7[1].2不定积分凑微分法和换元法
不定积分凑微分法和换元法(课堂PPT)
1 cos 2x C; 2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd(sin x)
sin x2 C;
已知
udu
1 2
u2
C
解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd(cos x)
cos x2 C.
已知
udu
1 2
7.2 不定积分的计算
巴马水具有四个显著特征: 一是弱碱性离子水。 二是还原水。 三是小分子团水。 四是营养水。
1
1、第一换元积分法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
x 2
1 tan
x 2
d
tan
x 2
ln tan x C ln(csc x cot x) C. 2
（使用了三角函数恒等变形）
16
解（二） csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
由此可得换元法定理
3
定理7.2.1 设u ( x)在[a,b]可导，(x)[, ]，
g(u) 在[, ]上有原函数G(u) ，则有换元积分公式
g[( x)]( x)dx g(u)du G(( x)) C
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
f [( x)]( x)dx 化为 g(u)du.
不定积分求解方法
不定积分求解方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March探讨不定积分的解题方法班级学号姓名51 杨洁珊摘要在数学分析中，不定积分占有非常重要的地位，是高等数学教学的难点和重点．具有很高的灵活性，可以开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，同时还存在一题多解的方法使学生能过做到举一反三、触类旁通的教学效果。
为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。
研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。
求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。
求解不定积分的方法主要有直接积分法（即直接利用积分公式求解）、换元积分法（第一换元积分法、第二换元积分法）、分部积分法。
关键词不定积分、直接积分法、换元积分法、分部积分法、分解积分法。
前言正如假发有逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法。
我们已经知道微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，相反：求一个未知函数使其导函数恰好是某一已知函数。
提出这个逆问题，首先是因为它出现在许多实际问题之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的，求曲线方程等等这些都是积分在生活中的应用，特别是在物理学中的应用，变力做功，质点做变速直线运动的路程以及引力问题。
所以掌握不定积分的求法，在我们的数学物理科学研究工作中显得尤为重要。
标题一、直接积分法我们已经知道积分法是微分的逆运算，即直接积分法就是利用最基本的积分公式求解积分。
要掌握这一方法首先就应该熟记，并懂得灵活运用。
下面的基本积分表就必须掌握1.0dx c=⎰2adx ax c=+⎰3.()10,01aaxx dx c a xa+=+≠>+⎰4() 1ln||0 dx x c xx=+≠⎰5.x xe e c=+⎰6.(0,1)ln x x a a dx c a a x=+>≠⎰17.cos sin axdx ax c a=+⎰ ()18sin cos 0axdx ax c a a=-+≠⎰ ()29sec tan 0xdx x c a =+≠⎰210.csc tan xdx x c =+⎰11.sec tan sec x xdx x c =+⎰12.csc cot csc x xdx x c =-+⎰13.arcsin arccos 'dxx c x c =+=-+⎰ 214.arctan cot '1dx dx x c arc x c x=+=-++⎰ 22115.ln ||2dx x a c x a a x a-=+-+⎰ 16.sec ln |sec tan |xdx x x c =++⎰在实际计算中最重要的是要把复杂的运算转化为熟悉的积分公式，如下几种情况(1).假分式化为真分式方法：分母不改变，对分子进行拼凑，转化为真分式。
求不定积分的几种方法
求不定积分的几种方法摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定意义。
关键词：不定积分直接积分法分部积分法方程法Abstract: There are many kinds of methods to solve the indefinite integral. For different types of function using the most suitable method often can play a multiplier effect. In this paper, indefinite integral solutions are divided into several different types and the feasibility of the method of indefinite integral is discussed by integrating the practical examples, which is of certain significance to rapidly, correctly solving indefinite integral.Key words: indefinite integral; direct integration method; integration by parts; equation method不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。
不定积分三种基本解题方法的归类1
一 、换元积分法
换元积分法 ,就是通过适当的变量代换 ,把积分转化为积 分表中的类型或容易积分的形式 。换元积分法包括第一换元
积分法及第二换元积分法 。
1 、第一换元积分法
∫ 第一换积分法又称凑微分法 , 在求积分 g ( x) dx , 如果
∫ 它可写成 f [φ( x) ]φ′( x) dx 的形式时 ,可作变量代换 u = φ
=
1 2
ln
t- 1 t +1
+c
·80 ·
=
1 2
ln
=
1 2
ln
1 + x2 - 1 + c 1 + x2 + 1
1 + x2 - 1 2 x2
+c
= ln
1 + x2 - 1 + c
x
二 、分部积分法
分部积分法的运算公式是 : ∫udv = uv - ∫vdu
这个公式说明 :积分 ∫udv 不易求 ,而积分 ∫vdu 较容易
=
∫ t
sec2t ant sect
dx
= ∫csct dt = lnlcsct - cottl + c
= ln
1+ x
x2
-
1 x
+ c = ln
解法二 :凑微分法
1 + x2 - 1 + C x
∫ dx = ∫
x 1 + x2
x2
=- ∫
1
dx
1 x
2
+1
1
1 x
2
d +1
1 x
= - ln
1 x
不定积分 定积分讲义
第五章不定积分学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念2．掌握不定积分的性质及基本积分表3．理解第一类换元法的基本思想4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法5．掌握凑微分的技巧和方法6．掌握第二类换元法的内容及其证明7．会用第二类换元法计算不定积分8．熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点：1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点：1．第一类换元积分法2．凑微分3．第二类换元法中的变量替换4．分部积分公式中u与dv的选取教学方法：讲授法，辅以练习计划学时：10学时新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，如果存在函数)(x F ，对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如，x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果)(x F ，)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答：任意两个原函数相差一个常数。
不定积分,凑微分法(01)
22ccooss22xxddxxccooss22xx((22xx))ddxxccooss22xxdd((22xx))
u 2.
ccoossuudduussiinnuuCCssiinn 22xxCC
例例32 2xex2dx ex2 (x2)dx ex2d(x2) eudu u x2,
一些三角函数的积分
例21
求
1
1 cos
x
dx.
解 法一
1 1 cosx
dx
1 2 cos2xdx来自1x2
c os2
x
d( ) 2
2
tan x C 2
一些三角函数的积分
例21
求
1
1 cos
x
dx.
解 法二
1
1 c os x
dx
1
1 cos x
cos x 1 cos
第四章
第二节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第一类换元法.
微分运算中有两个重要法则: 复合函数微分法和乘积的微分法.
在积分运算中, 与它们对应的是本节的 换元积分法和下节的分部积分法
基本积分法 (两种).
一、第一类换元法
cos2xdx sin 2x C cosxdx sin x C
通过凑微分确定 u
例10
ex
ex
dx 1
e
1 x
1
d(e
x
1)
例11
ln(ex 1) C.
ex
1 ex
dx
常见不定积分的求解方法
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载常见不定积分的求解方法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。
关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。
The discussion of common indefinite integral method ofcalculatingMa ZhengAbstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly.Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。
不定积分的换元法
一般的说，若积分 f (x)dx不易计算可以作适当的
变量代换 x (t) ，把原积分化为 f ((t))'(t) dt 的形
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t 1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
应用第二类换元法求不定积分的步骤为
f
( x) d
x
x
换元
(t)
f
(t)
'(t ) d
t
g(t)d t
F(t)
C
还原
(t)
x
F
1(t) C
第二类积分换元法 分为两种基本类型根 三式 角代 代换 换
例6 求
x dx. 1 x
解 令 1 x t，得x 1t2，得dx 2tdt，所以有
x 1
x
dx
1t
t
2
2tdt
2 (1 t2)dt
ln
x a
x
2 a
a
2
C
.
x2 a2
x
t a
练习：P109 1（12）
小结：二类换元积分法的思想与步骤
作业：P109 1（1）、（4）、（10）
C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
x2
4dx
1 2
udu
练习：P109 1（2）、（5）、（15）
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量替换 u ( x)
将积分
f [( x)]( x)dx化为积分 f (u)du
下面介绍的第二类换元法是通过变量替
换 x (t) 将积分
f ( x)dx化为积分 f [(t)](t)dt
不定积分求解方法换元法
令 u x , 则 du 1 d x
a
a
1 d u
a
1
u
2
1arctaunC a
1arctax)n(C
a
a
想到公式
1
d
u u
2
arc u tC an
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例3. （P223） 求
dx (a0). a2x2
解:
dx
dx
d (ax)
a2 x2 a 1 (ax)2
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u )f(u ),u(x)可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)d x
f[(x) ](x)d x F[(x) ]CF(u)Cu(x) f(u)duu (x)
f[(x) ](x)dx 第一类换元法 f (u)du 第二类换元法
d(xxaa)
1 lnxa lnxa C 1 lnxa C
2a
2a xa
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常用的几种配元形式:
(1)f(axb)dx1a f(axb) d(axb)
(2 ) f(xn)xn 1d x1 f (xn) d x n n
万 能
(3) f(xn)1dx1 xn
f
du u2 a2
lnuu2a2C 1
lnxx2a2C 1
ln a2 x x2a2
C1
lnx x2a2 C(C C 1 2 la n )
x a 时，
dx x2 a2
lnx x2a2C
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不定积分的求解方法及其拓展
（1）∫▒〖kdx=kx+C〗,其中b是常数.
∫▒〖dx=x+C.〗
（2）∫▒〖x^a dx=1/(a+1)〗 x^(a+1)+C,其中a是常数，且a≠-1.
（3）∫▒dx/x=ln|x|+C,x≠0.
（4）∫▒a^x dx=1/lna a^x+C,其中a>0,且a≠1.
公式②称为分部积分公式。如果求∫▒uv'dx有困难，而求∫▒〖u^' vdx 〗比较容易时，分部积分法就能发挥作用了，分部积分法的作用就是化繁为简.分部积分法的原理是四则运算的求导法则的逆用.分部积分法的关键就是恰当的选择u和v'.选对了u和v^'可使计算比原式更加简单，否则会更加麻烦，甚至无法求出结果.
引言：函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作∫▒〖f(x)dx〗,其中∫▒ 称为积分号，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量。若F(x)是f(x)的某一个原函数，则不定积分可记为∫▒〖f(x)dx=F(x)+C〗,其中C为任意常数.
定积分的思想在古代就已萌芽，但是17世纪下半叶之前，有关定积分的完整理论还未形成.直到牛顿——莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来，并对数学的进程做出了巨大的贡献。在初学定积分时，学生容易有困难，所以先引进求导的逆运算——求不定积分，为学生的学习提供了方便，拓展了学生的思维.20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，相继出现各种各样的微分方程，通过发展.所以不定积分的求解不仅是专业要求，也是适应社会发展的学习趋势.
求不定积分的几种基本方法
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
设函数 u u(x) 及 v v(x) 具有连续导数．那么，
(uv) uv uv, 移项，得 uv (uv) uv.
目录 上一页 下一页 退 出
对这个等式两边求不定积分，得
uvdx uv uvdx.
（5-4）
公式（5-4）称为分部积分公式. 如果积分 uvdx
不易求,而积分 uvdx 比较容易时,分部积分公式就可用了.
作代换 x asin t 或 x acost ；含有 x2 a2 时，可作
代换 x a tant；含有 x2 a2 时，可作代换 x asect.
利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换
即 x 1 等．
例19
求
t dx
x
. x2 1
解
令
x
1 t
,则
1 dx dt,
t2
因此
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分
公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
(14) tan xdx ln cos x C
求不定积分的几种基本方法
x
dx x2
1
1 dt arcsin t C arcsin 1 C.
1 t2
x
综合起来，得
x
dx arcsin 1 C.
x2 1
x
在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到
的．所以它们通常也被当作公式使用．这样,常用的积分 公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中 常数a＞0).
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
解 为使被积函数有理化．利用三角公式
令 x a sin t,t ( , ), 则它是
22
sin2 t cos2 t 1
不定积分-(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x旳原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上旳一种原函数，
C是一种任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上旳原函数 ⑵ f(x)该在区间I上旳全体原函数能够表达
为F(x)＋C 证明：
＝
1
2 xsin2x＋
1
2 cos2x＋C
2
4
有时，用分部积分法求不定积分需要连续使
用几次分部积分公式才能够求出成果。
例5：求∫x2e-2xdx
解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝ 1 e2x
2
于是
x2e2xdx 1 x2e2x 2x( 1 e2x )dx
2
2
1 x2e2x xe2xdx 1 x2e2x ( 1 xe2x 1 e2xdx)
则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
由分部积分公式有
∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C
例2 求∫xcos2xdx
解：令 u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝ 1 sin2x
于是∫xcos2xdx＝
1
xsin2x－
1
2 ∫sin2xdx
2
2
2
2
1 x2e2x 1 xe2x 1 e2x C
2
2
4
由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数旳
次数能够降低一次。假如所得到旳积分式还需要用分
部积分法解，那么，能够再用分部积分公式做下去。
为了简化运算过程，下面简介:
不定积分算法
f (u) 1 u,
f
(u)
1
udu
u
1 2
u2
C
,
f (x) x 1 x2 C. 2
例题
例17 求
1 4 x2 arcsin xdx.
2
解
4
1 x2 arcsin
xdx
2
1
dx
1
x 2
2
arcsin
x 2
2
1 arcsin
F
(t
)
1 dx
f [(t)](t) 1
(t )
f [(t )] f ( x).
dt
注意
注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；
2) f ( x)dx f [(t)](t)dt t1(x)
代换 x=(t)，一起换。
第二类积分换元公式
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 xd(sin x)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
利用第二类换元法求不定积分的关键 在 于选择适当的变量代换．第二类换元法常用 于求无理函数的积分.
有理根式积分
Ⅰ． 被积函数含有根式 n ax b (a 0)
例 18
求 2
1 dx x 1
解: 设 x 1 t ，即 x 1 t 2 ，得 dx 2tdt ． 于是
不定积分凑微分法的变式教学探讨
不定积分凑微分法的变式教学探讨在高等数学的课程中，一元函数不定积分的计算是微积分计算中的重要内容之一，是学习定积分、微分方程、多元函数积分学的基础.不定积分的求解方法主要有：直接积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、分部积分法四种.其中，凑微分法应用极其广泛，在换元积分法和分部积分法中，凑微分均是核心，是学生学习的重点和难点[1]，下面我们将对凑微分的教学方法进行进一步的探索.凑微分法的基本原理为：设f（u）具有原函数F（u），即F′（u）=f （u），∫f（u）du=F（u）+C.如果u是中间变量，u=φ（x）且设φ（x）可微，那么根据复合函数微分法，有dF[φ（x）]=f[φ（x）]φ′（x）dx.从而根据不定积分的定义得：∫f[φ（x）]·φ′（x）dx=F[φ（x）]+C=∫f（u）du（u=φ（x））.在实际教学中，学生往往对用凑微分原理解题理解困难.因此为了让学生能准确且更快地掌握凑微分，我们对第一类换元法中第一步把被积函数分解成因子乘积的形式进行强调再随之解题.由于同学们对基本初等函数的不定积分公式掌握得相对牢固，因此我们只要先把复合函数变形成积分表中的基本初等函数再来解不定积分的话就会容易很多.现在我们通过以下几个例题对这种方法进行详细的阐述.由于凑微分方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分习题并不能给学生足够的启示，因此在讲解过程中我们将方法归结为三种，更便于学生掌握.一、被积函数可化成若干个因子的乘积，研究其中的复合函数，进行凑微分例1求不定积分∫2xex2dx.分析被积函数直接是几个因子乘积的形式，且其中有一个是常数.常数因子可以不用考虑，因为常数可以直接提到不定积分的前面.剩下一个基本初等函数x，一个复合函数ex2.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数，即令x2=u，则ex2=eu，那么原题当中的积分变量就由x变成了u，为了保证变量的统一，剩下的2xdx需要凑成du.而我们发现du恰好等于2xdx，故解题过程如下.解∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C.例2求不定积分∫cosxsin2xdx.分析被积函数是乘积的形式，且其中一个是基本初等函数cosx，另一个是复合函数sin2x.我们只研究复合函数，引入中间变量把复合函数变成基本初等函数.即令sinx=u，则sin2x=u2，那么原题当中的积分变量就由x变为u了，为了保证变量的统一，剩下的cosxdx要凑成du.而我们发现du恰好等于cosxdx.解∫cosxsin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C.例3求不定积分∫sinxxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为sinx乘1x，其中只有sinx为复合函数，故令x=u，则sinx=sinu，剩下的1xdx需要凑成du.解∫sinxxdx=2∫sinxdx=-2cosx+C.对于凑微分解题，刚开始的时候老师可以和同学们强调上述解法，也就是把被积函数写成几个因子乘積的形式，接下来研究是复合函数的那个因子，剩下的因子和dx凑成du.等学生熟练了之后再引入公式，他们接受起来就会容易很多，从而避免了对凑微分公式的死记硬背.对于简单的被积函数可以这么做，但是对于复杂的被积函数，也就是被积函数当中不止一个复合函数的，应该怎么做呢？先来看如下两个例题.例4求不定积分∫（arctanx）3x（1+x）dx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.（arctanx）3乘1x乘11+x.写成乘法之后，被积函数虽然是三个因子乘积的形式，但是只有（arctanx）3是复合函数.而1x是基本初等函数，11+x是简单函数.故研究（arctanx）3，但是这个函数是由三层函数复合而成的，故我们要引入两个中间变量把它逐步变成基本初等函数.但是这里需要注意的是要从内到外依次改变积分变量.解∫（arctanx）3x（1+x）dx=∫（arctanx）3·1x·11+xdx=2∫（arctanx）3·11+xdx=2∫（arctanx）3darctanx=12（arctanx）4+C.例5求不定积分∫ln2t anxcosxsinxdx.分析被积函数是相除的形式，根据上述分析，首先需要将被积函数写成几个因子乘积的形式.被积函数可写为ln2tanx乘1cosx乘1sinx.这三个函数均为复合函数，那么我们应该选取哪个复合函数进行研究呢？这里我们归纳总结，遵循一个原则：选取复合层数最多的，也就是最复杂的那个复合函数进行研究.这里选取ln2tanx进行研究.这个复合函数是由三层函数复合而成的，和例4一样，根据从内到外的原则，分别用凑微分将其解出.具体过程如下：∫ln2tanxcosxsinxdx=∫ln2tanx·1cosx·1sinxdx=∫ln2tanx·1tanxdtanx=∫ln2tanxdlnt anx=13ln3tanx+C.由此可见，在用凑微分解不定积分的时候，将被积函数转化成乘积的形式再来求解，学生更容易掌握，且避免了传统的对公式的死记硬背的方法.针对被积函数的形式和特点，我们归纳出以下几种选择方法和技巧.1.被积函数只有一个复合函数时，引入中间变量，将复合函数变成我们熟悉的基本初等函数，再来求解.如：∫（4x+3）2dx=14∫（4x+3）2d（4x+3）=112（4x+3）3+C.2.被积函数是几个函数相乘时，只需研究其中的复合函数.如例1，例2.3.被积函数是几个函数相乘除时，将被积函数统一写成相乘的形式，再来研究它们之中的那个复合函数.如例3，例4.4.被积函数为多个复合函数相乘的时候，选择复合层数最多的也就是最复杂的那个复合函数进行研究.需注意的是由内而外分别进行凑微分.如例5.二、变量代换法中的凑微分变量代换法主要用于被积函数中含有根式的情况，我们解题时一个重要的思路就是将未知向已知转化，故解决此类问题的首要任务是用变量代换将根式化成整式，化成我们熟悉的形式，再来求解.在化成整式后的求解过程中，凑微分又是一个主要的解题思路.例6求不定积分∫1x+3xdx.分析令3x=t，则x=t3，dx=3t2dt，于是原积分可化为∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt.到这一步为止，又变成了我们熟悉的形式，故将除法写成乘法的形式，研究被积函数当中的复合函数，再来求解.解∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=3∫1t2+1·tdt=32∫1t2+1d（t2+1）=32ln （t2+1）+C，最后将变量t换成3x即可.三、分部积分法中的凑微分分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分部积分法关键是凑微分，将f（x）拆分成uv′.如求∫xcosxdx.设u=x，dv=cosxdx=d （sinx），∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C，则容易求解.在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若求导后函数类型发生变化则选此函数为u，若类型没有发生变化则选此函数为v′，两个函数类型均未发生变化则任选一个作为u即可，从而總结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以作为v′，反三角函数、对数函数不能作为v′.例7求不定积分∫excosxdx.分析被积函数为excosx，而（ex）′=ex，（cosx）′=-sinx，求导后函数的类型均没有发生改变，仍为指数函数和三角函数.故根据上文总结，可任选一个函数作为v′.这里不妨取ex为v′.解∫excosxdx=∫cosxdex=excosx-∫exd（cosx）=excosx+∫exsinxdx=excosx+exsinx-∫exdsinx=excosx+exsinx-∫excosxd x，再将式子中的∫excosxdx移项、合并，即可得∫excosxdx=12ex（sinx+cosx）+C.此种方法实用性较强，但在各方面亦具有一定的局限性.如求解不定积分∫x2exdx，被积函数为x2和ex，（x2）′=2x，（ex）′=ex.求导后的函数类型没有发生变化，故可任意选取一个函数为u，但通过求解发现并非如此.解法1∫x2exdx=13∫exd（x3）=13x3ex-13∫x3exdx=13x3ex-112∫exd（x4）（陷入无限循环）.解法2∫x2exdx=∫x2d（ex）=x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xd（ex）=x2ex-2xex+2∫exdx=x2ex-2xex+2ex+C（简单明了）.为了解决此类缺陷，我们再给出一个选取u及v′的简单方法：将被积函数化成两个函数相乘的形式，按照“反对幂指三”或者“反对幂三指”的顺序，优先选取u.如求解不定积分∫x2lnxdx，被积函数为幂函数和对数函数的乘积，故应选取对数函数lnx为u，即可解出.分析分部积分法中选取u的两种方法，各有利弊.第一种方法利用凑微分，使学生的发散思维得以拓展，但对于某些题目不能应用.第二种方法简洁且应用广泛，但在一定程度上限制了同学们发散思维的培养.因此在实际教学过程中，教师应当将上述两种方法相互结合、补充，使教学效果最大化.综上，在不定积分的求解中，凑微分方法非常重要，学生应该领略凑微分的精髓，从而体会微积分的系统性，感受微积分的魅力.。
不定积分计算的常用方法
不定积分计算的常用方法
1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法：包括整体换元，部分换元等等。
3、分部积分法：利用两个相加函数的微分公式，将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法：有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式
的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法（即为兎微分法）
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注：第二类换元法的转换式必须对称，并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种：
1、根式赋值法，
2、三角代换法。
在实际应用领域中，赋值法最常用的就是链式法则，而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法，自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是：将所求分数化成两个分数之差，分数难者先分数，实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假
分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和，可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能水解为部分分式之和。
不定积分的运算技巧
不定积分的运算技巧陈飞【摘要】不定积分是微积分的重要内容,熟练掌握不定积分的运算技巧和方法是学习微积分的基础.不定积分的求解方法多样,通过对不定积分运算技巧进行探讨,结合相应例题对不同的运算技巧进行分析,并进行总结归纳,从而提高学生分析和解决问题的能力.【期刊名称】《商丘职业技术学院学报》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】5页(P73-77)【关键词】不定积分;换元积分法;分部积分法;一题多解【作者】陈飞【作者单位】商丘职业技术学院,河南商丘476100【正文语种】中文【中图分类】O172.2引言不定积分是高职院校数学课程的核心,也是微积分的重要内容.不定积分的计算方法多种多样,其中换元积分法和分部积分法是重点和难点,学生在学习时有一定困难,且不能熟练地运用各种计算方法.合理的运用不定积分计算方法可以降低求解问题的难度.本文针对常用的解题技巧进行分析探讨,并结合具体例题进行讲解.1 求解方法概述在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作即通过定义可知，计算不定积分就是微分的逆运算，因此，求F(x)是计算不定积分的关键,掌握住不定积分的计算方法,针对不同的积分形式采用适合的计算方法可以更容易的求解出不定积分.常用的不定积分计算方法有直接积分法、换元积分法、分部积分法.其中，直接积分法是运用不定积分的定义,对积分函数进行整理后,直接求解出原函数;换元积分法是通过寻找中间变量,把积分转化为较容易求出的形式,又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法;分部积分法是通过分部积分公式,把不容易求出的转化成更加容易求出的进行求解,可以处理被积函数为“反对幂三指”五类函数中的两类相乘的情形[2].2 例说相关技巧例1 求分析:可以通过凑微分,把积分变量凑成d(1+x2),用新变量u替换1+x2.解:设u=(1+x2),于是：技巧:第一换元积分法是将积分中φ(x)用一个新的变量u替换,化为积分从而使求解不定积分比较容易[3].例2 求分析:为了使都变成有理式,应令则x=t12,dx=12t11dt,化简积分形式.解: 设则x=t12,dx=12t11dt.技巧: 运用第二换元积分法,关键是选择合适的变量代换函数小x=φ(t).对于x=φ(t),要求单调可微,且φ′(t)≠0,其中t=φ′(x)是x=φ(x)的反函数.例3 求分析:为了去掉根号,可以引入关于未知量t的三角函数替代x,从而简化计算.解:令x=atant,则dx=asec2tdt,于是：为了把sect和tant换成x的函数,根据做三角函数转换，由代入得：例4 求不定积分分析:被积函数为幂函数和反三角函数的乘积,故把反三角函数选作u,即u=arcsinx,则dv=xdx.解:设u=arcsinx,dv=xdx,则于是：(令x=siny,则dx=cosydy)技巧: 在应用分部积分法时,恰当选择u和dv是一个关键.选择u和dv一般考虑如下2点: 1)v要容易求得；要比容易积分[4].例5 求不定积分分析:在计算不定积分时,针对题目的特点可以多次使用分部积分法.(再次使用分部积分法)=x2ex-2xex+2ex+C.例6 求不定积分分析:可以先采用换元积分法,再采用分部积分法进行求解. 解:设则于是：(采用换元积分法)(采用分部积分法)=2 tln(1+t2)-4t+4arctant+C例7 求不定积分解法一(凑微分法):=cscx-cotx+C解法二(分部积分法)：=cosxcotx-cotx+sinx+C解法三(第二换元积分法):令则x=2arctant⟹于是：技巧:以上3种解法得出的解的形式是不同的,但是，解得本质是一样的,通过变换可得：cosxcotx-cotx+sinx+C=cscx-cotx+C根据不同的求解方法,求解出来的积分结果的形式是不一样的,但是，这些结果是正确的.我们只需对所求的结果进行求导,看是否等于被积函数[5].例8 求不定积分解法一(换元积分法):解法二(凑微分法):由得：解法三(代数换元法):令则x=t2-1,dx-2tdt.解法四(分部积分法):由解法二可知注:通过变换可得：3 结语不定积分的求解方法灵活多变,我们可以针对不同的被积函数类型,采取最有效的求解方法计算出不定积分.通过学习不定积分的运算技巧,可以培养学生的数学思维,增加学生的数学素养,从而提高分析和解决问题的能力.在求解不定积分时,合理地运用计算方法,并对所求的结果进行检测,从而熟练掌握不定积分的运算技巧.【相关文献】[1] 同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京:高等教育出版社,2015：184.[2] 魏宏涛, 康元宝.浅谈微积分教学中不定积分的计算方法与技巧[J].数学教学研究,2013(10)：49-52.[3] 张玉芳,裘璐.例说计算不定积分的灵活性和技巧性[J].教育教学论坛,2015(49)：190-191．[4] 上宏昌.关于不定积分的分部积分法运算技巧[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2014(4)：19-22．[5] 邢秀侠.不定积分的一题多解[J].教育教学论坛,2016(15)：245-246．。
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∫
dx 2 x −1
1 1 1 ]dx = ∫[ − 2 x −1 x +1
1 = (ln x − 1 − ln x + 1 ) + C 2x −1 1 = ln源自+ C. 2 x +1
1 dx . 求 ∫ x (1 + 2 ln x )
解
∫
1 1 d (ln x ) dx = ∫ 1 + 2 ln x x(1 + 2 ln x )
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将 说明
∫
f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx 化为
∫ g(u)du.
左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数. 左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数
例1
求
α
∫
3
x + 5dx .
1 uα +1 + C 已知∫ u du = α +1
1 = − cos 2 x + C ; 2 解（二）∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx = 2 ∫ sin xd (sin x )
= (sin x ) + C ;
2
1 2 已知∫ udu = u + C 2
解（三） ∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin x cos xdx = −2 ∫ cos xd (cos x )
解
∫
3
x + 5dx
(令 = x + 5) u
=
∫u
4 3
1 3
du
4 3
3 3 = u + C = ( x + 5) + C . 4 4
例2
1 ∫ a 2 + x 2 dx .(a ≠ 0) 1 dx = arctan x + C 已知∫ 2 1+ x
1 1 ∫ a 2 + x 2 dx = a 2 ∫
例13 求
∫
1 dx . 2x + 3 + 2x − 1
解：原式 = ∫
(
2x + 3 − 2x − 1 dx 2 x + 3 + 2 x − 1 )( 2 x + 3 − 2 x − 1 )
1 1 = ∫ 2 x + 3dx − ∫ 2 x − 1dx 4 4 1 1 = ∫ 2 x + 3d ( 2 x + 3) − ∫ 2 x − 1d ( 2 x − 1) 8 8 1 1 3 3 = ( 2 x + 3 ) − ( 2 x − 1) + C . 12 12
x 1 x d =∫ =∫ d tan 2 x x x 2 2 tan tan cos 2 2 2 x = ln tan + C = ln(csc x − cot x ) + C . 2 1
（使用了三角函数恒等变形） 使用了三角函数恒等变形）
1 sin x 解（二） ∫ csc xdx = ∫ dx = ∫ 2 dx sin x sin x 1 d (cos x ) = −∫ u = cos x 2 1 − cos x 1 1 1 1 + du = − ∫ = −∫ du 2 2 1− u 1+ u 1− u
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln( 3 + 2 x ) + C . 2 u 2 2
一般地
∫
1 f (ax + b )dx = ∫ f (u)du (其中u = ax + b) a
1 dx ∫ u du = l n u + C . ∫ x2 − 1. 书中例4 书中例4 求 1 1 1 1 1 解 x 2 − 1 = ( x − 1)( x + 1) = 2 [ x − 1 − x + 1 ],
1 1 d (1 + 2 ln x ) = ∫ 2 1 + 2 ln x
u = 1+ 2ln x +
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln(1 + 2 ln x ) + C . 2 u 2 2
例5 求 解
∫
5
s in 5 x d x .
sin xdx = sin4 x ⋅ sin xdx ∫
2
5 2
5
1 − sin t cos tdt
2
= ∫ sin t cos tdt = LL
（应用“凑微分”即可求出结果） 应用“凑微分”即可求出结果）
定理7.2.2 第二换元积分法） 定理7.2.2 （第二换元积分法） 上可导， 设 x = ϕ(t ) 在 [a , b] 上可导， ϕ(t ) ∈[α, β ] ， f ( x) 在
∫
= − ∫ (sin 2 x )2 d (cos x )
= − ∫ (1 − cos 2 x )2 d cos x
= ∫ ( −1 + 2cos 2 x − cos 4 x )d cos x
2 3 1 5 = − cos x + cos x − cos x 3 5
+C .
说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇 当被积函数是三角函数相乘或幂时， 次项去凑微分. 次项去凑微分
2 4 6
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
例6 求 解
∫
1 dx . cos x
1 1 cos x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x dx = ∫ 1−sin2 x d sin x
1 1 1 )d sin x = ∫( + 2 1 + sin x 1 − sin x
= − (cos x ) + C .
2
1 2 已知∫ udu = u + C 2
1 dx . 例4 求 ∫ 3 + 2x
解
d (3 + 2 x ) = (3 + 2 x )′dx = 2dx ,
1 1 1 1 1 ∫ 3 + 2 xdx = 2 ∫ 3 + 2 x ⋅ (3 + 2 x)′dx = 2 ∫ 3 + 2 x ⋅ d (3 + 2 x)
附例 求 sin 2 x ⋅ cos 5 xdx . 解
∫
2
∫ sin
x ⋅ cos xdx
5
= ∫ sin2 x ⋅ cos4 xd(sin x)
= ∫ sin x ⋅ (1 − sin x ) d (sin x )
2 2 2
= ∫ (sin x − 2 sin x + sin x )d (sin x )
1 1 + sin x = ln +C 2 1 − sin x
1 (1 + sin x ) = ln + C = ln sec x + tan x + C . 2 2 cos x
2
例7 求
∫ csc xdx .
1 1 dx dx = ∫ x x sin x 2sin cos 2 2
解（一） ∫ csc xdx = ∫
例9 求
∫ cos 3 x cos 2 xdx .
1 解 cos Acos B = [cos( A− B) + cos( A+ B)], 2 1 cos 3 x cos 2 x = (cos x + cos 5 x ), 2 1 ∫ cos 3 x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5 x )dx 1 1 = sin x + sin 5 x + C . 2 10
1 dx 2 x 1+ 2 a 1 1 x x 1 d = arctan + C . = ∫ 2 a a x a a 1+ a
解
1 dx . 求 ∫ 2 x − 8 x + 25 1 1 ∫ x 2 − 8 x + 25dx = ∫ (x − 4)2 + 9dx
= [∫ f (u)du] (u = ϕ( x))
由此可得换元法定理
可导， 定理7.2.1 定理7.2.1 设 u = ϕ (x)在 [ a , b ] 可导， ϕ( x) ∈[α, β ]，
g(u) 在 [α, β ] 上有原函数 G(u) ，则有换元积分公式
∫ g[ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ g(u)du = G(ϕ(x)) +C
解
1 1 1 1 x − 4 d dx = ∫ = 2∫ 2 2 3 x − 4 3 x − 4 3 +1 +1 3 3 1 x−4 = arctan + C. 3 3
例3 求
∫ x sin x dx .
2
2
已知∫ sin udu = − cos u + C
例10 设 f ′(sin 2 x ) = cos 2 x , 求 f ( x ) . 解 令 u = sin 2 x ⇒
cos 2 x = 1 − u,
f ′( u ) = 1 − u ,
1 2 f ( u) = ∫ (1 − u )du = u − u + C , 2 1 2 f ( x) = x − x + C . 2
解
∫
1 x sin x dx = ∫ sin x 2dx 2 2
1 = ∫ sin udu 2 1 = − cos u + C 2 1 = − cos x 2 + C ; 2