一线三等角典型例题

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一线三等角”模型在初中数学中的应用

一、“一线三等角”模型的提炼

例1、（2015 年山东·德州卷）

(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.

(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.

(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.

变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究

如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1

和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作

D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．

( 2) 拓展延伸

1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1

，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．

2如图8，若将①　中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

二、添加辅助线后运用基本图形

，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC 例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°

上，若CE=5，求CD的长。

例2、( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．

例3、如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ

翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。

三、应用举例

1、等腰三角形底边上的一线三等角

例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.

(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似

的三角形。

(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重

合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。

(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于

三角形面积的1/4时，求线段EF的长。