2020年上海长宁区高三一模数学试卷

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上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----，所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

上海市2020届高三数学一模考试汇编：平面向量、复数

2020年一模汇编——平面向量一、填空题例1.[20届上海一模徐汇2]向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为答案：3例2.[20届上海一模闵行5]在△ABC 中，已知AB a =，BC b =，G 为△ABC 的重心，用向量a 、b 表示向量AG =答案：2133a b + 例3.[20届上海一模长宁，嘉定，金山6]己知向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,21AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,23AC ,则BAC ∠=答案：6π例4.[20届上海一模静安7]如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.答案：-3例5.[20届上海一模松江7]已知向量()1,2a →=，(),3b m →=-，若向量2a b b →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭∥，则实数m =答案：32-例 6.[20届上海一模长宁，嘉定，金山10]已知非零向量..a b c 两两不平行，且()(),+c ab c b a +，设c=,,,+2y=xa yb x y R +∈则x答案：-3例7.[20届上海一模虹口10]如图所示，两块斜边长均等于2的直角三角板拼在一起，则OD AB ⋅= 答案：1-例8.[20届上海一模普陀11]设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN 的取值范围为____________.答案：646,882⎡⎤-+⎣⎦例9.[20届上海一模崇明12]正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-，则PM PN ⋅的最小值为．答案：-7例10.[20届上海一模青浦12]已知点P 在双曲线221916x y -=上，点A 满足(1)PA t OP =-（t ∈R ），且60OA OP ⋅=，(0,1)OB =，则||OB OA ⋅的最大值为答案：8例11.[20届上海一模松江12]记边长为1的正六边形的六个顶点分别为123456,,,,,A A A A A A ,集合(){},,1,2,3,4,5,6,i j Ma a A A i j i j ===≠，在M 中任取两个元素,m n ，则0m n ⋅=的概率____________.答案：851例12.[20届上海一模杨浦12]向量集合{}(,),,S a a x y x y R ==∈，对于任意,S αβ∈，以及任意(0,1)λ∈，都有(1)a S λλβ+-∈，则称S 为“C 类集”。

2023届上海市长宁区高考一模数学试卷含答案

2022学年第一学期高三数学教学质量调研试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.设全集{}1,2,3,4U =，{}1,3A =，则A =．2.不等式2320x x -+<的解集为.3.复数z 满足11iz =+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点Z 到原点O 的距离为.4.设向量a 、b 满足1a = ，2a b ⋅= ，则()a ab ⋅+=.5.如图，在三棱台111ABC A B C -的9条棱所在直线中，与直线1A B 是异面直线的共有条．6.甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，①甲城市日均气温的中位数与平均数相等；②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定；③乙城市日均气温的极差为3℃；④乙城市日均气温的众数为5℃.以上判断正确的是.（写出所有正确判断的序号）7.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担．现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有种不同的选法.8.研究发现，某昆虫释放信息素t 秒后，在距释放处x 米的地方测得的信息素浓度y 满足21ln ln 2ky t x a t=--+，其中,k a 为非零常数.已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m ，则释放信息素4秒后，距释放处的米的位置，信息素浓度为2m.9.若()1,2,0OA =- ，()2,1,0OB = ，()1,1,3OC =，则三棱锥O ABC -的体积为.10.已知函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，可得到函数sin 2cos 2y x a x =-的图像，则ϕ=．11.已知1AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱下底面的直径，C 是圆柱下底面圆周上异于A B、的点.若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥1A ABC -外接球体积的最小值为.12.已知12F F 、为椭圆(222:11)x y a aΓ+=>的左右焦点，A 为Γ的上顶点，直线l 经过点1F 且与Γ交于B C 、两点.若l 垂直平分线段2AF ，则ABC ∆的周长是_____．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.若α为第四象限角，则（）.A.sin 20α<；B.cos 20α<；C.sin 20α>；D.cos 20α>.14.设()12,1,,1,2,32a f x x a ⎛⎫⎛⎫=∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则“函数()y f x =的图像经过点()1,1--”是“函数()y f x =为奇函数”的（）.A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.充要条件；D.既不充分也不必要条件．15.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数，事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ．则()1P A B - 是下列哪个事件的概率（）.A.两个点数都是偶数；B.至多有一个点数是偶数；C.两个点数都是奇数；D.至多有一个点数是奇数.16.函数()()2ax f x e b =-的大致图像如图，则实数a 、b 的取值只可能是（）.A.0a >、1b >； B.0a >、01b <<；C.0a <、1b >；D.0a <、01b <<.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，数列{}n a 的公差为2.（1）若11b a =，22b a =，35b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123k S a =，116k a a ++=，求1a .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知△ABC的三个内角A B C、、的对边分别为a b c、、.（1）若△ABC的面积2224a c bS+-=，求B；（2）若ac=sin A B=，π6C=，求c.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.如图，在三棱锥D ABC-中，平面ACD⊥平面ABC，AD AC⊥，AB BC⊥，E F、分别为棱BC、CD的中点.（1）求证：直线//EF平面ABD；（2）求证：直线BC⊥平面ABD；（3）若直线CD与平面ABC所成的角为45︒，直线CD与平面ABD所成角为30︒，求二面角B AD C--的大小.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，准线为l .（1）若F 为双曲线()222:210x C y a a-=>的一个焦点，求双曲线C 的离心率e ；（2）设l 与x 轴的交点为E ，点P 在第一象限，且在Γ上，若||2||2PF PE =，求直线EP 的方程；（3）经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l '与Γ相交于A B 、两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 分别与l 相交于点M 、N .试探究：以线段MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本题满分18分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.已知函数()y f x =的定义域为()0,+∞.（1）若()ln f x x =.①求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程；②求函数()()23g x f x x x =+-的单调减区间和极小值；（2）若对任意()(),1,a b a b ∈+∞<，函数()y f x =在区间(],a b 上均无最小值，且对于任意n *∈N ，当(),1x n n ∈+时，都有()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+.求证：当()1,x ∈+∞时，()()2f x f x <.2022学年第一学期高三数学教学质量调研试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）．1.{}2,42.()1,2．3.2. 4.3.5.3.6.①④.7.180.8.4.9.52.10.π4.11.312.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）．13.A 14.C 15.D 16.C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）11b a =，2212b a a ==+，3518b a a ==+因为2213b b b =，所以()()211128a a a +=+，得11a =，11b =，23b =，所以数列{}n b 的公比为3，数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.（2）因为数列{}n a 的公差为2，所以()11n S na n n =+-，()121n a a n =+-因为116k a a ++=，所以13k a =-，所以123k S a =，所以11112132366123a a k a +=+-=-，得18a =-.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）因为我2222cos b a c ac B =+-所以2221cos 42a c b ac B +-=，又因为2221sin 24a cb S ac B +-==，所以tan 1B =，因为()0,πB ∈，所以π4B =.（2）因为sin A B =，所以a =，因为2222cos c a b ab C =+-，所以2222232c b b b =+-⨯=，得b c =，进而a =，因为ac =，所以1c =.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.（1）证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以//EF BD ，因为BD ⊂平面ABD ，EF 不在平面ABD 上，所以//EF 平面ABD .（2）因为平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，所以AD ⊥平面ABC ，所以AD BC ⊥，因为AB BC ⊥，AD AB A = ，所以BC ⊥平面ABD .（3）因为AD ⊥平面ABC ，所以DCA ∠即为直线CD 与平面ABC 所成的角，得45DCA ∠=︒所以2cos 452AD CD =︒=，因为BC ⊥平面ABD ，所以CDB ∠即为直线CD 与平面ABD 所成的角，得30CDB ∠=︒所以1sin 302BC CD CD =︒=，因为AD ⊥平面ABC ，所以AD AB ⊥，又AD CD ⊥，所以BAC ∠即为二面角B AD C --的平面角，由AB BC ⊥，得sin BC BAC AC ∠==45BAC ∠=︒所以二面角B AD C --的大小为45︒.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）.解：（1）()1,0F ，双曲线C 的半焦距1c =双曲线22221x y a-=的的标准方程为222112x y a -=,所以2112a +=，得22a =，所以ce a==（2）解法一：Γ的准线方程为1x =-，()1,0E -设点(),P x y，因为PF PE=，所以()()()2222121x y x y ++=-+，得22610x x y -++=因为24y x =，所以2210x x -+=，所以1x =，因为P 在第一象限，所以点P 的坐标为()1,2，所以直线EP 的斜率为11yx =+直线EP 的方程为1y x =+.解法二：Γ的准线方程为1x =-，()1,0E -过点P 作Γ的准线的垂线，垂足为H ，则PH PF =，因为2=2PF PE，所以22PH PE =，因为P 在第一象限，所以直线EP 的倾斜角为4π，所以直线EP 的方程为1y x =+（3）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知直线l '的方程为()1y k x =-，将11x y k =+代入抛物线方程得2440y y k --=，所以12=4y y -，因为直线OA 的方程为14y x y =，直线OB 的方程为24y x y =，所以M N 、的纵坐标分别为14M y y =-，24N y y =-，得圆C 方程为()2124410x y y y y ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为124y y =-，所以整理得()221244140x y y y y ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭,令0y =，得3x =-或1x =，所以圆C 过定点()3,0-和()1,0.21．（本题满分16分，第1小题①题满分4分，第1小题②题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）()1f x x'=，所以()11f '=，所以曲线()y f x =在点()1,0处切线的斜率为1，进而曲线()y f x =在()1,0处的切线方程为1y x =-.（2）()2ln 3g x x x x =+-，()123g x x x'=+-，令()0g x '=，得112x =，21x =，列表如下：x10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭121,12⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()g x '+0_0+()g x极大值极小值2-所以函数()y g x =的单调减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，函数()y g x =在1x =处取得极小值上()12g =-.（3）解：()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+等价于()()()()()()10f x f n f x f n --+≤，若存在0n *∈N ，使得()()001f n f n ≥+，则当()00,1x n n ∈+时，()()()001f n f x f n +≤≤，此时()y f x =在(]00,1n n +上有最小值，与已知矛盾，所以对任意n *∈N ，都有()()1f n f n <+；即对任意(),,1n x n n *∈∈+N ，都有()()()1f n f x f n ≤≤+若存在()0,1x n n ∈+，使得()()0f n f x =，则当(]0,x n x ∈时，()()0f x f x ≥，与已知矛盾，所以即对任意(),,1n x n n *∈∈+N ，都有()()()1f n f x f n <≤+，当()()*,1x n n n ∈+∈N时，()22,22x n n ∈+，由()()()()()()12222f n f x f n f n f x f n <≤+≤<≤+得()()2f x f x <.。

2019-2020学年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

功
∴数列{an}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）=n，
成
到 ∴bn=（﹣1）n
=（﹣1）n•
=（﹣1）n•（ + ），
数列{bn}的前 n 项和 Tn=﹣（1+ ）+（ + ）﹣（ + ）+…+（﹣1）n•（ +
），
当 n 为偶数时，Tn=﹣1+ ，当 n 为奇数时，Tn=﹣1+ ﹣（ +
到 1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程 fn（x）=x 的根的个数为（
A．2n 个 B．2n2 个 C．2n 个 D．2（2n﹣1）个【解答】解：当 x∈[0， ]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得 x=0；
）
马当 x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得 x= ，
（a）表达式；
马（3）若关于 x 的不等式 mf（x）≤2﹣x+m﹣1 在 x∈（0，+∞）时恒成立，求实
数 m 的取值范围．
考 21．（18 分）已知数列{an}满足：a1=1，高（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且满足
，n∈N*．，试确定 b1
您的值，使得数列{bn}为等差数列；
到【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），
∴函数 y=f（x）的图象过点（4，2），
又 f（x）=1+logax， ∴2=1+loga4，即 a=4．故答案为：4．
马考
高 7．（5 分）若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则
= 18 ．

【精校】2020年上海市长宁区高考一模数学

2020年上海市长宁区高考一模数学一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1.设集合A={x||x-2|＜1，x ∈R}，集合B=Z ，则A ∩B=____. 解析：|x-2|＜1，即-1＜x-2＜1，解得1＜x ＜3，即A=(1，3)，集合B=Z ，则A ∩B={2}. 答案：{2}2.函数sin()3y x πω=-(ω＞0)的最小正周期是π，则ω=____.解析：∵sin()3y x πω=-(ω＞0)，∴||2T ππω==， ∴ω=2. 答案：23.设i 为虚数单位，在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为____.解析：复数()()()()233433912343434252i i i i i i ++===--+-对应的点9125()225，到原点的距离=35=. 答案：354.若函数f(x)=log 2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a=____. 解析：函数f(x)=log 2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)，即函数f(x)=log 2(x+1)+a 的图象经过点(1，4)， ∴4=log 2(1+1)+a ∴4=1+a ， a=3. 答案：35.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=____.解析：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得4642nn ＝，解得n=6.答案：66.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有____种.解析：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数2255100C C =，②两人所选两门都相同的有为2510C =种，都不同的种数为225330C C =，故只恰好有1门相同的选法有100-10-30=60种. 答案：607.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为____cm 3.解析：设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得：3222r ππ=⨯，解得32r =.故圆锥的高2h ==∴圆锥的体积2313V r h cm π==..8.若数列{a n }23n n =+(n ∈N*)，则1221limn n a a a n n →∞++⋯++()=______.23n n=+(n∈N*)，∴n=14=，解得a 1=16. n ≥22(1)3(1)n n =-+-22n =+，∴a n =4(n+1)2.4(1)1na n n =++. ∴1222(21)412lim()lim 2231n n n n n a a a n n n→∞→∞++⨯++⋯+==+. 答案：2.9.如图，在△ABC 中，∠B=45°，D 是BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB 的长为______.解析：在△ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得2221cos 22AD DC AC ADC AD DC +-∠==-⋅， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD 中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B∠＝，∴2AB =10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0}； ②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x)；③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数；④若函数f(x)存在反函数f -1(x)，且f -1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f -1(x)图象的公共点必在直线y=x 上；其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)解析：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，为常数函数，所以f(x)的值域是{0}，所以①正确.②若函数为偶函数，则f(-x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正确. ③因为函数1()f x x=在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，所以③错误. ④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x 对称，但不一定在直线y=x 上，比如函数y =y=x 2-1(x ≤0)的交点坐标有(-1，0)，(0，1)，显然交点不在直线y=x 上，所以④错误. 答案：①②.11.设向量OA u u u r =(1，-2)，OB uuu r =(a ，-1)，OC u u u r=(-b ，0)，其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则12a b +的最小值为______.解析：向量OA u u u r =(1，-2)，OB uuu r =(a ，-1)，OC u u u r=(-b ，0)，其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，∴1()1AB OB OA a =-=-u u u r u u u r u u u r ，，1()2AC OC OA b =-=--u u u r u u u r u u u r，， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB AC λ=u u u r u u u r， ∴()1112a b λλ⎧⎪⎨⎪-⎩--＝＝，解得2a+b=1， ∴()1212422248b a a b a b a b a b +=++=+++⎛⎫ ⎪⎝+⎭≥=，当且仅当a=14，b=12，取等号，故12a b+的最小值为8. 答案：812.如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为______cm.解析：将正三棱柱ABC-A 1B 1C 1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理13d ==. 答案：13二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x ＜2”是“x 2＜4”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：由x 2＜4，解得：-2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件. 答案：B.14.若无穷等差数列{a n }的首项a 1＜0，公差d ＞0，{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论中一定正确的是( ) A.S n 单调递增 B.S n 单调递减 C.S n 有最小值 D.S n 有最大值解析：()2111222n n n d d S na d n a n -=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭-， ∵2d＞0，∴S n 有最小值. 答案：C.15.给出下列命题：(1)存在实数α使3sin cos 2αα+＝. (2)直线2x π-＝是函数y=sinx 图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x ∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β. 其中正确命题的题号为( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)解析：(1)∵3sin cos (4)in 2πααα++＜，∴(1)错误； (2)∵y=sinx 图象的对称轴方程为2()x k k Z ππ+∈＝，k=-1，2x π-＝，∴(2)正确；(3)根据余弦函数的性质可得y=cos(cosx)的最大值为y max =cos0=1，y min =cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正确； (4)不妨令94απ＝，3πβ＝，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tan α＜tanβ，(4)错误. 答案：B.16.如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞，43] B.[3，+∞)C.[-D.[-3，3]解析：∀实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立⇔29sin 1sin 4y a x x y+≥+-恒成立，令9()4y f y y=+，则asinx+1-sin 2x ≤f(y)min ，当y ＞0时，9()34y f y y =+≥=(当且仅当y=6时取“=”)，f(y)min =3；当y ＜0时，9()34y f y y =+≤-=-(当且仅当y=-6时取“=”)，f(y)max =-3，f(y)min 不存在；综上所述，f(y)min =3.所以，asinx+1-sin 2x ≤3，即asinx-sin 2x ≤2恒成立.①若sinx ＞0，2sin sin a x x ≤+恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令2()g t t t=+(0＜t ≤1)，则a ≤g(t)min.由于22()10g t t '=-＜，所以，2()g t t t=+在区间(0，1]上单调递减，因此，g(t)min =g(1)=3，所以a ≤3；②若sinx ＜0，则2sin sin a x x≥+恒成立，同理可得a ≥-3； ③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ；综合①②③，-3≤a ≤3. 答案：D.三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2； (1)求三棱锥A-BCD 的体积；(2)设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).解析：(1)由AB ⊥平面BCD ，得CD ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A-BCD 的体积.(2)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD 与CM 所成角的大小. 答案：(1)如图，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又BC ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AB ⊥平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC =∴BD ==CD ==则11122366A BCD BCD V S AB BC CD AB -=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=V .(2)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0，2，2)，D(，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，，1，0)，22)AD =--u u u r ，，0)CM =u u u u r ，，设异面直线AD 与CM 所成角为θ，则cos 6AD CM AD CM θ⋅===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r. arccos6θ=. ∴异面直线AD 与CM所成角的大小为18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且28sin 2cos 272B CA +-＝. (I)求角A 的大小；(II)若b+c=3，求b 和c 的值.解析：(I)在△ABC 中有B+C=π-A ，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos 2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A 的值.(II)由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-＝＝及，b+c=3，解方程组求得b 和c 的值. 答案：(I)在△ABC 中有B+C=π-A ，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos 2A+2=7，又∵cos(B+C)=-cosA ，∴4cos 2A-4cosA+1=0.解得cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴3A π＝. (II)由cosA ＝12知222122b c a bc +-＝，即(b+c)2-a 2＝3bc. 又ab+c ＝3，代入得bc ＝2.由312 2b c b bc c ⎧⎧⇒⎨+⎨⎩⎩＝＝＝＝或21b c ⎧⎨⎩＝＝.19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1，2)，曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y=kx+b(k ＞0)的图象，与线段DB 交于点N(点N 不与点D 重合)，且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区：(1)求证：28k b =-；(2)设点P 的横坐标为t ，①用t 表示M 、N 两点坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S=S(t)，并求S 的最大值.解析：(1)根据函数y=ax 2过点D ，求出解析式y=2x 2；由22y kx b y x⎩+⎧⎨＝＝消去y ，利用△=0证明结论成立；(2)①写出点P 的坐标(t ，2t 2)，代入直线MN 的方程，用t 表示出直线方程，利用直线方程求出M 、N 的坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S(t)，利用基本不等式即可求出S 的最大值.答案：(1)证明：函数y=ax 2过点D(1，2)，代入计算得a=2，∴y=2x 2；由22y kx b y x⎩+⎧⎨＝＝，消去y 得2x 2-kx-b=0，由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，得△=(-k)2-4×2×b=0，解得28k b =-；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0＜t ＜1，∴点P(t ，2t 2)；①直线MN 的方程为y=kx+b ，即28k y kx =-过点P ，∴2228k kt t -=，解得k=4t ；y=4tx-2t 2令y=0，解得x=2t ，∴M(2t，0)；令y=2，解得122t x t =+，∴N(122t t+，2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为[111222()4()22]222t t S S t t t t==⨯-⨯⨯++=-+（），其中0＜t ＜1；由122t t +≥=12t t =，即t ==”成立，所以4S ≤-S的最大值是4-20.已知函数()9233xxf x a =-⋅+：(1)若a=1，x ∈[0，1]时，求f(x)的值域； (2)当x ∈[-1，1]时，求f(x)的最小值h(a)；(3)是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h(a)的定义域为[m ，n]时，其值域为[m 2，n 2]，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由.解析：(1)设t=3x ，则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2，φ(t)的对称轴为t=a ，当a=1时，即可求出f(x)的值域；(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a ，分类讨论当a ＜13时，当13≤a ≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h(a)的表达式可求；(3)假设满足题意的m ，n 存在，函数h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论. 答案：(1)∵函数()9233xxf x a =-⋅+，设t=3x，t ∈[1，3]，则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2，对称轴为t=a.当a=1时，φ(t)=(t-1)2+2在[1，3]递增， ∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]， ∴函数f(x)的值域是：[2，6]； (Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a ，当x ∈[-1，1]时，t ∈[13，3]，当a ＜13时，min 1282()393ay h a ϕ===-（）；当13≤a ≤3时，y min =h(a)=φ(a)=3-a 2；当a ＞3时，y min =h(a)=φ(3)=12-6a.故228219331()3331263aa h a a a a a -=-≤≤-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，＜，，＞；(Ⅲ)假设满足题意的m ，n 存在，∵n ＞m ＞3，∴h(a)=12-6a ， ∴函数h(a)在(3，+∞)上是减函数.又∵h(a)的定义域为[m ，n]，值域为[m 2，n 2]，则22126126m n n m--⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，两式相减得6(n-m)=(n-m)·(m+n)，又∵n ＞m ＞3，∴m-n ≠0，∴m+n=6，与n ＞m ＞3矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在.21.已知无穷数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，且满足：a 1=a ，rS n =a n a n+1-1，其中a ≠1，常数r ∈N ；(1)求证：a n+2-a n 是一个定值；(2)若数列{a n }是一个周期数列(存在正整数T ，使得对任意n ∈N*，都有a n+T =a n 成立，则称{a n }为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期；(3)若数列{a n }是各项均为有理数的等差数列，c n =2·3n-1(n ∈N*)，问：数列{c n }中的所有项是否都是数列{a n }中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例.解析：(1)由rS n =a n a n+1-1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1(a n+2-a n )，由此能够证明a n+2-a n 为定值. (2)当n=1时，ra=aa 2-1，故21raa a+=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r ＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期. (3)因为数列{a n }是一个有理等差数列，所以12a a r r a +==+⎛⎫ ⎪⎝⎭，化简2a 2-ar-2=0，解得a 是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n . 答案：(1)证明：∵rS n =a n a n+1-1，① ∴rS n+1=a n+1a n+2-1，②②-①，得：ra n+1=a n+1(a n+2-a n )， ∵a n ＞0，∴a n+2-a n =r.(2)解：当n=1时，ra=aa 2-1，∴21raa a+=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a ，r+1a ，a+r ，2r+1a ，a+2r ，3r+1a，…. 当r ＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列， ∴r=0时，数列写出数列的前几项：a ，1a ，a ，1a，…. 所以当a ＞0且a ≠1时，该数列的周期是2，(3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+1a)，化简2a 2-ar-2=0，a =是有理数.，是一个完全平方数，则r 2+16=k 2，r ，k 均是非负整数r=0时，a=1，a n =1，S n =n. r ≠0时(k-r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有35r k ⎧⎨⎩＝＝，符合要求，此时a=2，312n n a +=，()354n n n S +=，∵123n n c -=⋅(n ∈N*)，a n =1时，不符合，舍去.312n n a +=时，若131232n k -+⋅=，则：3k=4×3n-1-1，n=2时，113k =，不是整数，因此数列{c n }中的所有项不都是数列{a n }中的项.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020上海市长宁、金山区数学一模试卷(解析版)

2020上海市长宁、金山区数学一模试卷一、选择题1.下列函数中是二次函数的是（）A. y ＝22x B. y ＝（x +3）2﹣x 2C. y ＝221x x +-D. y ＝x （x ﹣1）【答案】D【解析】【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义和条件判定即可．【详解】解：二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），排除A,C;B. y ＝（x +3）2﹣x 2=6x+9,化简后一次函数；D .y ＝x （x ﹣1）＝x 2﹣x ，为二次函数；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．2.如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴y 的夹角α的余切值是（）A. 32B. 23C. 31313D. 1313【答案】B【解析】【分析】过点A 作AB ⊥x 轴，构造直角三角形，由坐标得出OB=2，AB=3，再根据余切的意义求出结果即可．【详解】解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，则OB ＝2，AB ＝3，在Rt △OAB 中，cot ∠AOB ＝cotα＝23OBAB =，故选：B ．【点睛】考查直角三角形的边角关系，将坐标转化为线段的长是解答的前提，利用余切的意义是解决问题的关键．3.将拋物线()213y x =+-向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（） A. ()213y x =--B. ()213y x =+- C. ()211y x =+-D. ()215y x =+- 【答案】A【解析】【分析】根据平移的规律即可求得答案．【详解】∵将抛物线()213y x =+-向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y ＝（x ＋1−2）2−3＝（x−1）2−3，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．4.下列命题正确的是（）A. 如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b rB. 如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b rC. 如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b rD. 如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r＝0【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义和要素即可进行判断．【详解】解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r 表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r ，不正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.5.已知在矩形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC ＝13．⊙C 的半径长为12，下列说法正确的是（）A. ⊙C 与直线AB 相交B. ⊙C 与直线AD 相切C. 点A 在⊙C 上D. 点D 在⊙C 内【答案】D【解析】【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝13，AB ＝5，∴BC ＝12，∵⊙C 的半径长为12，∴⊙C 与直线AB 相切，故A 选项不正确，∵CD ＝AB ＝5＜12，∴⊙C 与直线AD 相交，故B 选项不正确，∵AC ＝13＞12，∴点A 在⊙C 外，故C 选项不正确，∵CD ＝5＜12，∴点D⊙C 内，故D 选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．6.如果点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、AC 上，联结DE 、EF ，且DE AC P ，那么下列说法错误的是（）A. 如果//EF AB ，那么::AF AC BD AB =B. 如果::AD AB CF AC =，那么//EF ABC. 如果~EFC BAC △△，那么//EF ABD. 如果//EF AB ，那么~EFC BAC △△【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【详解】如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，DE BD AC AB，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题7.计算：2（a r ﹣2b r ）+3（a r +b r ）＝_____．【答案】5a r ﹣b r ．【解析】【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【详解】解：2（a r ﹣2b r ）+3（a r +b r ）＝2a r ﹣4b r +3a r +3b r ＝5a r ﹣b r ，故答案为：5a r ﹣b r ．【点睛】本题考查向量的计算，掌握基本运算法则是解题关键.8.如果-x x y ＝32，那么x y的值等于_____．【答案】3．【解析】【分析】直接利用已知得出x ，y 之间的关系进而得出答案．【详解】解：∵-x x y ＝32， ∴3x ﹣3y ＝2x ，故x ＝3y ∴x y＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．9.已知点P 在线段AB 上，且满足BP 2＝AB •AP ，则BP AB的值等于_____．．【解析】【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AP 和BP （BP ＞AP ），且使BP 是AB 和AP 的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．【详解】解：根据黄金分割定义可知：∵BP2＝AB•AP，设AB为1，则AP＝1﹣BP，∴BP2＝1•（1﹣BP）BP2+BP﹣1＝0，解得BP舍去）∴BP．故答案为12．【点睛】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．10.已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是_____．【答案】a＞﹣1．【解析】【分析】利用二次函数的性质得到1+a＞0，然后解关于a的不等式即可．【详解】解：∵抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，∴1+a＞0，∴a＞﹣1．故答案为：a＞﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．11.抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【解析】【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．【详解】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，故答案为：下降．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．12.如果一条抛物线经过点A（2，5），B（﹣3，5），那么它的对称轴是直线_____．【答案】x=-12．【解析】【分析】因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，A、B关于x＝232-＝﹣12对称，即可求抛物线的对称轴．【详解】解：因为A（2，5），B（﹣3，5）的纵坐标相同，∴A、B关于x＝232-＝﹣12对称，∴抛物线的对称轴x＝﹣12，故答案为：x＝﹣12．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．13.如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程AB为_____米．【答案】13．【解析】【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【详解】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴12.4BCAC=，即512.4AC=，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB22125+＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．14.如图，AC与BE交于点D，∠A＝∠E＝90°，若点D是线段AC的中点，且AB＝AC＝10．则BE的长等于_____．【答案】65．【解析】【分析】利用勾股定理求出BD，再利用相似三角形的性质求出DE即可解决问题．【详解】解：∵AD＝DC＝5，AB＝10，∠A＝90°，∴BD＝55，∵∠ADB＝∠CDE，∠A＝∠E＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴AD BD DE CD=,∴555 DE=,∴DE＝5，∴BE＝BD+DE＝65，故答案为65．【点睛】本题考查相似三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是重心，AC＝4，tan∠ABG＝13，则BG的长是_____．4103【解析】【分析】延长BG 交AC 于E ．易知AH ＝2，根据三角函数计算AB 的长，由勾股定理可得BH 的长，由三角形重心的性质：三角形重心到顶点的距离是到对应中点距离的二倍，可得结论．【详解】解：延长BG 交AC 于H ．∵G 是△ABC 的重心，∴AH ＝12AC ＝12×4＝2， ∵∠BAC ＝90°，tan ∠ABG ＝13， ∴13AH AB =， ∴AB ＝6，由勾股定理得：BH 2262+10，∵∵G 是△ABC 的重心，∴BG ＝2GH ，∴BG ＝22103⨯410；故答案为：4103．【点睛】本题考查三角函数的定义，三角形的重心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16.已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为_____．【答案】24017．【解析】【分析】根据相交两圆的性质，两圆的公共弦垂直于两圆心连接的直线上，又知两圆的半径，进而可以在直角三角形中解得公共弦长．【详解】解：在以两圆的一个交点和两圆圆心为顶点的三角形中，其三边分别为8，15，17，由于172＝152+82，∴这个三角形是以17为斜边的直角三角形，斜边上的高＝81517⨯＝12017，故公共弦长＝2×12017＝24017，故答案为24017．【点睛】本题考查相交两圆的性质，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若AB ＝2，则BC 的长等于_____．【答案】﹣4．【解析】【分析】设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ，设AE ＝AD ＝x ，证△AED ∽△ABC ，可求x 的值，进一步可求出BC 的长．【详解】解：如图，设直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、D ，则由“完美分割线”的定义可知，S △AED ＝S 四边形BCDE ， ∴12ABC S S =△ADE △， ∵l ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ，∴2AE AD AB AC ===，设AE ＝AD ＝x ，则22x =， ∴x，∴BE ＝CD ＝2﹣2， ∴BC ＝22﹣2（2﹣2）＝42﹣4．【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够领悟新定义的性质，并进行运用． 18.如图，在Rt ABC V 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP △绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于_____．【答案】2105【解析】【分析】如图，延长AB'交BC 于E ，过点B'作B'D ⊥AB 于点D ，由勾股定理可求AC 的长，由旋转的性质可求AP ＝AM ＝5，∠PAB ＝∠CAE ，AB ＝AB'＝2，通过证明△ABP ∽△CBA ，可得∠PAB ＝∠C ，可得CE ＝AE ，由勾股定理可求CE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求B'D ，BD 的长，即可求解．【详解】如图，延长AB'交BC 于E ，过点B'作B'D ⊥AB 于点D ，∵∠ABC ＝90︒，AB ＝2，BC ＝4，∴AC 22AB BC +16425+=，∵点M 是AC 中点，∴AM∵将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，∴AP ＝AMPAB ＝∠CAE ，AB ＝AB'＝2，∵AP 2＝AB 2＋PB 2，∴PB ＝1， ∴2BA PB =,又2BC AB= ∴BA BC PB AB = 且∠ABP ＝∠ABC ＝90︒，∴△ABP ∽△CBA ，∴∠PAB ＝∠C ，∴∠C ＝∠CAE ，∴CE ＝AE ，∵AE 2＝AB 2＋BE 2，∴CE 2＝4＋（4−CE ）2，∴CE ＝AE ＝52， ∴BE ＝32， ∵B'D ∥BC ，∴△AB'D ∽△AEB ， ∴''AB AD B D AE AB BE== ∴2'53222AD B D ==， ∴AD ＝85，B'D ＝65， ∴BD ＝AB-AD=2-85=25， ∴BB'==【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE的长是本题的关键．三、解答题19.计算：22sin30tan60cot45cos60cos30sin45︒︒︒︒︒︒⋅-+-【答案】3+1．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【详解】解：原式＝()113122=31322⨯-+-⎛⎫- ⎪⎝⎭22＝3+1．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的相关运算，牢记特殊三角函数值是解题的关键.20.如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD∥EF∥BC，EF与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，AEEB＝23．（1）求EF的长；（2）设ABu u u r＝ar，BCu u u r＝br，那么DBuuu r＝，FCu u u r＝．（用向量ar、br表示）【答案】（1）7；（2）ar﹣12br，35ar+310br．【解析】【分析】（1）由平行线得出25DF AEDC AB==，△BEG∽△BAD，△DFG∽△DCB，得出35EG AEAD AB==，25GF DFBC DC==，可解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出ADu u u r＝12BCu u u r＝12br，得出DBuuu r＝ABu u u r+DAuuu r＝ar﹣12br，得出DC DB BC=+u u u r u u u r u u u r＝＝ar﹣12br+br ＝ar+12br，证出FC＝35DC，得出FCu u u r＝35DCu u u r得出结果．【详解】解：（1）∵AEEB＝23，∴AEAB＝25,EBAB=35.∵AD ∥EF ∥BC ， ∴25DF AE DC AB ==，△BEG ∽△BAD ，△DFG ∽△DCB ， ∴35EG AE AD AB ==，25GF DF BC DC ==，即355EG =，2105GF =，解得：EG ＝3，GF ＝4，∴EF ＝EG +GF ＝7；（2）∵AD ＝5，BC ＝10，∴AD ＝12BC ， ∵AD ∥EF ∥BC ，∴AD u u u r ＝12BC u u u r ＝12b r ， ∴DB uuu r ＝AB u u u r +DA uuu r ＝a r ﹣12b r ， ∴DC DB BC =+u u u r u u u r u u u r ＝＝a r ﹣12b r +b r ＝a r +12b r ， ∵25DF AE DC AB ==， ∴FC DC =35， ∴FC ＝35DC ， ∴FC u u u r ＝35DC u u u r ＝35（a r +12b r ）＝35a r +310b r ；故答案为：a r ﹣12b r ，35a r +310b r ．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识；解答（2）题时，求出AD u u u r ＝12BC u u u r ＝12b r 是解题的关键． 21.如图，已知AB 是O e 的弦，点C 在O e 上，且AC BC =，联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，AB =6CD =．（1）求OAB ∠的大小；（2）若点E 在O e 上，//BE AO ，求BE 的长．【答案】（1）30°；（2）4．【解析】【分析】（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．【详解】（1）如图1，连接OB，∵»»AC BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°−∠AOC＝180°−∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝12AB＝3设⊙O的半径为r，则OD＝6−r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2＋OD2，∴r2＝（32＋（6−r）2，解得，r＝4，∴cos∠OAD＝ADAO＝23342，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD＋∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等边三角形，∴BE＝r＝4．【点睛】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，等边三角形等，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．22.图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部分BC是可旋转的，线段CD表示投影探头，OM表示水平桌面，AO⊥OM，垂足为点O，且AO＝7cm，∠BAO＝160°，BC∥OM，CD＝8cm．将图2中的BC绕点B向下旋转45°，使得BCD落在BC′D′的位置（如图3所示），此时C′D′⊥OM，AD′∥OM，AD′＝16cm，求点B到水平桌面OM的距离，（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，cot70°≈0.36，结果精确到1cm）【答案】B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【解析】【分析】过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过B作BG⊥OM于G，过C′作C′H⊥BG于H，延长D′A交BG于E，则C′H＝D′E，HE＝C′D′＝8，设AE＝x，∴C′H＝D′E＝16+x，∵∠BC′H＝45°，∴BH＝C′H＝16+x，∴BE＝16+x+8＝24+x，∵∠BAO＝160°，∴∠BAE＝70°，∴tan70°＝2410.36BE x AE x+==，解得：x＝13.5，∴BE＝37.5，∴BG＝BE+EG＝BE+AO＝37.5+7＝44.5cm，答：B到水平桌面OM的距离为44.5cm．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23.如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先证△BAE ∽△CAF ，推出∠AEB ＝∠AFC ，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，推出△BDC ∽△GCE ，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】（1）证明：∵AB •AF ＝AC •AE ， ∴AB AC AE AF=， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴△BAE ∽△CAF ，∴∠AEB ＝∠AFC ，∴180°−∠AEB ＝180°−∠AFC ，∴∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∵∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ， ∴BD GC GC DC CE CF==， ∴CD •CG ＝FC •BD ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝13x2+mx+n经过点B（6，1），C（5，0），且与y轴交于点A．（1）求抛物线的表达式及点A的坐标；（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点P作PQ⊥OA，交线段OA的延长线于点Q，如果∠P AB＝45°．求证：△PQA∽△ACB；（3）若点F是线段AB（不包含端点）上的一点，且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上，求FF′的长．【答案】（1）y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）详见解析；（3）724．【解析】【分析】（1）将点B、C代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n即可；（2）先证△ABC为直角三角形，再证∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可证△PQA∽△ACB；（3）做点B关于AC的对称点B'，求出BB'的坐标，直线AB'的解析式，即可求出点F'的坐标，接着求直线FF'的解析式，求出其与AB的交点即可．【详解】解：（1）将B（6，1），C（5，0）代入抛物线解析式y＝13x2+mx+n，得1126+n,250=5,3mm n =+⎧⎪⎨++⎪⎩解得，m＝﹣83，n＝5，则抛物线的解析式为：y＝13x2﹣83x+5，点A坐标为（0，5）；（2）∵AC ＝225552+=，BC ＝22(65)12-+=，AB ＝22(51)6213-+=，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，当∠P AB ＝45°时，点P 只能在点B 右侧，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，∴∠QAB +∠OAB ＝180°﹣∠P AB ＝135°，∴∠QAP +∠CAB ＝135°﹣∠OAC ＝90°， ∵∠QAP +∠QP A ＝90°，∴∠QP A ＝∠CAB ，又∵∠AQP ＝∠ACB ＝90°，∴△PQA ∽△ACB ；（3）做点B 关于AC 的对称点B '，则A ，F '，B '三点共线，由于AC ⊥BC ，根据对称性知点B '（4，﹣1），将B '（4，﹣1）代入直线y ＝kx +5，∴k ＝﹣32，∴y AB '＝﹣32x +5，联立235,218533y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得，x 1＝72，x 2＝0（舍去），则F '（72，﹣14），将B （6，1），B '（4，﹣1）代入直线y ＝mx +n ，得，61,41,k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得，1,5.k b =⎧⎨=-⎩∴y BB '＝x ﹣5，由题意知，k FF '＝K BB '，∴设y FF '＝x +b ，将点F '（72，﹣14）代入，得，b ＝﹣154， ∴y FF '＝x ﹣154，联立25,354 y xyx⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得，21,43.2xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴F（214，32），则FF'＝2221731()()4224-++＝72．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定，交点坐标的求法等，解题关键是牢固掌握轴对称的性质，并能够灵活运用．25.如图，已知在Rt ABCV中，90C∠=︒，8AC=，6BC=，点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP CQ=，过点P作PM AB⊥，垂足为点M，联结PQ，以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM，设AP x=，平行四边形PQNM的面积为y．（1）当平行四边形PQNM为矩形时，求PQM∠的正切值；（2）当点N在ABCV内，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时，直接写出x的值．【答案】（1）925；（2）296325x xy-=74x⎛⎫≤<⎪⎝⎭；（3）20043，40059．【解析】【分析】（1）当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．根据tan∠PQM＝PMPQ求解即可．（2）如图1中，延长QN交AB于K．求出MK，PM，根据y＝PM•MK求解即可．（3）分两种情形：①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．根据EG＝12PC构建方程求解．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．根据PC＝GH构建方程求解即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵∠C＝90︒，AC＝8，BC＝6，∴AB＝22AC BC+＝2286+＝10，当四边形PQMN是矩形时，PQ∥AB．∴tan∠PQM＝PMPQ＝3955253PAPA=．（2）如图1中，延长QN交AB于K．∵∠C＝90︒，AC＝8，BC＝6，AB=10∴sinA=cosB=BCAB=63105=,cosA=sinB=84105ACAB==，由AP x=，得BQ＝6−x，QN＝PM＝APsinA=35x，AM＝APcosA=45x，KQ＝BQsinB=45BQ＝2445x-，BK＝BQcosB=35BQ＝1835x-，∴MK＝AB−AM−BK＝325x-，∵QN＜QK，∴35x＜2445x-，∴x＜247，∴y＝PM•MK＝35x×325x-=296325x x-（0≤x＜247）．（3）①如图3−1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE∥BC交PQ于E，作NH⊥CB交CB的延长线于H，EG⊥BC于G．∵PD∥BC，EN∥BC，∴PD∥NE，∵PE∥DN，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵DN＝DM，PQ＝MN，∴PE＝EQ，∵EG∥PC，∴CG＝GQ，∴EG＝12 PC，∵四边形EGHN是矩形，∵PM AB∴QN⊥AB则∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°∴∠ABC=∠QNH∴NH＝EG＝NQcos∠QNH= NQcos∠ABC =35NQ＝35PM＝35×35x =925x，PC＝8−x，∴925x＝12•（8−x），解得x＝200 43．②如图3−2中，当平分NQ时，D是NQ的中点，作DH⊥CB交CB的延长线于H．∵DH＝PC，∴8−x＝12•925x，解得x＝400 59，综上所述，满足条件x的值为20043或40059．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

上海市长宁区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)

长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷 .12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为（结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集：（1）|23|5x -<；（2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值；（2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值；（3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分（2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ，所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=，即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ，所以 B A 22= 或 π=+B A 22，即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分（2）由()2()3g x g π≤，得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增，所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ，由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤，由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分其它做法，对应给分。

【精校】2020年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学

2020年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A ∩B=_____. 解析：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A ∩B={2，4}. 答案：{2，4}2.不等式1x x ≤+的解集为_____.解析：∵01x x ≤+，∴010x x ≤⎧⎨+⎩＞或010x x ≥⎧⎨+⎩＜，解得：﹣1＜x ≤0，答案：(﹣1，0]3.已知4sin 5α＝，则()cos 2πα+=_____.解析：∵sinα=45， ∴cos(2π+α)=﹣sinα=﹣45.答案：﹣454.131lim 31nn n +→∞-+=_____. 解析：()()1113311lim lim331133n nn nn n +→∞→∞--==++，∴1311lim 331n n n +→∞-=+.答案：135.已知球的表面积为16π，则该球的体积为_____. 解析：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：3432233ππ⨯=.答案：323π6.已知函数f(x)=1+log a x ，y=f ﹣1(x)是函数y=f(x)的反函数，若y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)，则a 的值为_____.解析：∵y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)， ∴函数y=f(x)的图象过点(4，2)，又f(x)=1+log a x ， ∴2=1+log a 4，即a=4. 答案：47.若数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则2738a a a a -=_____.解析：根据题意，2738a a a a -=a 2·a 8﹣a 3·(﹣a 7)=a 2·a 8+a 3·a 7，又由数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则有a 2·a 8=a 3·a 7=9，则2738a a a a -=9+9=18；答案：188.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，则B=_____. 解析：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，即a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，又2221cos 22a cb B ac +-==-，∴B=23π.答案：23π9.若()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为_____.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()8112=2n x x x x ++，其展开式的通项()()8882188122rr r r rr r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝.答案：112010.已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，则()12f 的值为_____.解析：∵函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴()()()()111742222f f f f -==-=，又当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，∴()()()44lg 2lg 217731log log 22222lg 42lg 22f f ==-=＝＝＝.答案：1211.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n ·a n+1(n ∈N *).若()1211nn n n n b a a ++=-⋅，则数列{b n }的前n 项和T n =_____.解析：∵2S n =a n ·a n+1(n ∈N *). 当n ≥2时，2S n ﹣1=a n ﹣1·a n ， ∴2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=a n (a n+1﹣a n ﹣1)， ∵a 1=1， ∴a n ≠0∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)=2， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n =1+(n ﹣1)=n ， ∴()()()()()121211111111n n nnn n n n b a a n n n n +++=-=-=-⋅+⋅++，数列{b n }的前n 项和()()()()()111111111223341nn T nn =+++-⋅++-+⋯++﹣，当n 为偶数时，11n T n =+-1+，当n 为奇数时，()1111111n T nnn n =-+=--++-1+，综上所述()11nn T n -=+-1+，答案：()11nn -+-1+12.若不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为_____.解析：∵不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫ --⎪⎝⎭⎛⎫=⎝--⎪⎭≤，令1x t y=＞， ∴()222t c f t t t -≤=-， ()()(()222222242t t t t f t t t t t --+-+'==--，当t＞2(t)＞0，函数f(t)单调递增；当1＜t＜2(t)＜0，函数f(t)单调递减.∴当t=2f(t)取得最小值，(24f +＝.∴实数c的最大值为4.答案：4二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件.答案：A14.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析：A.l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B.l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C.l可以和l1，l2都相交，如下图：∴该选项错误；D.“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确.答案：D15.对任意两个非零的平面向量αu r和βu r，定义||||cos ααβθβ⊗u r u ru r u r ＝，其中θ为αu r和βu r 的夹角，若两个非零的平面向量a r 和b r 满足：①||||a b ≥r r ；②a r 和b r 的夹角()04πθ∈，；③a b ⊗r r 和b a ⊗r r 的值都在集合{}2|n x x n N ∈＝，中，则a b ⊗r r 的值为( )A.52 B.32C.1D.12解析：∵|||||||cos c 2|os 2a b a b b a b n m a θθ⊗=⊗==r rr r r r r r ＝，，m ∈N ，由αu r 与βu r 的夹角θ∈(0，4π)，知2cos 4mn θ=∈(12，1)，故mn=3，m ，n ∈N ，∵||||a b ≥r r ，∴012b ma ⊗=r r ＜＜，∴m=1，n=3，∴32a b ⊗r r ＝，答案：B16.已知函数()120212212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，＝，＜，且f 1(x)=f(x)，f n (x)=f(f n ﹣1(x))，n=1，2，3，….则满足方程f n (x)=x 的根的个数为( )A.2n 个B.2n 2个 C.2n个D.2(2n﹣1)个解析：当x ∈[0，12]时，f 1(x)=f(x)=2x=x ，解得x=0；当x ∈(12，1]时，f 1(x)=f(x)=2﹣2x=x ，解得x=23，∴f 的1阶根的个数是2. 当x ∈[0，14]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=4x=x ，解得x=0；当x ∈(14，12]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=2﹣4x=x ，解得x=25；当x ∈(12，34]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=﹣2+4x=x ，解得x=23；当x ∈(34，1]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=4﹣4x=x ，解得x=45. ∴f 的2阶根的个数是22.依此类推∴f 的n 阶根的个数是2n. 答案：C三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17.如图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4. (1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析：(1)A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，S 正方体ABCD =AB ×BC=9，由此能求出四棱锥A 1﹣ABCD 的体积.(2)由A 1B ∥D 1C ，知∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A 1B 与B 1C 所成角.答案：(1)∵A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3， ∴S 正方体ABCD =AB ×BC=3×3=9， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积111491233ABCD V AA S =⨯⨯=⨯⨯正方体＝. (2)∵A 1B ∥D 1C ，∴∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，∵11B D =B 1C=D 1=5，∴2221111111125251816cos 225525B C D C B D D CB B C D C +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， ∴∠D 1CB 1=arccos 1625.∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角为arccos 1625.18.已知复数z满足z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z 、z 2、z ﹣z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积.解析：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； (2)分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解. 答案：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知可得：22ab ⎪⎩＝2221a b ab =⎩+⎧⎨＝，解得11a b ⎧⎨⎩＝＝或11a b ⎧⎨⎩＝-＝-. ∴z=1+i 或z=﹣1﹣i ；(2)当z=1+i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=1﹣i ， ∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，﹣1)，故△ABC 的面积S=12×2×1=1；当z=﹣1﹣i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=﹣1﹣3i ， ∴A(﹣1，﹣1)，B(0，2)，C(﹣1，﹣3)，故△ABC 的面积S=12×2×1=1. ∴△ABC 的面积为1.19.一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m. (1)设∠BOD=θ，试将L 表示为θ的函数； (2)求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.解析：(1)利用直角三角形中的边角关系，求得L 的解析式.(2)求导，分析导函数的符号，进而可得L 的最值，进而得到最值的含义. 答案：(1)∵走廊的宽AC=BD=2m. ∠BOD=∠BAC=θ，∴22sin cos L θθ+＝；(2)∵22sin cos L θθ+＝∴222cos 2sin sin cos L θθθθ-'+＝.∵θ∈(0，4π)，L′＜0，L 为减函数； θ∈(,42ππ)，L′＞0，L 为增函数； ∴θ=4π时，L取最小值该最小值表示：超过.20.已知函数f(x)=2x +2﹣x.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)设a ∈R ，求关于x 的函数y=22x +2﹣2x﹣2af(x)在x ∈[0，+∞)时的值域g(a)表达式；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：(1)利用奇偶性的定义，可得函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x .则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2，y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x +m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，即21221xxxm ---≤+-在x ∈(0，+∞)时恒成立，求出21221xx x ---+-的最小值，可得答案. 答案：(1)∵函数f(x)=2x +2﹣x的定义域关于原点对称，且f(﹣x)=2﹣x +2x =2x +2﹣x=f(x)，故函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x.则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2 y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，当a ≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a ，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a ，+∞)，a ＞2时，当t=a 时，函数取最小值﹣a 2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a 2﹣2，+∞)；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即m(2x +2﹣x )≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即()2212111221221221x x x x x x x x m ------≤=-=-+-+--+在x ∈(0，+∞)时恒成立当x=1时，2﹣x=12，此时(2﹣x )2﹣2﹣x+1取最小值34，故()21221xx---+取最大值43，故()211221xx ----+取最小值13-故13m ≤-.21.已知数列{a n }满足：a 1=1，11n a +，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足212211683n n n n S S n n a a +++--＝，试确定b 1的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的部分项按原来顺序构成新数列{c n }，且c 1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n }.解析：(1)由a 1=1，两边平方化简可得22111n n a a +-=4，则数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得21n a ，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)由(1)可得化简整理14143n n S S n n +-+-=1，得利用等差数列的通项公式可得：43nS n -=b 1+n ﹣1，即S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1，化为b n =4b 1+8n ﹣11，取n=1即可得出；(3)解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m (m ∈N *)，则c n =c 1q n ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，可得5×4m(n ﹣1)=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，….因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，可得数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论. 解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k -，由等比数列{c n }的各项为整数，则q 为整数，取q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明. 答案：(1)11n a +，则22111n n a a +-=4，n ∈N * ∴数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，则21n a =1+4(n ﹣1)=4n ﹣3，∴n a =，∴数列{a n }的通项公式n a =； (2)由(1)可得n a =， ∵212211683n n n n S S n n a a +++--＝，∴(4n ﹣3)S n+1=(4n+1)S n +16n 2﹣8n ﹣3， ∴14143n n S Sn n +-+-=1， ∴数列43n S n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为S 1，公差为1.∴43nS n -=b 1+n ﹣1， ∴S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)﹣(b 1+n ﹣2)(4n ﹣7)，化为b n =4b 1+8n ﹣11，若数列{b n }为等差数列，则上式对于n=1时也成立， ∴b 1=4b 1﹣3，解得b 1=1.∴b n =8n ﹣7为等差数列. ∴b 1=1，数列{b n }为等差数列； (3)证明：由(1)可得21n a =4n ﹣3.解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m(m ∈N *)，则c n =c 1qn ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，因为1+4+42+…+4k ﹣1=413k -，所以5×4m(n ﹣1)=5×[3(1+4+42+…+4k ﹣1)+1]，=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m (m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个.解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k . 因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m+2(m ∈N*)，则q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，由4k n ﹣3=5·(4m+1)n ﹣1得，k n =14[5(4m+1)n ﹣1+3](n ∈N*)，而当n ≥2时，k n ﹣k n ﹣1=54[(4m+1)n ﹣1﹣(4m+1)n ﹣2]=5m(4m+1)n ﹣2，即k n =k n ﹣1+5m(4m+1)n ﹣2，又因为k 1=2，5m(4m+1)n ﹣2都是正整数，所以k n 也都是正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1(m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n }有无数个.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

上海市长宁区2019-2020学年高考数学一模考试卷含解析

上海市长宁区2019-2020学年高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．22，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（）A ．3B ．3C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S . 【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 4．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（）A ．10110B ．9110C ．11111D ．12211【答案】B 【解析】观察已知条件，对111(1)n n a a n n +=-++进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知111(1)n n a a n n +=-++，则1111111()11()(1)11n n a a n n n n n n +--+=--+=--+++=，所以有21111()12a a ---=，32111()23a a ---=，43111()34a a ---=，L109111()910a a ---=，两边同时相加得10119(1)10a a ---=，又因为11a =，所以101919(11)1010a --==+.故选：B 【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如1n(n 1)+时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=nn n a a （n *∈N ），则5S =（）A ．30 B．C．D ．62【答案】B 【解析】【分析】根据14+=nn n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=nn n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，由等比数列的通项公式可得：1112114162a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩因此552)12S -==-故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.A ．-2B ．2C ．4D ．7【答案】B 【解析】【分析】在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得3a ，再由等差数列通项公式求得公差. 【详解】在等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()155********a a S a a +===⇒=则3123272a a d d d =+=+=⇒= 故选：B 【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.7．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】【分析】圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >，则1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++…，当且仅当n mm n =且1m n +=即12m n ==时取等号，故选：D ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．8．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B I =( )A ．[12]-， B ．[1-C ．(1-D ．⎡⎣【答案】C计算2,2A ⎡⎤=-⎣⎦，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{}22|2,2A x y x ⎡⎤=-=-⎣=⎦，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故1(]2A B -=I ，. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.9．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（） A ．多1斤 B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤【答案】C 【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列{}n a ，则123891043a a a a a a ++=++=，，由等差数列的性质得2929441,1,1333a a a a =∴-=-=＝，故选C 10．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。

2020年上海市长宁(金山)区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)

2020年上海市长宁（金山）区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则AB =_______.2. 方程23x=的解为_______. 3．行列式2112-的值为_______．4. 计算2lim1n nn →∞=+_______.5．若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的母线长为_______.6. 已知向量1(2AB =，31()2AC =，则BAC ∠=_______. 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有_______种．8. 已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.9. 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯．某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数方式都使用过的概率为_______.10. 已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=_______.11. 已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S .若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=_______.12. 已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1[,3]2上总有解，则实数m 的取值范围为_______. 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知R ∈x ，则“0x > ”是“1x > ”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，值域为()0,+∞的是（）.A.2xy = B.12y x = C.ln y x = D.cos y x =15. 已知正方体1111ABCD A B C D -,点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45角.以下判断正确的是（）. A.①为真命题，②为真命题； B.①为真命题，②为假命题；C.①为假命题，②为真命题；D.①为假命题，②为假命题.16. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）. A ．16时 B ．17时 C ．18时 D ．19时三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，AD1A1B1C1DMNDB 1求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图. 其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=．（1）若2AN CM ==百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=,写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式,并求S 的最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且2,,n n n a S a (*N n ∈)成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明（1）中的猜想；（3）设()10n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈,都有{}*n m T b m N ∈∈, 求实数t 的值.AB CDMN21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()g x f x =. 若0a <，且35()24g =，求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数；（3）若在[0,2]上存在n 个不同的点(1,2,,.3)i x i n n =≥，12n x x x <<<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．{2,4} 2．2log 3x = 3．5 4．25．2 6．6π7．72 8．39．31010．3- 11．1078 12．2(,]3-∞二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．A 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由直棱柱知1A A ABCD ⊥，所以1A A CD ⊥又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， ……………2分所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ ……………4分由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=． ……………6分（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅， ………………3分由已知3d =，14A AM S ∆=， ………………6分所以4V =为定值. ………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ……………3分()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- ……………6分证明（2）()1,OZ a b =，()2,OZ c d =-12OZ OZ ab cd ⋅=+，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+ ……………3分 ()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥所以 1212OZ OZ z z ⋅≤⋅ ……………6分当ab cd =时取“=”，此时12//OZ OZ . ……………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意MN =，DN =DN =， …………3分所以cos2MDN ∠==≠ 所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求 ……………6分（2）CDM θ∠=，=4ADN πθ∠-，所以3cos DM θ=，4cos()4DN πθ=-1sin 24cos cos()4S DN DM ππθθ=⋅⋅=-， …………3分()cos cos()cos sin 42πθθθθθ-=+)11sin 2cos 21sin(2)242πθθθ=++=+≤所以)121S ≥，S的最小值为)121. …………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）解：由已知22n nn a a S +=， …………1分所以11a =，22a =，33a =， …………3分猜想n a n = …………4分证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=- 得()()1110n n n n a a a a --+--=， …………3分因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a =所以()*n a n n =∈N …………6分（3）解：由（2）知1m b mt =-，()12n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为,m n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t是整数所以1,t k Z k=∈，此时()()112n n m k n +=--， ………2分设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ………4分 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1{,1}2………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ ………4分（每行1分）（2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-，因为()g x 是以2为周期的偶函数，所以31111()()()22222g g g a =-==-，由35()24g =，且0a <，得2a =-， ………2分所以当01x ≤≤时，()(2)g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈ ………4分所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈ ………6分（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-； ………2分 ②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ………4分 ③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()12231max 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2()424a a f =<，()2224f a =-<，在[]0,2上，()()max max{(),2}42af x f f =<.()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞. ………8分③当42<≤a 时，则221<≤a ，所以)(x f 在]2,0[a 上单调递增，在]2,2[a上单调递减，于是)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--242)0()2(2)(222max a a f a f x f =⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=≤ 令 822≥a ，解得 4-≤a 或4≥a ，不符合题意； ④当20<<a 时，)(x f 分别在]2,0[a 、]2,[a 上单调递增，在],2[a a上单调递减，)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--()422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222+-=-+⨯=+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-≤a a a a f a f a f f f a f 令84222≥+-a a ，解得322-≤a 或322+≥a ，不符合题意．综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.。

2020年上海长宁区高三一模数学试卷

2020年上海长宁区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）1.已知集合，，则．2.方程的解为．3.行列式的值为．4.计算．5.若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为．6.已知向量，，则．7.位女生位男生排成一排，则位女生不相邻的排法共有种．8.已知点在角终边上，且，则．9.近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中、两种支付方式都没有使用过的有人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：支付金额（元）大于支付方式使用人人人使用人人人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为．10.已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，，则．11.已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则．12.已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.已知，则“”是“”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.下列函数中，值域为的是（）．A.B.C.D.15.已知正方体，点是棱的中点，设直线为﹐直线为，对于下列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角，以下判断正确的是（）．A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题16.某港口某天时至时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型：，若该港口在该天时至时内，有且只有个时刻水深为米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）．A.16时B.17时C.18时D.19时三、解答题（本大题共5题，共76分）（1）（2）17.如图，底面为矩形的直棱柱满足：，，．求直线与平面所成角的大小．设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值．（1）（2）18.在复平面内复数，所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位．，，计算与．设，，求证：，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号．19.【答案】解析:∵集合，．∴（1）（2）如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．若百米，判断是否符合要求，并说明理由．设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．（1）（2）（3）20.已知数列各项均为正数，为其前项的和，且、、成等差数列．写出、、的值，并猜想数列的通项公式．证明（）中的猜想．设，为数列的前项和，若对于任意，都有，求实数的值．（1）（2）（3）21.已知函数，其中为常数．当时，解不等式．已知是以为周期的偶函数，且当时，有，若，且，求函数的反函数．若在上存在个不同的点，，使得，求实数的取值范围．1.2.解析:，，故方程的解为．3.解析:行列式，，．故行列式的值为．4.解析:，，．5.解析:设地面圆半径为，母线长为，则同圆锥的侧面面积为，底面面积为可得：，解得即该圆锥的母线长为．6.解析:，故．7.解析:先将位男生全排列，有种排法，再将位女生插入位男生形成的个空中，有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法有种．8.解析:∵点在角终边上，，∴，则，．9.解析:由题中数据知，、两种支付方式都没有使用过的有人，使用支付方式的有人，使用支付方式的有人，作出维恩图如下：设，都使用的有人，则，解得人，故从该公司随机抽取名员工，则该员工在该月，两种支付方式都使用的概率为．故答案为：．10.解析:因为非零向量、、两两不平行，且，，∴，，∴；∵，，，∴，∴，故答案为：．11.解析:根据题意，易知，，∴．12.解析:由题意，在区间上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则只要找到其中一个实数，使得函数的最大值最小即可，如图，函数向下平移到一定程度时，函数的最大值最小．此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．设函数图象向下平移了个单位，（）．∴，解得．∴此时函数的最大值为．根据绝对值函数的特点，可知实数的取值范围为：．解析:∵，∴“”是“”的必要非充分条件．故选．解析:直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面，直线必与相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题；分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，都成角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：．解析:为方便运算，将该函数模型微调为：．（对于港口水深而言，记录时因为海水涌动，存在厘米的误差也是正常的，所以调整厘米，影响微乎其微，不微调的话，做法也是一样的，只是会有太多小数）设解为、、，且，，∴，，，即、，，B 13.A 14.B 15.D 16.（1）（2）（1）（2）∴，即，∴．当取最大值时，，，，∵，∴不可能为时．故选．解析:由直棱柱知，所以．又因为，所以直线平面，所以即直线与平面的所成角．由题意，，所以，所以直线与平面的所成角．记点到平面的距离为，三角形的面积为，则，由已知，，所以为定值．解析:，，，所以．，，，，，（1）．（2）证明见解析；．17.（1）．（2）证明见解析；当时取“”．18.（1）（2）（1）（2），所以，当时取“”，此时．解析:由题意，，，所以，所以，不符合要求．，，，，所以，，所以，的最小值为．解析:由已知，所以，，．猜想．当时，，，所以，得．（1）不符合要求，证明见解析．（2），的最小值为．19.（1），，，猜想．（2）证明见解析．（3）．20.（3）（1）（2）因为，所以，数列为等差数列，又由（），，所以．由（）知，，若，则．因为，都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数，所以，，此时．设，则，所以或．①当时，对于任意，；②当时，对于任意，，所以实数取值的集合为．解析:解不等式，当时，，所以，当时，，所以，综上，该不等式的解集为．当时，，因为是以为周期的偶函数，所，由，且，得，所以当时，，所以当时，，所以函数的反函数为．（1）．（2）．（3）．21.（3）①当时，在上，是上的增函数，所以，所以，得．②当时，在上，是上的增函数，所以，所以，得．③当时，在上不单调，所以，，在上，．，不满足综上，的取值范围为．④当时，则，所以在上单调递增，在上单调递减，于是，令，解得或，不符合题意，⑤当时，分别在、上单调递增，在上单调递减，，令，解得或不符合题意．综上，所求实数的取值范围为．。

2024届上海长宁区高三一模数学试卷和答案

2023-2024学年上海长宁区第一学期教学质量调研试卷高三数学考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合(],4A =-∞，{}1,3,5,7B =，则A B = .2.复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =.3.不等式11x>的解集为.4.设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移s 和时间t 满足函数关系()21005020s t t t =-<<，则当2t =时，物体的瞬时速度为.7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值y （单位：dB ）定义为010lgI y I =.其中I 为声场中某点的声强度，其单位为2/W m ，12010I -=2/W m 为基准值.若210/I W m =，则其相应的声强级为dB .9.若向量()1,0,2a = ，()0,1,1b =- ，则a 在b方向上的投影向量为_______．10．若“存在0x >，使得210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围．11.若函数()sin cos f x x a x =+在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格单调函数，则实数a 的取值范围为.12.设()()2log 0f x x ax b a =++>，记函数()y f x =在区间[](),10t t t +>上的最大值为(),t M a b ，若对任意b ∈R ，都有(),1t M a b a ≥+，则实数t 的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.()2f x x =；B.()2f x x =；C.()ln f x x =；D.()x f x e =.14．“()()()P A B P A P B = ”是“事件A 与事件B 互相独立”（）.A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件.15.设点P 是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置()01,0P 出发，沿单位圆按逆时针方向转动角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭后到达点1P ，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角4π到达2P .若点2P 的横坐标为35-，则点1P 的纵坐标（）.A ；B ；CD 16.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐ABC 悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T .若忽略三角形豆腐ABC 的厚度，设3AB =，4BC =,5AC =，点P 在△ABC 内部.假设对于任意点P ，满足1PQ ≤的点Q 都在T 内，且对于T 内任意一点Q ，都存在点P ，满足1PQ ≤，则T 的体积为（）.A.127π+；B.22π123+； C.147π+；D.22π143+.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.=，O为BD的中点．如图，在三棱锥A BCD-中，平面ABD⊥平面BCD，AB AD（1）求证：AO CD⊥；（2）若BD DC=，求异面直线BC与AD所成的角的大小．=，AO BO⊥，BD DC19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为α，右前轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为w米，前后轴距AD为l米.（1）试用w、l和α表示tanβ；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O到路边EF的距离为d，若OB dl=.<且OM ODw=， 2.680<，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.{}1,3；2.；3.()0,1；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.()0,1,1-；10．[)2,-+∞；11.⎡⎢⎣；12.13.11解：()cos sin f x x a x '=-，因为()0f π'<，所以()y f x =在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是严格减函数，当27,36x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos sin 0x a x -<恒成立，所以1tan 0a x ->在27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为我tan 3x ⎛∈ ⎝是，所以a ≤≤12解：设2log u x ax b =++，因为[],1x t t ∈+，所以()()22log log 11t at b u t a t b ++≤≤++++所以()()(){}22,max log ,log 11t M a b t at b t a t b=++++++()()()()()()()()2222log 11loglog 11log 2t a t b t at b t a t b t at b ++++++++++++-++=()()()()()2222log 11loglog 1log 212t a t b t at b t t aa ++++-+++-+≥=≥+得103t <≤二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A ；14.C ；15.D ；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与ABC 平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为()4226234512233πππ⨯++++=+三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差2d =.（1）若10100S =，求{}n a 的通项公式；（2）从集合{}123456,,,,,a a a a a a 中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件A ，求事件A 发生的概率()P A .解：（1）因为()1112n S na n n d =+-，所以1011090100S a =+=，……..2分得11a =，…….4分所以()1121n a a n d n =+-=-.…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为3620C =，……..3分事件A 所含样本点分两类，公差为d 的有4个，公差为2d 的有2个，……..6分所以事件A 发生的概率()632010P A ==.…….8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）求证：AO CD ⊥；（2）若BD DC ⊥，BD DC =，AO BO =，求异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（1）证明：因为AB AD =，O 为BD 的中点，所以AO DB ⊥，…….2分因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以AO ⊥平面BCD ，…….4分因为CD ⊂平面BCD ，所以AH CD ⊥.…….6分（2）由（1）知AO ⊥平面BCD ，作//OE CD ，因为CD BD ⊥，所以OE BD ⊥，进而可以OE 、OD 、OA分别为x 轴、y 轴和z 轴正方向，建立坐标系，…..3分因为AO BO =，BD DC =，所以可设()0,0,A a ，()0,,0B a -，()0,,0D a ，()2,,0C a a ，…..6分因为()2,2,0BC a a = ，()0,,AD a a =-设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则12121cos 2n n n n θ⋅== ，所以60θ=︒……8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A 、B 、C 、D ，向左转向，左前轮转向角为α，前右轮转向角为β，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB 为w 米，前后轴距AD 为l 米.（1）试用w 、l 和α表示tan β；（2）如图2，有一直角弯道，M 为内直角顶点，EF 为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A 、D 与路边FS 相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：①转向过程中，左前轮转向角α的值始终为30︒；②设转向中心O 到路边EF 的距离为d ，若OB d <且OM OD <，则汽车可以通过，否则不能通过；③ 1.570w =， 2.680l =.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知AOD α∠=，tan BOC β∠=，…….2分所以tan l OD α=，tan lOC w α=+，……..4分进而tan tan llw βα=+.……..6分（2）以EF 和FS 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，则()3.5, 3.5M --. 4.642tan lOD α===，6.766OB ==，……..2分设(),O a b ()0,0a b<<，2 6.642a =-=-，d b =-，OM ==，……..4分由OM OD <，得()29.872 3.521.548b ++<，进而 6.9170.83b -<<-，由OB d <，得 6.766b <-，…….6分所以当 6.917 6.765b -<<时，OB d <且OM OD <，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆22142x y Γ+=：，1F 、2F 为Γ的左、右焦点，点A 在Γ上，直线l 与圆22:2C x y +=相切.（1）求△12AF F 的周长；（2）若直线l 经过Γ的右顶点，求直线l 的方程；（3）设点D 在直线2y =上，O 为原点，若OA OD ⊥，求证：直线AD 与圆C 相切.解：（1）设椭圆Γ的聚焦为2c ，长轴长为2a ，短轴长为2b ，则24a =，22b =，所以22c =，……..2分所以1224AF AF a +==，122F F c ==得△12AF F的周长为4+.……..4分（2）椭圆Γ的右顶点为()2,0，所以可设直线l 的方程为()2y k x =-，……..2分因为圆222x y +=与直线l 相切，=，……..4分解得22k =±，直线l 的方程为()222y x =±-.…….6分（3）设()00,A x y ，(),2D m ，因为OA OD ⊥，所以0020mx y +=，…….2分当0m x =时，20020x y +=，由2200142x y +=，得01y =-，0x =直线AD方程为x =，与圆22:2C x y +=相切，…….4分当0m x ≠时，直线AD 的方程为()0000002222y y x my y x m x x m x m x m---=-+=+---则原点O 到直线AD 的距离为d =，…….6分因为002y m x =-，2200142x y +=，所以2216844422202040020202020200200=+++=++++=x x x x x x y y x x y x d ．此时直线AD 与圆22:2C x y +=相切．……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,R x x ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.已知函数()y f x =是函数()y g x =的“约束函数”.（1）若()2f x x =，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由；（2）若()()30f x ax x a =+>，()sin g x x =，求实数a 的取值范围；（3）若()y g x =为严格减函数，()()01f f <，且函数()y f x =的图像是连续曲线，求证：()y f x =是()0,1上的严格增函数.证明：（1）函数()y g x =为偶函数.……2分因为对任意R x ∈，都有()()()()f x f x g x g x --≥--，所以()()()220g x g x x x --≤--=，得()()g x g x -=，所以()y g x =为偶函数.………4分（2）解：设12x x <因为()y f x =是R 上的严格增函数，所以()()12f x f x <，进而()()()()1221g x g x f x f x -≤-，所以()()()()1122f x g x f x g x +≤+，()()()()1122f x g x f x g x -≤-，设()()()u x f x g x =+，()()()v x f x g x =-，则()y u x =与()y v x =均为R 上的严格增函数，…….3分()23cos 0u x a x x '=++≥，()23cos 0v x a x x '=+-≥恒成立因为230x ≥，cos 1x -≥-，所以23cos 1a x x a +-≥-，得1a ≥，当1a ≥时，()23cos 0u x a x x '=++≥恒成立，所以1a ≥.………..6分（3）设12x x <，因为()y g x =是严格减函数，所以()()12g x g x >，而()()()()2112f x f x g x g x -≥-，所以()()120f x f x ->所以对任意12x x <，都有()()12f x f x ≠（*）……2分①首先证明，当01x <<时，()()()01f f x f <<，假设存在001x <<，且()()01f f x <，设()()()1h x f x f =-，则()00h <，()00h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()31f x f =，与结论*矛盾，所以不存在001x <<，使得()()01f f x <同理也不存在001x <<，使得()()00f x f <，所以当01x <<时，()()()01f f x f <<.……5分②再证明，当1201x x <<<时，()()12f x f x <，假设存在1201x x <<<，使得()()12f x f x >，则()()()()2101f f x f x f <<<设()()()2h x f x f x =-，则()00h <，()10h x >，所以存在()300,x x ∈，使得()30h x =，得()()32f x f x =，与结论*矛盾，所以假设不成立，即对任意()12,0,1x x ∈，都有()()12f x f x <所以函数()y f x =是区间()0,1上的增函数……8分。