第四章 力学梁的内力

超静定梁(d、e)
基本概念
3、常见静定梁的形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
基本概念
例题4-1：试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a)
基本概念
取CB段梁作为研究对象：
M
20103 N

C
0 m
3 m 2.5 m 5 103 N m FBy 5 m 0

FBy 29 kN
F q M 纵向对称面 轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
对称轴
基本概念
三、梁的计算简图 1、支座的基本形式
(a)固定铰支座
FRx
FRy
FRx
FRy
(b)活动铰支座
FRy
FRy
基本概念
(c)固定端
MR FRx FRy
基本概念
2、梁的分类
简支梁(b) 静 外伸梁(c) 定 悬臂梁(a) 梁 组合梁
梁
FSD左 FBy 3.8KN
FS图
DB段： FSD右 FSD左 3.8KN
E
-3KN-3KN.m -3.8KN -2.2KN.m
4、作弯矩图。
FSE 3 7.2 q ( x 1) 0


m
3 m 4 m 5 103 N m


M A 96.5 kN m
内力图
§4-2 梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图
一、弯曲内力的确定
Fa Fb F FAy By l l Fy 0, FAy Fs 0 Fb Fs FAy ——剪力 l C为横截 MC 0, 矩心 面m-m的形心
MA A FA
F
x l
B
解： （1）、求支座反力
FA F , M A Fl
Fs
F
x
（2）、列内力方程 0 x l Fs x F
M x Fx Fl
0 x l
Fl x M
（3）、作内力图
内力图
例题4-4：简支梁受力如图，试列出梁的剪力方程和弯 矩方程作梁的剪力图和弯矩图。 F 解： 1、求约束反力 B A
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
x
O
x
M(x)
M(x)
O
x
O
Fs(x)
内力图 3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的 截面上；或集中力偶作用处。 最大剪力可能发生在集中力所在的截 面上；或分布载荷发生变化的区段上。 4、在集中力作用处剪力图有突变，其 突变值等于集中力的值，弯矩图有转折。
内力图
例题4-6：一外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、 弯矩图。
F=3KN
M 6 KN .m
q=2KN/m
C
1m
A
FAy
4m
D
1m
B
FBy
解： 1、求支座反力
M
A
0 0
FBy 3.8KN
FAy 7.2KN
M
B
内力图
F=3KN
M 6 KN .m
q=2KN/m
C
1m
A
FAy
主讲教师：刘灵灵 工作单位：工程力学系
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4-2 剪力、弯矩及剪力图、弯矩图
§4-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
§4-4 叠加法作梁的弯矩图
§4-5 平面刚架和曲杆的内力图
基本概念
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、工程实例
基本概念
基本概念
二、弯曲的概念
集中力 F C
集中力偶 m C
剪力图 的特征 弯矩图 的特征 Mmax所在
向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C 在C处有突变 m
下凹的二次抛物线
一般斜直线 或
在C处有转折
截面的可
能位置
在FS=0的截面
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
内力图
利用以上特征: 1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确； 2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微积分关 系直接绘制剪力图和弯矩图。 作内力图的步骤： １、根据平衡方程求约束反力； ２、找出杆件的控制面，利用积分关系确定控制面 上的内力； ３、利用微分关系确定控制面间内力图的形状，作 内力图。
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
内力图
四、利用微积分关系作剪力图、弯矩图
一段梁上
的外力情
况
向下的均布荷载 q<0
无荷载
内力图
例题4-2：求图示梁指定截面的内力。 F 解： FAy 3F FBy 2F
1-1： Fy 0,
Fs1 F 0, Fs1 F
1 1
2 2
3Fa
3
4
M
c1
0,
M1 Fa 0, M1 Fa
A a
3 4
B a FBy
2-2： Fy 0, FAy F Fs2 0, Fs2 2F F
M ( x1 ) qax 1
0 x1 a 0 x1 a
FB x2 3qa 2
B a
C a FC
5qa qx 2 a x2 3a CB段：F ( x2 ) 2 2 5 qax qx 2 M ( x2 ) 3qa 2 2 2 2 a x2 3a
剪力图面积
B
B

B
A
dM ( x) Fs ( x)dx
A
B
作内力图方法：微分定形、积分定量
内力图
三、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向下凹的二次抛物线.
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
d 2 M x q x 2 dx
其中分布荷载集度 q(x) 以向上为正，向下为负。 表达式的几何意义 1、剪力图某点切线斜率，等于相应截面处的载荷集度； 2、弯矩图某点的切线斜率，等于相应截面处的剪力； 3、弯矩图的凹凸向取决于该段梁上的载荷集度q的方向。
内力图
二、弯矩、剪力及载荷集度间的积分关系
内力图
二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F q M
x
一般情况下，不同截面上的内力是不同的，而是随截 面位置而变化，这种变化可以用方程表示。
Fs Fs ( x )
M M( x )
——剪力方程 ——弯矩方程
内力方程
表示剪力和弯矩变化规律的图形成为剪力图和弯矩图。 确定内力方程，即可画出内力图。
Fa (l x ) l
内力图
3、作内力图
F
A a l Fs
Fb l
C
B b
x
Fa l
x
M
Fab l
内力图
例题4-5：外伸梁受力如图所示，试列出梁的剪力方程 和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 qa q 解： 1、约束反力
5qa FB 2
2、列内力方程
qa FC 2
A x1 a
Fs
AB段： Fs ( x1 ) qa
3F
M2
Fs3 M3
M
c4
0, M 4 2Fa
3F Fs4
M4
2F
内力图
求弯曲内力的方法： (a) 梁任一横截面上的剪力数值上等于该截面一侧所有 竖向外力的代数和，左上、右下为正，反之为负； (b) 梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧 所有的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩 的代数和，左顺、右逆为正，反之为负； (c) 集中力作用截面两侧，剪力发生突变，突变值的大 小等于该截面集中力的大小； (d) 集中力偶作用截面两侧，弯矩发生突变，突变值的 大小等于该截面集中力偶的大小。
m
a
F
l
b
A FAy
x
B
m
FBy M
截面法
F
FAy M
Fs
M FAy x 0
Fb M FAy x x ——弯矩 l
Fs
FBy
内力图
剪力和弯矩的正负规定：
FS
﹢
FS
FS
﹣
FS
Fs： 剪力对脱离体内任一点取矩，产生顺时针力 矩的为正，反之为负。（左上、右下为正）
M M
﹢
﹣
M M
M：使脱离体下侧受拉、上侧受压为正，反之为 负。（左顺、右逆为正）
内力图
剪力方程和弯矩方程在集中力作用截面、集中力 偶作用截面、分布力的起、止截面为分段点。 控制截面：内力方程的分段截面（及两侧截面）。 画内力图的要求： ①受力图与剪力图、弯矩图对齐。
②正剪力画在横轴上侧，正弯矩画在横轴下侧。
③图上标控制面内力及极值点内力。
内力图
例题4-3：自由端受集中力F作用的悬臂梁，试列出该梁 的剪力方程和弯矩方程，并做出剪力图和弯矩图。
Fb FA l Fa FB l
x FA
a x
C
2、列内力方程
Fb AC段： l Fb M( x ) x l Fs ( x)
l
b
FB
0 x a 0 x a a x l a x l
CB段： FS ( x) Fa
l
M( x )
取整体作为研究对象：
基本概念
F F
x
y
0, FAx 0
0, FAy 50 kN 20 kN 3 m 29 kN 0 m

ห้องสมุดไป่ตู้

M
FAy 81kN
A
0
M A 50 103 N 1 m 20 103 N 29 103 6.5 m 0
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
Fs(x)
O
x
M(x)
内力图 2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线. 弯矩图为一斜直线. 当 F S(x) > 0 时，向右下方倾斜. 当 F S(x) < 0 时，向右上方倾斜.
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
1、弯曲变形
(1) 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. (2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2、梁 以弯曲变形为主的杆件 3、平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线 是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
基本概念
工程上常见梁，其截面多有对称轴。如圆形、矩形、T 型、工字形
q ( x)
dx M x d M x M x FS x d x q x d x 0 2 d M x d M x FS x d x FS x dx
C
内力图
q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系
d FS x q x dx d M x FS x dx
4m
D
1m
B
FBy
2、由微分关系判断各段梁内力图的形状。
CA 载荷
q0
AD
DB
q0
q C 0
Fs图
M图
斜直线
斜直线
内力图
F=3K N q=2KN/m
M 6 KN .m
3、作剪力图。
C
A
1m 4m
x
4.2KN
CA段：FSC右 3KN B D AD段： 1m FSA右 FSA左 FAy 4.2kN
Fs1
FAy
M1
a
Mc2 0, M 2 Fa 0, M 2 Fa
3-3： Fy 0, FAy F Fs3 0, Fs3 2F
F
Fs2
设正法
F Mc3 0, M3 F 2a FAy a 0, M3 Fa 4-4： Fy 0, Fs 4 2 F
d 2 M ( x) q 2 dx
内力图
§4-3弯矩、剪力及载荷集度间的微积分关系
一、弯矩、剪力及载荷集度间的微分关系
m m
n n F Me M ( x) m FS(x) n M(x)+dM(x) C
x q(x) dx
m
n FS(x)+dFS(x)
F
y
0 0
M
FS x FS x d FS x q x d x 0 d FS x q x d FS x q x d x dx
A
m m
n n
B
F
Me
x q(x) dx
dFs ( x ) q( x) dx dM ( x) Fs ( x) dx
载荷图面积
dFs ( x) q( x)dx
A B

B
A
Fs B Fs A A q( x)dx M B M A A Fs ( x)dx
qa qa 2
x qa 2 a/2
qa 8
2
3、作内力图
x
M
内力图 qa q
FS ( x) qa q( x a)
a
x
a
1 M ( x) qax q( x a) 2 2
dFS ( x) q dx
dM ( x) qa q( x a) FS ( x) dx