2016年浙江省高中数学竞赛卷

2016年浙江省高中数学竞赛卷

一、选择题（每题6分，共48分）

1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是

（ ）

A.0a =

B.1a =

C.1a =-

D.a R ∈ 2.函数3

2()4sin sin 2(sin

cos )22

x x

f x x x =-+-的最小周期

（ ）

A.2π

B.

2

π

C.23

π

D.π

3.设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，

点A 是过2F 且倾斜角为4

π

的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）

A.

1

2

1

C.

1

2

1

4.已知正三棱锥S ABC -，底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2.若过直线AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）

A.

10

B.

15

C.

15

D.

15

5.已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-，有0()1f x ≤≤，则

3122

a b a b +++-的取值范围为

（ ）

A.1

[,0]2

-

B.4

[,0]5

-

C.12[,]27

-

D.42[,]57

-

6.已知向量OA ，OB 垂直，且||||

2O A O B ==

.若[0,1]t ∈，则5|||(1)|12

t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为

（ ）

A.

B.26

C.

D.24

7.设集合*{(,)|

,,}

M x y x y N ==∈，则集合M 中的元素个数为 （ ） A.0

B.1

C.2

D.3

8.记[]x 为不超过x 的最大正数，若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤，则集合S 所表示的平面区域的面积为

（ ）

A.

5

2

B.3

C.

9

2

D.4

二、填空题（第12题9分，其余每题7分，共51分）

9.设()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意实数x ，有(2

)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈

时，()2f x x =，则f =.

10.已知数列{}n a ，{}n b 满足：11a =-，12b =，1n n a b +=-，*123()n n n b a b n N +=-∈，则20152016b b +=.

11.设a R ∈，方程||||2x a a --=恰有三个不同的根，则a =.

12.已知两个底面重合的正四面体A OBC -和D OBC -，M ，N 分别为ADC 与BDC

的重心.记OA =a ，OB =b ，OC =c ，若点P 满足OP x y z =++a b c

，2MP PN = ，

则实数x =，y =，z =.

13.在ABC 中，4

B π

∠=

，512

C π

∠=

，AC =AC 的中点为D .若长度为3的线段PQ （P 在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为=.

14.若关于,x y 的方程组3

3

sin sin cos cos x m y

x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩

有实数解，则正实数m 的取值范围为=. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则22224()()a b c a b c ++-++的最小值为=.

三、解答题（第16题15分，第17、18题每题18分，共51分）

16.设函数2

2

,()(53)7()k R f x x k ak x a ∈=--++.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足12[,],[2,4]x k k a x k a k a ∈+∈++，则12()()f x f x ≥，求正实数a 的最大值.

17.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，经过点16(3,)5P ，离心率为35.过椭圆C 的右焦

点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，记PA ，PB 的斜率为1k ，2k . （1）求椭圆的标准方程；

（2）若120k k +=，求实数k 的值.

18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z --=，00z =.

四、附加题（每题25分，共50分）

19.设集合*{|20,1,6}A x N x =∈的十进制表示中数码不含，.证明：

1

3x A x

∈<∑. （注：1

x A x

∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和）

20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示.若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰

染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法术.