连续复利公式

M Mni
1 r
n
（二）分次付息债券定价 1、一般定价公式
C M P t n (1 r ) t 1 (1 r ) 2、一年付息多次债券的定价
n
C/m M P t n (1 r / m) t 1 (1 r / m)
n

3、年折现率可变的债券定价
二、利率二叉树构建
（一）利率二叉树含义 利率二叉树是基于利率波动的某些假设条件下， 利率变化的一种图形描述和数值计算。 这一模型的假设包括：第一，下一期的利率波 动只有上升或下降两种情况。第二，利率上升 或下降的概率在每次变动时是一样的。第三， 利率的运动服从对数正态过程。第四，各期利 率的波动率保持不变。
2、影响债券价格的内部因素 （1）税收待遇。 （2）流动性。 （3）信用等级。 （4）提前赎回条款。

二、债券定价定理
定理一：如果一种债券的票面利率和折 现率一样，则债券的价格将等于票面金 额。 定理二：如果市场的折现率下降，债券 的价格就会上涨；如果市场的折现率上 升，债券的价格就会下跌。



定理三：如果债券市场折现率在整个期限内没 有发生变化，则债券的价格折扣或价格升水会 随到期日的接近而减少，或者说其价格日益接 近票面金额。 定理四：如果债券市场折现率在整个期限内没 有发生变化，则附息债券的价格折扣或价格升 水会随到期日的接近而以一个不断增加的比率 减少。（不过对于只有一笔现金流的债券，债 券的价格折扣或价格升水会随到期日的接近而 以一个恒定的比率减少。）
20 18 16 14 12 10 8 6 4
2
0
155.92
0.00
792.09
1000.00
948.02
1000.00
165.29
0.00
871.44
1000.00
1036.73
1000.00

定理五：对于到期期限既定的债券， 市场折现率下降引起的债券价格上涨 的金额，在数量上会超过市场折现率 以相同幅度上升所引起的债券价格下 跌的金额。
（二）含权债券定价原理 含权债券可以看成是普通债券与期权的结合。 一个发行人可赎回债券的价格包含两种价值： 一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是 可赎回期权价值。Pc=P-c 投资人可回售债券的价格也包含了两种价值： 一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是 可回售期权价值。 Pp=P+p

利率二叉树
r0 N0
ru Nu rd Nd
ruu Nuu
rud Nud
rdd Ndd

根据该模型的假设，每次上升后的利率与下降 后的利率的比值为e2σ，即有公式:
ru ห้องสมุดไป่ตู้rd e 2

如果各节点的利率得知，我们就可以计算各节 点的债券价格。假定节点Nuu的债券现金流是 利率上升的债券价值加利息，节点Nud的债券 现金流是利率下降的债券价值加利息，则节点 Nu的债券价值就是它们的现金流现值的平均 数，即公式：

F PV rn Fe rn e
四、年金的终值与现值
（一）年金的概念和种类 指定期收付的等额系列款项。 年金按照收支的时点划分，有普通年金、 预付年金、递延年金、永续年金等。
（二）年金终值计算 1、普通年金单利终值
FV A 1 tr
t 0 n 1

2、普通年金复利终值
1 Vuu C Vud C Vu 2 1 ru 1 ru
（二）各期利率的确定 通过例题来分析: 设有两个债券，债券A期限1年，票面利 率3.60%，当前价格100元。债券B期 限2年，票面利率4.20%，一年付息一 次，当前价格100.19元(折现率 4.10%)。 设市场利率的波动率是10%。

p

p1 p2

0
y1
y2
y
定理六：如果一种附息债券的票面利率 较高，则因市场折现率变动而引起的债 券价格变动百分比会较小。 （不过对于只有一笔现金流的债券，不 管其利息高低，因市场折现率变动而引 起的债券价格变动百分比是一样的。 ）

第四节 含权债券定价
一、含权债券概述
（一）含权债券的含义与种类 含权债券也称嵌入期权债券，是指在债券契约 中含有期权条款的债券。 含权债券有不同的品种，一种是发行人可赎回 债券，另一种是投资人可回售债券。 另外，可转换债券实际上也是含权债券。 前两种与市场利率变化有关，后一种属于股票 连接类 。



（4）财政货币政策。 当财政资金紧张时，政府要扩大其债券发行规 模，增加了债券供给，从而促使债券价格下跌； 反之，当财政资金宽裕时，政府要缩小其债券 发行规模，减少了债券供给，从而促使债券价 格上升。 如果实施紧缩性货币政策，货币供给缩小，市 场上流动性减少，从而减少对债券的需求，促 使债券价格下降；反之，如果实施扩张性货币 政策，货币供给扩大，市场上流动性增加，从 而增加对债券的需求，促使债券价格上升。
第四章 债券定价
第一节 货币时间价值
一、货币时间价值含义
指按照一定的利率水平，货币经历一定 时间的投资与再投资所增加的价值。 为什么货币有时间价值？存在不同的理 论来解释。 衡量货币时间价值大小的指标是利率， 即单位时间单位货币所得利息的多少， 或单位时间单位货币的增加值的大小。

二、终值及其计算

定理三和定理四反映了债券价格的时间轨 迹，设A债券为贴水债券（20年期、票面 利率9%、半年付息一次、到期收益率 12%），B债券为升水债券（20年期、 票面利率9%、半年付息一次、到期收益 率7%），则它们各自价格的时间轨迹如 下表：
剩余期限 （年）
A贴水债券 利息现值 677.08 657.94 633.78 603.28 564.77 516.15 454.77 377.27 279.44 面值现值 97.22 122.74 154.96 195.63 256.98 311.80 393.65 496.97 627.41 债券价格 774.30 780.68 788.74 798.91 811.75 827.95 848.42 874.24 906.85 利息现值 960.98 913.07 855.10 795.02 722.63 639.56 544.24 434.85 309.33

我们可以通过B债券来构造二期的利率 二叉树，即要求得下图中问号处的值。 在图中，最初N0的V0值是B债券当前 价格，Nu和Nd的C值是第一年利息， Nuu、Nud和Ndd的C值是第二年利息， Vuu、Vud和Vdd值是债券本金。
2、债券票面利率 支付利息越高的债券，价格就越高。 3、债券定价的折现率 年折现率越低，债券价格越高。 无论是债券剩余时间及债券付息方式， 还是债券票面利率，都是在债券发行前 已经决定的。但债券定价的折现率却是 由市场来决定的。

（二）影响债券价格的一般因素


1、影响债券价格的外部因素 （1）市场利率。 在市场总体利率水平上升时，债券的收益率水 平也要相应上升，亦使得债券定价时折现的必 要收益率上升，从而使债券的价格、即其内在 价值降低；反之，在市场总体利率水平下降时， 债券的收益率水平也应下降，使折现的必要收 益率跟随下降，这样债券的内在价值就增加。
C M P t n (1 rn ) t 1 (1 rt )
n

4、交割日处于付息日之间的债券定价
P
1 r 1 r
n t 1
c
w c
c
1 w M
n 1 w
1 r
c
n 1 w
1 r
M
n 1 w

1 r
B升水债券 面值现值 252.57 289.83 332.59 381.66 437.96 502.57 576.71 661.78 759.41 债券价格 1213.55 1202.90 1190.69 1176.67 1160.59 1142.13 1120.95 1096.63 1068.74

（一）现金流的确定 对于一张不附带任何选择权利的债券（可 称为无选择权债券），其现金流量由两部 分构成，一是各期的利息收入，二是到期 日的面值收入。 （二）折现率的确定 在为债券定价时，一般用同类可比债券的 收益率作为折现率。
二、债券定价一般公式

债券的价格就等于债券未来所有现金流 量的现值之和： n Ct P t 1 r t 1
A n FV 1 r 1 r
终值



3、预付年金单利终值
1 FV An1 1 n r 2

4、预付年金复利终值
A n FV 1 r 1 r 1 r
终值


（三）年金现值计算 1、普通年金单利现值
1 PV A t 1 1 tr
r


n

连续复利相当于以每年（er-1）的利率 进行按年复利计算。
三、现值及其计算
（一）单利现值计算
F PV 1 nr
（二）复利现值计算
PV

1 r n
F
其中，折现因子：
d n
1 r
1
n
一年中计息m次，则周期复利现值公式： F PV mn r 1 m 当m趋向无穷大时，连续复利公式：
t 1 w

1 r
（三）特殊形式债券定价 1、等额摊还债券的定价
A P t ( 1 r ) t 1

n
2、永久债券的定价
A A P t r t 1 (1 r )

第三节 债券定价影响因素和定价原理
一、债券价格的影响因素
（一）影响债券价格的基本因素 1、债券剩余时间及债券付息方式 在其他条件相同的情况下，债券剩余期 限越短，债券价格就越高。 不同的债券付息方式，会影响利息现金 流的到来时间。如一次还本付息债券和 附息债券的现金流不一样。
如果考虑随着折现时间不一样，利率也 不一样： n Ct P t 1 rt t 1

三、不同类型债券的定价
（一）一次付息债券定价 1、贴现债券定价
P

1 r
M
n
2、零息债券定价 仍然是上面公式，但n用年作单位时， 应为大于1的数。

3、一次还本付息债券定价
P
（一）单利终值计算
FV P1 nr （二）复利终值计算
FV P(1 r ) 每年付息一次以上的情况：
n
r mn FV P (1 ) m

每年付息无数次，即连续复利：
FV lim
m

或
r P1 m
mn
Pern
FV P 1 e 1
（2）债券供求关系。 社会资金宽松，对债券的需求旺盛，债 券价格呈上升趋势；反之，社会资金紧 张，对债券的需求疲软，债券价格呈下 跌趋势。



（3）社会经济发展状况。 在经济处于景气阶段，企业会扩大投资，需 要募集更多的资金，从而扩大债券的供给， 减少对债券的需求，结果会促使债券价格下 降；反之，在经济处于衰退阶段，企业就要 压缩投资，并寻求资金的出路，从而缩小债 券的供给，增加对债券的需求，结果会促使 债券价格上升。



（5）汇率和国际间利差的变化。 对于开放型的一国金融市场来说，当本国货币 升值时，国外资金会流入本国市场，从而增加 对本币债券的需求，促使债券价格上升；反之， 当本国货币贬值时，国内资金会流出本国市场， 从而减少对本币债券的需求，促使债券价格下 降。 另外，如果不同国家的市场利率有差异，则资 金会流向高利率的国家和地区，这样也会导致 国内债券市场供求发生变化。

n
现值
2、普通年金复利现值
A n PV 1 1 r r



3、预付年金单利现值
n 1
现值
1 PV A t 0 1 tr 4、预付年金复利现值
PV
A 1 r 1
n
r 1 r


n 1
第二节 普通债券定价
一、收入资本化模型
任何金融产品的价格，在基本原理上， 都可以认为是由其未来所能提供的预期 收入以适当的折现率折现求得。这种方 法就称为收入资本化模型。 对于债券定价而言，两个最重要的数据 分别是各期现金流和折现率。