一线三等角典型例题

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一线三等角例题加答案

一线三等角例题问题描述给定一个等边三角形ABC，已知点D、E、F分别是BC、CA和AB的中点。

连接AD、BE和CF，求证：AD、BE和CF 是等边三角形的边。

证明要证明AD、BE和CF是等边三角形的边，我们需要证明三个长度相等的线段，即AD=BE=CF。

证明AD=BE连接线段AC，并延长线段BE交线段AC于点G，如下图所示：graph TDA((A)) -- AD --> D((D))A((A)) -- AC --> C((C))A((A)) -- AB --> B((B))B((B)) -- BE --> E((E))G((G)) -- BE --> E((E))C((C)) -- CF --> F((F))G((G)) -- CG --> C((C))三角形ACG和BEG，它们共有一条边AC，并且根据各边的定义，两个三角形的另外两条边DG和GE分别平行于AC和BE。

因此，根据平行线间的性质，有：AD/BE = DG/GE而根据题意，DG=AC，GE=BE，因此：AD/BE = AC/BE = 1所以，AD=BE。

证明AD=CF连接线段AB，并延长线段CF交线段AB于点H，如下图所示：graph TDA((A)) -- AD --> D((D))H((H)) -- CF --> F((F))A((A)) -- AC --> C((C))A((A)) -- AB --> B((B))B((B)) -- BE --> E((E))H((H)) -- AH --> A((A))三角形AHC和DFC，它们共有一条边AC，并且根据各边的定义，两个三角形的另外两条边AH和DF分别平行于AB和CF。

因此，根据平行线间的性质，有：AD/CF = AH/DF而根据题意，AH=AB，DF=CF，因此：AD/CF = AB/CF = 1所以，AD=CF。

一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．( 2) 拓展延伸1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC 上，若CE=5，求CD的长。

专题3.一线三等角

专题三:一线三等角综合专项练习班级：姓名：例1.（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．练习：1.如图（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明BC⊥CE的理由；如图（2），若△ABC向右平移，使得点C移到点D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD ＝DE，探索BD⊥CE的结论是否成立，并说明理由．2.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD＝CE．求证：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．3.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．4.如图，AB＝12米，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4米，点P从B向A运动，每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△CP A与△PQB全等？。

中考专题练习一线三等角

中考专题练习一线三等角The document was finally revised on 2021一线三等角理论：略范例点睛1.正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°.当CQ=1时，写出线段BP的长2.如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是；（2）若射线EF经过点C，则AE的长是．BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x何值时，y有最大值，最大值是多少？4. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC边上动点（D不与B、C重合），∠ADE=45°，DE交AC于点E．（１）∠BAD与∠CDE的大小关系为．请证明你的结论；（２）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（３）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；（４）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．本王闯关一.基础技能1.（2015?连云港）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC= ．2.如图，已知321////lll，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina 值是（）A.31 B.176 C.55 D.10103.(2012·苏州)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x 轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是（）4.如图，在边长为9正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE= ．5.（2012·宁波）如图1是由边长相等小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。

一线三等角大题练习-答案

一线三等角大题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，23AB =，求点C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE的值． 2．【问题背景】（1）过等腰直角△ABC 的两个锐角顶点，分别向直角顶点C 所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D ，E ．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC =∠CEB =90°，AC =CB ，又由∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，得到∠ACD =∠CBE ，所以△ACD ≌△CBE ，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS ，SAS ，ASA ，AAS 或HL ）．图1【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A （-2，4），B （3，1），在直线AB 的上方，以AB 为边作等腰直角△ABM ，写出所有符合条件的点M 坐标：________．图23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）【模型呈现】如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）【模型应用】①如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内任一点，点B 的坐标为（4，1）．若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标为．5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.参考答案：1．(1)见解析 (2)3(3)35 【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求． (1)证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒， ∴90BCE ACD ∠+∠=︒． ∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒， ∴ACD EBC ∠=∠．又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌． (2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴132AF BF AB === ∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒． ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠．在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴()CAE ADF AAS ≌，∴3CE AF ==，即点C 到AB 边的距离为3． (3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠． ∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠， ∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽， ∴63105EF BE DE DM ===．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2． AAS （1，9），（6，6），（2，5）【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC =∠CEB =90°，根据余角的性质得到∠ACD =∠BCE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）当∠M 1AB =90°，△ABM 1是等腰直角三角形，当∠M 3BA =90°，△ABM 3是等腰直角三角形，当∠AM 2B =90°，△ABM 2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD和△CBE中，ADC CEBACD EBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE（AAS），故答案为：AAS；（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，∴∠AEM1=∠AFB=90°，∵∠BAM1=90°，∴∠EAM1+∠F AB=∠F AB+∠ABF=90°，∴∠EAM1=∠ABF，∵AM1=AB，∴△AEM1≌△BF A（AAS），∴AE=BF，AF=EM1，∵点A（-2，4），B（3，1），∴AE=BF=5，AF=EM1=3，∴M1（1，9），当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，同理，M3（6，6）；当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，∴M11M2=BM2，∴M2是线段BM1的中点，∴M2（2，5），综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP =∠CPD ， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ； ②BC =12，点P 为BC 中点， ∴BP =PC =6， ·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BPPC CD =，即1066CD=，解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，△ABP ≌△PCD ， ∴PC =AB =10， ∴BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ， ∵∠APD =∠B =∠C ， ∴∠ADP =∠C ，不合题意， ∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ， ∵∠C =∠C ， ∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②3(2，5)2或5(2，3)2【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，根据余角的性质得到1B ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AH DM =，同理AH EN =，由此可得EN DM =，再由此证明DMG ENG △≌△，由全等三角形的性质得到DG EG =，于是得到点G 是DE 的中点；②分两种情况讨论，如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，根据余角的性质得到BAC AOD ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，于是得到结论，如图4，同理可得答案．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△． ∴AC DE =，BC AE =；故答案为：DE ，AE ；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，BC AH ⊥，90BHA AMD ∴∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，12290B ∴∠+∠=∠+∠=︒，1B ∴∠=∠，在ABH 与DAM △中， 1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABH DAM AAS ∴△≌△，AH DM ∴=， BC AH ⊥，90CHA ANE ∴∠=∠=︒，90CAE ∠=︒，90CAH EAN CAH C ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAN C ∴∠=∠，在ACH 与EAN 中，CHA ANE C EAN AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACH EAN AAS ∴△≌△，AH EN ∴=，又∵AH DM =，EN DM ∴=，DM AH ⊥，EN AH ⊥，90GMD GNE ∴∠=∠=︒，在DMG △与ENG △中，DMG ENG MGD NGE DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DMG ENG AAS ∴△≌△，DG EG ∴=，∴点G 是DE 的中点；②如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===+，14AD AC x x OE ∴+=++==， 32x ∴=，512x +=， ∴点A 的坐标3(2，5)2；如图4，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与BE 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===-，14AD AC x x OE ∴+=+-==，52x ∴=，312x -=，又∵此时点A 在第四象限，∴点A 的坐标5(2，3)2，综上所述，点A 的坐标为3(2，5)2或5(2，3)2，故答案为：3(2，5)2或5(2，3)2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．【详解】解：（1）AC=DE ，BC=AE ；故答案为：DE ，AE（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，∴1B ∠=∠，在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），∴AF DM =，同理AF EN =，∴EN DM =，∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，∴90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG ∆=（AAS ），∴DG EG =，∴点G 是DE 的中点；②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，∴∠M=90°，∵∠OBA=90°，∴∠ABM+∠OBN=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠OBN=∠BAM ，在△OBN 与△BAM 中，M ONB OBN BAM OB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBN ≌△BAM （AAS ），∴AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，∴ON= x+2，∴MB+NB=x+x+2=MN=4，∴x=1，x+2=3，∴点B 的坐标（3,1）；如图同理可得，点B 的坐标（-1,3），综上所述，点B 的坐标为()3,1，()1,3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK =∠ACD1．作D1M ⊥ KH，D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．( 2) 拓展延伸1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1= ∠BH2K2=∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．2 如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。

一线三等角问题

ABCDE相似三角形模型之“一线三等角型”一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景引例：如图，等边△ABC 中，D是BC 上一点，F 为AC 边上一点，且∠A DF =60°，BD=3，CF=2.求△ABC 边长。

例1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式例2、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AP ＝1，AB ＝DC ＝2．P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求AD 的长．C DB FACCBECDCADBEF例3、正方形ABCD 的边长为4（如下图），点P 、Q 分别在线段CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长。

相关练习：1、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长3、在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在线段CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长BCABCDABCQ4、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交CD 于点F ，那么当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式。

一线三等角典型例题解析

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK =∠ACD1．作D1M ⊥ KH，D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．( 2) 拓展延伸1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1= ∠BH2K2=∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．2 如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。

人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案

人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案【模型说明】 C D E BA应用：通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题；【例题精讲】例1．（基本“K ”型）如图一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°）若OA ＝50cm OB ＝28cm 则点C 离地面的距离是____ cm ．【答案】28【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D 如图∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB 90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．例2.（特殊“K ”型）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1 当90α=︒时猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2 当0180α<<︒时问题（1）中结论是否仍然成立？如成立请你给出证明；若不成立请说明理由；(3)应用：如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC =,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】（1）解：DE ＝BD +CE 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90° ∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90° ∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴AD ＝CE BD ＝AE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴BD ＝AE AD ＝CE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴S △ABD ＝S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC ＝12BC •h ＝12 S △ABF ＝12BF •h∵BC ＝3BF∴S △ABF ＝4∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．例3.（“K ”型培优）已知：ABC 中 90ACB ∠=︒ AC CB = D 为直线BC 上一动点连接AD 在直线AC 右侧作AE AD ⊥ 且AE AD =．（1）如图1 当点D 在线段BC 上时过点E 作EH AC ⊥于H 连接DE ．求证：EH AC =；（2）如图2 当点D 在线段BC 的延长线上时连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时连接BE 交直线AC 于M 若25AC CM = 请求出ADB AEMS S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【详解】证明（1）∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAH CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAH ADC ∴∠=∠在AHE 与DCA △中 90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHE DCA AAS ∴△≌△ EH AC ∴=；（2）如图2 过点E 作EN AC ⊥ 交CA 延长线于N∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS 则BM EM =；（3）如图当点D 在线段BC 上时∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =由（1）得：AHE DCA △≌△ 则AH CD = 5===EH AC BC a由∠90EHM BCM ∠=∠=︒ BMC EMH ∠=∠ ∠MHE MCB △≌△（AAS ） ∠CM HM = 即2HM CM a == ∠522AH AC CM HM a a a a =--=--= ∠3AM AH HM a CD AH a ==5EH AC a == 4BD BC CD a =-= 11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EH a a ；如图点D 在CB 延长线上时过点E 作EN AC ⊥ 交AC 延长线于N∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =∠EN AC ⊥ AE AD ⊥ ∠90ANE EAD ACB ∠=∠=∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= AN CD = 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ∠2==CM NM a 5NE BC AC a === ∠9AN AC CM MN a =++=7AM AC CM a =+= 9AN CD a == ∠4BD a = 11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a 点D 在BC 延长线上由图2得：AC CM < ∠25AC CM =不可能故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【变式训练1】如图 90,ABC FA AB ∠=⊥于点A 点D 在直线AB 上,AD BC AF BD ==．(1)如图1 若点D 在线段AB 上判断DF 与DC 的数量关系和位置关系并说明理由；(2)如图2 若点D 在线段AB 的延长线上其他条件不变试判断（1）中结论是否成立并说明理由．【答案】(1)DF =DC DF ∠DC ；理由见解析；(2)成立理由见解析【解析】（1）解：∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90ABC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．（2）∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90DBC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．【变式训练2】在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时．∠请说明ADC CEB △≌△的理由；∠请说明DE AD BE =+的理由；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出等量关系并予以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)∠理由见解析；∠理由见解析(2)DE AD BE =- 证明见解析(3)DE BE AD =-【解析】(1)解：∠∠AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90ACB ∠=︒ ∠90ACD BCE ∠+∠=︒90ACD DAC ∠+∠=︒ ∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DC CE DE += ∠AD EB DE +=(2)结论：DE AD BE =-∠BE EC ⊥ AD CE ⊥∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90EBC BCE ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ACE BCE ∠+∠=︒∠ACD EBC ∠=∠∠ADC CEB △≌△∠AD EC = CD BE =∠DE EC CD AD EB =-=-(3)结论：DE BE AD =-∠90ACB ∠=︒∠90ACD BCE ∠+∠=︒∠BE MN ⊥ AD MN ⊥∠90ADC DEC ∠=∠=︒∠90ACD DAC ∠+∠=︒∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DE CD EC EB AD =-=-．【变式训练3】（1）如图1 在∠ABC 中 ∠BAC ＝90° AB ＝AC 直线m 经过点A BD ∠直线m CE ∠直线m 垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2 将（1）中的条件改为：在∠ABC 中 AB ＝AC D 、A 、E 三点都在直线m 上并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α 其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立请给出证明；若不成立请说明理由．（3）拓展应用：如图3 D E 是D A E 三点所在直线m 上的两动点（D A E 三点互不重合）点F 为∠BAC 平分线上的一点且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形连接BD CE 若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC 求证：∠DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：BD ⊥直线m CE ⊥直线m 90BDA CEA ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒ 90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立理由如下：α∠=∠=BDA BAC180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒ ∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒ ∠CAE ABD ∠=∠∠()ADB CEA AAS ∆∆≌ ∠AE BD =∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∠FBD FAE ∠=∠∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ） ∠,FD FE BFD AFE =∠=∠∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∠∠DFE 是等边三角形．【课后作业】1．如图是高空秋千的示意图小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低点B 最终荡到最高点C 处若90AOC ∠=︒ 点A 与点B 的高度差AD ＝1米水平距离BD ＝4米则点C 与点B 的高度差CE 为（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】B【详解】解：作AF∠BO于F CG∠BO于G∠∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ∠AOF+∠OAF=90° ∠∠COG=∠OAF在∠AOF与∠OCG中AFO OGCOAF COGAO OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOF∠∠OCG（AAS） ∠OG=AF=BD=4米设AO=x米在Rt∠AFO中 AF2+OF2=AO2即42+（x-1）2=x2解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．2．如图 ∠ABC＝∠ACD＝90° BC＝2 AC＝CD则△BCD的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图作DE垂直于BC的延长线垂足为E∠90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒ ∠BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中 ∠90BAC DCE ABC CED AC CD ∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∠()ABC CED AAS ≌ ∠2BC DE == ∠122BCD S BC DE =⨯⨯= 故答案为：2．3．如图 ABC 为等边三角形 D 是BC 边上一点在AC 上取一点F 使=CF BD 在AB 边上取一点E 使BE DC = 则EDF ∠的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．70【答案】C 【详解】∠ABC 是等边三角形 ∠∠B=∠C=60°在∠EDB 和∠DFC 中 60BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠EDB ∠∠DFC ∠∠BED=∠CDF ∠∠B=60° ∠∠BED+∠BDE= 120° ∠∠CDF+∠BDE= 120°∠∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE ）=180°-120°=60°.故选C.4．已知∠ABC 中 ∠ACB =90° AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直且垂足分别为D E ．学习完第十二章后张老师首先让同学们完成问题1：如图1 若AD =2.5cm DE =1.7cm 求BE 的长；然后张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部 BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变如图2 猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系并给予证明．【答案】BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【详解】解：如图1 ∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE =2.5cm BE =CD∠DE =1.7cm ∠BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ∠BE 的长为0.8cm ；如图2 DE =AD +BE 理由如下：∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90° ∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE BE =CD ∠DE =AD +BE ．5．如图在ABC 中 AB BC =．（1）如图∠所示直线NM 过点B AM MN ⊥于点M ⊥CN MN 于点N 且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示直线MN 过点B AM 交MN 于点M CN 交MN 于点N 且AMB ABC BNC ∠=∠=∠ 则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立理由见解析【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥ ⊥CN MN∠90AMB BNC ∠=∠=︒ ∠90ABM BAM ∠+∠=︒∠90ABC ∠=︒ ∠90ABM CBN ∠+∠=︒ ∠BAM CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = BM CN = ∠BN MB MN += ∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∠AMB ABC ∠=∠ ∠MAB CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = NC MB =∠MN MB BN =+ ∠MN AM CN =+．6．如图在∠ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线l 经过顶点C 过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时∠求证：∠EAC ＝∠BCF ．∠猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合）请你探究直线l EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）∠证明见解析 ∠EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【详解】（1）证明：∠∵AE ⊥EF BF ⊥EF ∠ACB ＝90°∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°∴∠EAC +∠ECA ＝90° ∠ECA +∠FCB ＝90° ∴∠EAC ＝∠FCB∠EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中 AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△FCB （AAS ）∴CE ＝BF AE ＝CF∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF即EF ＝AE +BF ；（2）∠当AD ＞BD 时如图①∵∠ACB ＝90° AE ⊥l 直线同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）又∵AC ＝BC BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE CE ＝BF∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF∴AE ＝BF +EF ；∠当AD ＜BD 时如图②∵∠ACB ＝90° BF ⊥l 直线同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）又∵AC ＝BC BE ⊥l 直线即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE BF ＝CE∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ∴BF ＝AE +EF ．7．（1）某学习小组在探究三角形全等时发现了下面这种典型的基本图形．如图1 已知：在ABC 中 90BAC ∠=︒ AB AC = 直线l 经过点A BD ⊥直线l CE ⊥直线l 垂足分别为点D E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想如果三个角不是直角那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在ABC 中 AB AC = D A E 三点都在直线l 上并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠= 其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立请你给出证明；若不成立请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3 过ABC 的边AB AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△ 则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立理由见解析；（3）3.5【详解】解：（1）证明：如图1中 ∠BD ∠直线l CE ∠直线l∠∠BDA =∠CEA =90°∠∠BAC =90°∠∠BAD +∠CAE =90°∠∠BAD +∠ABD =90°∠∠CAE =∠ABD在∠ADB 和∠CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中∠∠BDA =∠BAC =α∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α∠∠DBA =∠CAE在∠ADB 和∠CEA 中BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3 过E 作EM ∠HI 于M GN ∠HI 的延长线于N ．∠∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∠EM =GN在∠EMI 和∠GNI 中GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠EMI ∠∠GNI （AAS ）∠EI =GI∠I 是EG 的中点．∠S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．8．如图在∠ABC 中 AB ＝AC ＝2 ∠B ＝∠C ＝40° 点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合）连接AD 作∠ADE ＝40° DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时 ∠EDC ＝ ° ∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时 ∠BDA 逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时 ∠ABD ∠∠DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中 ∠ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以请直接写出∠BDA 的度数；若不可以请说明理由．【答案】（1）35105︒︒，小；（2）2 理由见解析；（3）110︒或80°【详解】（1）40B C ∠=∠=︒ 40ADE ∠=︒1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒BAD EDC ∴∠=∠ ADB DEC ∠=∠∴当∠BDA ＝105°时∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时 BAD ∠逐渐变大 180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 则∠BDA 逐渐变小故答案为：35105︒︒，小；（2）BAD EDC ∠=∠ ADB DEC ∠=∠当DC AB =2=时 ABD DCE ∴≌（AAS ） 2DC ∴=（3）∠ADE 的形状可以是等腰三角形 BDA ∠=110︒或80︒40B C ∠=∠=︒ 1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒∠当DA DE =时 ()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒ 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；∠当EA ED =时 ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠当AE AD =时 ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒100BAC ∠=︒∴此时D 点与B 点重合由题意可知点D 不与点B 、C 重合∴此种情况不存在综上所述当∠ADE是等腰三角形时BDA∠=110︒或80︒．9．如图线段AB=6 射线BG∠AB P为射线BG上一点以AP为边做正方形APCD且点C、D与点B在AP两侧在线段DP上取一点E使得∠EAP=∠BAP直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：△AEP∠∠CEP；（2）判断CF与AB的位置关系并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值若是请求出这个定值若不是请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）CF∠AB理由见解析；（3）是为16．【详解】解：（1）证明：∠四边形APCD 正方形 ∠DP平分∠APC PC=P A ∠APC=90°∠∠APE=∠CPE=45°在∠AEP与∠CEP中AP CPAPE CPEPE PE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AEP∠∠CEP（SAS）；（2）CF∠AB理由如下：∠∠AEP∠∠CEP ∠∠EAP=∠ECP∠∠EAP=∠BAP ∠∠BAP=∠FCP ∠∠APC=90° ∠∠FCP+∠CMP=90° ∠∠AMF=∠CMP ∠∠AMF+∠P AB=90° ∠∠AFM=90° ∠CF∠AB；（3）过点C作CN∠PB．∠CF∠AB BG∠AB ∠∠PNC=∠B=90° FC∠BN∠∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠P AB又AP=CP ∠∠PCN∠∠APB（AAS） ∠CN=PB=BF PN=AB∠∠AEP∠∠CEP ∠AE=CE∠∠AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．故∠AEF的周长是否为定值为16．。

一线三等角模型(练习题)

中考复习专题 “一线三等角”模型训练题1.矩形ABCD 中,点E ，F 分别在AD 、CD 上，且BE ⊥FE ，则图中的三角形①，②，③，④一定相似的是（）A ．①和②B ．①和③C ．②和④D ．①②和③第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图,已知一次函数y=-21x+1的图象与两坐标轴分别交于A 、B,点C 在x 轴上,AC=4,第一象限内有一个点P,且PC ⊥x 轴于点C,若以点P 、A 、C 为顶点的三角形与△OAB 相似,则点P 的坐标为（）A ．（4,8）B ．（4,8）或（4,2）C ．（6,8）D ．（6,8）或（6,2）3.如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,F 是CD 上一点,且CF=3FD.则图中相似三角形的对数是( )A.1B.2C.3D.44.如图,点E 在线段AB 上,CA ⊥AB 于点A,DB ⊥AB 于点B,AC=1,AB=5,EB=2,点P 是射线BD 上的一个动点,则当BP= 时,△CEA 与△EPB 相似.5. 如图,在Rt △ABC 中，已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D 在BC 上运动（不能到达点B ，C ），过D 作∠ADE=45°,DE 交AC 于E ，若,CE=1,则BD= .第5题图第6题图第7题图6.如图,等边三角形ABC 中，D 、E 分别在BC 、AB 上,且∠ADE=60°,CD=2cm,BE=56cm,则AB= . 7.如图,△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上（点D 不与点B 、C 重合）,连结AD ,以AD 为边作∠ADE = ∠ABC ,DE 交边AC 于点E,若AB =2,则EC 的最大值是 .8.如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；（2）如图②，在上述条件下，当点D 运动到AB 的中点时，求证：在∠EDF 绕点D 旋转过程中，点D 到线段MN 的距离为定值．9.如图，在四边形ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°,点E 为BC 的中点,AE ⊥DE ．（1）求证:△ABE ∽△ECD ；（2）求证：AE 2=AB •AD ；（3）若AB=1，CD=4，求线段AD ，DE 的长．10.如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EF ⊥EC 交AB 于F,连接FC （AB ＞AE ）．（1）求证：△AEF ∽△DCE ；（2）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由；（3）设BC AB =k,若△AEF ∽△BCF ，则k= （请直接写出结果）．。

中考数学几何专题——一线三等角模型

一线三等角模型模型识别:条件：左图：N ABC=N ACE=N CDE=90°中图：N ABC=N ACE=N CDE=60°右图：N ABC=N ACE=N CDE=45° 结论：所有图形都存在的结论①△ABCFCDE；② AB X DE=BC X CD另外：一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

题型一：三直角1、如下左图，a ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A,N D=N E=90°,则下列结论正确的是_______ .① CD=AE；②N1=N2；③N3=N4；④ AD=BE2、如上右图，AB±BC, CD L BC,垂足分别为B、C, AB=BC, E为BC的中点，且AE±BD 于F,若CD=4cm,则U AB的长度为.3、如下左图，已知图中4条直线互相平行，相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos =.4、如上右图，AE X AB且AE=AB, BC±CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围城的面积S是_____ .5、如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为____ .6、如图，^ABC中，N ABC=90°, AB=BC,m角形的顶点在相互平行的三条直线11, 12> 13 上，且11,12之间的距离为1,12、13之间的距离为3(1)求AC的长(2)点B到AC的距离7、如图，在^ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt A ABE和等腰Rt^ACF,连接EF,过点A作AD L BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M,证明：EM=FM.8、在^ABC 中 N C=90°, AC=4, BC=3, O 是AB 上的一点，且A0 = 2,点P 是AC 上的一AB 5个动点，PQ X OP交线段BC于点Q,(不与点B、C重合)，设AP=x, CQ=y，试求y关于x 函数关系式。

中考数学复习一线三等角模型(含解析)

中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。

一线三等角模型(解析版)--初中数学专题训练

一线三等角模型基本模型：例题精讲1(直角K 字型)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到①的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到②的位置时，求证：DE =AD -BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到③的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)见解析；(3)DE =BE -AD【详解】(1)①如图1，∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠ACB =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∠ECB +∠DCA =90°，∴∠DAC =∠ECB ，∴∠ADC =∠CEB∠DAC =∠ECB AC =CB，∴△ADC ≌△CEB ．②∵△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ,DC =BE ，∵DE =DC +CE ，∴DE =AD +BE ．(2)如图2，∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE,DC=BE，∵DE=CE-DC，∴DE=AD-BE．(3)线段DE、AD、BE的熟练关系为：DE=BE-AD或AD=BE-DE或BE=AD+DE．理由如下：如图3，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，∴∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE,DC=BE，∵DE=DC-CE，∴DE=BE-AD或AD=BE-DE或BE=AD+DE．2(非直角K字型)【探究】如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．若AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC，若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为．【答案】探究：见解析；应用：6【详解】探究证明：∵∠A =∠BAE +∠ABE ，∠BAC =∠CAF +∠BAE ，又∵∠BAC =∠1，∴∠ABE =∠CAF ，∵∠1=∠2，∴∠AEB =∠CFA ，在△ABE 和△CAF 中，∠AEB =∠CFA∠ABE =∠CAF AB =AC，∴△ABE ≌△CAF AAS ；应用：解：∵△ABE ≌△CAF ，∴S △ABE =S △CAF ，∴S △CDF +S △CAF =S △ACD ，∵CD =2BD ，△ABC 的面积为9，∴S △ACD =23S △ABC=6，∴△ABE 与△CDF 的面积之和为6，故答案为：6．【变式训练】1(1)如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．证明：(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．请写出DE ,BD ,CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)DE =BD +CE ，证明见解析【详解】(1)DE =BD +CE ．理由如下：如图1，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA =90°AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，∴DE =CE +BD ；(2)DE =BD +CE ，理由如下：如图2，∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∴△ADB ≌△CEA (AAS )，∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ；2(1)观察理解：如图1，∠ACB =90°，AC =BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB．(2)理解应用：如图2，过△ABC 边AB 、AC 分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ．利用(1)中的结论证明：I 是EG的中点．(3)类比探究：①将图1中△AEC 绕着点C 旋转180°得到图3，则线段ED 、EA 和BD 的关系；②如图4，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，将腰DC 绕D 点逆时针旋转90°至DE ，△AED 的面积为．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①ED =EA -BD ；②1【详解】(1)证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC =∠BDC =90°，又∵∠ACB =90°∴∠A +∠ACE =∠ACE +∠BCD =90°，∴∠A =∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，∠AEC =∠CDB∠A =∠BCDAC =BC∴△AEC ≌△CDB (AAS )；(2)证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N ，由(1)得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM =AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，∠EIM =∠GIN∠EMI =∠GNI =90°EM =GN∴△EMI ≌△GNI (AAS )；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；(3)解：①由(1)得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA -BD ；故答案为：ED =EA -BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由(1)得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为12AD ⋅EN =12×2×1=1．故答案为：13已知：△ABC 中，∠ACB =90°，AC =CB ，D 为直线BC上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE ⊥AD ，且AE =AD ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH ⊥AC 于H ，连接DE ，求证：EH =AC ；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM =EM ；(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若2AC =5CM ，则S △ADB S △AEM 的值为．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)47或43【详解】(1)∵AE ⊥AD ,EH ⊥AC ,∠ACB =90°，∴∠AHE =∠C =∠DAE =90°，∵∠AEH +∠EAH =90°，∠DAC +∠EAH =90°，∴∠AEH =∠DAC ，在△AEH 和△DAC 中，∠AHE =∠C∠AEH =∠DAC AE =DA，∴△AEH ≌△DAC (AAS )，∴EH =AC ．(2)如图，作EF ⊥CM 交CM 的延长线于点F ，∵∠F =90°,∠ACD =180°-∠ACB =90°,∠DAE =90°，∴∠F =∠ACD =∠MCB ，∵∠FAE +∠CAD =90°，∠CDA +∠CAD =90°，∴∠FAE =∠CDA ，在△FAE 和△CDA 中，∠F =∠ACD∠FAE =∠CDA AE =DA，∴△FAE ≌△CDA (AAS )，∴EF =AC ，∵AC =CB ，∴EF =AC =BC ，在△BMC和△EMF中，∠MCB=∠F∠BMC=∠EMF BC=EF，∴△BMC≌△EMF(AAS)，∵BM=EM．(3)当点D在CB的延长线上时，作EG⊥AM交AM的延长线于点G，则∠G=∠ACD=90°，∵∠DAE=90°，∵∠D+∠DAC=90°，∠DAC+∠GAE=90°，∴∠GAE=∠D，在△AGE和△DCA中，∠G=∠ACD ∠GAE=∠D AE=DA，∴△AGE≌△DCA(AAS)，∴AG=DC,EG=AC，∵AC=CB，∴EG=AC=BC∴AG-AC=DC-BC，∴CG=DB，∵∠BCM=180°-∠ACB=90°，∴∠G=∠BCM，在△EGM和△BCM中，∠G=∠BCM∠EMG=∠BMC EG=BC，∴△EGM≌△BCM(AAS)，∴GM=CM，设GM=CM=m，则DB=CG=2m，∵2AC=5CM，∴AC=52CM=52m，∴AM=52CM+CM=72CM=72m，∴SΔADB=12DB⋅AC=12×2m⋅AC=m⋅AC，SΔAEM=12AM⋅EG=12×72m⋅AC=74m⋅AC，∴⋅SΔADBSΔAEM=m⋅ACm4m⋅AC=47，∴⋅SΔADBSΔAEM的值为47；当点D在线段BC上时，作EG⊥AM于点G，同理可证：EG=AC=BC，GM=CM，设CM=GM=n，则BD=CG=2n，∵2AC=5CM，∴AC=52CM,∴AM=52CM-CM=32CM=32n，∴SΔADB=12DB⋅AC=12×2n⋅AC=n⋅AC，SΔAEM=12AM⋅EG=12×32n⋅AC=34n⋅AC，∴SΔADBSΔAEM=n⋅AC34n⋅AC=43，综上所述，S ΔADB S ΔAEM的值为47或43，故答案为：47或43．4【问题背景】(1)如图1，在Rt△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，∠ADC =90°，BE ⊥CD ，垂足为E ．求证：CD =BE ；【变式运用】(2)如图2，在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =∠CDA =90°，CD =2．求S △BDC ；【拓展迁移】(3)如图3，在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，CD 与AB 交于点E ，AD =1，BE =4AE ，直接写出S △BDC 的值．【答案】(1)详见解析；(2)2；(3)8．【详解】解：(1)∵∠ACB =∠ADC =90°，BE ⊥CD ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，∴∠ACD =∠CBE ，在△ACD 与△CBE 中，∠ACD =∠CBE∠ADC =∠CEBAC =BC∴△ACD ≌△CBE (AAS )，∴CD =BE ；(2)过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，∵AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，由(1)知，BE =CD =2，∴S △BDC =12CD ⋅BE =2；(3)过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，∵AC =BC ，∠ACB =∠ADC =90°，由(1)知BF =CD ，AE BE =S △ACE S △BCE =AD BF ，∵BE =4AE ，∴BF =4，AD =4，CD =BF =4，∴S △BDC =12CD ⋅BF =8．课后训练5如图，△ABC 为等边三角形，D是BC 边上一点，在AC 上取一点F ，使CF =BD ，在AB 边上取一点E ，使BE =DC ，则∠EDF 的度数为()A.30°B.45°C.60°D.70°【答案】C【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，在△EDB 和△DFC 中，BD =CF∠B =∠C =60°BE =CD,∴△EDB ≌△DFC ，∴∠BED =∠CDF ，∵∠B =60°，∴∠BED +∠BDE =120°，∴∠CDF +∠BDE =120°，∴∠EDF =180°-(∠CDF +∠BDE )=180°-120°=60°.故选C .6如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC =∠CFA =α．(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA =90°，α=90°，则BE CF ．②如图2，若0°<∠BCA <180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3．若线CD 经过∠BCA 的外部，α=∠BCA ，请提出关于EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由【答案】(1)①BE =CF ；②α+∠BCA =180°，理由见解析(2)EF =BE +AF ，理由见解析【详解】(1)①∵∠BEC =∠CFA =α=90°，∴∠BCE +∠CBE =180°-∠BEC =90°．又∵∠BCA =∠BCE +∠ACF =90°，∴∠CBE =∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，∠BEC =∠CFA∠CBE =∠ACFBC =AC∴△BCE ≌△CAF (AAS )．∴BE =CF ．②α+∠BCA=180°，理由如下：∵∠BEC=∠CFA=α，∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α．又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，∴∠EBC+∠BCE=180°-α．又∵α+∠BCA=180°，∴∠BCA=180°-α．∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BCE和△CAF中，∠CBE=∠ACF ∠BEC=∠CFA BC=CA∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE=CF．故答案为：①BE=CF；②α+∠BCA=180°(2)EF=BE+AF，理由如下：∵∠BCA=α，∴∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-α．又∵∠BEC=α，∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α．∴∠EBC=∠FCA．在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠FCA ∠BEC=∠FCA BC=CA∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE=CF，EC=FA．∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF ．7如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD=AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB．(1)若∠AEF=20°，∠ADE=50°，则∠ABC=°；(2)过D点作DG⊥AE，垂足为G．①填空：△DEG≌△；②求证：AE=AF+BC；(3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由．【答案】(1)60°；(2)①EFA；②见解析；(3)AE=AF+BC，理由见解析【详解】(1)解：如图1：在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，∵∠1=20°，∴∠2=∠DEF-∠1=70°，∵∠EDA+∠2+∠3=180°，∠ADE=50°∴∠3=60°，∵EA⊥AB，∴∠EAB=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠4=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=∠C-∠4=60°．(2)解：①如图1，过D作DG⊥AE于G，在△DEG中，∠2+∠5=90°，∵∠2+∠1=90°，∴∠1=∠5，∵DE=FE，在△DEG与△EFA中，∠DGE=∠EAF ∠5=∠1DE=EF，∴△DEG≌△EFA，故答案是：EFA；②∵△DEG≌△EFA，∴AF=EG，∵∠4+∠B=90°，∵∠3+∠EAB+∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠B，在△DAG与△ABC中，∠3=∠B∠DGA=∠C AD=AB，∴△DAG≌△ABC，∴BC=AG，∴AE=EG+AG=AF+BC．(3)解：AE+AF=BC，理由如下：如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°，∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，在△ADM 与△BAC 中，∠M =∠C∠2=∠B AD =AB，∴△ADM ≌△BAC ，∴BC =AM ，∵EF =DE ，∠DEF =90°，∵∠3+∠DEF +∠4=180°，∴∠3+∠4=90°，∵∠3+∠5=90°，∴∠4=∠5，在△MED 与△AFE 中，∠M =∠EAF∠5=∠4DE =EF，∴△MED ≌△AFE ，∴ME =AF ，∴AE +AF =AE +ME =AM =BC ，即AE +AF =BC ．8已知：等腰Rt ΔABC 和等腰Rt ΔADE 中，AB =AC ，AE =AD ，∠BAC =∠EAD =90°．(1)如图1，延长DE 交BC 于点F ，若∠BAE =62°，则∠DAC 的度数为；(2)如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若∠AEC =90°，点M 为BD 中点，求证：EC =2AM ；(3)如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，AG =8，AH =2，则ΔAEC 的面积为．【答案】(1)62°；(2)见解析；(3)16【解析】(1)解：∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAC -∠EAC =∠EAD -∠EAC ，即∠BAE =∠DAC ，∵∠BAE =62°，∴∠DAC =62°，故答案为：62°；(2)证明：如图2，延长AM 至点N ，使MN =AM ，连接BN ，在ΔAMD 和ΔNMB 中，DM =MB∠AMD =∠NMB AM =MN，∴ΔAMD ≅ΔNMB SAS ，∴AD =BN ，∠N =∠DAM =90°，∴BN =AE ，在Rt ΔANB 和Rt ΔCEA 中，BN =AE AB =AC ，∴Rt ΔANB ≅Rt ΔCEA HL ，∴EC =AN =2AM ；(3)解：如图3，延长AG 至K ，使GK =AG ，连接CK 、CD 、BE ，设AE 交BC 于点P ，∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAE +∠EAC =∠EAC +∠CAD ，∴∠BAE =∠CAD ，∵ΔABC 是等腰直角三角形，ΔADE 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，AE =AD ，在ΔABE 与ΔACD 中，AB =AC∠BAE =∠CAD AE =AD，∴ΔABE ≅ΔACD SAS ，∴S ΔABE =S ΔACD ，BE =CD ，∵G 点是EC 的中点，∴EG =GC ，∵∠AGE =∠KGC ，AG =GK ，∴ΔAGE ≅ΔKGC SAS ，∴AE =CK ，∠AEG =∠KCG ，∴AE =KC =AD ，∠ACK =∠ACB +∠BCE +∠KCG =45°+∠AEC +∠BCE =45°+∠ABC +∠BAP =90°+∠BAE =∠BAD ，∴ΔAKC ≅ΔABD SAS ，∴BD =AK =16，∠CAK =∠ABD ，∵∠BAG +∠CAG =90°，∴∠ABD +∠BAG =90°，即∠AHB =90°，∵AH =2，∴S ΔABD =12×BD ×AH =12×16×2=16，∵S ΔAEC =S ΔAEG +S ΔAGC =S ΔGCK +S ΔAGC =S ΔACK =S ΔABD =16，∴S ΔAEC =16，故答案为：16．9如图△ABD 与△AEC 均为等腰直角三角形，AD =AB ，AC =AE ，∠BAD =∠CAE =90°．(1)如图1，若反向延长△ABC 的高AM 交DE 于点N ，过D 作DH ⊥MN ．求证：DH =AM ，DN =EN ；(2)如图2，若AM 为△ABC 的中线，反向延长AM 交DE 于点N ，试探究AM 与DE 的数量关系，并说明理由；(3)由(1)(2)的探究我们发现S △ABC S △ADE ．(填“<”“>”或“=”号，无需证明)【答案】(1)见解析；(2)DE=2AM，见解析；(3)=【详解】(1)证明：如图，过点E作EP⊥MN交MN的延长线于点P，∵DH⊥MN，AM⊥BC，∴∠DHA=∠AMB=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAM+∠DAH=90°，∴∠DAH=∠ABM，在△DAH与△ABM中，∠DHA=∠AMB ∠DAH=∠ABM AD=AB∴△DAH≌△ABM(AAS)，∴DH=AM，同理可得：△APE≌△CMA(AAS)，∴EP=AM，∴EP=DH，∵DH⊥MN，EP⊥MN，∴∠DHN=∠EPN=90°，在△DHN与△EPN中，∠DHN=∠EPN ∠DNH=∠ENP DH=EP∴△DHN≌△EPN(AAS)，∴DN=EN；(2)解：DE=2AM，理由如下：如图，延长AM至点G，使AM=MG，连接GC，∵AM为△ABC的中线，∴BM=CM，在△ABM与△GCM中，BM=CM∠AMB=∠GMC AM=MG∴△ABM≌△GCM(SAS)，∴AB=GC，∠ABM=∠GCM，∴AB⎳GC，∴∠BAC+∠ACG=180°，∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAE+∠BAC=360°-∠BAD-∠CAE=180°，∴∠DAE=∠ACG，∵AB=GC，AB=AD，∴AD=GC，在△ADE与△CGA中，AE=AC∠DAE=∠ACG AD=CG∴△ADE≌△CGA(SAS)，∴DE=AG，∵AM=MG，∴AG=2AM，∴DE=2AM；(3)解：∵△ABM≌△GCM，∴S△ABM=S△GCM，∴S△ABM+S△AMC=S△GCM+S△AMC，∴S△ABC=S△AGC，∵△ADE≌△CGA，∴S△AGC=S△DAE，∴S△ABC=S△DAE，故答案为：=．10如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC 为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且∠DAC=∠CBE=90°，AD=AC，BC=BE，过点D作DD1⊥a于点D1，过点E作EE1⊥a于点E1．(1)【问题探究】小华同学想探究图1中线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线CH⊥AB于点H，可以先证明△ADD1≌△CAH和△BEE1≌，于是可得：和，所以得到线段DD1、EE1、AB之间的数量关系是；(2)【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段D1E1=m，AB =n，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为．【答案】(1)△CBH；DD1=AH；EE1=BH；AB=DD1+EE1；(2)AB=DD1-EE1，理由见解析；(3) 14n(m-n)．【详解】解：(1)∵DD 1⊥a ，CH ⊥AB ，∴∠DD 1A =∠CHA =∠DAC =90°，∴∠D 1DA +∠D 1AD =90°，∠D 1AD +∠CAH =90°，∴∠D 1DA =∠CAH ，∵AD =AC ，∴△D 1DA ≌△HAC ，同理△BEE 1≌△CBH ，∴DD 1=AH ，EE 1=BH ，∴AB =DD 1+EE 1故答案为：△CBH ，DD 1=AH ，EE 1=BH ，AB =DD 1+EE 1；(2)AB =DD 1-EE 1．理由：如图，过点C 作CG ⊥a 于点G ，∵DD 1⊥a ，CG ⊥a ，EE 1⊥a ，∴∠DD 1A =∠AGC ，∠CGB =∠BE 1E ，∴∠DAD 1+∠ADD 1=90°，∠CBG +∠BCG =90°，∵∠DAC =∠CBE =90°，∴∠DAD 1+∠CAG =90°，∠CBG +∠E 1BE =90°，∴∠ADD 1=∠CAG ，∠BCG =∠EBE 1，在△ADD 1和△CAG 中，∠ADD 1=∠CAG ,∠DD 1A =∠AGC ,AD =CA ,∴△ADD 1≌△CAG ，∴DD 1=AG ，同理可得：△BCG ≅△EBE 1，∴BG =EE 1，由图可得：AB =AG -BG ，∴AB =DD 1-EE 1；(3)∵CG =BE 1，CG =D 1A ，∴BE 1=D 1A =12(D 1E 1-AB )=12(m -n )，∴△ABC 的面积=12AB ⋅CG =12×12n (m -n )=14n (m -n )，故答案为：14n (m -n ).11(1)如图1，已知：在ΔABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥l ，CE ⊥l 垂足分别为点D、E ．证明：①∠CAE =∠ABD ；②DE =BD +CE ．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在ΔABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有∠BDA =∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图3，过ΔABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA 交EG于点I，求证：I是EG的中点．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)成立：DE=BD+CE；证明见解析；(3)见解析【详解】(1)①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC∴△ADB≌△CEA(AAS)∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC∴△ADB≌△CEA(AAS)∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；(3)如图过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N∴∠EMI =GNI =90°由(1)和(2)的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中∠GIH =∠EIMEM =GN∠GHI =∠EMI∴△EMI ≌△GNI (AAS )∴EI =GI∴I 是EG 的中点．12已知点C 是AB 上的一个动点．(1)问题发现如图1，当点C 在线段AB 上运动时，过点C 作DC ⊥AB ，垂足为点C ，过点A 作EA ⊥AB ，垂足为点A ，且DC =AB ，AE =BC ．①△ABE 与△CDB 全等吗？请说明理由；②连接DE ，试猜想△BDE 的形状，并说明理由；③DC =AE +AC 是否成立？(填“成立”或“不成立”)．(2)类比探究如图2，当点C 在线段AB的延长线上时，过点C 作DC ⊥AB ，垂足为点C ，过点A 作EA ⊥AB ，垂足点A ，且DC =AB ，AE =BC ．试直接写出△BDE 的形状为；此时线段DC 、AE 和AC 之间的数量关系为(直接写出结论，不用说明理由)．【答案】(1)①全等，理由详见解析；②△BDE 是等腰直角三角形，理由详见解析；③成立；(2)等腰直角三角形，AC =AE +DC【详解】解：(1)①全等．理由如下：∵DC ⊥AB ，EA ⊥AB ，∴∠BCD =90°=∠EAB ，又∵DC =AB ，AE =BC ，∴△ABE ≅△CDB ．②△BDE 是等腰直角三角形，理由如下：∵△ABE ≅△CDB ，∴BD =BE ，∠ABE =∠CDB ，在△BCD 中．∠CDB +∠DBC =90°，∴∠ABE +∠DBC =90°，即∠DBE =90°，∴△BDE是等腰直角三角形．③∵△ABE≌△CDB，∴AE=BC，AB=CD，∴CD=AB=AC+BC=AC+AE,故答案为：成立；(2)∵DC⊥AB，EA⊥AB，∴∠BCD=90°=∠EAB，又∵DC=AB，AE=BC，∴△ABE≅△CDB．∴BD=BE，∠ABE=∠CDB，在△BCD中．∠CDB+∠DBC=90°，∴∠ABE+∠DBC=90°，即∠DBE=90°，∴△BDE是等腰直角三角形．∵AB=CD，AE=BC，∴AC=AB+BC=AE+CD，故答案为：等腰直角三角形，AC=AE+DC.13已知：△ABC中，过B点作BE⊥AD，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，点D在BC的延长线上，连AD，作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD=BF；(2)如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE=AD，连BE交AC于F，连DE，问BD 与CF有何数量关系，并加以证明；(3)如图3，点D在CB延长线上，AE=AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC= 3MC，请直接写出DBBC的值．【答案】(1)见详解，(2)BD=2CF，证明见详解，(3)2 3．【详解】(1)证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF=∠BCF=90°，∵∠AFE=∠CFB，∴∠DAC=∠CBF，∵BC=AC，∴ΔBCF≅ΔACD(AAS)，∴BF=AD．(2)结论：BD=2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，∴∠ADC=∠EAH，∵AD=AE，∴ΔACD≅ΔEHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，∵CB=CA，∴BD=CH，∵∠EHF=∠BCF=90°，∠EFH=∠BFC，EH=BC，∴ΔEHF≅ΔBCF，∴FH=FC，∴BD=CH=2CF．(3)如图3中，作EH⊥AC于交AC延长线于H．∵∠AHE=∠ACD=∠DAE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，∴∠ADC=∠EAH，∵AD=AE，∴ΔACD≅ΔEHA，∴CD=AH，EH=AC=BC，∵CB=CA，∴BD=CH，∵∠EHM=∠BCM=90°，∠EMH=∠BMC，EH=BC，∴ΔEHM≅ΔBCM，∴MH=MC，∴BD=CH=2CM．∵AC=3CM，设CM=a，则AC=CB=3a，BD=2a，∴DB BC =2a3a=23．14(1)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，当直线MN旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)在(1)的条件下，当直线MN旋转到图2的位置时，猜想线段AD，DE，BE的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BC，BF⊥BC于B，BF=CD，CE⊥BC于C，CE= BD，求证：∠EAF+∠BAC=90°．【答案】(1)证明见解析；(2)DE=AD-BE，证明见解析；(3)证明见解析．【详解】解：(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；(2)DE=AD-BE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(3)如图3，连接CF、BE，AD⊥BC于D，BF⊥BC于B，∴∠ADC=∠CBF=90°，在△ADC和△CBF中，AD=BC∠ADC=∠CBF=90°CD=BF，∵△ADC≌△CBF(SAS)，∴∠CAD=∠FCB，AC=CF；∴∠ACF=∠FCB+∠ACD=∠CAD+∠ACD=∠ADC=90°∴△ACF为等腰直角三角形．∴∠CAF=45°，同理可证：△ABE为等腰直角三角形．∴∠EAB=45°，∴∠EAF+∠BAC=∠CAF+∠EAB=90°．。

一线三等角型(k型)

例题讲解与练习
3、(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF 均为等边三角形，连接BD、CE, 若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
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一线三等角型（k型）
学情交流
引入
1、
方法归纳
2、归纳：一线三等角
例题讲解与练习
3、(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
例题讲解与练习
3、(1)如图(1)，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE. (2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上, 并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立? 如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
例题讲解讲解
4、
例题讲解
5、
拓展
6、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，

相似三角形——一线三等角练习题

一线三等角一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示
相似三角形 —— 一线三等角
一线三等角型相似三角形
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
一．牛刀小试
1.如图，中，，，过D作交BC延长线与E。
求证：△ABC∽△CED
2.如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
二．初露锋芒
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，求证：△BDE∽△DFE
（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值。
2.已知Δ 中， ,点、在边上，满足∠ =∠ .求证：；
三．兵为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得。
（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）求AB的长；
四．锋不可当
1.正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。

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