定积分讲义
数学《定积分》讲义
第九章 定 积 分1 定积分的定义一、背景1、曲边梯形的面积1()ni i i S f x ξ=≈∆∑2、变力所做的功 1()ni i i W F x ξ=≈∆∑上述问题均可归结为一个特定形式的和式逼近，思想方法：分割、近似求和、取极限.二、定积分的定义定义 1 设闭区间[],a b 内有1n -个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，其把[],a b 分成n 个小区间[]1,,1,i i i x x i n -∆==⋅⋅⋅.称这些点或小闭子区间构成[],a b 的一个分割，记为{}01,,n T x x x =⋅⋅⋅或{}12,,n ∆∆⋅⋅⋅∆，小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-，同时记{}1max i i nT x ≤≤=∆，称为分割T 的模(或细度).注1 ||||,1,i x T i n ∆≤=⋅⋅⋅. 因而，||||T 可用来刻画[],a b 被分割的细密程度，同时，若T 给定，则||||T 确定，而对同一细度(模), 相应的分割却有无穷多个.定义 2 设f 为[],a b 上的函数,对[],a b 上的分割{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆,任取点,i i ξ∈∆1,i n =⋅⋅⋅，作和式1()niii f x ξ=∆∑，称为函数f 在[],a b 上的一个积分和，也称为Riemann 和.注2. Riemann 和与分割T 及i ξ的取法有关. 对同一个分割T ，相应的Riemann 和有无穷多个.定义 3 设f 是[],a b 上的函数，J 为一个确定的数. 若对任给正数0ε>，存在正数0δ>，使得对[],a b 上的任何分割T ，以及其上任选的i ξ，只要T δ<，就有1()niii f x Jξε=∆-<∑，则称f 在[],a b 上可积(或Riemann 可积) ，数J 称为f 在[],a b 上的定积分(或Riemann 积分) ，记作()baJ f x dx =⎰. 其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分的下限、上限.注.1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰⇔0,0,,,,i i T T εδδξ∀>∃>∀<∀∈∆1()()nbi i ai f x f x dx ξε=∆-<∑⎰定积分的几何意义(f 可积)(1) 0f ≥时，()ba f x dx ⎰就是以,,x a xb x ==轴及()y f x =围成的曲边梯形的面积.(2) 0f ≤时，()baf x dx ⎰为x 轴下方的曲边梯形面积的相反数(负面积) .(3) ()baf x dx ⎰是曲线()y f x =在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方所有曲边梯形的负面积的代数和. (4) 注.()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰，定积分与积分变量无关.三、举例例 1 已知函数2()f x x =在区间[]0,1上可积，求120x dx ⎰.例 2 已知1()1f x x=+，()sin g x x π=在[]0,1上可积. 利用定积分的定义说明 1) 10111lim()1221n dx n n n x→∞++⋅⋅⋅+=+++⎰. 2) 10012(1)1lim (sin sin sin )sin sin n n xdx x dx n n n n ππππππ→∞-++⋅⋅⋅+==⎰⎰.给出一般公式().......ba f x dx =⎰例 3 讨论Dirichlet 函数1()0x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数 在[]0,1上的可积性.四、 定积分的计算 定理 (微积分基本定理)设[]:,f a b R →可积，存在可导函数[]:,F a b R →，使F f '=，则()()|()()bx bx a af x dx F x F b F a ====-⎰上式也称为Newton-Leibniz 公式.例 4 求例2中定积分的值.例 5 1) 211(ln )eex dx x⎰;2) 2⎰;3) 求11()f x dx -⎰，其中210()0x x x f x e x --<⎧=⎨≥⎩， ，;4) 0⎰;5) 221lim nn i in i→∞=+∑;6) 112lim[(1)(1)(1)]n n n n n n→∞++⋅⋅⋅+.2 可积性条件一、可积的必要条件定理1 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上有界.注 有界仅是f 可积的必要条件，而非充分条件. 如[]0,1上的()D x . 定理2 设函数f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点. [ 若函数f 在[],a b 上处处不连续，则f 必不可积. ] 二、可积的充要条件设{}12,,n T =∆∆⋅⋅⋅∆为[],a b 上的一个分割，设f 在[],a b 上有界，则f 在每个i ∆上必有上下确界，记{}sup ()ii x M f x ∈∆=，{}inf ()ii x m f x ∈∆=，1,i n =⋅⋅⋅.作和式1()n i i i S T M x ==∆∑，1()ni i i s T m x ==∆∑，分别称为f 关于T 的上和和下和(Darboux 上下和) , 从而i i ξ∀∈∆，1,i n =⋅⋅⋅，1()()()ni i i s T f x S T ξ=≤∆≤∑. (作图几何意义)注 当分割T 确定后，则上和与下和完全确定.性质1 对同一分割T ,上和()S T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的上确界(相对于i ξ取),下和()s T 是所有积分和1()ni i i f x ξ=∆∑的下确界, 即{}1()inf ()i i n i i i s T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑， {}1()sup ()i i n i i i S T f x ξξ∈∆=⎧⎫=∆⎨⎬⎩⎭∑，且 1()()()()()ni i i m b a s T f x S T M b a ξ=-≤≤∆≤≤-∑，其中,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界.性质2 设T '为分割T 添加p 个新分点后所得到的分割. 则()()()()s T s T s T p M m T '≤≤+- ()()()()S T S T S T p M m T '≥≥--即分点增加后，下和不减，上和不增.性质3 若T 与T '为任意两个分割，T ''为T 与T '所有分点合并组成的分割，记为T T T '''=+，则 ()()s T s T ''≥， ()()S T S T ''≤；()()s T s T '''≥， ()()S T S T '''≤.性质4 对任意两个分割T 、T '，总有()()s T S T '≤.即：对任何两个分割，下和总不大于上和. 因而，所有的上和有下界，所有的下和有上界，从而分别有下、上确界，记为S 和s . 即{}inf ()TS S T =，{}sup ()Ts s T =，称S 和s 分别为f 在[],a b 上的上、下积分，记为()ba S f x dx -=⎰，()b a s f x dx -=⎰.性质5 ()()()()bbaa mb a f x dx f x dx M b a ---≤≤≤-⎰⎰性质6. [Darboux 定理] 0lim ()()b a T S T f x dx -→=⎰，0lim ()()ba T s T f x dx →-=⎰.定理 3 (第一充要条件) [],a b 上的有界函数f 可积⇔()()bb a a f x dx f x dx --=⎰⎰定理4 (可积的第二充要条件)[],a b 上的有界函数f 可积⇔ 0ε∀>，存在分割T ，使得()()S T s T ε-<.由于11()()()nni i i i i i i S T s T M m x x ω==-=-∆=∆∑∑，其中i i i M m ω=-称为f 在i ∆上的振幅. 从而有定理4' [],a b 上的有界函数f 可积⇔0ε∀>，存在分割T ，使得1ni i i x ωε=∆<∑.定理4'的几何意义：若f 可积，则曲线()y f x =可用总面积任意小的一系列小矩形覆盖. 反之亦然.三、可积函数类(充分条件)定理 5. 若f 在[],a b 上连续，则f 在[],a b 上可积.定理 6. 若f是[],a b上仅有有限个间断点的有界函数，则f在[],a b上可积.注.改变可积性函数在某些点处的值, 不改变可积性, 也不改变积分值. 定理7. 若f为[],a b上的单调函数，则f在[],a b上可积.例1试用两种方法证明函数0 0()1111xf xxn n n=⎧⎪=⎨<≤⎪+⎩，，，1,2n=⋅⋅⋅在[]0,1上可积.例2 设f 在[],a b 上有界，{}[],n a a b ⊂，lim n na c =.证明：若f 仅在{}n a 上间断，则f 在[],a b 上可积.例3 f 在[],a b 上可积，[][],,a b αβ⊂，则f 在[],αβ上可积.例4 证明定理2: 若f 在[],a b 上可积，则f 在(),a b 内至少有一个连续点(从而有无穷多个连续点) .例5 证明: Riemann 函数[]1, ()0 0,10,1p x p q q p q q f x x ⎧=>⎪=⎨⎪=⎩，和互素,，或中的无理数 在[]0,1上可积，且1()0f x dx =⎰.(第三充要条件)3 定积分的性质一、定积分的性质 1. 线性性质定理 1 设f 在[],a b 上可积，k 为常数，则kf 在[],a b 上可积，且 ()()bbaakf x dx k f x dx =⋅⎰⎰.定理 2 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ±在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.推论. 设,f g 在[],a b 上可积，,αβ为常数，则f g αβ+在[],a b 上可积，且()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰.2. 乘积可积性定理 3 设,f g 在[],a b 上可积，则f g ⋅在[],a b 上可积. 注 一般情形下，()()()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx ⋅≠⋅⎰⎰⎰.定理 4 有界函数f 在[],a c 和[],c b 上可积f ⇔在[],a b 上可积，且()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰规定 1) ()0aa f x dx =⎰.2)()()baab f x dx f x dx =-⎰⎰，()b a <.则对任何,,a b c 均有 ()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.4. 关于函数的单调性定理5 设,f g 在[],a b 上可积，且()()f x g x ≤，[],x a b ∀∈，则()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰.推论 (积分值的估计) 设f 在[],a b 上可积，,M m 分别为f 在[],a b 上的上、下确界，则 ()()()ba mb a f x dx M b a -≤≤-⎰.定理6 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积，且|()||()|bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰.注. 定理 6的逆不真.6. 积分第一中值定理定理 7 若函数f 在[],a b 上连续，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰.几何意义: 称1()ba f x dxb a -⎰为f 在[],a b 上的平均值.定理7' (推广的第一中值定理) 若,f g 在[],a b 上连续，且()g x 在[],a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.[()1g x ≡时，即为定理7.]二、应用举例例 1 求11()f x dx -⎰. 其中2110() 01x x x f x e x ---≤<⎧=⎨≤<⎩， ，.例 2 求()sin f x x =在[]0,π上的平均值.例 3 若f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，则()0ba f x dx >⎰.例 4比较积分1⎰和21x e dx ⎰的大小.例 5证明：22ππ<<⎰.例 6 若f 在[],a b 上可积，()0f x >，则()0ba f x dx >⎰.例 7 若,f g 在[],a b 上可积，则{}()max (),()M x f x g x =在[],a b 上可积.*例 8 设f 在[],a b 上可积，且()0f x m >>，则1f可积.*例 9 证明：若f 在[],a b 上连续，且()()0b baaf x dx xf x dx ==⎰⎰，则在(),a b 内至少存在两点12,x x 使12()()0f x f x ==. 又若2()0bax f x dx =⎰，此时，f 在(),a b 内是否至少有三个零点?*例 10 设f 在[],a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明: 1) 1()()2ba ab f f x dx b a+≤-⎰ 2) 又若()0f x ≤，[],x a b ∈，则又有2()()ba f x f x dxb a ≥-⎰，[],x a b ∈.*例11证明：(1)11ln(1)11ln2n nn+<++⋅⋅⋅+<+(2)1112lim1lnnnn→∞++⋅⋅⋅+=*例13若f可积，m f M≤≤，g在[,]m M上连续，则复合函数h g f=可积.由此, 若f可积, 则2f,13,f||f, ()f xe, (0)f≥,1(inf0)ff>可积.4 微积分基本定理 定积分的计算一、微积分基本定理 1. 变限积分的可微性设f 在[],a b 上可积，则任何[],x a b ∈，f 在[],a x 上也可积，从而()()xa x f t dt Φ=⎰，[],x ab ∈定义了一个以x 为积分上限的函数, 称为变上限积分.定理1 若f 在[],a b 上可积，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上连续.定理 2 (原函数存在定理，微积分学基本定理)若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰，[],x a b ∈.注. 1) 当f 在[],a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰为f 的一个原函数，且f 的任一原函数()()xaF x f t dt C =+⎰. 令x a =，则()F a C =. 从而()()()xaf t dt F x F a =-⎰——Newton-Leibniz .2) 定理2. 揭示了导数和定积分之间的深刻联系，同时证明了连续函数必有原函数，并说明变上限积分就是一个原函数. 由于它的重要作用而被称为微积分基本定理.3) 同样可定义变下限积分()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰. 且当f 连续时，有()()bxd f t dt f x dx =-⎰ 4) 变上限积分()xaf t dt ⎰一般不写作()xaf x dx ⎰.例 1 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰例 2 设f 在[],a b 上连续，()0f x ≥，且()0f x ≡/，证明: ()0baf x dx >⎰.例 3 设f 为连续函数，,u v 均为可导函数，且复合f u ，f v 均有意义，证明()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=⋅-⋅⎰.例 4 求1) 230limx x x +→⎰2) 222010cos limx x x t dtx →-⎰二、定积分的换元法定理 3 设f 在[],a b 上连续，Φ满足条件1) ()a αΦ=，()b βΦ=. [](),,a t b t αβ≤Φ≤∈ 2) ()t Φ在[],αβ上有连续导函数，则()(())()baf x dx f t t dt βα'=Φ⋅Φ⎰⎰.例 5 1)⎰2) 220sin cos t tdt π⎰3)10x x dx e e -+⎰4)3212(1)dx x x -+⎰5)120ln(1)1x dx x ++⎰6) 已知32()4f x dx =-⎰，求21(1)xf x dx +.注 在换元法计算定积分时，一要注意积分上下限的变化(这里只需要求,a b 的对应值为,αβ，而不计较,αβ的大小) . 二是要注意代入新变量，直接求定积分的值，而无需变量还原. (此与不定积分是不一样的. 这是因为不定积分求的是被积函数的原函数，其变量应一致，而定积分的结果是一个数值，只需求出即可) .注 定理3换元积分条件，f 可减弱为f 可积，ϕ可减弱为()t ϕ'在[],αβ上可积，且除有限个点外()0t ϕ'>(或()0t ϕ'<) . (保证[][]:,,a b ϕαβ→是11-的.) 例 6 设f 为[],a a -(对称区间) 上的连续奇(偶) 函数，则()0aaf x dx -=⎰(0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰) .如求22223(sin3cos 5arctan 1)x x x x x e x dx ππ--⋅+⋅--⎰.例 7 设f 为(,)-∞+∞上以T 为周期的可积函数，证明：对任何实数a R ∈，有()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰.例 8 设f 为连续函数，则1) 22(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;2)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰.由此计算2sin sin cos xdx x x π+⎰和20sin 1cos x x dx xπ⋅+⎰.例 9 设f 在[],a b 上连续，求证：()()bbaaf x dx f a b x dx =+-⎰⎰.由此计算362cos (2)xdx x x πππ-⎰.三、分部积分定理 4 若(),()u x v x 为[],a b 上的连续可导函数，则有定积分分部积分公式()()()()()()bbb a aau x v x dx u x v x u x v x dx ''⋅=⋅-⋅⎰⎰或()()()()()()bb b a aau x dv x u x v x v x du x =⋅-⎰⎰例 10 1) 10x xe dx ⎰ 2)21ln ex xdx ⎰3) 1ln eexdx ⎰4) 1arcsin xdx ⎰5) 2sin x x e dx π⋅⎰6)4⎰例 11 求20sin nxdx π⎰和2cos n xdx π⎰.注 由前两式可推出著名的Wallis 公式：2(2)!!1lim 2(21)!!21m m m m π→∞⎡⎤=⋅⎢⎥-+⎣⎦.四、Taylor 公式的积分型余项 推广的分部积分公式设(),()u t v t 在[,]a b 上有1n +阶连续导函数，则(1)()(1)()()()()()()()(1)()()bn n n n n baau t v t dt u t v t u t v t u t v t +-'⎡⎤⋅=⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦⎰1(1)(1)()()bn n au t v t dt +++-⋅⎰.设f 在0x 处的某邻域0()U x 有1n +阶连续导函数，0()x U x ∈，则有(1)()1(1)()()()()()()!()0()xxn n n n n n xx x x x t ft dt x t f t n x t f t n f t f t dt +--⎡⎤-=-+-+⋅⋅⋅++⋅⎣⎦⎰⎰()00000()!()![()()()()]!n n f x n f x n f x f x x x x x n '=-+-+⋅⋅⋅+-!()n n R x =(1)1()()()!x n n n x R x f t x t dt n +⇒=-⎰ ——积分型余项注 1) 由推广的第一积分中值定理((1)()n f t +连续，()n x t -在[]0,x x 或[]0,x x 上保持同号) ，则(1)1()()()!x n n n x R x f x t dt n ξ+=-⎰(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++=-+ ——Lagrange 型余项2) 直接由积分第一中值定理，有(1)01()()()()!n n n R x f x x x n ξξ+=-- (1)10001(())(1)()!n n n f x x x x x n θθ++=+--- 00x =时，(1)11()()(1)!n n n n R x f x x n θθ++=-， 01θ≤≤——Cauchy 型余项五、积分第二中值定理 定理 5 设f 在[],a b 上可积,1) 若g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰.2) 若g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰.推论. 设f 在[],a b 上可积，g 为单调函数，则存在[],a b ξ∈，使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰.例 12 设()f x 为[]0,2π上的单调递减函数，证明：对任何正整数n ，恒有20()sin 0f x nxdx π≥⎰.定理 6 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，函数g 在[],a b 上可导，且导函数()g x '在[],a b 上非负且连续，则存在[],c a b ∈，使得()()()()()()bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx =+⎰⎰⎰.例 13 证明：当0x >时，有不等式21sin x cxt dt x+≤⎰(0)c >.例 14 设()y f x =为[],a b 上严格增的连续曲线，试证：存在(),a b ξ∈使图中阴影部分面积相同.习 题1. 求)0(F '及)4(πF '. 其中⎰-=202sin )(x t tdt e x F2. 求下列极限(1) ⎰→xx dt t x 020cos 1lim (2) dxe dt e x txt x ⎰⎰∞→020222)(lim3. 求下列积分(1) ⎰⋅2042sin cos πxdx x (2)dx x ⎰-224(3) dx xx⎰+202sin 1cos π (4) dx xx ⎰+411(5) dx x x ⎰-1122)2( (6)dx x a x a2202-⎰(7)dx xx ⎰++311 (8)xdx x 3sin][3π⎰4. 求下列积分 (1) dx xe x⎰-2ln 0(2) ⎰210arccos xdx(3) ⎰-adx x a 022 (4) dx x x⎰-1221(5)⎰-2ln 01dx e x(6)dx ax x aa⎰-+222(7)dx xb x a xx ⎰+⋅202222sin cos cos sin π(8)dx x x ee⎰1ln(9)⎰+20cos sin cos πdx xx x(10)⎰+-adx xa xa 0arctan(11)dx e x x ⎰-⋅202sin π(12)dx xa xa x a⎰+-025. 求下列极限 (1) ∑=+∞→nk n nk 123lim (2) 2213lim k n nk nk n -∑=∞→6. 证明 (1)⎰⎰-=-11)1()1(dx x x dx x x m n n m(2) 若f 在R 上连续, 且⎰=x adt t f x f )()(, 则.0)(≡x f (3) 0sin sin ,m n mx nxdx m n N m nπππ-≠⎧=∈⎨=⎩⎰，(4)⎰-=ππ0cos sin nx mx(5) 设f 在],0[π上连续,且⎰⎰⎰===πππ0cos )(sin )()(xdx x f xdx x f dx x f求证f 在),0(π内至少两个零点.定积分1、定积分的定义1()lim ()nbi i aT i f x dx f x ξ→==∆∑⎰0,0,,,,di i T T εδδξ⇔∀>∃>∀<∀∈∆1()ni i i f x J ξε=∆-<∑. (())baJ f x dx =⎰2、可积函数(充要) 条件1) f 在[],a b 上可积⇒f 在[],a b 上有界⇒f 在(),a b 内至少有一个连续点2) f 在[],a b 上可积⇔()()b ba a f x dx f x dx --=⎰⎰⇔0,,()()T S T s T εε∀>∃-< ⇔10,,ni i i T w x εε=∀>∃∆<∑3) f 在[],a b 上连续⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上单调⇒f 在[],a b 上可积f 在[],a b 上仅有限个间断点(或间断点仅有限个聚点) ，则f 在[],a b 上可积. f 在[],a b 上可积，g 与f 仅有限个点处不相等，则g 在[],a b 上可积，且()()bbaag x dx f x dx =⎰⎰4) 可积函数复合未必可积.3、定积分性质1) 线性性质 2) 子区间可积性 3) 乘积可积 4) 区间可加性 5) 单调性 6) 绝对可积性4、微积分基本定理与Newton-Leibniz 公式定理. 若f 在[],a b 上连续，则()()xa x f t dt Φ=⎰在[],ab 上处处可导，且()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰. 由此可得()()()baf x dx F b F a =-⎰.注. 若f '可积，则()()()b af x dx f b f a '=-⎰.定理. 若f 在[],a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[],a b 上连续.结论 (变限积分的导数)()()(())(())()(())()h x g x f t dt f h x h x f g x g x '''=⋅-⋅⎰5、定积分的积分方法 1) 换元设()y f x =在[],a b 上可积，()x t ϕ=满足ϕ'在[],αβ上可积，且在[],αβ上至多除有限个点使()0t ϕ'=，其余点()0t ϕ'>，(),()a b ϕαϕβ==，则()(())()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⋅⎰⎰[ 注意：积分上下限只需对应，而不管大小. ] 2) 分部积分 (注意具体被积函数的形式) 设,u v ''为[],a b 上可积函数, 则 bbb a aaudv uv vdu =-⎰⎰.6、Taylor 公式与积分中值定理. 1) 可积函数未必有原函数.1, 01;() 1 , 1 2.x f x x -≤≤⎧=⎨<<⎩ 2) 有原函数的函数也未必可积.22211cos 2sin , 0;()0, 0.x x f x x x xx ⎧-+≠⎪=⎨⎪=⎩在[1,1]-上有原函数220, 0;()1sin , 0.x x F x x x =⎧⎪=⎨⋅≠⎪⎩ 但f 在[0,1]上不可积.3) 可积不连续的函数也可能有原函数.习 题 课一、定积分的计算 例 1 1)20πθ⎰2) 1t x t dt -⎰, (1,0,01)x x x ><≤≤3)arctana⎰4) 10(1)xdx x α+⎰5)10ln(1dx ⎰6)0⎰7)121⎰8)2-⎰9) 21,0() , 0x x x f x e x -⎧+<⎪=⎨>⎪⎩ , 求31(2)f x dx -⎰.10) 1(2)2f =，(2)0f '=，20()1f x dx =⎰. 求120(2)x f x dx ''⎰.二、利用定积分定义求和式极限11111()lim ()lim ()nn i i T n i i f x dx f x f n n ξ→→∞===∆=∑∑⎰1()lim ()n ban i b a b af x dx f a i n n→∞=--=+∑⎰例 2 1) 221lim nn i i n i→∞=+∑2) 11lim[(1)]n n n k k n -→∞=+∏3) 12lim 1knnn k n k→∞=+∑4) 444333124lim (12)5n n n n →∞++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+三、变限积分的导数例 3 1)2sin b a d x dx dx⎰ 2) 2sin x a d tdt dx ⎰3) 10(arctan )t x e tdt '⋅⎰4)23ln t t d dxdt x⎰ 例 4 1) 设0x ≥时，()f x 连续，且230()x f t dt x =⎰，求()f x .2) 设f 连续，31()x f t dt x c -=+⎰，求c 与(7)f .例 5 1) 设f 在[],a b 上连续，0()()()xF x f t x t dt =-⎰，[],x a b ∈.求证：()()F x f x ''=.2) 设f 在[)0,+∞上连续，且()0f x >，00()()()xx tf t dt x f t dtϕ=⎰⎰.试证：ϕ在()0,+∞上严格增.3) f 为连续可导函数. 试求：()()xa d x t f t dt dx'-⎰.四、求含变限积分未定型极限 例 6 1) 20cos limsin xx x x t dttdt→⎰⎰2) 222020()limxt x x t e dt e dt→∞⎰⎰例 7 1) 设f 在[],a b 上连续，求证：(),x a b ∈时，1lim ()()()()xa h f t h f t dt f x f a n+→+-=-⎰.2) ()f x 在R 上连续，且以T 为周期，求证：0011lim ()()x Tx f t dt f t dt x T→∞=⎰⎰.3)1lim bb -→⎰，(01)b << 存在.4) 设f 在[]0,A (0)A ∀>上可积，lim ()x f x a →+∞=，则01lim()xx f t dt a x →+∞=⎰.五、定积分的极限例 8 1) 求证: 1) 10lim 1nnx dx x +⎰ 2) 120lim (1)n n x dx →∞-⎰3) 2lim sin n n xdx π→∞⎰2) 设f 在[]0,2π上单调，求证：20lim ()sin 0f x xdx πλλ→∞⋅=⎰.六、某些积分不等式1、利用积分关于被积函数的单调性证明不等式.例 9 证明不等式 11201413n x dx n x x n-≤≤-+⎰，n ∈.例 10 证明:1) 211<⋅⋅⋅+< 2) 11ln(1)11ln 2n n n+<++⋅⋅⋅+<+[由此证明11lim(1ln )2n n n ++⋅⋅⋅+-存在，一般称此极限为Euler 常数，记为C ]2、某些不等式的积分形式设函数,f g 在[],a b 上可积，对[],a b 上n 等分, 取[]1,i i i x x ξ-∈，若对任何n ，1i n ≤≤，有11()()nn i i i i b a b af g n n ξξ==--⋅≤⋅∑∑，则有()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰. 例 11 1) 证明Schwarz 不等式.设,f g 在[],a b 上可积, 则222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.而当,f g 连续时, 等号成立⇔c ∃，g cf =.2) 设f 在[],a b 上连续，且0f >，则21()()()bba af x dx dx b a f x ⋅≥-⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上可积，证明：21120()()f x dx f x dx ≤⎰⎰.4) 设,f g 在[],a b 上可积，则有Minkowski 不等式()111222222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰.例 12 若ϕ在[]0,a 上连续，f 二阶可导，且()0f x ''≥, 则有Jesen 不等式0011(())(())a af t dt f t dt a a ϕϕ≥⎰⎰.3、其它不等式例13 1) 设f 在[]0,1上连续可导，证明：10()()()f x f t f t dt '≤+⎰，[]0,1x ∈.2) 设0a >，f 在[]0,a 上连续可导，则01(0)()()aa f f x dx f x dx a '≤+⎰⎰.3) 设f 在[]0,1上连续可导, 且(0)0,(1)1f f ==, 求证：110()()f x f x dx e -'-≥⎰.4) 设f 二阶可导, 求证：3()()()()224baa b Mf x dx b a f b a +--≤-⎰. 其中[],sup ()x a b M f x ∈''=.。
定积分的概念和性质ppt课件
小区间长度记为：
ti ti ti 1 (i 1 ,2 ,3 , ,n )
n
（2）近似求和：s v(i )ti. i1
（3）取极限：
n
s
lim
0 i1
v(i
)ti
（ 表示所有小区间的长度的最大者）
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8
二、定积分的定义
定义 设函数f（x）在[a，b]上有界， 在[a，b]中任意插入若干个分点：
四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则
b
a
f (x)dx 的几何意义表示
由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成
的曲边梯形的面积。
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12
一般情形,ab f (x)dx 的几何意义为：它
是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
y
＋
a
0 －
＋ bx
性质 7（定积分中值如定果理函） f (数 x)在闭区
间[a,b]上连续，[则 a,b]在 上至少存在一点
，使
b af(x )d x f()b ( a )
( a b )
这个公式叫积分中值公 式。
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22
证由性6， 质有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
即有 m 1
b
f(x)d xM
这些小区间的长度最大者）时，和式 f (i )xi 的
n
i 1
极限就是A，即
Alim
0 i1
f (i)xi
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y=f(x) y
0 a x0 x1
f(ξｉ) x 2 ξｉ x i x 编1 辑版pi ppt
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
（4） 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解： 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274，题2，（1）—（4）
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反，如果极限 lim b f (x)dx不存在， b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标：计算一些函数的广义积分
《定积分的性质》课件
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义
定积分与微积分基本定理复习讲义备考方向要明了考什么怎么考1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．3.考查曲边梯形面积的求解．4.与几何概型相结合考查．归纳·知识整合1．定积分1定积分的相关概念：在错误!错误!fx d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,fx叫做被积函数,x叫做积分变量,fx d x叫做被积式．2定积分的几何意义①当函数fx在区间a,b上恒为正时,定积分错误!错误!fx d x的几何意义是由直线x＝a,x＝ba≠b,y＝0和曲线y＝fx所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分．②一般情况下,定积分错误!错误!fx d x的几何意义是介于x轴、曲线fx以及直线x＝a,x＝b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3定积分的基本性质：①错误!错误!kfx d x＝k错误!错误!fx d x.②错误!错误!f1x±f2x d x＝错误!错误!f1x d x±错误!错误!f2x d x.③错误!错误!fx d x＝错误!错误!fx d x＋错误!错误!fx d x.探究 1.若积分变量为t,则错误!错误!fx d x与错误!错误!ft d t是否相等提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的,反过来导函数的原函数唯一吗提示：一个函数的导数是唯一的,而导函数的原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算．3．定积分错误!错误!fx －gx d xfx >gx 的几何意义是什么提示：由直线x ＝a ,x ＝b 和曲线y ＝fx ,y ＝gx 所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理：如果fx 是区间a ,b 上的连续函数,并且F ′x ＝fx ,那么错误!错误!fx d x ＝Fb －Fa ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便,常把Fb －Fa 记成Fx 错误!错误!,即 错误!错误!fx d x ＝Fx 错误!错误!＝Fb －Fa ．课前预测：错误!错误!d x 等于A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22．教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为Vt ＝t 2－t ＋2,质点作直线运动,则此物体在时间1,2内的位移为3．教材习题改编直线x ＝0,x ＝2,y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．4．教材改编题错误!错误!错误!d x ＝________.5．由y ＝错误!,直线y ＝－x ＋错误!所围成的封闭图形的面积为________ 考点一 利用微积分基本定理求定积分 例1 利用微积分基本定理求下列定积分：1错误!错误!x 2＋2x ＋1d x ；2错误!错误!sin x －cos x d x ； 3错误!错误!xx ＋1d x ；4错误!错误!错误!d x ； 520π⎰ sin 2错误!d x . ———————————————————求定积分的一般步骤：1把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；2把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； 3分别用求导公式找到一个相应的原函数； 4利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；5计算原始定积分的值． 强化训练：1．求下列定积分：1错误!错误!|x －1|d x ；2 20π⎰错误!d x . 考点二 利用定积分的几何意义求定积分 例2 错误!错误!错误!d x ＝________.变式：在本例中,改变积分上限,求错误!错误!错误!d x 的值． ———————————————————利用几何意义求定积分的方法1当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分．2利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小． 强化训练：2．2014·福建模拟已知函数fx ＝错误!错误!cos t －sin t d tx >0,则fx 的最大值为________．考点三：利用定积分求平面图形的面积例3 2014·山东高考由曲线y ＝错误!,直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为A.错误! B ．4 D ．6 变式训练：若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解 ———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤1画出曲线的草图．2借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限． 3将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． 4计算定积分,写出答案．强化训练：3．2014·郑州模拟如图,曲线y＝x2和直线x＝0,x＝1,y＝错误!所围成的图形阴影部分的面积为考点四：定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a＝－ m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝vtvt≥0,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为错误!错误!vt d t；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝vtvt≤0,那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－错误!错误!vt d t.2．变力做功问题物体在变力Fx的作用下,沿与力Fx相同方向从x＝a到x＝b所做的功为错误!错误!Fx d x.强化训练：4．一物体在力Fx＝错误!单位：N的作用下沿与力Fx相同的方向运动了4米,力Fx做功为A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质1常数可提到积分号外；2和差的积分等于积分的和差；3积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题1若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；2定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；3面积非负, 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点典例2013·上海高考已知函数y＝fx的图象是折线段ABC,其中A0,0,B 错误!,C1,0．函数y＝xfx0≤x≤1的图象与x轴围成的图形的面积为________．1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时,应处理好以下两个问题：1熟悉常见曲线,能够正确作出图形,求出曲线交点,必要时能正确分割图形；2准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为2．2014·山东高考设a>0.若曲线y＝错误!与直线x＝a,y＝0所围成封闭图形的面积为a2,则a＝________.定积分与微积分基本定理检测题一、选择题本大题共6小题,每小题5分,共30分错误!错误!d x＝A．ln x＋错误!ln2x－12．2012·湖北高考已知二次函数y＝fx的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为3．设函数fx＝ax2＋ba≠0,若错误!错误!fx d x＝3fx0,则x0等于A．±1 C．±错误!D．24．设fx＝错误!则错误!错误!fx d x＝D．不存在5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2,则此物体达到最高时的高度为m m mm6．2013·青岛模拟由直线x ＝－错误!,x ＝错误!,y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为B ．1二、填空题本大题共3小题,每小题5分,共15分7．设a ＝错误!错误!sin x d x ,则曲线y ＝fx ＝xa x ＋ax －2在点1,f 1处的切线的斜率为________．8．在等比数列{a n }中,首项a 1＝错误!,a 4＝错误!错误!1＋2x d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________．9．2013·孝感模拟已知a ∈错误!,则当错误!错误!cos x －sin x d x 取最大值时,a ＝________.三、解答题本大题共3小题,每小题12分,共36分 10．计算下列定积分：120π⎰ sin 2x d x ； 2错误!错误!错误!2d x ； 3120⎰e 2x d x .11．如图所示,直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值．12．如图,设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A 2,4移动,直线OP与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2,若S 1＝S 2,求点P 的坐标．备选习题1．一物体做变速直线运动,其v －t 曲线如图所示,则该物体在错误! s ～6 s 间的运动路程为________．2．计算下列定积分：131-⎰ 3x 2－2x ＋1d x ； 2错误!错误!错误!d x .3．求曲线y ＝错误!,y ＝2－x ,y ＝－错误!x 所围成图形的面积．4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时,得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v 单位：m/s 与时间t 单位：s 满足函数关系式vt ＝错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求1 min 行驶的路程超过7 673 m,问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.错误! ４.错误!π ５.错误!－2ln 2 例１：1错误!. 22. 3错误!. 4错误!e 4－错误!e 2＋ln 2. 5错误!. 变式１：解：1|x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误!1－x d x ＋错误!错误!x －1d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1.2 20π⎰错误!d x ＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ cos x －sin x d x ＋24ππ⎰ sin x －cos x d x ＝sin x ＋cos x 40π＋－cos x －sin x 24ππ＝错误!－1＋－1＋错误!＝2错误!－2.例２：自主解答 错误!错误!错误!d x 表示y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝错误!得x －12＋y 2＝1y ≥0,又∵0≤x ≤1,∴y ＝错误!与x ＝0,x ＝1及y ＝0所围成的图形为错误!个圆,其面积为错误!. ∴错误!错误!错误!d x ＝错误!.互动：解：错误!错误!错误!d x 表示圆x －12＋y 2＝1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以 错误!错误!错误!d x ＝错误!.变式２. 错误!－1 例３.Ｃ 互动：错误!. 变式３.Ｄ 例４：自主解答 a ＝－ m/s 2,v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v ＝20－.令v ＝0,即20－ t ＝0得t ＝50 s ．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s ＝错误!错误!v d t ＝错误!错误!20－d t ＝20t －错误!错误! ＝20×50－×502＝500m,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46典例：解析 由题意可得fx ＝错误!所以y ＝xfx ＝错误!与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰10x －10x 2d x ＝错误!x3120＋错误!112错误!＝错误!. 答案 错误! 变式5. １.Ａ ２. 错误!检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.错误! ９.错误! 10.解：1 错误!. 2错误!＋ln 错误!. 3 错误!e －错误!. 11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0,x 2＝1, 所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝错误!错误!x －x 2d x ＝错误!错误!错误!＝错误!. 又错误!由此可得,抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0,x 4＝1－k ,所以,错误!＝错误!错误!x －x 2－kx d x ＝错误!错误!错误!＝错误!1－k 3.又知S ＝错误!,所以1－k 3＝错误!,于是k ＝1－ 错误!＝1－错误!. 12.解：设直线OP 的方程为y ＝kx ,点P 的坐标为x ,y ,则错误!错误!kx －x 2d x ＝错误!错误!x 2－kx d x ,即错误!错误!错误!＝错误!错误!错误!,解得错误!kx 2－错误!x 3＝错误!－2k －错误!,解得k ＝错误!,即直线OP 的方程为y ＝错误!x ,所以点P 的坐标为错误!. 备选题：1.解析：由题图可知,vt ＝错误!因此该物体在错误! s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰vt d t ＝112⎰2t d t ＋错误!错误!2d t ＋错误!错误!错误!d t ＝t 2112＋2t |错误!＋错误!错误!错误!＝错误!m ． 答案：错误!m2.解：1 31-⎰ 3x 2－2x ＋1d x ＝x 3－x 2＋x 31-＝24.2错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!x d x ＋错误!错误!错误!d x ＋错误!错误!错误!d x ＝错误!x 2错误!错误!＋ln x 错误!错误!－错误!错误!错误!＝错误!e 2－1＋ln e －ln 1－错误! ＝错误!e 2－错误!＋错误!. 3.解：由错误!得交点A 1,1由错误!得交点B 3,－1．故所求面积S＝错误!错误!错误!d x＋错误!错误!错误!d x ＝错误!错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.4.解：由变速直线运动的路程公式,可得s＝错误!错误!t2d t＋错误!错误!4t＋60d t＋错误!错误!140d t＝错误!t3错误!错误!＋2t2＋60t错误!错误!＋140t错误!错误!＝7 133 错误! m<7 676m．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。
数学物理方法讲义05定积分计算
数学物理方法讲义05定积分计算定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积、曲线的弧长、质量、质心等。
本讲义主要介绍定积分的定义、性质以及一些常见的计算方法。
一、定积分的定义设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有界，将$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间长度为$\Delta x_i$，选取$x_i^*$在$[x_i,x_{i+1}]$上任意一点。
则$\Delta A_i=f(x_i^*)\Delta x_i$表示每个小区间上的面积。
将这$n$个小面积相加并取极限，得到曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上的定积分：$$\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$其中$x_i^*$是$[x_i,x_{i+1}]$上任意一点。
二、定积分的性质定积分具有以下性质：1. $\int_a^b f(x)dx$表示曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上的面积。
如果$f(x)\geq 0$在$[a,b]$上成立，则该定积分的值为该曲线下的面积；如果$f(x)\leq 0$在$[a,b]$上成立，则该定积分的值为该曲线下的面积的绝对值。
2.如果函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上连续。
3. $\int_a^a f(x)dx=0$。
4. $\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$。
5. $\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$。
三、定积分的计算方法1.几何法几何法适用于计算函数与$x$轴围成的面积。
根据图形的特点，将曲线下的区域分成几个几何形状（如矩形、三角形、梯形等），计算每个几何形状的面积，然后求和即可。
2.平均值定理平均值定理适用于已知函数在区间上的平均值，求解该函数在该区间上的定积分。
定积分的概念课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
定积分与微积分基本定理讲义
定积分与微积分基本定理讲义一、知识梳理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a nf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．注意：1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( )题组二：教材改编2．ʃe ＋121x －1d x ＝________.3.ʃ0－11－x 2d x ＝________. 4．[汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 题组三：易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．46．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________． 三、典型例题题型一：定积分的计算1．定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56 D ．不存在思维升华：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二：定积分的几何意义命题点1：利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 命题点2：求平面图形的面积典例由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．思维升华：(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________． (2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三：定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.思维升华：定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J答案 C 四、反馈练习1．π220sin d 2x x 等于( ) A ．0 B.π4－12C.π4－14D.π2－1 2．ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1 D ．π－13.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76 6．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝17．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．28．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 9．π20π2sin()d 4x x +=⎰ ________. 10．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1514．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 115．ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.。
人教版数学高二选修2-2讲义1.5.3定积分的概念
1.5.3定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点)3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P45内容，完成下列问题．如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x，即⎠⎛ab f(x)d x＝__________.其中a与b分别叫做__________与__________，区间[a，b]叫做______，函数f(x)叫做____________，x叫做__________，f(x)d x叫做__________．【答案】∑i＝1n b－an f(ξi)limn→∞∑i＝1n b－an f(ξi)积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x＋1)d x的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．【答案】直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎛ab f(t)d t.()(2)⎠⎛ab f(x)d x的值一定是一个正数．()(3)⎠⎛12x d x<⎠⎛22x d x()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3定积分的性质阅读教材P47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf(x)d x＝________________________(k为常数)．2.⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎠⎛abf1(x)d x±__________________.3.⎠⎛ab f(x)d x＝______________(其中a<c<b)．【答案】 1.k⎠⎛ab f(x)d x 2.⎠⎛ab f2(x)d x 3.⎠⎛ac f(x)d x＋⎠⎛cb f(x)d x填空：(1)由y＝0，y＝cos x，x＝0，x＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2)⎠⎛-11f(x)d x＝⎠⎛-10f(x)d x＋__________.(3)⎠⎛ab(x2＋2x)d x＝⎠⎛ab2x d x＋________.【答案】(1)⎠⎜⎛π2cos x d x(2)⎠⎛1f(x)d x(3)⎠⎛ab x2d x[小组合作型]利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x＋2)d x的值．【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，将区间[1,2]等分成n个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n＋i－1n，n＋in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝n＋in－n＋i－1n＝1n.(2)近似代替、作和取ξi＝n＋i－1n(i＝1,2，…，n)，则S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎪⎫n＋i－1n·Δx＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(n＋i－1)n＋2·1n＝∑i＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n2＋5n＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝32×n2－nn2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x＋2)d x＝limn→∞S n＝limn→∞⎝⎛⎭⎪⎫132－32n＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】 令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n . (3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋⎦⎥⎤3＋1n＝23.定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分． (1)⎠⎛-33－39－x 2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】 对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x 2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x3＋3x)d x＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x，如何求解？【解】由y＝9－x2，知x2＋y2＝9(y≥0)，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x等于圆心角为60°的弓形C ED的面积与矩形ABC D的面积之和．S弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S矩形＝|AB|×|BC|＝2×32×9－⎝⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]定积分性质的应用探究1 【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加． 探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-aa g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . (2)由定积分的性质(2)可得⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛2[f(x)－2x]d x＝⎠⎛2f(x)d x－2⎠⎛2x d x＝8－2×2＝4.【答案】(1)C(2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab[f1(x)±f2(x)±…±f n(x)]d x＝⎠⎛ab f1(x)d x±⎠⎛ab f2(x)d x±…±⎠⎛ab f n(x)d x；(2)⎠⎛ab f(x)d x＝⎠⎜⎛ac1f(x)d x＋⎠⎜⎛c1c2f(x)d x＋…＋⎠⎜⎛c nb f(x)d x(其中a<c1<c2<…<c n<b，n∈N*)．[再练一题]3．已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x；(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x.【解】(1)⎠⎛e(2x＋x2)d x＝2⎠⎛e x d x＋⎠⎛e x2d x＝2×e22＋e33＝e2＋e33.(2)⎠⎛e(2x2－x＋1)d x＝2⎠⎛e x2d x－⎠⎛e x d x＋⎠⎛e1d x，因为已知⎠⎛e x d x＝e22，⎠⎛e x2d x＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －a C.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x【解析】 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x.【答案】 B3．由y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.【导学号：62952047】【解析】∵0＜x＜π2，∴sin x＞0.∴y＝sin x，x＝0，x＝π2，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛π2sin x d x.【答案】⎠⎜⎛π2sin x d x4．若⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x＝3，⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝1，则⎠⎛ab[2g(x)]d x＝________.【解析】⎠⎛ab[2g(x)]d x＝⎠⎛ab[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]d x＝⎠⎛ab[f(x)＋g(x)]d x－⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x＝3－1＝2.【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x.【解】由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x等于圆心角为60°的弓形C E D的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝12×π3×22－12×2×2sinπ3＝2π3－ 3.S矩形＝|AB|·|BC|＝2 3.高中数学-打印版 精心校对完整版 ∴⎠⎛-114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.。
高中数学定积分讲义
高中数学定积分讲义一、理解定积分的概念1、产生背景：2、曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．yi记n 个小曲边梯形的面积分别为：△S 1, △S 2,…, △S n ， 则曲边梯形的面积S=△S 1+△S 2+…+△S n 第二步 近似代替在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(,n i i =ξ 则i i i x f s ∆⋅≈∆)(ξ, 第三步 求和 i i ni x f s ∆⋅≈∑=)(1ξ第四步 取极限∑=∞→∆⋅=ni ii n x f s1)(lim ξ阿基米德问题：求由抛物线y=x 2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．°分割：将区间[0,1]分成n 等份： △s1,,,1n n -⎡⎡⎢⎢⎣⎣2°近似代替：x n i xn i f s s ii ∆-=∆-='∆≈∆2)1()1(),,2,1(1)1(2n i nn i =⋅-=3°求和： S n =n n i x n i f s sni ni ni i ni i1)1()1(21111⋅-=∆-='∆≈∆∑∑∑∑====nn n n n n n n 1)1(1)2(1)1(10222⋅-+⋅+⋅+⋅= ])1(321[122223-++++=n n6)12()1(13--⋅=n n n n )211)(11(31nn --= 4°取极限： 31)211)(11(31lim lim 1=--='∆=∞→=∞→∑n n s s n ni i n 求曲边梯形面积的“四步曲”：1°分割 化整为零以直代曲3°求和积零为整刨光磨平1、定积分的概念：例2、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，直线2:1=x l ,直线t t y l 8:22+-=（其中0≤t ≤2,t 为常数）。
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分的概念 课件
22 x2dx. 1
2. [02f(x)-2x]dx= f0(2x)dx+ (-022x)dx.
3.
(0e2x2-x+1)dx=20e
x2dx- exdx+ e
0
0
1dx.
【自主解答】(1)选C.由定积分的几何性质得：
0f2 (x)dx=
(01x+1)dx+
22 x2dx 1
(2)由定积分的性质得：
分的面积).
2.定积分的性质
b
(1)
b
a
kf(x)dx=
_k_a_f_(_x_)_dx_(k为常数).
(2) a［b f1(x)±f2(x)］dx=__a_b f_1__x_d_x____ab_f2__x__d_x_.
(3)
b
a
f(x)dx=
c
a
பைடு நூலகம்
f(x)dx+
_c_b f__x__d_x_(其中a＜c＜b).
当n→∞时，上述和式无限接近某个_常__数__，这个_常__数__叫做函
b
数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作__a _f(_x_)d_x_，即
b
a
f(x)dx=
_lni_m__in1__b_n_a_f_(__i )，
这里，a与b分别叫做积分下限与_积__分__上__限__，区间[a，b]叫做
积分区间，函数f(x)叫做_被__积__函__数__，x叫做_积__分__变__量__，f(x)dx
叫做被积式.
(2)定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数连续且恒有
_f_(_x_)_≥__0_，那么定积分
b
a
f(x)dx表示由直线x=a，x=b(a<b)，
《定积分的概念》课件
定积分的微元法
微元法原理
微元法是将被积函数分成若干个微小的元素， 每个元素的贡献可以表示为微小面积与微元函 数值的乘积。
微元法应用
微元法可以用于计算定积分的瑕积分、曲线积 分、曲面积分等，是微积分中的常见方法。
定积分的瑕积分
1
定义
瑕积分是所要求解的曲边梯形面积存在间断点、奇点或无穷处时的积分。
2
定积分的数值解法
1
梯形法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照梯形形状进行大概估算。可以用于求解较为 简单的问题。 Nhomakorabea2
辛普森法
将区间分成多个小区间，每个小区间按照二次曲线形状进行更加精确的估算，具有高 精度和较高的运算成本。
3
数值微积分
通过使用数值微积分方法，如泰勒展开、拉格朗日、牛顿-科茨等方法，求解定积分的 数值解。
定积分的概念
欢迎来到本课程！本节课将介绍定积分的概念和相关知识点。
什么是定积分
数学定义
定积分是求曲边梯形面积的极限值，也是区间上的面积和，是微积分的重要概念。
直观理解
定积分描述了一个函数在区间上的累积变化，可以用于求面积、体积、平均数等问题。
定积分的意义和应用
意义
定积分是微积分的基础，让我们可以精确求解 函数的变化量。
矢量场定义
路径无关性可以通过矢量场的定义进行证明，该 定义称为黎曼条件。
保守场定义
保守场是指通量积分对于路径没有依赖性，可以 用来描述物理中的力场、磁场等。
定积分的曲面积分
定义
曲面积分是对曲面上的函数进行积分，通常应 用于流量、面积、压力等问题。
算法
可使用高斯公式、斯托克斯公式等方法求解。
定积分的环量积分
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x
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用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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求解曲边梯形面积的步骤：
（1）分割：将曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形。任取分 点 a x0 x1 xn1 xn b ，把底边 [a, b] 分成 n 个 小区间
f ( x ) dx
a
b
积分下限
被 积 函 数
被 积 [a,b] 积分区间 积 分 表 变 达 量 式 大学各学科PPT课件 持续更新 欢迎收
藏 12
有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示 为： 曲边梯形面积 A a f ( x)dx 变速直线运动的路程 S T V (t )dt
23
例4
解
2 1
1 1 x 1 2 x 1 设 f ( x) ，求 1 f ( x)dx 1 x 2 x2
因为 f ( x) 在[1,2]上分段连续 1 所以 f ( x)dx = ( x 1)dx dx x x x 1 3 = 2 2 x
1 2 1 1 2
2 1 2 1 1
练习 习 题4-2 （1）-（4）
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24
二、定积分的计算
1．定积分的换元积分法
例5 计算 sin 2 xdx
1 0
解 解法一 求 sin 2 x 的原函数。 1 1 1 sin 2 xdx= sin 2 xd 2 x u 2 x sin udu = cos u C 2 2 2
定积分的概念 课件
定积分的概念
1．定积分的概念 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小 区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1，2，…， n)，作和 sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…f(xn)Δ x，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在 时，如图③所示，则∫baf(x)dx＝S 上－S 下，若 S 上＝S 下， 则∫baf(x)dx＝0．
温馨提示 在利用定积分的几何意义求定积分时， 要特别注意曲边梯形所在的位置，以此为依据确定积分 值的符号．
4．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝_k_∫__ba_f(_x_)_d_x_ (k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝_∫__baf_1_(x_)_d_x_±__∫__ba_f2_(_x_)d_x__； (3)∫baf(x)dx＝∫__caf_(_x_)d__x_＋__∫__bcf_(_x_)d_x_，其中 a＜c＜b.
(2)∫21xdx 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面 积，由于这个梯形的面积为32，所以∫21xdx＝32.
(3)在平面上 y＝ 9－x2表示的几何图形 为以原点为圆心，以 3 为半径的上半圆，如图 ③所示，其面积 S＝12·π·32＝92π.
由定积分的几何意义，知∫3－3 9－x2dx＝92π.
温馨提示 注意积分结果的符号问题．因为定积分∫
baf(x)dx 是介于 x 轴、函数 f(x)的图象以及直线 x＝a，x＝ b 之间的各部分面积的代数和，在 x 轴上方的取正号，在 x 轴下方的取负号．
定积分讲义
设 ，
.
三、定积分定义
1.定义设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 把区间 分成 个小区间，各小区间的长度依次记为 ， ，在各小区间上任取一点 （ ），作乘积 ， ，并作和 ，
记 ，如果不论对 怎样的分法，也不论在小区间 上点 怎样的取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限 ，我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记为
课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课 、复习 、 作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质
教学要求：
1.了解定积分的概念
2.掌握定积分的性质
重 点：定积分的性质
难 点：
1.定积分的概念
2.定积分的性质
教学手段及教具：讲授为主
要求：听课 、复习 、 作业
本次课题（或教材章节题目）：第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
教学要求：
1.了解定积分的元素法
2.会用元素法求解平面图形面积
重 点：
元素法求解平面图形面积
难 点：
元素法求解平面图形面积
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1 复习定积分的概念 10分钟
本次课题（或教材章节题目）：第五章 定积分 第三节 定积分的换元积分法及分部积分法
教学要求：
利用分部积分法求解多种形式积分
重 点：
分部积分法
难 点：
分部积分法
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1 复习 15分钟
2 分部积分法 25分钟
3 例题及练习 50分钟
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三、牛顿莱布尼茨公式
定理3如果函数 是连续函数 在区间[ab]上的一个原函数则
此公式称为牛顿莱布尼茨公式也称为微积分基本公式
因为 和 都是 的原函数所以存在常数 使 ( 为某一常数)
由 及 得 ， .
设函数 f(x)在区间[ab]上连续并且设x为[ab]上的一点我们把函数 在部分区间[ax]上的定积分 称为积分上限的函数它是区间[ab]上的函数记为(x) 或
定理1如果函数 在区间[ab]上连续则函数 在[ab]上具有导数并且它的导数为 (ax<b)
定理2如果函数 在区间[ab]上连续则函数 就是 在[ab]上的一个原函数
教学要求：
1.理解换元积分法
2.会用换元积分法求解积分
重点：
换元积分法
难点：
换元积分法求解积分
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1复习15分钟
2换元积分法15分钟
3例题及练习60分钟
课后作业
参考资料
一、复习微积分基本定理及13个常见积分式
1.牛顿莱布尼兹公式
2. 13个常见积分式
二、换元积分法
定理2设函数 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在区间 上可积.
3.定积分的几何意义
曲边梯形的面积
（2） 曲边梯形面积的负值
（3）
4.定积分的性质
规定：当 时， ；
当 时， .
在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小
性质1
性质2 ( 为常数).
性质3（定积分对于积分区间具有可加性）
二、分部积分法
定理：设 , 在 上可导,且 , ),则有分部积分公式
或
这就是定积分的分部积分公式
三、例题
例1.计算
解设 ，
=
例2.计算
解
四、练习
1、计算下列定积分
（1） （2）
（3） （4）
（5）
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第三节定积分的换元积分法及分部积分法
（1） 与
解：当 时， ，
从而
（2） 与
解：当 时， ，所以 ，
从而
1.用定积分的几何意义求:
（1）
（2）
（3）
2.比较下列各对积分的大小
（1） 与
（2） 与
（3） 与
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第二节微积分基本公式
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第一节定积分的概念与性质
教学要求：
1.了解定积分的概念
2.掌握定积分的性质
重点：定积分的性质
难点：
1.定积分的概念
2.定积分的性质
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
解：这图形是曲边梯形的一个特例它的面积
(1)(1)2
五、练习
1.求下列函数的导数：
（1） ；（2）
（3） ；（4）
2.计算下列定积分：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第三节定积分的换元积分法及分部积分法
由 得 即
为了方便起见可把 记成 于是
进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系
四、例题
例1.求下列函数的导数：
（1） ；（2）
解（1）
（2）
例2.计算
解由于 是 的一个原函数所以
例3.计算
解由于 是 的一个原函数所以
例4.计算
解 ln 1ln 2ln 2
例5.计算
解：原式=
例6.计算正弦曲线 在[0π]上与 轴所围成的平面图形的面积
假设 ，
.
推广：不论 的相对位置如何,下式总成立.
.
性质4
性质5（不等式性质）——比较性质
如果在区间 上 ，则 .
推论：如果在区间 上 ，则 .
性质6设M及m分别是函数 在区间 上的最大值及最小值则
性质7（定积分中值定理）
如果函数 在闭区间 上连续，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使
.
例1.?用定积分的几何意义求 .
用分点 把区间 分成 个小区间 ，各小区间的长度依次为： ， ，在各分点处做 轴的平行线，就把曲边梯形的面积分成 个小的曲边梯形
(2)近似：
在各小区间 上任取一点 ，以 为高， 为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积 ，即
，
(3)求和：
整个大的曲边梯形的面积等于 个小曲边梯形的面积之和，即
反—反三角函数
对—对数函数
幂—幂函数
指—指数函数
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主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
本次课题（或教材章节题目）：第六章定积分的应用第一节定积分的元素法
第二节定积分在几何学上的应用
教学要求：
1.了解定积分的元素法
2.会用元素法求解平面图形面积
重点：
元素法求解平面图形面积
1复习5分钟
2定积分问题举例15分钟
3定积分定义15分钟
4定积分的性质30分钟
5例题及练习25分钟
课后作业
参考资料
定积分的概念与性质
一、复习不定积分的概念
二、定积分问题举例
曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线 、 、 所围成（如图1）.
图1
提问：怎样求曲边梯形的面积？
方法：分割近似求和取极限
(1)分割：
难点：
元素法求解平面图形面积
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1复习定积分的概念10分钟
2定积分的微元法15分钟
3平面图形面积问题20分钟
4例题及练习45分钟
课后作业
参考资料
一、复习定积分的定义
二、定积分的元素法
步骤：
1、在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，即寻找微分表达式
(4)取极限：
设 ，
.
三、定积分定义
1.定义设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点 把区间 分成 个小区间，各小区间的长度依次记为 ， ，在各小区间上任取一点 （ ），作乘积 ， ，并作和 ，
记 ，如果不论对 怎样的分法，也不论在小区间 上点 怎样的取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限 ，我们称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记为
其中 叫做被积函数 叫做被积表达式 叫做积分变量 叫做积分下限 叫做积分上限 叫做积分区间
说明：
（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.
（2）定义中区间的分法和 的取法是任意的
（3）当函数 在区间 上的定积分存在时，称 在区间 上可积.
（4）
2.定积分存在定理
定理1当函数 在区间 上连续时，则 在区间 上可积.
教学要求：
1.了解变上限函数及导数的概念
2.掌握牛顿莱布尼兹公式
重点：牛顿莱布尼兹公式
难点：
1.变上限函数及导数
2.牛顿莱布尼兹公式的应用
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1复习10分钟
2积分上限函数及其导数25分钟
3牛顿莱布尼兹公式25分钟
4例题及练习30分钟
课后作业
参考资料
一、复习定积分的概念及性质
本次课题（或教材章节题目）：第五章定积分第三节定积分的换元积分法及分部积分法
教学要求：
1.理解分部积分法
2.能利用分部积分法求解积分
重点：
分部积分法
难点：
分部积分法
教学手段及教具：讲授为主
讲授内容及时间分配：
1复习15分钟
2分部积分法25分钟
3例题及练习50分钟
课后ห้องสมุดไป่ตู้业
参考资料
一、复习换元积分法
提出问题：求解
当 时， ；当 时，
解法二
注：如并不明显写出新变量 ，则定积分的上下限就不用变。
例4.计算
解：原式=
三、练习
计算下列定积分
(1) (2)
(3) (4)
四、小结
掌握定积分的换元积分法，要特别注意换元要换限，换限时要对应.
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.
主要内容：定积分的计算
要求：听课、复习、作业
2、计算
三、定积分的应用——求平面图形的面积
1、由曲线 及直线 与 ( )与 轴所围成的曲边梯形面积
2、由曲线 与 及直线 ， ( )且 所围成的图形面
四、例题
例1.计算抛物线 与直线 所围成的图形面积.
解：1、先画所围的图形简图
解方程 ,得交点： 和 .
2、选择积分变量并定区间
选取 为积分变量，则
解设 ，则
当 时， ；当 时，
例2.计算
解：设 ，则
当 时， ；当 时，
例3.计算
解：设 ，则
当 时， ， 时， .
=
四、练习
计算下列定积分
1、 2、
3、 4、
课程安排：2学期，周学时4 ,共96学时.