高中新课标数学必修一幂函数

高中新课标数学必修一2.3幕函数知识梳理

一.定义

一般地，函数y = √z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数.

典例解析

题型一:幕函数的概念例1 •有下列函数

(Dy = √x;(2)y = X°；(3)y = 2"; (4)y = x",J (5)y = 3x2; (6) y = X2 +1; ⑺y = _丄.

X

貝中，是幕函数的有__________________ （只填序号）•

规律方法：

⑴理解幕函数y = X a的概念应注意以下几点:①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且α e R;③

系数为1・

⑵幕函数与指数函数的区别：

指数函数y=a x-自变量（全体实数）

I一底数（大于O且不等于1）

幕函数y=Λ*" --------- 常数〔只研究α=l,2,3，―）・1）

I一自变量（与α的取值有关）

例2•已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3 ,加为何值时,f（x）：

⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0, + s）上的增函数：⑶是正比例函数;

⑷是反比例函数；⑸是二次函数.

规律方法：

本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函^y = kx （k≠0）t②反比例函^y =-（k≠0）t③二次函数y = ^2+^v + c（^≠0）;④幕函数y = xα（α是常数）•

题型二：幕函数的图象

例3•如图所示的曲线是y = Λ"在第一象限的图象，已知αj∙4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的

4 4 「

值依次为（）

4 1 I

A. —4 , ——，一4・

B. 4 ,-

4 4 4

C. 一丄.-4,4. 1

•D. 4 ,丄

4 4 4

32

例4•给泄一组函数解析式: (l)y = F; (2)y = x j;

⑺y = √和一组函数图象，请把图象对应的解析式号码填在图象下而的括号里.

3

规律方法:

1

•農函数的指数与图象特征的关系:当a ≠ 0,1时爲函数y =屮在第一象限的图象特征:

α取值

a>∖ OVaVl a<0

y

1/

r ,

图象

1 y I A

O

1

X

_VLA ___________ ——k ―≡ ►

a 1 X σ∖ ∖ X 特殊点 过(0,0), (1,1)

过(0,0), (1,1)

过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减

举例

y = X 2

1

y =

1

y =χ~'9y = x 2

2・農函数y = x α随着a 值的改变图象的变化规律是:随着a 的由小变大■图象在直线X = 1的右侧,由低到高. 认识

幕函数的图象重点在于掌握其特征•对于y = x σ,当QVo 时,在第一象限内为双曲线形;当0 < α V1 时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α > 1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上•

题型三:幕函数的定义域

例5.求下列函数的泄义域

规律方法:

α

题型四：幕函数的性质及应用

例6•比较下列各组数的大小. 5 5 8 I 8 ⑴ 3 2 与3・1 2；

(2)-8 9 与 一 (一)9；

9

2 ・- ZT-- 2 .Z 丄 (3)

(.-)3与(__) 3；

(4)4∙153∙8∖

(-1∙9)5.

3

6

(l)y = Λj ; _3 (4) y = X

7;

⑵ y = x^ ∖

3

(5)y = (χ + 2f ・

(3) y = x 丁;

例7•已知幕函数/C) = MiL3,仏UM)的图象关于y 轴对称，且在(o, + s)上是减函数:

In m

⑵求满足(a + 1)~<(3-2«)~的G 的取值范味

规律方法：

⑴•单调性:幕函数y = Λ-α在第一象限的图象特征:①当Q >1时,图象过点(0,0),(,1,1)递增,如y =疋.②当 丄 OVaVl 时,图象过点(0,0>(,l,l)递增,如y = x 7.@当α V 0时,图象过点(1,1)递减,且以两坐标轴为渐进线,如 y = x~,.

(2)= X Λ的奇偶性的判断方法.

同步练习

一. 选择题

⑴求/3)的解析式: ⑶讨论 F(X) = (I y l /(x) +

b

5)

的奇偶性.

1•已知幕函数y = /(x)的图象经过点(4,扌),则/⑵=( )

A. -

B. 4

c∙返

D. y ∖2

4

2

2

2 •函数y = √的图象大致是(

)

3 2 2 ■

3.a = (-)∖Z? = (-)∖c = (-)5 ,则小C 的大小关系是(

)

A. a>c>b

B. cι>h>c

4 •下列说法正确的有( ) ⑴幕函数的图象均过点(IJ):⑵幕函数y = χ"1在(-OO)上单调递减,在(0, + s)上也单调递

减,因此幕函数

y = r 1是左义域内的单调函数；⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现：⑷幕函数在第四象限可以有图象：⑸当 d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数：⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5.下列不等式在b

)

1

£ 2 2

A. Cr X >b^

B. a 3

C. b 2

D. a 3 >b 3 6•若OVaV ” V1 ,则下列不等式成立的是(

)

A. (l-α)∣>(l -β)f,

B. (l + a)">(l+/"

C. (l-a)fe >(l-tι)l

D. (l -aj , >(l-^)b

7•图中C 1,C 2,C 3为三个呈函数)，= _?在第一象限内的图象,则解析式中指数R 的值依次可以是()

A. — 1, — ,3

B. —13—

C. —,— 1,3

D. —,3,-1

2 2 2 2 y

2

二. 填空题

C. c>a>b

D. b>c>a

O 1 X -1