特殊位置直线投影(正垂线)(精)
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机械制图直线与点投影
⒈ 两直线平行
V
d
c a
A C
a
b B
D
c
b
d
H
d b c
a
X
O
a
b
c
d
空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
① b
d
a
c
ac
②
b c
d
a
d b c
b
da
b d
a c
c a
d b
AB与CD平行。
对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。
AB与CD不平行。
对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。
⒉ 两直线相交
交点是两直
V c
b
k
线的共有点
a C A
d K
B D
X
O
a
d
c
k
b
H
c k a
b d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
第三章 直线与点投影
直线的投影
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线的投影
a b c(d)
直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
直线对投影面的相对位置
一、特殊位置直线 1.直线平行于一个投 影面 (1)水平线 (2)正平线 (3)侧平线 3.从属于投影面的直线
2.直线垂直于一个投影 面
(1)铅垂线 (2)正垂线
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
特殊位置直线的投影
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
空间垂直某一投影面的直线称为投影面垂直线。 投影面垂直线分为三种：
铅垂线 (⊥于H 面，∥于V 面和W 面)。
正垂线
侧垂线
(⊥于V 面，∥于H 面和W 面)。
(⊥于W 面，∥于H 面和V 面)。
§3-2 特殊位置直线的投影
二、投影面垂直线
本节结束
§3-2 特殊位置直线的投影
3.侧平线投影特性Fra bibliotek1)a” b” =AB ；
2)反映α、β实角； 3) ab∥OY 轴，a’b’∥OZ 轴。
Z V
a’ b’ X b a A β B
O
实长
β
a’
b’
Z
a”
β
实长
b” YW
a”
b”
X b a Y
O
YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
归纳投影面平行线的投影特性： 直线在所平行的投影面上的投影反映实长、 投影与相应轴的夹角反映直线与另外两个投影 面的夹角实际大小； 直线的另两个投影平行于相应的轴，且长度 缩短。
二、投影面平行线
2.正平线
投影特性
Z a’
实长
V b’
1)a’b’ = AB ； 2)反映α 、γ实角； 3)ab ∥OX 轴，a’’b’’∥OZ 轴。
实长
a” b” b’ X b Y α
α B
b
A α O a
a’ O
Z
a” b” YW
X
a YH
§3-2 特殊位置直线的投影
一、投影面平行线
实长
V a‘ A X
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
02直线的投影与三视图
直线的投影（知识点2）
五、直线上的点
V
a c C A a c b H b B
定比性
a c
b
X
X
a c
b
直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb 定比定理
直线的投影（知识点2）
［例1］判断点C是否在线段AB上。
a c b X a c b YH Z a
实长
直线的投影（知识点2）
四、一般位置直线
1、一般位置直线投影特性
各投影的长度均小于直线本身的实长和倾角。 直线的各投影均不平行于各投影轴。
直线的投影（知识点2）
五、直线上的点
从属性
a′
X
c′
b′
Z
b″ c″
a″
O
c
b
Y
Y
a
若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的同面投影上。反之，如果点的各个投影均在 直线的同面投影上，则点在直线上。
投影面平行线
名称 立 体 图
正平线(∥V )
水平线(∥H）
侧平线∥W )
投 影 图
(1)ef∥OYH, 投 (1)ab∥OX, (1)cd∥OX, ab∥OZ ef∥OZ； cd∥OYW 影 (2)cd=CD ； (2)ef=EF 特 (2)ab =AB 性 (3)反映夹角、 大小。 (3)反映夹角 、 大小。 (3)反映夹角、大小。
直线的投影（知识点2）
一、直线的分类
正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 只平行于一投影面
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
直线投影基本知识
Z
b
Z
b
a
B b
a
b
a
X
O
YW
X
O
b
b A
a
a
Ya
投影特性：1.a b、 a b 、a b 均小于实长 YH
2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴 3 、不直接反映直线对投影面的倾角
（2）投影面平行线
水平线—
平行于水平投影面的直线
z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
XB Oba Nhomakorabeaa
b
Y
投影特性: 1． a b =AB
b'
O b
求一般位置直线的实长及其与W面的夹角γ
Z V
b'
B b"
a'
γ
W
X
X O
A
b
a
H
a" Y
X
Z b' b"
实长 γ
a' X
X
a"
O
YW
b
a YH
实长 β
Y a' X
X Z b' b"
γ
实长
a"
O
YW
αb
a
实长 YH
Z
[例] 如图所示, 求直线AB的真长及其对投影面H、V 的倾角α、β。
行，空间两直线就平行。
（2）对于投影面平行线，可采用以下两种方法:
1）若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。
2）作出投影面平行线的三面投影。
（2）两直线相交
正投影法基础_03
定
理 二
若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
先找出过此点而又在平面内的一条直线作 面上取点的方法： 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。12ຫໍສະໝຸດ 怎样求平面上的投影面平行线？
f
c
a d b
f
a d
c
b
6. 已知正平线在V面内投影长a’b’=40mm， 与H面的夹角为30度，求直线AB的两投影。
a’ b a
m’ p m
c
d’ f’
n
a’ g’ b’ c’
特殊情况： 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚 性的那组投影也平行。
d f
e’
a
e
b g
c
例
试判断两平面是否平行
a b n m c r f s e
X c n m a
d e
O
d r f b
s
结论：两平面平行
26
27
五、几何元素间的相对位置
㈠ 平行问题
㈡ ㈡ 相交问题 相交问题
㈢㈢ 垂直问题 垂直问题
15
㈠
平行问题
1 直线与平面平行
2 平面与平面平行
16
1.两直线平行
b′ a′ c′ O b a c d d′
X
投影特性：
空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行， 反之亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
如何判断
求出侧面投影
结论:AB与CD不平行
2
直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
机械制图-正投影体系内特殊的面和线
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面垂直面
特殊位置平面
投影面平行面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
垂直面 平行面 平面
二、平面的投影特性
为什么？ 类似性
是什么位置 的平面？
a
积聚性
γ
a
b
b
类似性
c c
βc b
a
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜 的直线
一般位置直线
平行线 垂直线 直线
一、直线的投影特性
铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d) d c ●
d c
侧垂线
e f e(f) ●
ef
一、直线的投影特性
水平线
正平线
a b a b 实长 a
a
b
b
a
b
实长
ba
成一条直线，且平行于相应 的投影轴。
返回
二、平面的投影特性
3.一般位置平面
V
b
B b
a A
W
a″ C c″
a
b
a
c
H
a
b
b
c b
c 投影特性：
a
三个投影都是原平面的
类似形。
c 返回
积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影为
横线或者竖线，反映实长。
返回
一、直线的投影特性
3. 一般位置直线的投影特性
V
a
各位置直线和平面投影特性总结
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈 倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
各种位置直线投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c ＇d ＇//OX 轴,c"d"//O YW 轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e ＇f ＇//OZ轴，ef//O YH 轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短 投影面垂直线 ——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V 面的直线叫正垂线； 垂直于H 面的直线叫铅垂线； 垂直于W 面的直线叫侧垂线。
画法几何制图-平面的投影及相对位置
分析：线线//，则线面//；过A点做直线AD//BC。
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行
f’
f
可过A点任意作直线AF
例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。
n
a
c
b
m
a
b
c
m
n
有无数解
分析:过M点作一条//平面内的任意直线的直线,即得.
正平线
c
●
b
a
m
a
b
c
m
n
唯一解
n
分析:在平面ABC内作一条正平线,MN//此正平线,即得.
例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
2.另两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
是什么位置的平面？
投影特征：一斜两类似
2） 投影面平行面的投影
V
W
H
水平面
投影特性： 1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
C
A
B
a
b
c
b
a
c
a
b
c
c
a
b
b
b
a
a
椭圆的画法
一节到此
椭圆的近似画法(四心法)：
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
1.CF=CE=OA-OC
O
2.作AF的中垂线,与两轴交得1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心，1为半径作弧，拼成近似椭圆。
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。
⒈ 直线与平面平行
直线和平面的投影
② 另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
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1
17
⑶ 一般位置直线
b
b
投影特性：
a
三个投影都缩短。即:
a
都不反映空间线段的实长及
与三个投影面夹角的实大，
a
且与三根投影轴都倾斜。
b （1）ab, a’b’, a’’b’’对于三个投影轴既不平行也 （2） ab, a’b’, a’’b’不’垂都直较空间线段AB缩短了。
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1
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二、三角形法：一般位置直线的实长求法
YB-YA
b′
ZB-ZA ZB-ZA
V
a
A
b
A0
β
B
α B0
bH
a′
a α
实长
b
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1
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对Ｈ面倾角和实长
a
X
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b
B
|zA-zB|
a
X O
C
A
b
a
a
AB
ab
1
|zA-zB|
b
AB
|zA-zB|
ab
b
AB
|zA-zB |
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d
1
c
实长
d
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直角三角形法要点
1、角度、投影、坐标差和投影之间的对应关系
α角——水平投影——z坐标差——线段实长 β角——正面投影—— y坐标差——线段实长 γ角——侧面投影——x坐标差——线段实长
2、投影、坐标差、实长和角度四个要素知 道其中二个就可以求其它二个
3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错
第三章 基要素的投影-直线
点、直线的相对位置－直线上点-点分割线段成定比 b b
Z
b
c
a
C
B
b c” a a X
c
O b c a YH
c
a YW
A c a
b
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 点分割线段成定比，则分割两线段的各个同面投影之 比等于其两线段之比—定比性。
Z
a b
X B
a(b)
b
O
YW
a(b) Y
YH
投影特性：1． ab 积聚 成一点 2． abOX ; ab OYW 3． ab = ab = AB
直线的投影-各类直线的投影特性－特殊位置直线－正垂线 b a(a b) A B X a b O a Z a b X O YW b a a (( b ) Z
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
b
b
对于特殊位置直线，只有 两个同名投影互相平行，空间 d 直线不一定平行。 b
a
c
d a 如何判断？
求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
方法二： 若 AB∥CD， 则有：a‘b’∥c‘d’， ab∥cd， 图中：a‘b’∥c‘d’， ab∥dc， 所以 AB与CD是不平行。
求出侧面投影
例2：判断图中两条直线是否平行。
a s c
X
a’s’
b
d
a s
b
c d
s’b’
b0
s0
a s : s b= as : sb
机械制图3直线的投影
a
V
＝
A
a'1 V1
＝
＝
V X
ax
H
＝
. ax1
a'1
X
a
H V1 X1
旧投影体系 X —VH
ax
＝
ax1
a
H
X1
新投影体系 X1 —HV1
A点的两个投影：a， a
A点的两个投影：a 1，a
★新投影体系仍然遵守投影的 一般规律：
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aa 1 X1
a'1ax1 = aax
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
“交点”是两直线上的一对重影点，可用于判别其空间位置。
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Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
交叉二直线的空间位置的判别
利用前面讲述的重影点进行判别， 到另外两个投 影上去找遮挡关系
1′
c
′
3′(4′)
●
● ●
2′
a′
X a
●4
● ●
c 3 1(2)
换H面行吗？
旧投影到旧轴的距离。
同时求出直线AB的实长及与H面的夹角α。
Of course！
27
Gong Zhuorong, Beijing Jiaotong University
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线
a
XV H
a
b
b
.
H X1 V1
(b'1) a●'1
V1
V
b′
a
B ●(b'1) a′1
投影的长度均比空间线段短，即都 不反映空间线段的实长。
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