函数y ＝x m 的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ． （1）求反比例函数的表达式；（2）y 轴上是否存在点M ，使得△MBO 的面积等于△ODE 的面积，若存在，请求出点M 的坐标。
平行四边形存在性(分类二)(人教版)(含答案)
平行四边形存在性（分类二）（人教版）
一、单选题(共2道，每道50分)
1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=kx-3经过点A，且与y轴交于点C，若点M在直线AB上运动，点N在直线AC上运动，且以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性
2.如图，直线y=-x与直线y=2x-3交于点A，点B是直线y=2x-3上一动点，若直线上存在点C，使四边形OABC为平行四边形，则点B的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：平行四边形的存在性。
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平行四边形的存在性（二）
一、解答题(共2道，每道11分)
1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，抛物线过B，C 两点，且与x轴的另一个交点为点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点D（与点A不重合），使得S△DBC=S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线CB于点M和点N，在矩形平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：存在性问题
2.如图，二次函数的图象过原点，与x轴的另一个交点为(8，0)．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1=m，交二次函数图象于A，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D，点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q 返回到点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A，E，F，Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
答案：
解题思路：略
试题难度：三颗星知识点：存在性问题。