粒子的纵向运动讲解

第三节 粒子的纵向运动
一、粒子的相振荡
1.自动稳相原理 π W 设有参考粒子，能量 s ，相位 0 s 2 考虑非同步粒子，有初始相位偏离
Δi i s 0
加速后 ΔW qeVa cosi coss 0 一圈后 ΔT T Ts 0 （半径大了） s Δ Δi 直至 Δ 0
2 hΓ ωs 2 GqeVa 1 εs 2 sin i i cos s 2 i 2 hΓ ωs 2
此式可理解为相振荡的能量守恒，其中
1 εs 2 T 2 i 2 h Γ ωs
GqeV a sin cos s U 2
GqeVa ε d s d cos cos s 2 dt hΓs dt 2π
及
hΓ GqeVa sin s Ω 2πεs
2 2 s
d 2 Ω2 cos coss 可得 2 dt sin s
Cs稳定相轨迹
Cu不稳相轨迹
Cb稳定区边界
s
s
c
2）相运动稳定区
0 其左界为 i s , 代入方程，有稳定区边界方程 2
2
2Ω sin coss sin s s coss sin s
2 sin cos s sin s s cos s F , s sin s
p L W x p rc L rc 2 ps s s sΩ W F , s hΓs L Ω x p rc 2 F , s s hΓs
L / Ls L p / p s
d ΔW GqeVa cos coss 则有 dt ωs 2π 1 d ΔT Δε d h h Γ T h ω Δ T 又 故 dt T s s εs dt s s
由于ຫໍສະໝຸດ Baidu
Δε ΔW
故
ΔW d hΓ s εs dt
1/ 2
定义
则有：
ΩF , s
W
εs Ω F s , s hΓ ωs
故亦可以 F 作为纵向相空间 优点：与加速器参数无关，都在 Ω 中
0 c , 稳定区右界： c 满足 sin c c coss sin s s coss 0
非粒子的
于是 T + U ＝Ti + Ui 由此可作出势能曲线
为稳定平衡点 s 为不稳定平衡点 T U U s 运动稳定
s
两类相稳定区及其势能曲线
5. 长时间小振幅解—相运动的衰减 实际加速过程中 εs , s , Γ 均会变，但变化很 εs 慢，可用慢变参数法作绝热处理，令 J hΓ ω2 s 则有 d 2 d J 2 Ω 0 2
ds x ( s ) A x cos x
1）磁场畸变引起的闭轨畸变 上一章中曾讨论过磁场一次谐波的影响，弱 聚焦同步中，情况类似
Bk / Bc xc ( ) rc k 2 2 cosk k x
1
而 (s L) (s)
1 m22 m13 m12 m23 于是可解出 (s) 2 m11 m22
m13 m12 m23 m13 m22 4 sin 2 x
故 x 不能取整数
3）闭轨校正 通常在高 位置放置校正二极磁铁，引入 校正磁场分量或在四极铁上加二极绕组。 一般采用闭环控制，测量粒子位置信号， 控制校正量，逐步调整
这里

d dt
i 代入 ，取初条件 i ,
2 2 Ω 有 2 i2 sin coss sin i i coss sin s d hΓ ωs ΔW 实际上 dt εs
故反映了相图上的轨迹，取不同 i 即可得 到不同轨迹，通常称为鱼图，小振幅为特例
Δ 0
Γ
dε /

dW/ε
负反馈成立的条件与 Γ , s 有关。 以上是 Γ 0,s 0 的情况，若 Γ 0,s 0 负反馈 关系亦成立。
2. 相运动方程（不考虑
ωrf t hωt
Win , Wra）
dWs ωs dWs ωs GqeV a cos s 由 W W Ws dt 2π dN 2π 1 dW 1 dWs d ΔW 取近似 dt dt dt ω s s
x p ( s) p / p
（Dispersion Function）
则方程非齐次解为
p x p ( s) ( s) p
（齐次解为 x (s) ）
代入方程 K x 相应传输矩阵为
m11 M p m21 0 m12 m22 0 m13 m23 1 0 M p 0 1 1
F W 有极值 实际上 s 时， 1/ 2 F s ,s 21 s cots
s 大, 稳定区大, 俘获粒子
多，但加速效率低，W 大
3）相角稳定区
大小与 s 有关 s 大，则相角稳定区大
4）相振荡的势能曲线 大振幅相轨迹方程亦可写为 2 2 2 Ω 2 Ω 2 i2 sin coss sin i i coss sin s sin s 或 1 ε GqeVa 2 s sin cos s 2
导致 W 0, T 0 且 ΔW , ΔT , Δ 0 时变化趋势不变，直至 0, ΔW ΔT 0， 但由于 Δ 0 导致 ΔW 0, ΔT 0 Δ 0 ， 实际上是一个负反馈过程。 关键是 Δ T 与 ΔW 的关系 定义滑相因子 dT/T dT/T 即
dt J dt
出现阻尼项，系数 变化也很慢 解 At cos Ωdt
m At JΩ
1 / 2
J J
随 ε s ↑而↓
Γω ε s
2 s

1/ 4
能量差
m sin Ωdt
相运动方程的短时间小振幅解为 A cosΩt α 相振荡频率 Ω s Va / εs 1 故很慢 相振荡在相图中的轨迹为椭圆
AΩ εs W sin Ωt α hΓs
–W 为纵向相空间
4. 短时间大振幅下的相运动（准稳态） 1）鱼图 由相运动方程：
对强聚焦，若磁场某处有偏差 B ，使粒子 方向变 x ，则
s ds 0 s xc ( s) x cos x s ( s) 2 sin x
0
二种情况下均有 x 不能取整数
2）动量分散引起的闭轨畸变 上一章讨论结果亦可用于弱聚焦同步
而 故
可见①s 则 F , xp,max也大 ②随着加速 s , s 则 xp,max 故关键是入射
对强聚焦 x K (s) x 0 考虑动量散度 p / p ，有
1 p x K ( s) x p
定义色散函数（动量分散函数）
( s)
d εs d GqeVa cos coss 2 dt hΓs dt 2π
3. 短时间小振幅解
εs , s , Γ 不随时间变 短时间—准稳态 小振幅 1, cos coss sins d2 于是 2 Δ Ω 2Δ 0 dt 其中 hΓ GqeVa sin s Ω s 2πεs 为相振荡频率 稳定条件 Γsins 0 即： Γ 0 且 sins 0 ① 或 此时 Ω 有实解 Γ 0 且 sins 0 ②
2. 色品（Chromaticity）
1）自然色品 qek 四极透镜 K mv ，前面讲到随 W ，要调 k 但即便如此，实际束流有能散，且相振荡 可使 W ，此动量散度会引起 K 值的离 散，并进而引起 的离散 定义色品
p / p
自然色品
, 1 E / E
即可产生一个附加的四极场，且其梯度依 赖于动量分散 K x p
p
该附加的聚焦力可产生一个附加色品，此 附加色品在 x, z 向反号，故需同时安装二 个方向的校正六极铁，安装位置应在 较 大处
三、临界能量与跳相
1.动量压缩因子 L / Ls 二章五节曾定义 L p / ps 物理意义：动量变化会引起闭轨长度变化 同步中，随相振荡，粒子的 W , p 也振荡， 故非平衡粒子的闭轨也振荡 1 对弱聚焦同步，亦有 L 1 n 1 2r0 带直线节 L 1 n L s 强聚焦 n 1, L 1 (0.01~ 0.1) 1 可证明 L 2
二、闭轨畸变、色散函数与色品
1. 封闭轨道畸变 理想粒子的封闭轨道由圆弧段和直线段组 成，非理想粒子围绕闭轨做自由振荡
但实际上粒子的闭轨会受到下列因素影响 磁场畸变引起的闭轨畸变xc(s) 动量分散引起的闭轨畸变xp(s) 非理想粒子的横向位移
x(s) x (s) xc (s) x p (s)
y ,nat
1 y K y ds 0 4
其具体大小取决于Lattice设计。大的色品 会引起大的 ，使 靠近共振线，负的色 品会引起头尾不稳定性，故需补偿 2）色品校正 通常采用六极磁铁，其磁场为 故
x 2 z 2 2 Bz 2 Bz Bz , Bx xz 2 2 2 x x Bx 2 Bz Bz 2 Bz x, x 2 2 x x z x


2 s 1/ 4
m
εs hΓ ω s
εs ω Γ Ω m
能散度
3 / 4 ε s ε s m
随 ε s↑而↓
6.相振荡的共振 相振荡中的外力： Va , ωrf , B 的周期性误差作 用在相振荡上会产生强迫振荡，若其频率 与相振荡频率相等或成整数倍关系，则可 能发生相共振。 相共振只引起振幅的增加，不会无限增长
又
d 2 d d d 1 d d 2 dt dt d dt 2 d dt
2
故
2 d 2 Ω 2 sin s dt
2
cos cos d
s
2Ω 2 sin coss C sin s