高中新课标数学必修一幂函数
幂函数知识点高一必修一
幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。
在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。
本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。
一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。
当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。
二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。
2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。
4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。
三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。
1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。
2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。
3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。
4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。
5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。
综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。
四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。
高中数学幂函数-新课标-人教版-必修1(A)精品PPT课件
奇偶性
x∈[0,+∞]
增增 增 增
单调性 x∈[-∞,0]
减
x∈[0,+∞]
减
x∈[-∞,0]
减
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
定 点
(0,0) (0,0) (0,0)
(0,0)
(1,1)
图 link link link link link 象 Back
幂函数的应用
例2 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数.
所以
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
y=x
y=x2
y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇 非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
x∈［0，+∞）时,增 x∈（-∞，0]时，减
增
增
x∈[0，+∞）时，减 x∈（-∞，0]时，减
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0]上是减函数
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
幂函数的应用
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0， +∞）,且x1< x2 则x1/ x2<1
练习： 已知幂函数的图象过点(2, 2 ) ,试求出此函数的
2.3幂函数课件-人教版高中数学必修一
（5） y
1 3x
（6）y x2
（7）y 2x （8）y xx
思考：幂函数y x 与指数函数y a x
有何区分？
例2.已知函数 f x m2 m 5 xm1 是幂函
数，求m 的值
• 解：根据幂函数的定义得
m2 m 5 1
• 得m=3或m=-2
思考：幂函数 y xa与指数函数 y ax 有
幂函数的性质总结：
课本P112
α>1
yy
y=x3
y=x2
y=x (3) 如果α>0，则幂函数
0<α<1
y=x1/2
图象过(0,0)和（1，1）， 并且在区间[0,+∞)上是
增函数；
1
x
O1
（4）当α>1时，若0<x<1,则图像在y=x的下方，
若x>1,则图像在y=x的下方;
当0<α<1时，若0<x<1,则图像在y=x的上方，
y
x 叫作（α次的）幂函
数，其中x为自变量，α是常数.
说明：幂函数 y x 要满足三个特征： (1)幂x前系数为 1； (2)底数只能是自变量 x, 指数是常数； (3)项数只有一项；
典例展示
例1 判断下列函数哪些是幂函数？
（1）y x4
3
（4）y x 4
（2）y x2 1 （3）y 3x2
幂函数的性质
y=x y=x2 y=x-1
1
y x 2 y=x3
y=x-2
图像
定义域 Ｒ
1 -
1
Ｒ
1 1
{x|x≠0}
1 1
[0,+∞)1Fra bibliotek1Ｒ1
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点
高中数学-必修一4.1幂函数-知识点1、幂函数：y=x a（a是定值）.特征：①系数为1 ，且
只有1 项，②指数为常数，底数为自变量。
2、幂函数的图像，掌握两步法作图。
第一步：画出幂函数在第一象限的图像,如右图所示；
第二步：根据函数的奇偶性来确定剩余部分图像，需分类讨论：（1）当a是整数时
①若a是奇数②若a是偶数
y是奇函数，图像关于原点对称，另一半在第三象限。
y是偶函数，图像关于y轴对称，另一半在第二象限。
（2）当a是分数时，假定a=n/m（n/m是最简分数）
①n和m都是奇数②n是偶数，m是奇数③n是奇数，m是偶数
y是奇函数,图像关于原点对称,另一半在第三象限. y是偶函数,图像关于y轴
对称,另一半在第二象限.
x＜0时函数无意义,y是非奇
非偶函数,y轴左侧无图像.
3、幂函数的性质
（1）必过点必过点（1,1）；若a＞0，还必过（0,0）。
（2）单调性
①a＞0时，在第一象限严格增。
②a＜0时，在第一象限严格减。
（3）平移的规律左加右减，上加下减。
（4）定义域a＜0时,x不能取0，a为分数且分母是偶数时,x不能取负。
（5）值域(0，+∞)必取，0和(-∞，0)是否能取可结合图像来判断。
4、不同幂函数的指数大小的判断：在（0,1）上，指大图低（指数越大，图像越靠近x轴）；在（1，+∞）时，指大图高（指数越大，图像越远离x轴）。
5、比较幂函数值大小的方法：指数相同，底数不同，根据增减性去比较。
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高中数学必修一幂函数Microsoft Word 文档
姓名___________ 2011年____月____日 第____课时§2.3幂函数一， 相关知识回顾：我们曾经学过的函数：y=1x,(y=1x -),y=12x ),y=x,y=2x ,y=3x ,这些函数虽然定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图象等都不进相同，但它们都有一个共同的特点：自变量均在底数的位置之上。
可以用一个共同的表达方式：y= a x (a ∈R) 二．幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= a x (a ∈R)的函数称为幂函数，其中a 为常数。
（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m ax,y=()a m x ,y=a x +m,y=()a x m +等均不是幂函数；②不要把指数函数和幂函数混淆起来；③（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；五．例题详解：1．（www.jiaocai quanjieP203）已知函数f(x)=( 2m +2m)∙21m m x +-,m 为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数2．(www.wanghouxiongP87)函数f(x)=( 2m-m-1)∙23mm x +-是幂函数，且当x ∈（0, +∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式3．(www.wanghouxiongP87) 数形结合的数学思想2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，14）在幂函数g(x)的图像上。
高一必修一幂函数的知识点
高一必修一幂函数的知识点高一必修一：幂函数的知识点高一数学课程中，幂函数是一个重要的学习内容。
幂函数是一种常见的函数形式，在生活和工作中有广泛的应用。
幂函数的研究是数学中的重要课题，掌握了幂函数的知识，对于理解数学的其他分支，如微积分等，具有重要的意义。
本文将重点介绍高一必修一中幂函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用幂函数。
一、幂函数的定义和性质幂函数是形如y = ax^n (a ≠ 0, n为整数)的函数，其中a称为底数，n称为指数。
幂函数的图象一般呈现出曲线的形式，其性质包括：1. 定义域和值域：当指数n为正整数时，定义域为全体实数集，值域为(0, +∞)；当指数n为负整数时，定义域为非零实数集，值域为(0, +∞)与(-∞, 0)的并集，并具有一至多个零点；当指数n为零时，定义域为整个实数集，值域为{1}。
2. 奇偶性：当指数n为奇数时，幂函数关于y轴对称；当指数n为偶数时，幂函数关于原点对称。
3. 单调性：当指数n为正数时，幂函数在整个定义域上是递增的；当指数n为负数时，幂函数在定义域的两侧是递减的。
4. 极限性质：当x无限趋近于正无穷时，幂函数的值也趋近于正无穷；当x无限趋近于负无穷时，幂函数的值的符号取决于指数的奇偶性。
二、幂函数与图像的关系幂函数的图像是通过对幂函数的底数进行相同倍数的拉伸或压缩得到的。
具体来说，我们可以通过以下几个方面了解幂函数与图像的关系。
1. 底数a的变化对图像的影响：当底数a大于1时，幂函数的图像被压缩，曲线变得更陡峭；当底数a小于1时，幂函数的图像被拉伸，曲线变得更平缓。
2. 指数n的变化对图像的影响：当指数n为正数时，幂函数的图像在y轴上方增长，形成上升的曲线；当指数n为负数时，幂函数的图像在y轴下方增长，形成下降的曲线。
3. 圆形与直线的比较：幂函数的图像与圆的曲线相似，但在其特定区间内，幂函数的图像会出现与直线相切的情况，这时幂函数的曲线呈现出直线的性质。
高中数学必修一 幂函数
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必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
课堂小结 拓展提升 幂函数图象的特征 当α＝1时，y＝x的图象是一条直线； 当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包含点(0，1)的直线； 当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表．
30
α＝pq p，q 都 是奇数
象限内的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断．
20
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
跟踪训练
1.已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系 为( A )
A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知， 当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上可知c<b<a.
19
必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课时规范训练
反思感悟
解决幂函数图象问题应把握的原则
(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指
数越大，幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指
数越大，幂函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一
解析：因为 y＝x65为 R 上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数 y＝x65为[0， ＋∞)上的增函数，且 0.31<0.35，
所以 0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565. 答案：(－0.31)65<0.3565
高一数学必修一幂函数定义、图象和性质的知识点总结
1幂函数一、幂函数定义及解析式特点1.定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数。
2.解析式特点：①系数为1；②底为自变量；③指数为常数。
3.幂函数的指数除了可以取整数外，还可以取其他实数。
二、幂函数的图象1.幂函数主要以11,2,3,,12α=-为代表，来研究掌握0α<,01α<<,1α>时的大致图象和图象的性质。
2.在同一坐标系中画出y x =,2y x =,3y x =,12y x =,1y x -=的图象，如下图：三、幂函数图象特点1.根据幂函数y x α=的图象可得到以下结论：（1）幂函数在()0,+∞都有定义，且都过()1,1点，不一定过()0,0点。
（2）幂函数都过第一象限，不过第四象限；（3）当0α>时，在第一象限都是增函数；当0α<时在第一象限都是减函数。
2.（1）当0α<时，幂函数在第一象限是减函数，且和1y x=在第一象限的图象 大致相同；（2）当0α>时，函数在第一象限是增函数，且在第一象限的大致图象的特点可细分为两种情况：①01α<<时,幂函数的图象在第一象限“趴着增”,且在()0,1内，图象在直线y x =的上方增,在()1,+∞图象在直线y x =的下方增。
②1α>时,幂函数的图象在第一象限“竖着增”,且在()0,1内,图象在直线y x =的下方增，在()1,+∞图象在直线y x =的上方增。
四、幂函数的作图技巧画幂函数y x α=的图象，可按以下步骤进行。
第一步，根据解析式求定义域； 第二步，根据幂函数在第一象限的特点画出第一象限的图象；第三步，根据函数的奇偶性，结合函数的定义域画出其他部分的图象。
五、幂函数定义域的解法技巧幂函数y x α=的定义域由幂指数α决定。
1.当N α+∈时，定义域为R 。
2.当0α=或α取负整数时，定义域为()(),00,-∞+∞。
3.当α为最简分数时，要把幂函数解析式化成根式形式后，再求定义域。
高一数学必修一幂函数及基本初等函数综合
幂函数及基本初等函数综合教学目标1、掌握幂函数的概念及图形特征；2、熟悉函数图象与性质的应用。
知识梳理1、幂函数的概念一般地，我们把形如a xy=的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。
注意：（1)幂函数a xaay x且中，底数是y=的底数是自变量，指数是常数与指数函数)1=a,0(≠>常数，指数是自变量。
（2）只有形如a xy a+=（a是不为y=的函数才是幂函数，否则不是。
例如：axy=，aaxy=0，1的常数）。
a xy=中的a是任意实数。
（3）幂函数a xy=的定义域由a决定。
（4）幂函数a x2、幂函数的图像3、幂函数作图技巧y=在第一象限内的图像；（1）作出幂函数a xy=的定义域，左边是否有图像；（2）判断幂函数a x（3）若左边有图像，判断奇偶性，作出左边图像。
4、基本初等函数的综合应用知识点1：幂函数的概念【例1】下列函数中不是幂函数的是【 】x y = B.3x y = C.x y 22= D.1-=x y【例2】函数112)22(--+=m xm m y 是幂函数，则m =________。
【随堂练习】1、下面的函数中是幂函数的是___________。
① 22+=x y ； ②21x y = ； ③32x y =； ④43xy =； ⑤131+=x y ．2、已知)32().22(1122-+-+=-n x m m y m 是幂函数，求m 、n 的值。
知识点2：幂函数的解析式【例1】已知幂函数)(x f y =的图象过点)22,2(，则=)(x f ________。
【例2】如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2，则(4)f 的值等于【 】 A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【例3】已知幂函数αkx x f =)(),(R R k ∈∈α的图像过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭，则k α+=【 】 A ．12 B ．1 C ．32D ．2【随堂练习】1、若幂函数)(x f 的图像经过点)22,2(,则=)9(f ______。
高中新教材高一数学必修第一册幂函数
y＝x－1
定义域 值域 奇偶性 单调性
(－∞，0)∪(0，＋
R
R
R [0，＋∞)
∞)
(－∞，0)∪(0，＋
R
[0，＋∞)
R [0，＋∞)
∞)
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
x∈_[_0_，__＋__∞__)时， 增 增；x∈(_－____∞___，___0__]__ 增
x∈(0，＋∞)时， 增 减；x∈(_－__∞__，__0_)
时，减
时，减
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
幂函数的图象
[例1] 幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的
图象是
()
[方法技巧]
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出
现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数
的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
[方法技巧] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因 此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分 类讨论．
(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减 (单调递增)，则A⊆－∞，－2baA⊆－2ba，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)．
a＋1＜3－2a，
解得－1≤a＜23.
答案：－1，23
基础联通
突破点(二) 二次函数
抓主干知识的“源”与“流”
1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ，图象的对称轴是x＝
－2ba，顶点坐标是－2ba，4ac4－a b2； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ，图象的对称轴是x
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
•
所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
39
幂函数 图象
定义域
y＝x R
y＝x2 R
y＝x3 R
3
知识点聚焦：
二、幂函数的图象与性质
4
知识点聚焦：
5
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
探究一 幂函数的概念
• 【例】函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式．
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•
3
(1)y＝x5 ；
2
(2)y＝x5 ；
8
(3)y＝x5 ；
(4)y＝x−45.
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13
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解析：
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解析：
15
解析：
16
解析：
17
方法归纳：
• 作幂函数f(x)＝xα图象的步骤： • (1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性，并作出f(x)在(0，＋∞)上的简图， •
7
幂函数人教版高中数学必修一PPT课件
方法归纳：
• (1)判断幂函数的依据： • 形如y＝xα的函数叫幂函数，它具有三个特点： • ①系数为1. ②指数为一常数(也可以为0)．③后面不加任何项． • (2)幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的区别：
函数名称 幂函数 指数函数
函数解析式 y＝xα
• (2)把f(x)＝xα转化为无理根式，确定定义域． • (3)若f(x)的定义域不关于原点对称，则f(x)是非奇非偶函数，若f(x)的定义域关于原
高中数学人教版必修一 3.5幂函数的定义和性质(共19张PPT)
奇偶性 奇
偶 奇 非奇非偶 奇
单调性
↗
［0，+∞)↗
(－ ∞，0) ↘
↗
(0，+∞) ↘ ↗ (－ ∞,0)↘
公共点
(1,1) (0,0)
(1)所有的幂函数y x 均在(0, )上有定义， 过 公 共 点(1, 1)
(2)当 0时，y x的图象过原点(0, 0)， 当 0时，y x的图象不过原点；
【解析】(1)若 f(x)为正比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 1， ⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 －1， ⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 2，
⇒m＝－1±2
13 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
y y x3
x
O
二、基础知识讲解
y
1
y x2
x
012
3
0 x0.5 1 1.414 1.732
x 456
x0.5 2 2.236 2.45
1
y x2
x
定义域：__[_0_,____)_____ 值 域：__[_0_,____)_____
奇偶性： 既__不__是__奇__函___数__也 不 是 偶 函 数
二、基础知识讲解
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
(1) y x
1
(4) y x 2
(2) y x2 (5) y x1
(3) y x3
二、基础知识讲解
y
yx
O
定义域：____R________ 值 域：____R________ 奇偶性：___奇__函__数_________ 单调性：__在__R__上__是__增___函__数__
高中数学必修一 幂函数
幂函数（一）3 .幂函数的性质．例1：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
（1）3x y = （2）21x y = （3）2-=x y （４）32-=xy例５：已知1222)()(--+=m m x m m x f ，当m 取什么值时， （1）)(x f 为正比例函数；（2）)(x f 为反比例函数；（3）)(x f 为幂函数。
２.已知幂函数y=f(x)的图象经过（3，33），则f(x)=３.下列函数图象中,表示函数31-=x y 的是（ ）[归纳反思]１.关于指数式值的比较，主要有：①同底异指，用指数函数单调性比较②异底同指，用幂函数单调性比较③异底异指，构造中间量（同底或同指）进行比较２.性质：对于幂函数a x y =：①当a>0时，图象经过点（１，１）和（０，０），在第一象限内是增函数.②当a ＜0时，图象经过点（１，１），在第一象限内是减函数，并且图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近.[巩固提高]1.在下列函数中，定义域为R 的是（ ） A 3x y = B 3x y = C x y 2= D 1-=x y2.下面给出了5个函数○112+=x y ○21-=x y ○322x y =○432-=xy ○5131+=x y ，其中是幂函数的是（ ）A ○1○5B ○1○2○3C ○2○3D ○2○3○59.幂函数的图象过点( 2 , 41),则它的单调递增区间是 2.4 幂函数（二）[自学目标]. 进一步理解幂函数的定义、图象和性质，能熟练的运用幂函数的定义、图象和性质解决有关问题[知识要点]1幂函数的单调性2幂函数的图象例3: 已知2222)1()(----=m m xm m x f 是幂函数，且当∈x ),0(+∞时是减函数，求实数及相应的幂函数。
例4：已知函数42215x x y --= 求函数的定义域，值域；判断函数的奇偶性；求函数的单调区间。
7. 将下列各组数按从大到小顺序排列 (1)51)75(-,31)43(-,1)56( (2)122)2(,)4.0(,)3.1(--8. 下列关于幂函数的命题中不正确的是( )A 幂函数的图象都经过点(1,1)B 幂函数的图象不可能在第四象限内C 当nxy=的图象经过原点时,一定有n>0D 若nxy=（n<0）是奇函数,则n xy=在其定义域内一定是减函数。
高中数学必修一 简单的幂函数
第6课时 简单的幂函数一 幂函数的概念 如果一个函数底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数. 二 幂函数的图像与性质作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 2；(3)y ＝x 3；(4)y ＝12x ；(5)y ＝x－1的图像.y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝12x y ＝x －1 定义域 值域单调性 奇偶性总结 根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点 ；(2)α>0时，幂函数的图像通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；(3) 时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1).其中幂函数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知y ＝22222()m m m x －＋－＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于例2 (1)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图像，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34B.－2，34，43C.－2，43，34D.34，43，－2 (2)下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图像正确的是( )例3 设函数f (x )＝23x ，若f (a )＞f (b )，则( ) A.a 2＞b 2 B.a 2＜b 2 C.a ＜b D.a ＞b 跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1；课后作业1.下列幂函数中，定义域不是R 的是( )A.y ＝xB.y ＝32xC.y ＝25xD.y ＝35x2.已知幂函数f (x )的图像过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝______________.3.若幂函数f (x )＝2223()1m m m m x －－－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 4.下列函数中是幂函数的是( )A.y ＝x 4＋x 2B.y ＝10xC.y ＝1x3 D.y ＝x ＋15.已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是减函数，则m 的值为( ) A.－3 B.2 C.－3或2 D.36.已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 7.在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图像可能是( )8.如果1122(+4)(32)m m ---＜，则m 的取值范围是________.。
高中数学必修一课件 3.3 幂 函 数
2，
则 k＋α＝
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：∵幂函数 f(x)＝kxα(k∈R ，α∈R )的图象过点12，
2，
∴k＝1，f 12＝12α＝ 2，即 α＝－12，∴k＋α＝12. 答案：A
3．若 y＝ax a2＋12 是幂函数，则该函数的值域是________． 解析：由已知 y＝ax a2＋12 是幂函数，得 a＝1，所以
A．y＝x＋2
B．y＝x2
C．y＝ x
D．y＝x3
解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2 时，y＝4，
故 2α＝4，即 α＝2.
答案：B
知识点二 五个幂函数的图象与性质 (一)教材梳理填空
解析式 y＝x
y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
图象
y＝1x
定义域 _R__
_R__
__R_ _[0_，___＋__∞__) {_x_|_x_≠__0_}
[精准训练]
1．下列不等式在 a＜b＜0 的条件下不能成立的是 ( )
A．a－1＞b－1
1
1
B．a 3 ＜b 3
C．b2＜a2
-2
-2
D．a 3 ＞b 3
解析：分别构造函数
y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x2，y＝x -
2 3
，其
中函数 y＝x－1，y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，故 A、C
成立．而
2．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则 a＝(
)
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a －1＝1，所以 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1. 答案：C
高中数学必修一课件：幂函数
要点1 幂函数的概念
一般地，函数____y_＝_x_α_____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
要点2 五个幂函数的图象与性质 1
(1)在同一平面直角坐标系内，函数①y＝x；②y＝x 2 ；③y＝x2；④y＝x－1； ⑤y＝x3的图象如图．
(2)五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
(2)幂函ห้องสมุดไป่ตู้y＝x2，y＝x－1，y＝x
1 3
y＝x－
1 2
在第一象限内的图象依次是图中的曲
线( D )
A．C1，C2，C3，C4 B．C1，C4，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3 【解析】 由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到 下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象
1 2
，则α＝－1，f(x)＝x－1，所以函数f(x)的单调递减区间
是(－∞，0)，(0，＋∞)．
6．已知a＝413，b＝1212，c＝(－8)13，则a，b，c的大小关系为__c_<_b_<_a __． 解析 413>113＝1，0<1212<112＝1，(－8)13<0，所以c<b<a.
1
解析 ∵y＝f(x)和y＝－f(x)的单调性相反，y＝x 2 －1在[0，＋∞)上单调递 增，∴对称后的函数在[0，＋∞)上单调递减．故选B.
4．下列函数既是偶函数又是幂函数的是( B )
A．y＝x
2
B．y＝x3
1
C．y＝x2
D．y＝|x|
解析 对于A，函数是奇函数，不合题意；对于B，函数是偶函数且是幂函
人教版高一数学必修一第二章2.3《幂函数》(共17张PPT)
m2 m 11 m2 m 2 0 (m 2)(m 1) 0 m 2, m 1
幂函数与指数函数的对比
式子
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= x a
a
底数 指数
名称
x
指数
底数
y
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看自变量x是指数还是底数
指数函数
幂函数
怎样研究幂函数？
“两个N1”o：系数为１，只有１项．
2、定义Im域与agαe的值有关系.
例1
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y=x4
(4) y 2x
(2) y=2x2
(5) y x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
例 2： m为何值时，函数
f ( x) (m 2 m 1) x3
是幂函数?
解：由题意得：
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年8月4日星期 三下午7时41分 53秒19:41:5321.8.4
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年8月下午 7时41分21.8.419:41A ugust 4, 2021
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021年8月4日 星期三7时41分 53秒19:41:534 August 2021
（1） 5.20.8 与 5.30.8
（2）
2
2.5 5
与
2.7
2 5
例4、证明幂函数 f (x) x在 [0,) 上是增函数。
方法技巧:分子有理化
内容小结：
1、幂函数的定义；
2、幂函数的图像和性质；
高中数学必修一-幂函数的定义及图象
幂函数的定义及图象知识集结知识元定义的形式知识讲解幂函数的定义一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例题精讲定义的形式例1.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（8，），则f（）的值为（）A．3B．C．4D．例2.下列函数中是幂函数的是（）A．y=3x3B．y=（x﹣1）2C．y=﹣D．y=xπ﹣1例3.下列函数中是幂函数的是（）A．y=3x3B．y=（x﹣1）2C．y=﹣D．y=xπ﹣1幂函数形式的简单应用知识讲解幂函数的定义一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例题精讲幂函数形式的简单应用例1.若幂函数y=f（x）的图象过点，则f（x）在定义域内（）A．有最小值B．有最大值C．为减函数D．为增函数例2.已知函数f（x）=log a（x-+1）+2（a>0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g （x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．例3.已知y=（m2+m-5）x m是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则m的值为（）A．-3B．2C．-3或2D．3备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知点（，27）在幂函数f（x）=（t-2）x a的图象上，则t+a=（）A．-1B．0C．1D．2例2.若幂函数的图象经过点（2，），则其解析式为（）A．y=（）x B．y=2x C．y=x-2D．y=x2例3.若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）=（）A．a B．-a C．±a D．|a|例4.已知a>0且a≠1函数的图象恒过定点P，若点P在幂函数y=f（x）的图象上，则f（8）=（）A．B．2C．D．4例5.已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（3，5），且a=（）α，b=，c=logα，则a，b，c 的大小关系为（）A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a例6.已知点（m，9）在幂函数f（x）=（m-2）x n的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）A．a<c<b B．b<c<aC．c<a<b D．b<a<c例7.幂函数在（0，+∞）上单调递增，则m的值为（）A．2B．3C．4D．2或4作图知识讲解幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲作图例1.如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n 取2，3，，﹣1四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为．例2.'.画出更多的图象，如①；②；③'例3.如图给出了四个函数y=x a ，y=x b ，y=x c ，y=x d 的图象，则a，b，c，d 的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＜b＜c＜d C．D．图像的简单应用知识讲解幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲图像的简单应用例1.已知幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1），且当x＞0时，y是减函数，则m的值为．例2.若幂函数y=（m2+3m﹣17）的图象不过原点，则m的值为．例3.'已知幂函数f（x）的图象经过点（3，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的图象”的题目补充.例题精讲备选题库例1.如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=的图象是（）A．①B．②C．③D．④例2.已知幂函数f（x）过点（27，9），则f（x）的奇偶性为（）A．既不是奇函数又不是偶函数B．既是奇函数又是偶函数C．奇函数D．偶函数例3.幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（x）的图象是（）A．B．C．D．例4.设a∈{-1，1，2，3}，则使函数y=x a的值域为R且为奇函数的所有a值为（）A．1，3B．-1，1C．-1，3D．-1，1，3例5.已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数例6.如图是①y=x a；②y=x b；③y=x c，在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a<b<cC．b<c<a D．a<c<b例7.设α∈，则使函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A．1，3B．-1，1，2C．，1，3D．-1，1，3幂函数性质及与其它函数的综合知识讲解一、幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；二、幂函数的性质幂函数的一般结论：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点____________；（2）如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲幂函数性质及与其它函数的综合例1.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，），则它的单调增区间为（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，+∞）例2.函数y=|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．例3.若幂函数f（x）=x m﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（）A．m＞1B．m＜1C．m=1D．不能确定幂函数性质的综合运用知识讲解一、幂函数图象步骤：1．定义域；2．判断函数在单调性；3．画出第一象限图象；4．根据奇偶性补出剩余图象；二、幂函数的性质幂函数的一般结论：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点____________；（2）如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．例1.请利用函数的三要素，函数的性质画出幂函数的图象：.【答案】【解析】作图后注意总结性质练习1..画函数的图象.【答案】【解析】（1），函数的定义域为．（2），函数在第一象限单调递增．（3）判断知函数为偶函数，故而其图象关于轴对称，根据对称性补出其在第二象限的图象．练习2.画出更多的图象，如①；②；③【答案】例题精讲幂函数性质的综合运用例1.如图，曲线C1与C2分别是函数y=x m和y=x n在第一象限内图象，则下列结论正确的是（）A．n＜m＜0B．m＜n＜0C．n＞m＞0D．m＞n＞0例2.函数y=的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）例3.'[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1）．已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数，g（x）=loga（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）在区间（2，3）上为增函数，求实数a的取值范围．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“幂函数的性质”的题目补充.例题精讲备选题库例1.幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或-1B．-1C．2D．-2或1例2.若，则实数m的取值范围是（）A．（-∞，]B．[，+∞）C．（-1，2）D．[，2）例3.已知幂函数的f（x）=x a图象过点（2，），则f（x）的单调递增区间是（）A．（-∞，1）B．（-∞，0）C．（0，+∞）D．（-∞，+∞）例4.已知幂函数f（x）=，若f（a+1）<f（10-2a），则a的取值范围是（）A．（0，5）B．（5，+∞）C．（-1，3）D．（3，5）例5.已知a=，b=，，则（）A．b<c<a B．a<b<cC．b<a<c D．c<a<b例6.下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（）A．y=x5B．y=5xC．y=log2x D．y=x-1例7.已知a=，b=，c=2.，则（）A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b例8.设α∈{-3，-2，-1，-，，1，2，3}，则使y=xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1B．2C．3D．4当堂练习单选题练习1.已知点（2，8）在幂函数f（x）=x n图象上，设a=f（（）0.5），b=f（20.2），c=f（log2），则a，b，c的大小关系为（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>b>a D．b>c>a练习2.已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在（0，+∞）上单调递增B．偶函数且在（0，+∞）上单调递减C．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增D．非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递减已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α的值为（）A．B．-C．D．-练习4.幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则f（）=（）A．B．C．D．2练习5.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则f（8）的值为（）A．B．C．2D．8填空题练习1.若幂函数y=（k-2）x m-1（k，m∈R）的图象过点（），则k+m=___．练习2.已知幂函数f（x）=xα（0<α<1）满足，则f（4）=___．练习3.若点P（2，4），Q（3，y0）均在幂函数y=f（x）的图象上，则实数y0=___．练习4.若f（x）=（m-1）2x m是幂函数且在（0，+∞）单调递增，则实数m=___．练习5.若f（x）为幂函数，且满足，则f（3）=___．练习1.'已知幂函数f（x）的图象经过点（3，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．'练习2.'已知幂函数f（x）的图象过（-，2），一次函数g（x）的图象过A（-1，1），B（3，9）．（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；（Ⅱ）当x为何值时，①f（x）>g（x）；②f（x）=g（x）；③f（x）<g（x）．'练习3.'已知函数f（x）是幂函数，其图象过点（2，8），定义在R上的函数y=F（x）是奇函数，当x>0时，F（x）=f（x）+1，（1）求幂函数f（x）的解析式；（2）求F（x）在R上的解析式．'练习4.'（1）已知幂函数f（x）=（-2m2+m+2）x-2m+1为偶函数，求函数f（x）的解析式；（2）已知x+x-1=3（x>1），求x2-x-2的值．'。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件3：3.3 幂 函 数
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴 简记为指大图低 ；在 (1，＋∞) 上，指数越 大，幂函数图象越远离 x 轴 简记为指大图高 . (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限 内的图象 类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3 来判断.
跟踪训练
2.(1)若四个幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在同
一坐标系中的图象如图，则 a，b，c，d 的大小关系
是( )
A．d>c>．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(2)函数 y＝x12－1 的图象关于 x 轴对称的图象大致是( )
A
B
C
D
解析： (1)令 a＝2，b＝21，c＝－31，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合． 在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大， 所以 a>b>c>d.故选 B. (2)y＝x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的， 函数 y＝x12－1 的图象可看作由 y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项 A 中的图所示)，将 y＝x12－1 的图象关于 x 轴对称后即为选项 B. 答案：(1)B (2)B
3.3 幂函数
学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重
1.结合幂函数的图
点、易混点)
象，培养直观想象
2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
的数学素养． 2．借助幂函数的
象，掌握它们的性质．(重点、难点)
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高中新课标数学必修一2.3幕函数知识梳理一.定义一般地，函数y = √z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数.典例解析题型一:幕函数的概念例1 •有下列函数(Dy = √x;(2)y = X°；(3)y = 2"; (4)y = x",J (5)y = 3x2; (6) y = X2 +1; ⑺y = _丄.X貝中，是幕函数的有__________________ （只填序号）•规律方法：⑴理解幕函数y = X a的概念应注意以下几点:①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且α e R;③系数为1・⑵幕函数与指数函数的区别：指数函数y=a x-自变量（全体实数）I一底数（大于O且不等于1）幕函数y=Λ*" --------- 常数〔只研究α=l,2,3，―）・1）I一自变量（与α的取值有关）例2•已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3 ,加为何值时,f（x）：⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0, + s）上的增函数：⑶是正比例函数;⑷是反比例函数；⑸是二次函数.规律方法：本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函^y = kx （k≠0）t②反比例函^y =-（k≠0）t③二次函数y = ^2+^v + c（^≠0）;④幕函数y = xα（α是常数）•题型二：幕函数的图象例3•如图所示的曲线是y = Λ"在第一象限的图象，已知αj∙4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的4 4 「值依次为（）4 1 IA. —4 , ——，一4・B. 4 ,-4 4 4C. 一丄.-4,4. 1•D. 4 ,丄4 4 432例4•给泄一组函数解析式: (l)y = F; (2)y = x j;⑺y = √和一组函数图象，请把图象对应的解析式号码填在图象下而的括号里.3规律方法:1•農函数的指数与图象特征的关系:当a ≠ 0,1时爲函数y =屮在第一象限的图象特征:α取值a>∖ OVaVl a<0y1/r ,图象1 y I AO1X_VLA ___________ ——k ―≡ ►a 1 X σ∖ ∖ X 特殊点 过(0,0), (1,1)过(0,0), (1,1)过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减举例y = X 21y =1y =χ~'9y = x 22・農函数y = x α随着a 值的改变图象的变化规律是:随着a 的由小变大■图象在直线X = 1的右侧,由低到高. 认识幕函数的图象重点在于掌握其特征•对于y = x σ,当QVo 时,在第一象限内为双曲线形;当0 < α V1 时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α > 1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上•题型三:幕函数的定义域例5.求下列函数的泄义域规律方法:α题型四：幕函数的性质及应用例6•比较下列各组数的大小. 5 5 8 I 8 ⑴ 3 2 与3・1 2；(2)-8 9 与 一 (一)9；92 ・- ZT-- 2 .Z 丄 (3)(.-)3与(__) 3；(4)4∙153∙8∖(-1∙9)5.36(l)y = Λj ; _3 (4) y = X7;⑵ y = x^ ∖3(5)y = (χ + 2f ・(3) y = x 丁;例7•已知幕函数/C) = MiL3,仏UM)的图象关于y 轴对称，且在(o, + s)上是减函数:In m⑵求满足(a + 1)~<(3-2«)~的G 的取值范味规律方法：⑴•单调性:幕函数y = Λ-α在第一象限的图象特征:①当Q >1时,图象过点(0,0),(,1,1)递增,如y =疋.②当 丄 OVaVl 时,图象过点(0,0>(,l,l)递增,如y = x 7.@当α V 0时,图象过点(1,1)递减,且以两坐标轴为渐进线,如 y = x~,.(2)= X Λ的奇偶性的判断方法.同步练习一. 选择题⑴求/3)的解析式: ⑶讨论 F(X) = (I y l /(x) +b5)的奇偶性.1•已知幕函数y = /(x)的图象经过点(4,扌),则/⑵=( )A. -B. 4c∙返D. y ∖24222 •函数y = √的图象大致是()3 2 2 ■3.a = (-)∖Z? = (-)∖c = (-)5 ,则小C 的大小关系是()A. a>c>bB. cι>h>c4 •下列说法正确的有( ) ⑴幕函数的图象均过点(IJ):⑵幕函数y = χ"1在(-OO)上单调递减,在(0, + s)上也单调递减,因此幕函数y = r 1是左义域内的单调函数；⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现：⑷幕函数在第四象限可以有图象：⑸当 d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数：⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.下列不等式在b<a<O 的条件下成立的是()1£ 2 2A. Cr X >b^B. a 3 <b 3C. b 2 <a 2D. a 3 >b 3 6•若OVaV ” V1 ,则下列不等式成立的是()A. (l-α)∣>(l -β)f,B. (l + a)">(l+/"C. (l-a)fe >(l-tι)lD. (l -aj , >(l-^)b7•图中C 1,C 2,C 3为三个呈函数)，= _?在第一象限内的图象,则解析式中指数R 的值依次可以是()A. — 1, — ,3B. —13—C. —,— 1,3D. —,3,-12 2 2 2 y2二. 填空题C. c>a>bD. b>c>aO 1 X -1&幕函数y = 0屛_伽+1902”T的图象不过原点,则In的值为 ___________________________ .9.函^y = (X-Ip的单调区间为________________________ .10•函数y = (//LV2 +4x + 2)^2 +χ2 -InX +1的泄义域为R .则m的取值范囤 ______________________ .三.解答题11 .已知幕函数/(Λ)=丿"'+"F,(加∈7V*).⑴试确泄函数的定义域,并指明函数在左义域上的单调性；⑵若该函数还经过(2,λU),试确定m的值,并求满足条件f(2-a) > f(a -1)的取值范围.12.已知幕函数/(Q =疋"八2",(用e Z)为偶函数,且在(0, + OO)上单调递增.⑴求/(X); ⑵设g(x) = JTG) + 2x + C,若g(x)> 2,对于XWR恒成立,求C的取值范用.能力挑战1.已知/(x)=芒"，+，”+3伽e Z)为偶函数,且/⑶V /⑸•⑴求〃7; ⑵若^(X) = IOg fl[/M-«4(« > 0且α ≠ 1),在[2,3]上为增函数,求“的取值集合.」2 32•已知幕函数/(Λ-) = √2p +,,+2,(/7 ∈ ∕V).⅛(0, + ∞)上是增函数,在泄义域上是偶函数.⑴求〃的值,并写出相应的函数/3)的解析式；⑵对于⑴中求得的函数/⑴.设函数g(x)=—0V(x)]+(2g-1)∙/(x)+L则是否存在实数√t7<0),使得 g(x)在区间(-s,-4］上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数?若存在,请求出来,若不存在,请说明理由.2. 3幕函数答案典例解析题型一:幕函数的概念例 1 .(1X2X4)解:⑶中y = 22J是指数函数;⑸中X2的系数是3,故不是幕函数;⑹中y = √+l ,不是√1的形式,故不是幕函数,⑺中丄的系数是一 1,故不是幕函数.例 2.解:⑴∙.∙ /(Λ)是幕函数,故m2-m-↑ = ∖,即m2-m-2 = 0,解得In = 2 或ιn = -∖.R 2 1 _ 1⑵若/(X)是幕函数,且又是(0,+≪>)上的增函数厕一也一=, AZH = -I・—5/?1— 3 > 0,⑶若f(X)是正比例函数,则一5∕π-3 = l.解得m = ~-,此时,m2-m-∖≠0Mm = --2 2⑷若f (%)是反比例函数,则一5∕λ∕-3 =-L则加=一二,此时一〃2-1 HO,故Ul =——・⑸若/(x)是二次函数,则一5也一3 = 2 ,即I n = -\ ,此时m2-m-∖≠0,故加=—1.综上所述,当m = 2或加=-l,∕(x)是幕函数;当/Π=-1⅛,∕(Λ)既是幫函数,又是(O,P)上的增函数;当m = ~-时J(X)是正比例函数;当m =⑴是反比例函数;当加=—1时J(X)是二次函数.题型二:幕函数的图象例 3. B.解:要确定一个幕函数y = Λα任坐标系内的分布特征,就要弄淸幕函数y = χσ随着a值的改变图象的变化规律,随着a的变大,幕函数y = X a的图象在直线X = 1的右侧由低向髙分布,从图中可以看岀,直线X = 1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,fi∣τ以C∣,C2,C3,C t的指数G依次为4,1-1,-4.例 4.(6X4)(3)(2)(7X1)(5)解:先区分幕函数的正负,若是正指数,再与1比较大小,.若是负数,再区分奇偶性,就可找到对应图象的函数..观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随X的增大而减小,则幕指数αvθ.其中第一个函数图像关于原点_1对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的左义域为(09+oo).所以第一个函数图像对应y = Λ75;第二2-3个图象对应y =三个图象对应〉，=人二;后而四个图象都通过(0,0)和(IJ)两点,故α>0,第四个图象关于2 1y轴对称,第五个图象关于原点对称,龙义域都是R ,所以第四个图象对应y = G,第五个图象对应y = x∖由最后两个图象知,函数的左义域为[0,-κo),而第六个图象呈上凸状.α应小于1,第七个图象呈下凸状.α应大于1,故3 3第六个图象对应y = F,第七个图象对应y =込,所以按顺序分别填⑹(4)(3X2)(7)(1)(5).题型三:幕函数的定义域3例5•解:(l)y = /=W ,其泄义域为R ：丄(2)y=P=屁其定义域为[0,+Oθ);2 1(3)y = χ i = -F=.,其定义域为(-oo,θ)U(θ,+oo):y∖χ J(4)y = √5 =_L t其定义域为(0,乜)：3 ___________(5)y = (χ + 2)2=2∕(χ + 2)∖ 其泄义域为[一2,*c).题型四：幕函数的性质及其应用5 5 5例6•解：⑴函数y = χA在(0,+≪>)上为减函数，又3<3∙1,所以3~>(3∙1)~.8]8 8 [[ 8[8(2)8^=(-f 函数〉，=捂在[0,P)上为增函数，又→∣ ,所以8^^>(-)∖所以一 8^^ < -(~Γ .Q 2 j 2Z- 2 2 -r 1 _2(3)(--P= (-P= (-P , (--P = (-P ,因为函数y = P在(0,乜)上为减函数，—>Z3 3 6 6 6 6 6所以(-∣)^j<(-^ρ.3 o2 2 23 2 2 3⑷因为4∙P >P =1 , 0<3∙8^I<Γ5=1, (-l∙9p<0,所以4∙P >3∙8^1 >(-l∙9p.例 7•解：(I)T 函数/(x)在(0,-KO)上单调递减，.∙.∕√-2∕H-3<0, 解得-∖<m<3,∙.∙ 〃疋AT, .∙. m = 1,2 , 又函数/⑴的图象关于y轴对称， A m2-2nι-3是偶数，而22-2×2-3 = -3为奇数，l2-2×l-3 = ^为偶数，.∙.m = 1, /(x)=x^4.-丄-1 -1(2)^(X)=X 3在(一oo,0>(0,RD)上均为减函数，.∙.(α + l) 3 <(3-2«) 3等价于a + ∖>3-2a>0 或2 3O>tz + 1 >3 —2r∕或α + lvθv3-2d 解得α<-l或一VdV-, 故a的取值范围为3 2、2 3< a∖a < -1⅛K- <a < — > ・1 3 2⑶由(I)W F(Λ-) = 6∕λf7W + -4-= Λ + ^V3 : 当a=b = O时，/G)既是奇函数又是偶函数：当g) V-a = O,b≠ O时，/(x)是奇函数；当a≠O,b = O时，/(x)是偶函数：当a≠O,b≠O时，/(x)是非奇非偶函数.同步练习一.选择题1. C.解析：将点(4,丄)代入y = x“得丄= 4°,。