第4章幂函数、指数函数和对数函数(下) 4.12 简单的指数方程

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高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算课件新人教B版

4．实数指数幂及其运算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
新知初探·自主学习
xn＝a
[0，＋∞) 被开方数
R 根指数
a a |a|
知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1．分数指数幂的意义
正分数指数幂
分
数
指负分数指数幂
数
幂
性质
0的正分数指数幂等于___0___，0的负分数指数幂__无_意__义___
(2)将已知的式子反复利用完全平方ห้องสมุดไป่ตู้式，将x的指数升高，再代入求值．
方法归纳
利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
答案：A
答案：B
答案：ABD
答案：C
课堂探究·素养提升
【答案】 D
－a π－3
方法归纳
根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y 两种情况．
利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．
答案：C
答案：C
状元随笔 (1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0 ＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．

第4章幂函数、指数函数、对数函数

第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。

思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。

2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数：（1）2y x =；（2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-；（4）y =。

2、幂函数的图像画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。

例1、分别画出下列幂函数的大致图像。

（1）43y x =；（2）12y x -=；（3）13y x =；（4）0y x =；（5）2y x-=；（6）12y x =；（7）32y x =；（8）23y x =（9）53y x =；（10）y x =；（11）13y x -=。

3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数；当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。

例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。

求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。

解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。

例3、分别画出下列函数的大致图像。

（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。

例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。

升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数

（4）loga
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数指数函数和对数函数知识点梳理一、幂函数1.定义：幂函数是形如f(x)=x^n的函数，其中n为常数，x为自变量，n可以是整数、分数或实数。

2.性质：-当n为正偶数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的抛物线形状。

-当n为正奇数时，幂函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的直线形状。

-当n为负偶数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的抛物线形状。

-当n为负奇数时，幂函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的直线形状。

-当n=0时，幂函数f(x)=x^0恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-幂函数常用于描述成比例关系，如面积和边长的关系、体积和边长的关系等。

-幂函数还用于经济学、物理学、化学等学科中的一些数学模型。

二、指数函数1.定义：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-指数函数的值域为正实数，图像始终位于y轴的上方。

-当a>1时，指数函数是单调递增函数，图像呈现开口向上的曲线形状。

-当0<a<1时，指数函数是单调递减函数，图像呈现开口向下的曲线形状。

-当a=1时，指数函数f(x)=1^x恒等于1，所有x轴上的点对应于y=1，即图像是一条水平直线。

3.应用：-指数函数常用于描述指数增长或指数衰减的情况，如人口增长、放射性物质衰变等。

-指数函数还用于描述复利、投资和经济增长等问题。

三、对数函数1. 定义：对数函数是形如f(x)=loga(x)的函数，其中a为正实数且不等于1，x为自变量。

2.性质：-对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

-对数函数的图像呈现开口向右的曲线形状。

-对数函数关于直线y=x对称。

-对数函数的导数为1/x。

3.应用：-对数函数常用于解决指数方程和指数不等式，将复杂的指数问题转化为相对简单的对数问题。

-对数函数还广泛应用于科学、工程、经济等领域的数据处理和模型建立。

综上所述，幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中的重要函数类型。

新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.1对数运算学案(含解析)

4.2.1 对数运算学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念,会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.2.理解对数的底数和真数的取值范围.3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.自主预习阅读课本P 15~18,完成课本上填空,并回答下列问题.1.指数式N=a b(a>0且a ≠1)中各个字母的名称是什么?2.判断方程2x=64的实数根个数,并求出它的实根.3.在表达式a b=N (a>0且a ≠1),N ∈(0,+∞)中,当a 与N 确定后,满足这个表达式的b 有几个?4.对数是如何定义的?对数的底数和真数分别是谁?对于二者有何要求?5.对数式与指数式的关系及相应名称列表如下:式子名称a b N指数式 a b=N 对数式 log a N=b(参照对数定义) 42=16中,2是 ,记作 ;40=1中,0是 ,记作 ;4-1=14中,-1是 ,记作 ;4-12=12中,-12是 ,记作 .6.两个对数恒等式: .7.什么叫常用对数?自然对数?课堂探究例1 求下列各式的值,并写出对应的对数式.(1)23;(2)82;(3)4-3;(4)8.80.思考:如何准确理解指数式与对数式的关系?例2 已知a>0且a ≠1,求log a 1与log a a 的值.例2的结论可以简述为 , . 例3 求下列各式的值. (1)log 216;(2)log 212;(3)52log 53.例4 求下列各式的值.(1)lg 10;(2)lg 100;(3)lg 0.01;(4)ln e 5.例5 已知log 4a=log 25b=√3,求lg(ab )的值.课堂练习1.用对数形式表示下列各式中的x. (1)10x=25;(2)2x=12;(3)5x=6;(4)4x=16.2.将下列对数式化为指数式.(1)log 2√2=12;(2)log 3181=-4;(3)lg 110=-1.3.10lg5= e In7=ln e 3= 3log 39= log 2√22= log 392=核心素养专练1.若log (x+1)(x+1)=1,则x 的取值范围是 .2.log (x-1)0.1=1,则x= .3.求值.(1)log 552= ;(2)lg1002= ;(3)e 3ln 7= ;(4)lg0.0012= . 4.已知log 3(log 2x )=1,则x -12= . 5.已知x>0,若log x 116=-4,则x= . 6.求值:(1)log 0.10.01= ; (2)lo g 1416= ;(3)4log 213= ; (4)lg(lg10)= ;(5)ln e a= .参考答案自主预习课堂探究例1 (1)23=8⇔log 28=3 (2)82=64⇔log 864=2 (3)4-3=164⇔log 4164=-3 (4)8.80=1⇔log 8.81=0思考:略例2 解:因为a 0=1,a 1=a ,所以log a 1=0,log a a=1.例2的结论可以简述为“1的对数为0”“底的对数为1”.例3 解:(1)因为24=16,所以log 216=4. (2)因为2-1=12,所以log 212 =-1.(3)因为5log 53=3,所以52log 53=(5log 53)2=32=9.例4 解:(1)因为101=10,所以lg 10=1.(2)因为102=100,所以lg 100=2.(3)因为10-2=0.01,所以lg 0.01=-2.(4)因为log a a b =b ,所以ln e 5=5.例5 解:由log 4a=log 25b=√3可得a=4√3,b=25√3,所以ab=4√3×25√3=(4×25)√3=100√3=(102)√3=102√3,所以lg(ab )=2√3. 课堂练习核心素养专练学习目标1.通过具体实例,了解对数的概念.2.通过归纳与类比,理解对数概念与指数概念的相互关系,能进行对数式与指数式的互化.3.能初步运用对数运算解决简单问题,提升数学运算和数学建模的核心素养.4.通过探究,认识数学知识的内在联系与相互转化,从发现中体验成功,进一步提高学习和探索兴趣.自主预习1.我们之前是以怎样的研究思路来学习指数运算的?2.指数式a x=N化为对数式是什么?对数式中a的取值范围是什么?N的取值范围是什么?3.计算:log5125= ;lg 100= ;e ln7= ;ln√e= .课堂探究生物死亡后,它机体内原有碳14含量每经过大约6 000年会衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”,研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代,其中半衰次数x)x.与碳14的含量P间的关系为P=(12来计算),一般的放射性探但是,当生物体内的碳14含量低于千分之一时(这里我们按11 024测器就测不到碳14了.众所周知,恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上,那么用碳14同位素法能推断出恐龙化石的年代吗?问题1:(1)经过1次半衰期,碳14的含量会变为原来的多少?3次呢?(2)经过几次半衰期,一般的放射性探测器就测不到碳14了?(3)用碳14同位素法能推断出恐龙化石的年代吗?(一)【回顾经验,明确思路】问题2:借助指数,对于对数,你能提出问题研究的思路吗?(二)【动手操作,形成感知】问题3:以2x=64为例,分析x的值存在吗?若存在,符合条件的x的值有几个?能估计出x的大致范围吗?问题4:结合方程2x=64来思考,x=log264中log264表示什么?问题5:指数式和对数式是等价的,但a,x,N在两个式子中的名称一样吗?问题6:对数log a N中底数和真数的范围分别是什么?(三)【巩固练习,学以致用】例1将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式(其中a>0,a≠1).(1)42=16;(2)log a1=0;(3)log a a=1.例2求值:= ;(3)5log53= .(1)log216= ;(2)log212例3求值:(1)lg 10= ;(2)lg 100= ;(3)lg 0.01= ;(4)ln e5= .(四)【课堂小结,总结升华】通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)布置作业1.阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.课本19页练习A第3,4题.课本19页练习B第1,3题.2.查阅资料,了解更多对数的相关内容以及对数在病毒的繁殖、放射性元素的衰变、噪音的传播等方面的知识.参考答案自主预习,观察对象,发现规律2.log a N=x, a>0,a≠1,N>03.3270.5课堂探究(2)10 (3)不能问题1(1)12问题2明确对象,观察对象,发现规律问题3存在, 1个,能问题4对应指数方程的解问题5一样问题6a>0,a≠1,N>0例1(1)log416=2(2)a0=1(3)a1=a例2(1)4(2)-1(3)3例3(1)1(2)2(3)-2(4)5。

幂函数、指数函数和对数函数

幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数1、函数k x y =〔k 为常数，Q k ∈〕叫做幂函数2、单调性：当k>0时，单调递增；当k<0时，单调递减3、幂函数的图像都经过点〔1，1〕二、指数函数1、xa y =〔0>a 且1≠a 〕叫做指数函数，定义域为R ，x 作为指数2、指数函数的值域：），（∞+03、指数函数的图像都经过点〔0，1〕4、当a>1时，为增函数；当0<a<1时，为减函数5、指数函xa y =数的图像：a>1 0<a<1三、对数1、如果a(a>0,且a ≠－1〕的b 次幂等于N ，即N a b=，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中，a 叫做底数，N 叫做真数2、零与负数没有对数，即N>03、对数恒等式：N aNa =log4、(重点强调〕a>0,且a ≠－1，N>05、常用对数：以十为底的对数，记作lg N6、自然对数：以e 为底的对数，记作in N7、对数的运算性质：如果a>0,a ≠1，M>0,N>0,那么（1）N M MN a a a log log )(log += （2）N M NMa a alog log log -= （3）M n M a n a log log = 8、对数换底公式：)01,01,(log log log >≠>≠>=N b b a o a NNN b a b ，，其中9、指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b四、反函数1、对于函数)(x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应〔即一个x 对应一个y 〕，且满足)(x f y =，这样得到的x 关于y 的函数叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，习惯上，自变量用x 表示，而函数用y 表示，说以把它改写为))((1A x x fy ∈=-函数)(x f y = 反函数)(1x f y -=定义域 D A 值域AD3、函数)(x f y =的图像与反函数)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称五、对数函数1、函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数，是指数函数的反函数2、对数函数的图像都在y 轴的右方3、对数函数的图像都经过点〔1，0〕4、当a,x 范围相同时，y>0；当a,x 范围不同是，y<0,〔范围指的是0<x<1和x>1两个范围〕5、对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图像6、对数函数的定义域：x>07、对数函数的单调性：当a>1时，单调递增；当0<a<1时，单调递减六、简单指数方程指数里含有未知数的方程叫做指数方程1、819252=+-x x（1）将方程化为同底数幂的形式：225992=+-x x2252=+-∴x x 解得：5,021==x x（2）指对互换：281log 2592==+-x x ，解得：5,021==x x2、0155252=-⋅-x x换元法：令)05>=t t x（，则原方程化为01522=--t t ，解得：（舍）3,521-==t t 1,55==∴x x3、11235-+=x x两边同取以十为底的对数，得：1123lg 5lg -+=xx ，3lg )1)(1(5lg )1+-=+∴x x x （0)3lg 3lg 5)(lg 1(=+-+∴x x ，解得：5log 13lg 5lg 113+=+=-=x x 或七、简单对数方程对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程〔解对数方程须检验，真数＞0〕1、化为同底：2)532(log 2)1(=-++x x x2)1(2)1()1(log )532(log +=-+++x x x x x ，532)1(22-+=+x x x062=-+x x ，3,221-==x x经检验，x=2为原方程的解2、换元：1log 325log 225=-x x令t x =25log ，则t x 125log =，所以原方程化为：1312=-t t0232=-+∴t t ，解得32,121=-=t t当1-=t 时，1log 25-=x ，251=∴x当32=t 时，32log 25=x ，3165=∴x经检验，它们都是原方程的根所以原方程的解为321165,32==x x。

高一下册数学(沪教版)知识点归纳(可编辑修改word版)

a 高一数学下册知识点梳理第4 章幂函数、指数函数和对数函数1、内容要目：幂函数的概念及其在(0, +∞) 内的单调性。

对数；反函数；指数函数、对数函数及其性质；简单的指数方程和对数方程。

2、基本要求：掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在(0, +∞) 内的单调性。

会画幂函数的图像，熟练地将指数式与对数式互化。

对数积、商、幂的运算性质，掌握换底公式并会灵活运用，掌握函数与它的反函数在定义域、值域以及图像上的关系。

指数函数与对数函数互为反函数的结论，会解简单的指数方程和对数方程。

3、重难点：幂函数性质的探求及其运用。

对数的意义与运算性质，反函数的概念，指数函数与对数函数的图像和性质（单调性）。

说明：① 幂函数y =x (∈Q ,是常数) 的定义域 D 由常数确定，但总有（0，+∞）⊆D. D不外乎是（0，+∞）, [ 0, +∞) , ( - ∞, 0) ⋃( 0, +∞) , ( - ∞, +∞) 四种。

当D = (-∞, 0) (0, +∞)或D=( - ∞, +∞) 时，幂函数y =x是奇函数或偶函数，因此研究幂函数的性质，主要是研究幂函数在(0, +∞) 上的性质。

当> 0时，y =x在（0，+∞）是增函数；当< 0时，y =x在（0，+∞）上是减函数，幂函数的图像都经过(1,1) 。

②指数函数y =a x(a > 0,且a ≠ 1) 有些同学常会与幂函数y =x (∈Q ,是常数) 混淆。

③换底公式log N =logaN.(其中a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0) ④函数y = f (x) 的定义域是它b log b的反函数y = f -1(x) 的值域；函数y = f (x) 的值域就是它的反函数y = f -1(x) 的定义域。

互为反函数的两个函数的图像关于直线y =x 对称。

⑤ 对数函数y = logax(a > 0,且a ≠ 1) 与指数函数y =a x(a > 0,且a ≠1) 互为反函数。

沪教版(上海)高中数学高一下册第4章幂函数、指数函数和对数函数(下)复习课件

2.指数函数、对数函数
(1)要熟记这二个函数在不同条件下的图象，并能熟练地
由图象“读”出该函数的主要性质；
(2)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x成
轴对称图形。由图可“读”出指数函数和对数函数的主
要性质：
指数函数
对数函数
(1)定义域：R
(1)定义域：R＋
(2)值域：R＋
(2)值域：R
1
3 2
1
3
1
3
1
3 2
2b ＋2a b ＋a
1
3
1
a a－8b 13
3
3
3
＝
×a ×a b ＝a b.
a－8b
1
×
a
1
3
1
3
a －2b
1
3
1
3
×a b
1
3
32
(2)计算：2log32－log3 9 ＋log38－25log53.
32
解原式＝log34－log3 ＋log38－52log53
C.log23＜log32＜log25
D.log23＜log25＜log32
解析由于log31＜log32＜log33，
log22＜log23＜log25，
即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，
所以log32＜log23＜log25.故选A.
1
(2)已知 0＜a＜1，x＝loga 2＋loga 3，y＝ loga5，z＝loga 21
2
－loga 3，则( C )
A.x＞y＞z
B.z＞y＞x
C.y＞x＞z
D.z＞x＞y
解析依题意，得 x＝loga 6，y＝loga 5，z＝loga 7.

高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义

指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。

幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理
函数是高中数学的一个基本而重要的知识点，它的有关概念和理论是研究运动变化着的变量间相互依赖关系的规律的工具。

在高考试题中占有很大的比重。

在高中阶段是运用集合、对应的思想，即"映射"的观点去概括函数的一般定义，深化函数的概念。

函数作为中学数学的重要知识体系，不但其自身内容十分丰富，而且与不等式、数列、三角、复数、解析几何等都紧密相连，因此，要用运动变化，相互联系，相互制约，相互转化的观点和方法去分析问题和解决问题。

此外，还应重视数形结合，分类讨论，等价转化（包括变形，换元等）等重要的思想方法的运用，加强函数与各部分知识间的联系，加强综合运用知识和方法的能力，在函数复习中应给予高度的.现将有关知识点作如下归纳，供复习参考.
1．幂函数
(1)定义形如y=xα的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形
2．指数函数和对数函数
(1)定义
指数函数，y=a x(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．
对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)．
指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数．
(2)指数函数y=a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．
(3)指数方程和对数方程
指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．。

新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数1.2指数函数的性质与图像课件新人教B版必修第二册

4
∴2x= 1 ,解得x=-2.
4
2.(☆)解下列不等式.
(1)
1 2
3
x 1
≤2;
(2) ax2 3x1< ax2 6(a>0,且a≠1).
解析
(1)∵2=
2
≤ 3x-1
1 2
-1.
∵y=
1 2
x
在R上是减函数,
∴3x-1≥-1,解得x≥0,
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。 1.函数y=2x+1是指数函数. ( ✕ ) 提示:因为指数x+1不是自变量,所以函数y=2x+1不是指数函数.
2.若指数函数f(x)=(2a+1)x在定义域上是增函数,则实数a的取值范围为(0,+∞).
(√)
提示:由题意可知2a+1>1,解得a>0.
拔高问题 3.求与指数函数有关的复合函数的值域时要注意什么? 提示:要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合,同时注意指数函数的值域为(0,+∞),求解时要准确运用指数函数的单调性.
1.(☆)(1)函数f(x)= A.(-3,0]
1+ 2x 的1定义域为 ( A )
x3
B.(-3,1]
问题 1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的函数关系式是什么? 提示:y=2x+1. 2.上述求出的函数关系式中,x的范围是什么?值域是什么? 提示:x∈N*;值域是{22,23,24,…}.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0且a≠1): (1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同; (2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域; (3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,得到y=f(ax)的定义域; (4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围, 再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.

新教材高中数学第四章幂函数指数函数和对数函数42指数函数421指数爆炸和指数衰减课件湘教版必修第一册

指数爆炸和指数衰减
新知初探课前预习
题型探究课堂解透
新知初探课前预习
最新课程标准
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义． 2．理解指数函数的概念． 3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
学科核心素养 1.理解指数函数的概念．(数学抽象) 2．会求指数函数的解析式．(数学运算) 3．掌握不同底数指数函数、图象间的关系．(逻辑推理、直观想象) 4．能利用指数函数的图象和性质，解决简单的图象问题、比较大小、单调性、奇偶性、值域等相关问题．(逻辑推理、数学运算)
跟踪训练3 某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y 表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A．640 B．1 280 C．2 560 D．5 120
答案：B
课堂十分钟
1．已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b＝( ) A．不确定 B．0 C．1 D．2
4．若函数y＝－ax(其中a＞0且a≠1)的图象经过点(2，－16)，则a＝ _____4___．
解析：因为当x＝2时，y＝－16，所以－16＝－a2，解得a＝±4，因为a>0，所以a＝4.
要点二指数爆炸 (1)当底数a＞1时，指数函数值随自变量的增长而增大，__底__数__a__较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． (2)把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u＋T]中，指数函数 y＝ax(a＞1)的值从au增长到au＋T，增长率为(au＋T－au)÷au＝aT－1，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长．

高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数11有理数指数幂12无理数指数幂课件必修第一册

( )n=a.
2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取

值范围,即确定中 a 的正负,再结合 n 的奇偶性给出正确结果.
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?
(2)该例中的(2),若x>3呢?
解由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
)
探究二
根式的化简(求值)
例2求下列各式的值:
5
6
(1)( a-b) +( -)6(b>a);
5
(2) 2 -2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3<x<3).
解 (1)原式=a-b+b-a=0.
(2)原式= (-1)2 − ( + 3)2 =|x-1|-|x+3|.
∵-3<x<3,
5
6
3+1 1- 3
)
-1
;
1
4
0
7
-0.75
3 -3
2
+(2
)
+16
+|-0.01|
;
8
(7)( 2-1)π-1·( 2-1)1-π;
(8)( 3
3 -1
5
.
解 (1)
125
27
(2)0.008
(3)
2
3
2
3
-
81
2 401
2
=
53 3
33
=
5 -2
3 -2
=
32

高一数学(幂函数、指数函数和对数函数(下)章节复习)

设()41343y y f x x x -=+=+⇒= 故()1f x +的反函数为43x y -=【点拨】在做第二题时，不能把“()1f x +的反函数”理解为“()11f x -+”，后者是指()f x 的反函数()1f x -，作用于对象1x +，即()1f x -在1x +处的函数值。

专题二：数形结合思想数形结合即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图像，并利用图形的特征和规律解决数的问题；或将图像信息部分或全部转化为代数信息，消弱或消除形的推理部分，使要解决的行的问题转化为数量关系的讨论，数形结合的主要特点是数形互化。

如：数⇒形⇒问题的解决；或形⇒数⇒问题的解决；或数⇒形⇒数⇒问题的解决；或形⇒数⇒形⇒问题的解决等。

例4、已知log 5log 5m n >，试确定m 和n 的大小关系。

【解】分三种情况。

令12log 5,log 5m n y y == （1）当log 50,log 50m n >>时，如图①有1m n << （2）当0log 5log 5m n >>时，如图②有01m n <<< （3）当log 50log 5m n >>时，如图③有01n m <<<专题三：分类讨论思想当问题含糊不清，无法说清楚时，解决矛盾的法宝是分类讨论，分类讨论的原则是：（1）分类应当不重不漏；（2）一次分类只能按确定的同一标准进行。

例5、根据条件，确定字母a 的取值范围：（1）()2log 1a y x ax =++的定义域为R（2）函数()()log 24a f x x x =≤≤的最大值比最小值大2.【解】（1）()2log 1a y x ax =++的定义域为R ，则210x ax ++>对一切x R ∈恒成立，即函数()21f x x ax =++的图像恒在x 轴上方。