高二数学 曲线与方程的概念导学案导学案 文
2.1 曲线与方程导学案
第二章圆锥曲线与方程§2.1曲线与方程导学案课时目标1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一、选择题1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线 3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与xy ＝1C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x| D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y ≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x ≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x>0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x<2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F(x ，y)＝0 B ．方程F(x ，y)＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 ______________________________．9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________． 三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．11．动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．能力提升12．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( ) A.[]1－22，1＋22－1，1＋22B.[]C.[]1－2，31－22，3D.[]1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．第二章圆锥曲线与方程§2.1 曲线与方程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠03．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标作业设计1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]2．C [方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]3．C [考虑x、y的范围．]4．B [直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]5．D [注意所求轨迹在第四象限内．] 6．C [直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．] 7．16－8 3 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析 设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 10．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)． 由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)，动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1， 所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1， 即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2.所以所求动点M 的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y ，又∵M 在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.12．C [曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4 (1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 的距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－22，因为是下半圆故可得b ＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．]。
高二数学曲线与方程(2)导学案
曲线与方程(二)目标：掌握求曲线方程的方法例题1.A.B为平面内两定点，且|AB|=10,曲线上任意一点M与A、B连结的线段MA、MB互相垂直，求曲线的方程2.已知中，BC=2，），求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。
3.已知P是圆1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M为垂足，求线段PM的中点N的轨迹。
4.过定点A(2，4)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方程。
5.已知两点P（-2，2）,Q(0，2)以及一条直线l:y=x,设长为的线段在直线l上移动，求直线PA,QB交点M的轨迹方程.6.圆与x轴负半轴交于A1，正半轴交于A2。
点P（x1，y1），Q（x1，-y1）圆上不同的两个动点，求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程。
课堂练习1.设O为坐标原点，P为直线y＝1上动点，OP→∥OQ→，OP→·OQ→＝1，则Q点的轨迹方程为__ ______2.两定点A（-2，-1），B（2，-1），动点P在抛物线y=x2上移动，则△P重心G的轨迹方程是___ ____课后作业1.平面内的一条斜线AB交于B点，过定点A的直线l与斜线AB垂直，且交于点C，则C点的轨迹方程是：A.一个圆B.一个抛物线C.一条直线D.一个椭圆2．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点M 的轨迹方程为3.已知中，AC边上的中线|BD|=5，求点C的轨迹方程。
4.已知圆C的方程为,定点A(5,0)过A的直线与圆C交于P,Q两点，求线段PQ中点M的轨迹方程。
5.已知定点A（3,0），点P在曲线（y>0）上，的平分线交PA于点M，求M的轨迹方程。
6.P为上一动点，Q为上动点，并且OP→·OQ→=１２,O为坐标原点，，动点M,满足.求点M的轨迹方程。
高中数学 2.1.1曲线与方程(1)导学案 人教A版选修2-1
2.1.1 曲线与方程（1）【学习目标】1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．【重点难点】重点:曲线的方程、方程的曲线难点：求曲线的方程．【学习过程】一、自主预习（预习教材理P 34~ P 36，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、合作探究 归纳展示探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？三、讨论交流 点拨提升曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．四、学能展示 课堂闯关※ 典型例题例1. 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2.设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1)2x y x = (2) 222x y x x -=- (3) log a x y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？五、学后反思※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合； ③列出方程；④化简方程；1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．。
高中数学《曲线与方程》导学案
2．1.1 曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是□01这个方程的解； (2)以□02这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做□03曲线的方程，这条曲线叫做□04方程的曲线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程f (x ，y )＝0即为曲线C 的方程．( )(2)若曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，则坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(3)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy ＋4x －3y ＝0与坐标轴的交点的坐标________． (2)直线C 1：x ＋y ＝0与直线C 2：x －y ＋2＝0的交点坐标为________． (3)(教材改编P 37T 2)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 在方程x 2＋(y ＋1)2＝5表示的曲线上，则m ＝________.(4)x 2＋y 2＝1(x >0)表示的曲线是________．答案 (1)(0,0) (2)(－1,1) (3)－3或65 (4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y轴右侧的部分探究1曲线与方程的概念例1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．【跟踪训练1】设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是() A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0答案D解析 命题“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A ，C 错误，而B 显然错误，选D.探究2 点与曲线的位置关系 例2 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 通过点(a ，－a )，a ∈R ，求k 的取值范围． [解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上． (2)因为曲线y 2＝xy ＋2x ＋k 过点(a ，－a )， 所以a 2＝－a 2＋2a ＋k .所以k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12，所以k ≥－12，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；(2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数．【跟踪训练2】 已知0≤α<2π，若点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，求α.解 ∵点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上， ∴(cos α－2)2＋sin 2α＝3，∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3， ∴cos α＝12.又∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.探究3 由方程研究曲线的类型和性质例3 方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一个圆 B ．一条直线和半个圆 C ．两条射线和一个圆 D ．一条线段和半个圆 [解析] 由题意方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0可化为x 2＋y 2－9＝0或x ＋y－2＝0(x 2＋y 2－9≥0)，∴方程(x ＋y －2) x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是两条射线和一个圆．故选C.[答案] C 拓展提升判断方程表示曲线的方法判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．【跟踪训练3】 方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 答案 C解析 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， ∴原方程表示直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0. 探究4 两曲线的交点问题例4 已知直线y ＝mx ＋3m和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－255，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－255，255 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，147 [解析] 直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，设直线y ＝mx ＋3m 与半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)相切时的倾斜角为α，sin α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，所以切线斜率m ＝tan α＝2353＝255.由图可知，为使直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.[答案] A[条件探究] 如果直线方程改为“y ＝x ＋3m ”，其他条件不变，应该怎样解答？解 直线y ＝x ＋3m 与直线y ＝x 平行，且在y 轴上的截距为3m ， 当3m ＝2，即m ＝23时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2恰有两个不同的交点，当3m ＝22，即m ＝223时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2相切． 由图可知，为使直线y ＝x ＋3m 与曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，223.拓展提升求曲线交点的三个步骤(1)联立：联立方程组把两条曲线的方程联立，构成方程组； (2)求解：求解联立的方程组；(3)得交点：根据方程组的解确定交点，解的个数决定两曲线交点的个数．【跟踪训练4】 已知直线l ：x ＋y ＝a 及曲线C ：x 2＋y 2－4x －4＝0，则实数a 取何值时分别有一个交点，两个交点，无交点．解 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x 2＋y 2－4x －4＝0，消去y ，得2x 2－(2a ＋4)x ＋a 2－4＝0， 则Δ＝(2a ＋4)2－8(a 2－4)＝－4a 2＋16a ＋48， 当Δ＝0，即a 2－4a －12＝0，得a ＝6或a ＝－2， 此时有两相等实根；当Δ>0，即a 2－4a －12<0，得－2<a <6， 此时有两不相等实根；当Δ<0即a 2－4a －12>0得a <－2或a >6， 此时无根．综上所述，当a ＝－2或a ＝6时有一个交点； 当－2<a <6时有两个交点； 当a <－2或a >6时无交点．1.判断曲线与方程关系的思路曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线和方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，曲线上点的坐标是否都是方程的解. 2.点与曲线位置关系问题的求解方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.3.研究两曲线交点问题的方法关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题．在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合应用各种曲线自身所具有的某些几何性质.1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是()答案C解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)() A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上答案A解析将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是()A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线答案B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. 4．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________． 答案 点(1,2) 解析 由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x ＝1，且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x . 证明 (1)如图所示，设M (x 0，y 0)是轨迹上任一点，因为点M 到x 轴的距离为|y 0|，到y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|＝|y 0|，即y 0＝±x 0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y ＝±x 的解．(2)设点M 1的坐标为(x 1，y 1)，且是方程y ＝±x 的解，则y 1＝±x 1，即|x 1|＝|y 1|，而|x 1|，|y 1|分别是点M 1到y 轴，x 轴的距离，因此点M 1到两坐标轴的距离相等，即点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y ＝±x 是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题正确的是( )A．方程xy－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线B．△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，BC边上的中线的方程是x＝0C．到x轴的距离为5的点的轨迹方程为y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0过原点的充要条件是m＝0答案D解析A表示去掉点(0,2)的直线y＝x＋2；B中，BC边上的中线方程为x＝0(0≤y≤3)；C中轨迹方程为y＝±5.2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线答案C解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．3．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是()答案C解析由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．4．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2答案D解析主要考虑x与y的范围．5．过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若在该圆上存在一点C，使得OC→＝a OA→＋b OB→(a，b∈R)，则以下说法正确的是() A．点P(a，b)一定在单位圆内B．点P(a，b)一定在单位圆上C．点P(a，b)一定在单位圆外D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上答案B解析∵OC→2＝(a OA→＋b OB→)2，且OA→⊥OB→，∴a2＋b2＋2ab OA→·OB→＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上．故选B.6．已知a，b为任意实数，若点(a，b)在曲线f(x，y)＝0上，且点(b，a)也在曲线f(x，y)＝0上，则f(x，y)＝0的几何特征是()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称答案D解析依题意，点(a，b)与点(b，a)都在曲线f(x，y)＝0上，而两点关于直线y＝x对称．故选D.二、填空题7．已知方程①x－y＝0；②x－y＝0；③x2－y2＝0；④xy＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案①解析①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程x－y＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程xy＝1.8．方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线围成的图形面积为________．答案8解析由|y－1|＝2－|x＋1|≤2得－2≤y－1≤2，故－1≤y≤3.(1)当－1≤y≤1时，原方程可化为y＝|x＋1|－1，其图象可由y＝|x|先向左平移1个单位，再向下平移一个单位得到；(2)当1<y≤3时，原方程可化为y＝3－|x＋1|，其图象可由y＝－|x|先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到．综合(1)(2)作出方程|x＋1|＋|y－1|＝2表示的曲线如图所示，易求其围成的面积为8.9．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．答案正方形解析当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；当x≥1，y<1时，原方程为x－y＝1；当x<1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；当x<1，y<1时，原方程为x＋y＝1.画出方程对应的图形，如图所示为正方形．三、解答题10．求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 1＋x ＋y 1＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y ，xy ≠0，x ，y ∈R 表示的曲线． 解 化简x 1＋x ＋y 1＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x －x 1＋x ＋y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y －y 1＋x ＋y ＝0， 即xy(1＋x )(1＋x ＋y )＋xy(1＋y )(1＋x ＋y )＝0. ∵xy ≠0,1＋x ≠0,1＋y ≠0,1＋x ＋y ≠0，∴11＋x ＋11＋y＝0， ∴x ＋y ＋2＝0，且x ≠－1，y ≠－1，即除去点(－1，－1)．又xy ≠0，∴x ≠0，y ≠0，∴除去点(0，－2)和(－2,0)．∴原集合表示的曲线是直线x ＋y ＋2＝0，但除去直线上的(－1，－1)，(－2,0)，(0，－2)三个点．B 级：能力提升练讨论方程(1－x )y 2＝x 2(x ≥0)的曲线的性质，并画出图象．解 (1)范围：∵y 2≥0，又x ≥0，∴1－x >0，解得x <1，∴0≤x <1.又y 2＝x 21－x ， ∴易知当x →1时，y 2→＋∞，∴x ∈[0,1)，y ∈R .(2)曲线与坐标轴的交点：∵当x ＝0时，y ＝0，∴曲线过原点．(3)对称性：用－y代替y，方程不变，故曲线关于x轴对称．(4)变化趋势：设0≤x1<x2<1，则0≤x21<x22，1－x1>1－x2>0，故x21 1－x1<x221－x2，即y21<y22，∴曲线在第一象限单调递增，在第四象限单调递减．根据以上性质，画出图象，如图．。
曲线与方程 导学案
2.1.1曲线与方程【学习目标】理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．【重点难点】重点：求曲线的方程难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法【使用说明及学法指导】阅读课本P34-35，完成下列任务。
在自主学习中，学生紧抓曲线的方程概念。
预习案一、知识梳理曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F(x,y)=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是方程F(x,y)=0的解；2．以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，都是曲线C上的点，那么，方程F(x,y)=0叫做；曲线C叫做．注意：1︒如果……，那么……2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）二、问题导学问题1、画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l，并写出其方程问题2、提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y=|x|，为什么？三、预习自测1、点P(1,a)在曲线x2+2xy-5y=0上，则a=_______________．2、A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是x+y-1=0吗？3、由到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y-5=0吗？4、离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？探究案例1、证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（0k>）的点的轨迹方程是xy k=±例2、若曲线220y xy x k-++=过点(,)()a a a R-∈，求k的取值范围课堂检测1、以O为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=3、画出方程()(0x y x+=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x=，{(,)|0}B x y y=，则A⋂B表示的曲线是____________________，A⋃B表示的曲线是____________________2.1.2求曲线的方程【学习目标】(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程． 【重点难点】重点：求方程的步骤, 正确写出曲线的方程． 难点：正确写出曲线的方程. 【使用说明及学法指导】阅读课本P35-37，完成下列任务。
高中数学《曲线与方程(第1课时)》导学案
2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程(第1课时)[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义.[预习导引]曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.概念导入一：二元一次方程x－y＝0与平面直角坐标系中第一、三象限的角平分线l有何关系？思考1:以方程x-y=0的解为坐标的点(x0，y0)都在直线l上吗？答案：在直线l上。
因为设(x0，y0)是方程x-y=0的任意一组解，即有x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在直线l上。
思考2:直线l上的点的坐标(x0，y0)满足方程x-y=0吗？答案：满足方程x-y=0。
因为点 (x0，y0)在直线l上，它到两坐标轴的距离相等，即有x0=y0，所以满足方程x-y=0。
概念导入二：请用上述方法说明二元二次方程x2+y2＝1与圆心在原点，半径为l的圆0的关系。
答案：要点一曲线与方程的概念例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解.②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.规律方法解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.跟踪演练1判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝r2－x2；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.解(1)不正确.设(x0，y0)是方程y＝r2－x2的解，则y0＝r2－x20，即x20＋y20＝r2.两边开平方取算术平方根，得x20＋y20＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(r2，－32r)在圆上，却不是y＝r2－x2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝r2－x2，而应是y＝±r2－x2.(2)不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解.然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是l的方程，直线l的方程为x＝2.要点二 由方程判断曲线例2 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正. (1)x －y ＝0；(2)x 2－y 2＝0；(3)|x |－y ＝0.解 (1)中曲线上的点不全是方程x －y ＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.跟踪演练2 求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线.解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.要点三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R )，求k 的取值范围.解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12. ∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，12]. 规律方法 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.跟踪演练3 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值. 解 (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，Q (2，3)不在此曲线上.(2)∵M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解得m ＝2或m ＝－185. 当堂检测1.“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 B解析 ∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上.反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上.2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )A.两个点B.四个点C.两条直线D.四条直线 答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝±2，y ＝±2. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B. 3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )答案 D解析对于A，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除C.4.已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()A.a>1B.0<a<1C.0<a<1或a>1D.a∈∅答案 A解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.课堂小结1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.2.点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程.作业：A课本P37 练习 1 . 2题，习题2.1A组第1题B分层训练 4. 5. 7. 11课后反思。
【高中数学选修2-1】2.1.1曲线与方程导学案
课题：2.1.1曲线与方程学习目标：1.了解曲线与方程的概念，能够推断曲线与方程的对应关系.2.会判定一个点是否在已知曲线上.学习重点：由曲线方程讨论曲线的性质；学习难点：对曲线与方程关系的理解.自主学习：知识点：曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是；②以这个方程的解为坐标的点都是．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．问题1：曲线与方程的概念中关系①②分别从什么角度强调曲线与方程的概念？问题2：“方程的曲线”与“曲线的方程”一样吗？问题3：如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？合作探究：题型一：曲线与方程的概念：【例1】判断下列命题的正误，并说明理由．(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.【探究提炼】定义中的关系①或②仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性.【探究训练】“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型二：曲线与方程的判断问题：【例2】(1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？【探究提炼】判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.另外，变形的方法还有配方法、因式分解法等.【探究训练】方程y ＝|x|x 2表示的曲线是( )题型三:点与方程表示的曲线关系判断：【例3】 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(m 2，－m)在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．【探究提炼】判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手.1 要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可；2 若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，由此可求点或方程中的参数.【探究训练】(1)判断点A(1,3)，B(2,2)是否在方程x 2＋2x －y ＝0表示的曲线上；(2)已知方程xy ＋3x ＋ky ＋2＝0表示的曲线经过点(2，－1)，求k 的值．课堂巩固：1．下列各对方程表示的是相同曲线的是( )A ．x ＝y ，y x＝1 B ．x ＝y ，y ＝x 2 C ．|y|＝|x|，x ＝y D ．|y|＝|x|，y 2＝x 22．与y 轴距离等于2的点的轨迹方程是( )A ．y ＝2B ．y ＝±2C ．x ＝2D ．x ＝±23．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．4．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过A(0，－2)，B(12，3)两点，则a ＝________，b ＝________.5．请分别画出下列方程的曲线．(1)y ＋x 2－1＝x ＋x 2－1；(2)yx ＝x 2；(3)y x＝1；(4)lg y ＝lg x.课堂小结：曲线与方程的“纯粹性”与“完备性”1．定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．2．定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”．。
2019-2020学年高二数学上学期《曲线与方程的概念》学案.doc
2019-2020学年高二数学上学期《曲线与方程的概念》学案学习目标1. 掌握曲线的方程与方程的曲线的概念，能根据点的坐标是否适合方程判断改点是否在曲线上。
能够通过求方程组的解，确定曲线的交点。
2. 了解用坐标法研究几何问题，初步掌握由曲线的已知条件求曲线的方程及由曲线的方程研究曲线的性质的方法。
重点难点重点：曲线与方程概念的应用，求简单曲线的方程及根据曲线方程画出曲线。
难点：体会坐标法（解析法）是解析几何的灵魂。
知识链接1.若点(1,4)P a a ++在曲线253y x x =++上，则a = 。
2.方程2x xy x +=的曲线是 （ ）A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 一个点和一条直线3.到(2,3)A -和(4,1)B -距离相等的点的轨迹方程是 （ ）A. 10x y --=B. 10x y -+=C. 10x y +-=D. 10x y ++=4.直线470x y ++=与曲线240x y -=的交点的坐标是 。
学习过程一、课内探究问题1：画出以原点为圆心，5为半径的圆，并分析圆上的点与方程2522=+y x 的解的关系. 问题2：过点)0,2(A 平行于y 轴的的直线l 的方程是2=x 吗？为什么？问题3：已知曲线C 的方程是422+-=x x y ，问)3,1()4,2()1,3(C B A ，，是否在曲线C 上？如何判断？二、典例剖析例1：已知“曲线C 上的所有点的坐标都是方程0)(=y x F ，的解”，则下列命题中正确的是________.(1) 不在曲线C 上的点的坐标一定不是方程0)(=y x F ，的解；(2) 以方程0)(=y x F ，的解为坐标的点都在直线上；(3) 曲线C 的方程是0)(=y x F ，；(4) 方程0)(=y x F ，表示的曲线不一定是C .跟踪训练：判断正误已知坐标满足方程0)(=y x F ，的点都在曲线C 上，① 若点)(y x M ，的坐标是方程0)(=y x F ，的解，在点)(y x M ，在曲线C 上；② 曲线C 上的点的坐标都满足方程0)(=y x F ，；③ 凡是坐标不满足方程0)(=y x F ，的点都不在曲线C 上；④ 不在曲线C 上的点的坐标一定不满足方程0)(=y x F ，例2：已知两圆 求证：对任意不等于1-的实数λ，方程0)54(1662222=--++-++x y x x y x λ是通过两个已知圆交点的圆的方程.跟踪训练：求通过两圆221x y +=，224410x y x y +---=的交点和点(2,1)的圆的方程。
高中高二数学教案曲线和方程
高中高二数学教案：曲线和方程1. 引言高中数学中，曲线和方程是一门重要的基础课程，需要在高二阶段进行系统学习。
学生在学习过程中，需要掌握如何利用各种不同的方程式，来求解数学问题。
本文将介绍高中高二数学教案中，曲线和方程的相关知识。
2. 曲线的概念在高中数学中，曲线是一个非常重要的概念。
它是指在平面直角坐标系中的图形，可以是由数学函数表达的折线或曲线，也可以是由多个点的连线形成的图形。
曲线在数学中有着广泛的应用，例如用于工程计算、物理学、统计学等领域。
3. 方程的概念方程是在数学中非常常见的概念，它是包含了一个或多个变量的等式。
我们可以利用方程来求解各种数学问题，例如在平面直角坐标系中，可以利用方程来表示一个图形的几何特征。
在高中数学中，方程的学习是非常重要的一环，学生需要掌握各种不同类型的方程式，并且清楚它们的求解方法。
4. 曲线和方程的关系在数学中，对于同一个曲线来说，可以有多种不同的方程式来表示。
例如对于直线 y = 3x + 5 来说，它可以看作是关于 x 和 y 的一次方程，而当我们观察这条直线的斜率和截距时，它们又可以转化为更简单的表达形式。
因此，学生需要掌握如何通过曲线的特征，来构造出对应的方程式。
5. 一元二次方程在高中数学中，我们需要学习一元二次方程。
它是被广泛利用的一个方程式，可以应用在多个领域中，例如物理、工程、经济等。
学生需要掌握一元二次方程的求解方法，并且理解它产生的原因和应用。
6. 一元二次方程根的求法在学习一元二次方程时，学生需要掌握如何求解方程的两个根。
有多种不同的求解方法，例如公式法、配方法、图像法等，学生需要理解它们的原理和优缺点。
对于不同类型的二次方程，可能需要采用不同的求解方法，因此学生需要进行分类讨论和实践练习。
7. 一元二次方程的应用在高中数学教学中，很多问题可以利用一元二次方程进行求解。
例如在物理学中，我们可以利用抛物线运动的轨迹，来求解各种物理问题。
高中数学 2.1.1曲线与方程导学案 理新人教A版选修2-1 (2)
高二数学学案（理科）
课题：2.1.1曲线与方程（一）
一、学习目标：
1.知道曲线的方程与方程的曲线的概念；
2.会根据简单的方程判断其对应的曲线；
3. 体会坐标法研究几何问题的数学思想. 二、重点：曲线的方程与方程的曲线的概念.
难点：曲线的方程与方程的曲线的概念. 三、自学指导:
导读：阅读课本34p ,完成下列问题: 导思：
1.一、三象限角平分线上的点),(00y x M 与方程0=-y x 有怎样的对应
关系？请叙述.
2.以),(b a 为圆心，r 为半径的圆上的点),(00y x M 与方程
222)()(r b y a x =-+-有怎样的对应关系？请叙述.
3.请归纳出曲线方程与方程曲线的定义.
4.请叙述过点)0,2(A 平行于y 轴的直线l 与方程2=x 之间的关系，
后者能否称为直线l 的方程？
四、导练展示：
1.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解.”是正确的,下列命题
中正确的是()
A.方程0),(=y x f 的曲线是C.
B.方程0),(=y x f 的曲线不一定是
C. C.0),(=y x f 是曲线C 的方程.
D.以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上. 2.方程y x -=-11表示（）
A.两条线段
B.两条直线
C.两条射线
D.一条射线和一条线段
3.证明:与两坐标轴的距离的积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程式k xy ±=
五、达标检测： 1.课本37p 1、2
2.求方程01)1(=--+x y x 所表示的曲线.
六、反思小结：。
《曲线与方程》导学案[工作范文]
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《曲线与方程》导学案1曲线与方程授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标1. 了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.会判定一个点是否在已知曲线上重点难点重点：曲线与方程的对应关系，感受数形结合的思想难点:方程的曲线，曲线的方程的理解学习过程与方法自主学习：方程的曲线，曲线的方程的含义：阅读课本84页完成下列问题①到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是吗？②已知方程的曲线经过点和点，求、的值精讲互动课本85页例1若直线与的交点在曲线上，求的值达标训练课本86页练习1课本86页练习2课本86页练习3已知方程表示的曲线F经过点，求的值作业布置学习小结/教学反思2圆锥曲线的共同特征授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标了解圆锥曲线的共同特征，曲线方程的基本求法重点难点总结曲线的共同特征与曲线方程的基本求法学习过程与方法自主学习：椭圆的定义椭圆的标准方程，双曲线的定义双曲线的标准方程，抛物线的定义抛物线的标准方程，，，圆锥曲线的共同特征不同之处精讲互动课本86页例2结论：椭圆是定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所形成的曲线曲线上的点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数①求曲线方程②指出与例2的相同处和不同处达标训练课本87页练习1课本87页练习2作业布置学习小结/教学反思3直线与圆锥曲线的交点授时间第周星期第节课型讲授新课主备课人郝蓉学习目标用坐标法解决一些简单的直线与圆锥曲线的交点重点难点两曲线交点坐标与方程组实数解之间关系的理解学习过程与方法自主学习：过点作直线与抛物线y2 = 8x只有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条方程组的实数解与曲线上点的坐标之间的关系精讲互动课本87页例3课本88页例4达标训练课本89页练习1课本89页练习2补充1.已知双曲线方程为，过P的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有A. 4条B. 3条c. 2条D. 1条过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条c.有无穷多条D.不存在。
高二数学 曲线与方程的概念导学案导学案 文.doc
高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文.doc1、曲线与方程的概念导学案一、预习导航1．探究：以下表示平面直角坐标系下求一三象限角平分线的方程，你认为哪些是正确的？〔1〕〔2〕〔3〕2．结论〔1〕你能说明不正确的理由是什么吗？〔2〕你能据此总结出曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件吗？二、牛刀小试推断以下曲线与方程的关系，若所给出的方程不是曲线的方程，是因为不满足两个条件中的哪一条？〔1〕曲线C：过点〔2，0〕且与y轴的距离等于2的点的轨迹方程为〔2〕曲线C：到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹方程为。
〔3〕曲线C：以y轴为对称轴的等腰三角形底边上的中线的方程：。
三、展示自我1．推断正误：〔1〕已知一个三角形的三个顶点是A〔2，3〕、B(0,0)2、、C(4,0)，它的BC边上的中线AM的方程是；〔2〕如图，MA 和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(-1,0)B(1,0)的连线，使为直角的动点M的轨迹方程是：；2．假如方程的曲线通过点A(0,-2)和B〔〕，求a，b的值。
３．求直线l：x+4y+7=0与曲线C:的公共点的坐标。
四、稳固提高已知两圆,,想一想：及应当满足的条件？方程〔1〕时，该方程表示：_______________________________________________〔2〕时，该方程表示：_______________________________________________练习：求通过两圆，的交点和点〔3、2，1〕的源的方程？五、小结你认为通过自己的学习，本节课有哪些学问没有把握？___________________________________________________________ ___________________________________________________________ ________________________________________。
第二章_圆锥曲线与方程_导学案1
高二数学选修2-1§2.1.1 曲线与方程(1)【教学目标】1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．【重点难点】▲重点：求曲线的方程▲难点：理解曲线的方程、方程的曲线【学习过程】知识点一：曲线与方程的关系曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0F x y=之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y=叫做这条曲线C的方程；F x y=的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0曲线C叫做这个方程(,)0F x y=的曲线．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※典型例题例：设,A B两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)C．中线AO（O为原点）所在直线的方程B-，(2,0)A，(2,0)是0x=吗？为什么？反思：BC边的中线的方程是0x=吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}=；P M p M③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．【课堂小结】1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．【知识拓展】求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．§2.1.2 曲线与方程（2）【教学目标】 1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质． 【重点难点】▲重点：研究曲线的性质 ▲难点：求曲线的方程 【学习过程】知识点一：求曲线的方程引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题1：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．【基础达标】A1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．B2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程． 【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）.A ．0(11)y x =-≤≤B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ∙=,则点P 的轨迹方程是 ． 5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ．3 / 20§2.2.1椭圆及其标准方程(1) 导学案【教学目标】1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【重点难点】▲重点：掌握椭圆的标准方程 ▲难点：掌握椭圆的定义 【学习过程】取一条定长的细绳，轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 知识点一：椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．知识点二：椭圆的标准方程焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ， 则椭圆的标准方程是 ． ※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y轴上； ⑶10,a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c=+；a b>．例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式：椭圆过点()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2) 【教学目标】1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．【重点难点】▲重点：掌握椭圆的定义及标准方程▲难点：点的轨迹的求法【知识链接】（预习教材理P41~ P42，文P34~ P36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y+=一点P到椭圆的左焦点1F的距离为3，则P到椭圆右焦点2F的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a=,b=则椭圆的标准方程是．【学习过程】知识点一：椭圆的定义及标准方程问题1：圆22650x y x+++=的圆心和半径分别是什么?知识点二：点的轨迹的求法问题2：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※典型例题例1在圆224x y+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M 的轨迹是什么？变式：若点M在DP的延长线上，且32DMDP=，则点M的轨迹又是什么？5 / 20小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？【课堂小结】1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）【教学目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 【重点难点】▲重点：利用曲线的方程研究它的性质▲难点：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 【学习过程】知识点一：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质问题1：椭圆的标准方程22221x y a b+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记ce a=，且01e <<．试试：椭圆221169y x +=的几何性质呢？图形：范围：x ： y ：对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；离心率： ce a== ．反思：b a 或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※ 典型例题例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y +=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．【课堂小结】1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．【当堂检测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253CD 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．7 / 20A ．34 B ．23 C ．12 D ．143．，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)【教学目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质； 2．椭圆与直线的关系． 【重点难点】▲重点：椭圆与直线的关系▲难点：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质 【学习过程】知识点一：椭圆与直线的关系问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题（理）例已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。
曲线与方程导学案
-1 0
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明？
归纳定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C （看作点的集合或是某种条件的点的轨 迹）上的点与一个二元方程 f ( x, y) 0 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都 （2）以这个方程的解为坐标的点都是 ； . ；这条曲线叫做 .
我的疑问： 课堂探究案 探究问题一：
编者：王洪莲 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价： 作业 A 1.直角坐标系中，已知两点 A(3,1) ， B (1,3) ，若点 C 满足 OC = OA + OB ，其中 ， R ， + = 1 ， 则点 C 的轨迹为( ) ． A．射线 B．直线 C．圆 D．线段 2．如果曲线 C 上的点满足方程 F（x,y)=0，则以下说法正确的是（ ） A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 C 上 D.坐标不满足方程 F（x,y)=0 的点不在曲线 C 上 3.方程（3x-4y-12)· ［log2(x+2y)-3］=0 的曲线经过点 A（0，-3） 、B（0，4） 、C（ , 0）中的（ ）
上的点的个数为（ A.1
） B.2
D.4 则点 M(2，1) （ ）
5. 已知直线 l：x+y－3=0 及曲线 C：(x－3) + (y－2) =2， A C 在直线 l 上，但不在曲线 C 上；
B 在直线 l 上，也在曲线 C 上；
不在直线 l 上，也不在曲线 C 上； D 不在直线 l 上，但在曲线 C 上.
1、(1)求如图所示的 AB 的垂直平分线的方程； (2)画出方程 y x 所表示的曲线
人教版高中数学全套教案导学案2.5曲线与与方程 学案
《曲线与与方程》教学案一﹑教材内容的地位与作用分析《曲线与方程》是高二数学选修2-1第二章第一节的内容。
曲线与方程的概念既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程和方程的直线等数学知识的深化，又是今后学习圆锥曲线的理论基础，它贯穿于研究圆锥曲线的全过程。
曲线和方程分别是几何与代数中的概念。
在直角坐标系中，曲线有它的方程，方程有它的曲线。
曲线的方程是几何曲线的一种代数表示，方程的曲线则是代数方程的一种几何表示。
根据曲线与方程的对应关系，通过研究方程来研究曲线的几何性质，使几何图形的研究实现代数化。
数与形的有机结合，在本章得到充分的展现。
通过本节课的课堂教学，使学生初步了解数形结合的基本数学思想方法。
二、学生学习情况分析学生已经学习了直线的方程和方程的直线的概念，初步掌握了利用直线的方程来研究两直线的位置关系、两条直线的夹角和点到直线的距离等与直线有关的知识，但未真正理解直线的方程和方程的直线的含义。
通过本节课让学生进一步理解直线的方程和方程的直线的含义。
三、设计思想建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。
也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。
基于以上理论，本节课遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，倡导“自主、合作、探究”的学习方式。
具体流程如下：知识回顾(根据所学知识，提出新的问题)→构建新知(师生共同探究，得出新的知识)→巩固新知(通过质疑讨论，理解突破难点)→尝试练习(进一步理解概念)→课堂小结(回顾并反思)→布置作业四、教学目标1、理解曲线的方程和方程的曲线的概念2、能证明满足已知条件的曲线C的方程是给定的方程f(x，y)=03、判断曲线与方程的关系五、教学重点与难点重点与难点：曲线的方程和方程的曲线的概念六、教学过程设计(一)知识回顾、提出问题1、回顾直线的有关知识：两直线的位置关系；两直线的夹角；点到直线的距离等；2、我们是如何研究上述问题的(教师适时给予提示)；3、给出直线的方程和方程的直线的定义：①直线上的点的坐标都是某个一元一次方程的解；②以该方程的解为坐标的点都是直线上的点。
人教新课标版数学高二选修2-1导学案 曲线与方程学生版
2.1.1曲线与方程【学习目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．【学习过程】一、自主学习知识点一曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)都是这个方程的解；①(2)以这个方程的解为坐标的点都是上的点，②那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.二、合作探究问题1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？①{P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；②{P|PO＝3cm}(O为定点)．问题2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？问题3曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．问题4方程x－y＝0能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y ＝0呢？探究点1曲线与方程的概念应用例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.探究点2曲线与方程关系的应用例2如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么()A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上B．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点有些不在曲线C上C．不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x，y)＝0的解D．坐标不满足F(x，y)＝0的点不在曲线C上三、当堂测试1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，则它和定点B (3,0)的连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1 又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1即为所求．3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝04．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。
曲线与方程导学案1
曲线与方程导学案（复习课）授课人：一．知识梳理1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做的方程;这条曲线叫做的曲线.2.求轨迹方程的基本步骤二.核心考点考向一：定义法求点的轨迹方程【典例1】△ABC 的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C 的轨迹方程是 .母题变式已知圆M:(x+1)2+y 2=1,圆N:(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,则圆心P 的轨迹方程为 .规律方法小结 ：定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义。
(2)关键定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点所适合的常见曲线的几何特征。
在写方程时需注意：查漏去杂！考向二：相关点(代入)法求轨迹方程【典例2】P 是椭圆 =1上的任意一点,F 1,F 2是它的两个焦点,O 为坐标原点,则动点Q 的轨迹方程是 .12OQ PF PF =+，2222b y a x +母题变式已知点P 是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q 是线段PM 延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q 点的轨迹方程是 ( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0规律方法小结 ：相关点(代入)法求轨迹方程的适用条件两动点间存在关联或相关关系,且其中的一动点存在确定的运动规律.考向三 参数法求轨迹方程 【典例3】设A 1,A 2是椭圆 =1 长轴的两个端点,P 1,P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点,则直线A 1P 1与A 2P 2的交点M 的轨迹方程是 .规律方法小结 ：参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关.考向四 ：直接法求轨迹方程命题方向1:已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹) 22x y 94【典例4】已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P(x,y)满足 则点P 的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线命题方向2:无明确等量关系求轨迹方程【典例5】设动圆M 与y 轴相切且与圆C:x 2+y 2-2x=0相外切, 则动圆圆心M 的轨迹方程 为 ( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=4x 或y=0(x<0)D.y 2=4x 或y=0规律方法小结 ：1.由动点满足的关系式求轨迹方程的步骤(1)设动点的坐标.(2)将已知关系坐标化.(3)化简并注明范围.2.无明确等量关系求轨迹方程的关键关键是在理解题意的基础上找到与动点相关的代数或几何等量关系.三.归纳总结求动点的轨迹方程可以理解为求曲线方程，主要的方法有定义法，相关点（代入）法，参数法，直接法等，要结合题中条件，数形分析，选择合适的方法。
数学高二-选修2学案 曲线与方程
3.4曲线与方程导学案【学习目标】1、 从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、会用曲线和方程的概念直接判断比较简单的曲线和方程间的关系；3、感受“数”与“形”的结合的思想.【学习重点与难点】教学重点：理解曲线的方程和方程的曲线的概念。
教学难点：曲线和方程通过曲线的点的坐标建立起一一对应关系。
【使用说明与学法指导】1.先学习课本P 34－P 35然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；2.认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
预习案一、问题导学问题一：以方程24x y -=的解为坐标的点是否都在以（0,0）为圆心，2为半径的圆上？问题二：第一、三象限角平分线上的点的坐标满足方程|y|=|x|吗?是否可以得到这条直线的方程就是|y|=|x|？问题三：以C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆上的点与方程(x-a)2+(y-b)2=r 2的解之间的关系是什么？ 二、知识梳理一般地，在坐标平面内的某曲线C （看作点的集合）上的点与一个二元方程(,)0f x y =之间，如果具有以下两个关系：（1）曲线C 上的点的坐标，都是 的解；（2）以方程(,)0f x y =的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程(,)0f x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0f x y =的曲线．三、预习自测1、如果曲线C 上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，那么以下说法正确的是（ ）A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C 上C.不在曲线C 上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C 上2、填空：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程Ax+By+C=0（A,B 满足 ）来表示；（2）过点(3，-2)且平行于x 轴的直线方程是 ；（3）点（1,7） （填：在或不在）直线2x-4y+1=0上；3、下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（ ）A.2y x y x ==与B.1x y x y==与 C.220y x y x -==与 D.2lg 2lg y x y x ==与探究案一、合作探究探究1、曲线方程的应用例1、（1）点A （1，-2），B （2，-3），C （3，10）是否在方程x 2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？（2）已知方程为2522=+y x 的圆过点(7,)M m ，求实数m 的值？变式：已知方程222ax by +=的曲线经过A （0，53）和点B （1,1），则a = ，b = 。
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高二数学曲线与方程的概念导学案导学案文
一、预习导航
1、探究：下列表示平面直角坐标系下求一三象限角平分线的方程，你认为哪些是正确的？（1）（2）（3）
2、结论（1）你能说明不正确的理由是什么吗？（2）你能据此总结出曲线的方程和方程的曲线满足的两个条件吗？
二、牛刀小试判断下列曲线与方程的关系，若所给出的方程不是曲线的方程，是因为不满足两个条件中的哪一条？（1）曲线C：过点（2，0）且与y轴的距离等于2的点的轨迹方程为（2）曲线C：到两个坐标轴的距离相等的点的轨迹方程为。
（3）曲线C：以y轴为对称轴的等腰三角形底边上的中线的方程：。
三、展示自我
1、判断正误：（1）已知一个三角形的三个顶点是A（2，3）、B(0,0)、C(4,0)，它的BC边上的中线AM的方程是；（2）如图，MA和MB分别是动点M(x，y)与两定点A(-1,0)B(1,0)的连线，使为直角的动点M的轨迹方程是：；
2、如果方程的曲线通过点A(0,-2)和B（），求a，b的值。
３、求直线l：x+4y+7=0与曲线C:的公共点的坐标。
四、巩固提高已知两圆,,想一想：及应该满足的条件？方程（1）时，该方程表示：
_______________________________________________（2）时，该方程表示：
_______________________________________________练习：求通过两圆，的交点和点（2，1）的源的方程？
五、小结你认为通过自己的学习，本节课有哪些知识没有掌握？
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