第四章 力学梁的内力
材料力学第04章(弯曲内力)-06讲解
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4–2 受弯杆件的简化 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1. 构件本身的简化
a
F
A
B
l
a
F
A
B
l
取梁的轴线来代替梁
2. 支座简化 (1)固定铰支座
固定铰
2个约束，1个自由度。
(2)可动铰支座
按照习惯，正值的剪力值绘于x轴上方，正的弯矩值绘于x 轴的下方(即绘于梁弯曲时受拉的一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
22
(c)
0 x l
材料力学Ⅰ电子教案
(a) (b) (c)
第四章 弯曲应力
梁横截面上最大剪力值？ 最大弯矩值？ 位置？
固定铰
1个约束，2个自由度。
(3)固定端
Fx
固定端
3个约束，0个自由度。
M Fy
可动铰 可动铰
3. 梁的三种基本形式 (1)简支梁 A
F
B
F
F
F
(2)外伸梁
B A
q (3)悬臂梁
4. 载荷的简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
q
F
M
B A
集中力、集中力偶和分布载荷。
5. 静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式
向上的外力产生
正弯矩
9kN
M
9kN
向下的外力产生
负弯矩
左:M=9×2-4×1=14kN.m
右:M=9×4-4×3-10×1=14kN.m
第四章 梁的内力
P =P FN + (− P ) = 0
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁的约束条件及荷载千差万别，为便于计算，一般抓住主要因素对其 做出简化，得出计算简图。 首先是梁的简化，一般在计算简图中用梁的轴线代替梁。 另外，还需要对支座和荷载进行简化，下面分别讨论梁上支座和荷载 的简化。
2.3
由上述结果可见，该钢杆最大正应力发生在段内，大小为 176.84 MPa
2.19
A
第四章
二.斜截面上的应力
梁 的 内 力
4.3 梁的内力、剪力和弯矩
前面讨论了拉(压)杆横截面上的正应力，但实验表明，有些材料 拉(压)杆的破坏发生在斜截面上。为了全面研究杆件的强度，还需要 进一步讨论斜截面上的应力。 设直杆受到轴向拉力 P 的作用，其横截面面积为 A ，用任意斜截面将 杆件假想的切开，设该斜截面的外法线 x 与轴的夹角为 α ，如图 2.7(a)所示。设斜截面的面积为 Aα ，则
2.6
Qm
第四章
2. 载荷的简化
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
梁上的载荷通常可以简化为以下三种形式。 (1) 集中力。作用在梁上 很小区域上的横向力，其 特点是分布范围远小于轮 轴或大梁的长度，因此可 以简化为集中力，如火车 轮轴上的P(图4.2)、吊车 大梁所挂的重物 Q (图 4.4(a))等，它的常用单位 为牛顿(N)或千牛顿(kN)。
常见的静定梁有以下三种形式:
2.11
y (tm + 1)
第四章
梁 的 内 力
4.1 梁的计算简图
(1)简支梁(simply supported beam)。一端为固定铰支座，另一端为可动 铰支座的梁，称为简支梁。如吊车大梁(图4.4(a))，两支座间的距离 称为跨度。 (2) 外伸梁(beam with an overhang)。当简支梁的一端或两端伸出支座 之外，称为外伸梁。如火车轮轴(图4.2)即为外伸梁。 (3) 悬臂梁(cantilever beam)。一端为固定端、另一端自由的梁称为悬 臂梁，如闸门立柱(图4.4(b))。 工程中另有一些梁，其支座反力的数目多于有效平衡方程的数目，这 样的梁称为静不定梁或者超静定梁 静不定梁或者超静定梁(图4.1)。为确定静不定梁的全部 静不定梁或者超静定梁 支反力，除静力平衡方程外，还需考虑梁的变形，这将在后面章节进 行介绍。
工程力学梁的内力及其求法
MC 0
FB
l
F
l 2
0
解得
FB
F 2
MB 0
,
FC
l
F
3l 2
0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
3F FC 2
（2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD
Fy 0 , FC F FSD 0
F
(a) A
C
D
B
得
FSD
FC
F
F 2
l/2
l/2
l/2
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
B
FB
剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N
或kN
弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内 的内力偶矩。单位是N·m或kN·m
B
FB
二、剪力、弯矩符号的规定
FB
1 4
ql
3 FA 4 ql
Me1=ql2/2
q
1
A
1
Me2=ql2/4
2 2B
FS1
3 4
ql
1 2
ql
1 4
ql
l/2 FA
M1
3 ql2 8
1 ql 2 8
1 2
ql 2
1 ql2 4
l/2 FB
（3）求2-2截面上的内力
FS2
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
建筑力学 材料力学 梁的内力
x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
名词解释梁的内力图
名词解释梁的内力图梁的内力图是建筑结构力学中的一个重要概念。
它描述了梁在受力过程中内部产生的力的分布情况。
梁是一种常见的结构材料，用于支撑和传递负荷。
无论是建筑中的梁，还是机械结构中的梁，梁的内力图都是分析梁的受力性能的重要工具。
梁的内力图是通过工程师使用力学原理和力学方程对梁进行分析和计算得到的。
内力图可以帮助工程师了解梁在不同位置的受力情况，从而评估梁的强度和稳定性。
在设计和施工过程中，准确地绘制和分析梁的内力图对于保证结构的安全和可靠性至关重要。
梁的内力图一般包括两个主要力：弯矩和剪力。
弯矩是指梁由于受到外力作用而产生的弯曲力，它可以导致梁在不同位置产生不同的应力和变形。
剪力是指梁由于受到外力作用而产生的垂直于梁轴线方向的力，它可能会导致梁的剪切破坏。
梁的内力图可以呈现为一条曲线，在图中横轴表示梁的长度或位置，纵轴表示梁的内力大小。
根据梁的受力情况，内力图的形状可能会有所不同。
例如，当梁受到对称荷载时，内力图可能呈现为一个对称的形状；当梁受到单点荷载时，内力图可能呈现为一个集中力。
通过分析梁的内力图，工程师可以确定梁在不同位置的弯矩和剪力大小，从而选择合适的结构材料和截面尺寸。
例如，如果梁的内力图呈现出很大的弯矩值，工程师可以选择更高强度的材料或增加梁的截面尺寸来增强结构的稳定性。
此外，梁的内力图还可以用于分析梁在不同荷载下的变形情况。
通过对梁的内力分布情况进行定量分析，工程师可以评估梁的挠度和变形，从而保证结构的稳定性和舒适度。
需要注意的是，绘制梁的内力图需要工程师具备扎实的力学基础和丰富的实践经验。
在实际工程应用中，工程师往往依赖计算机软件来辅助绘制和分析梁的内力图。
这些软件可以自动计算梁的内力分布，并提供直观的图形结果，降低了工程师的工作难度。
总之，梁的内力图是建筑结构力学中重要的工具，用于分析和计算梁的受力性能。
通过绘制和分析梁的内力图，工程师可以了解梁在不同位置的弯矩和剪力大小，从而选择合适的结构材料和截面尺寸。
工程力学梁的内力及其求法
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
梁的内力重分布
梁的内力重分布
3. 结构形态变化：当梁的结构形态发生变化时，如截面形状、长度或材料的改变，梁的内 力分布也会发生变化。
内力重分布的影响需要通过结构力学的分析方法来进行计算和评估。常用的方法包括静力 学平衡方程、弯矩曲率关系、梁的变形与内力关系等。通过这些方法，可以确定梁在不同受 力状态下的内力分布，并进行结构设计和优化。
需要注意的是，内力重分布可能会导致梁的受力状态发生变化，从而影响梁的承载能力和 安全性。因此，在进行梁的内力重分布分析时，需要充分考虑结构的稳定性和强度要求，并 采取相应的措施来保证结构的安全性。
梁的内力ห้องสมุดไป่ตู้分布
梁的内力重分布是指在梁的受力状态发生变化时，原有的内力分布会发生改变的现象。一 般情况下，梁的内力重分布会发生在以下情况：
1. 荷载变化：当梁所受的荷载发生变化时，如增加、减少或移动荷载位置，梁的内力分布 会随之改变。例如，当集中荷载移动到梁的另一端时，原先受力较大的区域会减小，而新的 位置会出现更大的受力。
受静载荷梁的内力及变位计算公式
受静载荷梁的内力及变位计算公式静载荷梁是最常见的结构，其在工程中的应用非常广泛。
在设计和分析静载荷梁时，我们需要了解其内力和变位的计算公式。
下面将介绍受静载荷梁的内力和变位计算公式。
静载荷梁的内力计算是静力学的基础，其结果将有助于工程设计和结构分析。
在计算内力时，我们需要考虑外部的集中力、均布力和分布力。
1.集中力作用下的内力计算当外部有一个集中力作用到梁上时，我们可以使用以下公式计算其内力：A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M=F×x剪力(V)：V=F其中，F表示集中力的大小，x表示集中力作用点到梁一端的距离。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R=F其中，F表示集中力的大小。
2.均布力作用下的内力计算当外部有一个均布力作用到梁上时，我们可以使用以下公式计算其内力：A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M=0（在梁的两端）,M=q×x²/2（在梁上的其他位置）剪力(V)：V=q×x其中，q表示均布力大小，x表示距离梁一端的距离。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R=q×L/2其中，q表示均布力大小，L表示梁的长度。
3.分布力作用下的内力计算当外部有一个分布力作用到梁上时A.弯矩(M)和剪力(V)的计算公式：弯矩(M)：M = -∫(M(x))dx剪力(V)：V = -∫(V(x))dx其中，M(x)和V(x)是分布力的弯矩和剪力函数。
B.支反力计算公式：支反力(R)：R = ∫(V(x))dx其中，V(x)是分布力的剪力函数。
静载荷梁的变位计算是结构分析的一个重要方面，用于评估结构的变形。
当外部有载荷作用到梁上时，其变位可以使用以下公式进行计算：变位(δ)：δ=(w×x²)/(24×E×I)其中，w表示均布载荷大小，x表示距离梁一端的距离，E表示材料的弹性模量，I表示梁的惯性矩。
(完整版)梁的内力计算
第四章梁的内力第一节工程实际中的受弯杆受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。
图 4 —i中列举了例子并画出了它们的计算简图。
如图（a表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB受到由楼板传递来的均布荷载口；图（b）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c）表示的是- 小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m的作用。
1.1 梁的受力与变形特点综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲.。
在工程实际中受弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。
1.2 平面弯曲的概念工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对..称面（如图4 —2）,当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲.。
它是工程中最常见也最基本的弯曲问题。
1.3 梁的简化一一计算简图的选取工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。
为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图...。
选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
a房屋建筑中的大梁c小跨度公路桥地纵梁图4-1b简易挡水结构中的斜梁图4-2 梁的平面弯曲一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：（1） 梁本身简化一一以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2） 荷载简化一一将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3） 支座简化——主要简化为以下三种典型支座：（a ） 活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4— 3 （a ）所示。
第四章 梁的内力
q=2kN/m MC B
M C ( F ) 0
l ql 2 M C FB 4.5kN m 2 8
l/4 FSC
FSC
l/2
FB
图4.11
三、用直接法求剪力、弯矩 F=5kN
直接法：梁任一横
截面上的剪力在数 值上等于该截面一
(a)
q=2kN/m
F=5kN
A C l/4 FA l/4
F
A
B
x
例题：作悬臂梁的剪
x
l FS
x
力图和弯矩图。
解：建立坐标系，将坐 标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程和弯 矩方程 ：
FS图
F
FS (x) F
x
(0 x l) (0 x l)
M(x) Fx
M
M图
x 0时，M(0) 0 x l时， M(l) Fl
FRA
A
x
q
FRB
例题：作如图简支梁
的剪力图和弯矩图。
解：先求两个支反力
FRA FRB ql 2
B
l
FRA
A
q
M(x) FS (x)
建立坐标系，梁的剪力
x
方程和弯矩方程为：
ql FS (x) FRA qx qx (0 x l) 2 x qlx qx 2 M(x) FRA x qx (0 x l) 2 2 2
FRA
A
x
q
FRB
由弯矩方程得弯矩图为一 条二次抛物线。
B
l
x 0,
M 0
ql 2
x =l ,
解：1、求截面C的剪力和弯矩
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算
弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算弯曲力学梁是结构工程中常见的构件，用于承受横向力和弯矩。
在设计和分析梁的弯曲变形和内力时，了解梁的性质和力学行为至关重要。
本文将介绍弯曲力学梁的弯曲变形和内力计算的相关知识。
1. 梁的基本概念在讨论弯曲变形和内力计算之前，我们首先需要了解梁的基本概念。
梁是一种长条形结构，由材料制成，其主要作用是承受横向力和弯矩。
梁通常用于支撑和传递载荷，使得荷载能够安全地传递到地基或其他支撑结构。
2. 弯曲变形弯曲力学梁在受到横向力作用时会发生弯曲变形。
弯曲变形可分为弯曲线的形状变化和截面各点的位移变化两个方面。
2.1 弯曲线的形状变化当横向力作用于梁上时，梁会呈现出一条弯曲线。
这条弯曲线称为弯曲曲线，弯曲曲线的形状取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
常见的弯曲曲线形状包括凸曲线和悬臂曲线。
2.2 截面各点的位移变化在梁的弯曲过程中，截面上的各点将发生位移变化。
位移变化可分为纵向位移和横向位移两个方向。
纵向位移是指垂直于弯曲平面的位移，即梁的弯曲垂直方向的变形。
横向位移是指沿弯曲平面的位移，即梁的弯曲平面内的变形。
这些位移变化会导致梁的轴线发生曲率，截面上的各点相对于轴线发生旋转。
3. 内力计算在弯曲过程中，梁内部发生了一系列力的变化，包括弯矩、剪力和轴力。
这些内力是用来描述梁材料内部应力状态的。
内力计算是分析和设计梁结构的重要一步。
3.1 弯矩弯矩是梁内部发生的一对等大反向的力矩。
在弯曲力学中，弯矩是描述梁抵抗弯曲变形的重要参数。
弯矩的大小和分布取决于梁的几何形状、材料性质和受力情况。
3.2 剪力剪力是梁内部横向力的一种表现形式。
在弯曲力学梁中，剪力是垂直于梁轴线的力，用来描述梁材料负责承受横向力的能力。
3.3 轴力轴力是梁内部沿轴线方向的力。
当梁受到纵向拉力或压力时，轴力将发生变化。
轴力的大小和分布取决于梁的受力情况。
4. 弯曲梁的弯曲变形和内力计算方法在实际工程中，我们可以通过解析法或数值计算法来计算弯曲梁的弯曲变形和内力。
工程力学4第四章弯曲内力
M=±ΣM(Fi)左或右
例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3
截面上的内力。
y MA FA
1 1 2m 2 2
q
3
1m 31m
x
1-1 截面：FS = 2×2 = 4 kN，M = -2 ×2 ×3 = - 12 kN.m
2-2 截面：FS = 2×2 = 4 kN， M = -2 ×2 ×1 = - 4 kN.m 3-3 截面：FS = 2×1 = 2 kN， M = -2 ×1 ×0.5 = - 1 kN.m
第四章 弯曲内力
主讲:符春生
§4-1 概述
一、平面弯曲
外力特点:外力是垂直于杆轴线的 力,或作用在包含轴线在 内的平面内力偶。
变形特点:轴线弯成曲线。横截面 轴线
绕垂直于轴线的轴作相 对转动。
轴线
以弯曲为主要变形的杆——梁。
若外力或外力偶作用在纵向对称
面内，杆的轴线在此平面内弯成一平
面曲线——平面弯曲（对称弯曲）。
MA
q0
A
q(x)
B
( 2)
画剪力图和弯矩图
FA
x
l
q0 1 FS ( x) q( x)(l x) (l x)2 2 2l
q0l/2 Fs q0l2/6 +
1 1 q0 M ( x) q( x)(l x) (l x) (l x)3 2 3 6l
M
§4－4剪力、弯矩与荷载集度之间的关系
FS=－FB+F2 ＝ΣFi右
B
M
m
C
F2 FB
FS m
M=FB(l-x)－F2(l-x-b)
＝ΣM(Fi)右
建筑力学之材料力学第4章(华南理工)
简支梁两种常见的典型情况: ⑴ 跨间作用集中力 内力在全梁范围内不能 用一个统一的函数来表达, 必须以F的作用点C为界分段 来列内力表达式, 即需分段画 出内力图。 支座反力: FRA = b F , FRB = a F 剪力图:
l
l
AC段: FS ( x1 )=FRA = b F l a CB段: FS ( x2 )= - FRB = - F l x1 =0, M A =0 弯矩图: x =a , M = ab F C l AC段: M ( x1 )=FRA x1 = b Fx1 1 x2 =a, M C = ab F l l a F (l - x ) CB段: M ( x2 )=FRB (l - x2 )= 2 x2 =l , M B =0 l
M1 =14kN 1m 3kN 3=5kN m
得正值表示实际内力方向与原假定的方向相同。
例4-3 求图示梁截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。
FRA =14kN( ) FRB =9kN( )
FRA
FRB
⑵ 求2-2截面上的内力：
M2
F =0,
y
FS2
FRB FS2 =0
校核: ∑Fy=0, FRA+FRB−R=0
1 q l 1 q l 1 q l =0 3 0 6 0 2 0
正确无误!
§4-3 梁的内力及其求法
m
a
FRA
m
M
FS
F =0, F F =0, F =F M =0, M F a =0, M =F
y RA S S RA O RA S
FRy
⑵ 可动铰支座 或
FRy
⑶ 固定支座
MA
梁的内力——剪力与弯矩
（b）
（a）
（c）
图5-6
由 MO 0 ，得
M F1(x a) FAx 0
M FAx F1(x a) M 称为横截面 m m 上的弯矩，它有使梁的横截面 m m 产生转动而使梁弯 曲的趋势，是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力 FS 与弯矩 M 是 平面弯曲时梁横截面上的两种内力。
材料力学
由平衡方程 Fy 0 ，得
FA F1 FS 0 FS FA F1
FS 称为横截面 m m 上的剪力。剪力 FS 有使 梁沿横截面 m m 被剪断的趋势，是与横截面 相切的分布内力系的合力。若把左部分上的所
有外力和内力对截面 m m 的形心 O 取矩，其 力矩总和应等于零。
当保留右部分时，如图 5-6（c）所示，同样可以求得剪力 FS 与弯矩 M 。 剪力 FS 与弯矩 M 是截面左、右两部分间的相互作用力。因此，作用于左、 右两部分上的剪力 FS 与弯矩 M 大小相等、方向相反。
计算剪力 FS 和弯矩 M 时应注意其正负号规定。
（a）
（b） 图5-7
（c）
（d）
剪力的正、负号规定为：凡使一微段梁发生左侧截面向上、右侧截面向 下相对错动的剪力为正，亦可规定为：凡作用在截面左侧向上的外力或作用 在截面右侧向下的外力，将使该截面产生正的剪力。简单概括为“左上或右 下，剪力为正，反之为负”。
（3）求 2 2 截面上的剪力 FS2 、弯矩 M2 。根据 2 2 截面右侧的外力来 计算，可得
FS2 (q 1.5 m) FB (121.5 29) kN 11 kN
M2
(q
1.5
m)
1.5 2
m
FB
1.5
m
30
kN
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FSD左 FBy 3.8KN
FS图
DB段： FSD右 FSD左 3.8KN
E
-3KN-3KN.m -3.8KN -2.2KN.m
4、作弯矩图。
FSE 3 7.2 q ( x 1) 0
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
Fs(x)
O
x
M(x)
内力图 2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0 剪力图为一条水平直线. 弯矩图为一斜直线. 当 F S(x) > 0 时，向右下方倾斜. 当 F S(x) < 0 时，向右上方倾斜.
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
主讲教师：刘灵灵 工作单位：工程力学系
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 §4-2 剪力、弯பைடு நூலகம்及剪力图、弯矩图
§4-3 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
§4-4 叠加法作梁的弯矩图
§4-5 平面刚架和曲杆的内力图
基本概念
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、工程实例
基本概念
基本概念
二、弯曲的概念
q ( x)
dx M x d M x M x FS x d x q x d x 0 2 d M x d M x FS x d x FS x dx
C
内力图
q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系
d FS x q x dx d M x FS x dx
M ( x1 ) qax 1
0 x1 a 0 x1 a
FB x2 3qa 2
B a
C a FC
5qa qx 2 a x2 3a CB段：F ( x2 ) 2 2 5 qax qx 2 M ( x2 ) 3qa 2 2 2 2 a x2 3a
dFS ( x ) q( x ) dx dM ( x ) FS ( x ) dx
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶 的值，但剪力图无变化。
内力图
四、利用微积分关系作剪力图、弯矩图
一段梁上
的外力情
况
向下的均布荷载 q<0
无荷载
取整体作为研究对象：
基本概念
F F
x
y
0, FAx 0
0, FAy 50 kN 20 kN 3 m 29 kN 0 m
M
FAy 81kN
A
0
M A 50 103 N 1 m 20 103 N 29 103 6.5 m 0
3F
M2
Fs3 M3
M
c4
0, M 4 2Fa
3F Fs4
M4
2F
内力图
求弯曲内力的方法： (a) 梁任一横截面上的剪力数值上等于该截面一侧所有 竖向外力的代数和，左上、右下为正，反之为负； (b) 梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧 所有的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩 的代数和，左顺、右逆为正，反之为负； (c) 集中力作用截面两侧，剪力发生突变，突变值的大 小等于该截面集中力的大小； (d) 集中力偶作用截面两侧，弯矩发生突变，突变值的 大小等于该截面集中力偶的大小。
超静定梁(d、e)
基本概念
3、常见静定梁的形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
基本概念
例题4-1：试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。
(a)
基本概念
取CB段梁作为研究对象：
M
20103 N
C
0 m
3 m 2.5 m 5 103 N m FBy 5 m 0
FBy 29 kN
d2 M ( x ) q( x ) 2 dx
x
O
x
M(x)
M(x)
O
x
O
Fs(x)
内力图 3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的 截面上；或集中力偶作用处。 最大剪力可能发生在集中力所在的截 面上；或分布载荷发生变化的区段上。 4、在集中力作用处剪力图有突变，其 突变值等于集中力的值，弯矩图有转折。
m
3 m 4 m 5 103 N m
M A 96.5 kN m
内力图
§4-2 梁的剪力、弯矩和剪力图、弯矩图
一、弯曲内力的确定
Fa Fb F FAy By l l Fy 0, FAy Fs 0 Fb Fs FAy ——剪力 l C为横截 MC 0, 矩心 面m-m的形心
4m
D
1m
B
FBy
2、由微分关系判断各段梁内力图的形状。
CA 载荷
q0
AD
DB
q0
q C 0
Fs图
M图
斜直线
斜直线
内力图
F=3K N q=2KN/m
M 6 KN .m
3、作剪力图。
C
A
1m 4m
x
4.2KN
CA段：FSC右 3KN B D AD段： 1m FSA右 FSA左 FAy 4.2kN
内力图
例题4-2：求图示梁指定截面的内力。 F 解： FAy 3F FBy 2F
1-1： Fy 0,
Fs1 F 0, Fs1 F
1 1
2 2
3Fa
3
4
M
c1
0,
M1 Fa 0, M1 Fa
A a
3 4
B a FBy
2-2： Fy 0, FAy F Fs2 0, Fs2 2F F
Fa (l x ) l
内力图
3、作内力图
F
A a l Fs
Fb l
C
B b
x
Fa l
x
M
Fab l
内力图
例题4-5：外伸梁受力如图所示，试列出梁的剪力方程 和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 qa q 解： 1、约束反力
5qa FB 2
2、列内力方程
qa FC 2
A x1 a
Fs
AB段： Fs ( x1 ) qa
Fs1
FAy
M1
a
Mc2 0, M 2 Fa 0, M 2 Fa
3-3： Fy 0, FAy F Fs3 0, Fs3 2F
F
Fs2
设正法
F Mc3 0, M3 F 2a FAy a 0, M3 Fa 4-4： Fy 0, Fs 4 2 F
内力图
例题4-6：一外伸梁受力如图所示，试作梁的剪力图、 弯矩图。
F=3KN
M 6 KN .m
q=2KN/m
C
1m
A
FAy
4m
D
1m
B
FBy
解： 1、求支座反力
M
A
0 0
FBy 3.8KN
FAy 7.2KN
M
B
内力图
F=3KN
M 6 KN .m
q=2KN/m
C
1m
A
FAy
1、弯曲变形
(1) 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. (2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线. 2、梁 以弯曲变形为主的杆件 3、平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线 是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
基本概念
工程上常见梁，其截面多有对称轴。如圆形、矩形、T 型、工字形
A
m m
n n
B
F
Me
x q(x) dx
dFs ( x ) q( x) dx dM ( x) Fs ( x) dx
载荷图面积
dFs ( x) q( x)dx
A B
B
A
Fs B Fs A A q( x)dx M B M A A Fs ( x)dx
内力图
二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
F q M
x
一般情况下，不同截面上的内力是不同的，而是随截 面位置而变化，这种变化可以用方程表示。
Fs Fs ( x )
M M( x )
——剪力方程 ——弯矩方程
内力方程
表示剪力和弯矩变化规律的图形成为剪力图和弯矩图。 确定内力方程，即可画出内力图。
Fb FA l Fa FB l
x FA
a x
C
2、列内力方程
Fb AC段： l Fb M( x ) x l Fs ( x)
l
b
FB
0 x a 0 x a a x l a x l
CB段： FS ( x) Fa
l
M( x )
F q M 纵向对称面 轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
对称轴
基本概念
三、梁的计算简图 1、支座的基本形式
(a)固定铰支座
FRx
FRy
FRx
FRy
(b)活动铰支座
FRy
FRy
基本概念
(c)固定端
MR FRx FRy
基本概念
2、梁的分类
简支梁(b) 静 外伸梁(c) 定 悬臂梁(a) 梁 组合梁
梁
MA A FA
F
x l
B
解： （1）、求支座反力
FA F , M A Fl