2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册课件：第五章 章末整合
章末梳理1-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共44张PPT)
(2)因为 A∩B＝∅，所以 0∉B，且 1∉B，所以 a≥1.
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 利用集合的运算求参数的范围的注意点 (1)要弄清楚集合运算的结果或可能的结果，再根据其中的结果判定 参数的值或范围． (2)当集合的运算较为复杂时，要借助于数轴或韦恩图解决问题． (3)注意参数的值或范围应该满足集合中元素的互异性．
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语 言，也是数学表达和交流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知 识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题 都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推 理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推 理素养．
定义法是判断充分、必 要条件最根本、最适用 的方法
集合 法
记条件p，q对应的集合分别是A，
B．若A B，则p是q的充分不必要条
件；若A B，则p是q的必要不充分条 件；若A＝B，则p是q的充要条件
适用于“当所要判断的 命题与方程的根、不等 式的解集以及集合有 关，或所描述的对象可 以用集合表示”的情况
所以∁RA＝{x|x<0或x>2}．
因为(∁RA)∪B＝R.(如图)
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第一章 集合与常用逻辑用语
数学(必修 · 第一册 · RJA)
所以 aa＋≤03，≥2， 所以－1≤a≤0.即 a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知当(∁RA)∪B＝R 时，－1≤a≤0，则 a＋3∈[2,3]， 所以 A⊆B，这与 A∩B＝∅矛盾． 即这样的 a 不存在．
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第一章 1.3 第1课时 交集和并集 W
第一章预备知识§1集合1.3集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升基础达标练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}{x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.已知集合M={-1,0,1,2}和N={0,1,2,3}的关系的Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合是()A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}M∩N={0,1,2},故选C.3.(多选题)(2020山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是()A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={1,3,5}.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.(2020安徽池州高三期末)已知集合A={(x,y)|x-2y+1=0},B={(x,y)|x-y=0},则A∩B=()A.{x=1,y=1}B.{1,1}C.{(1,1)}D.⌀A表示直线x-2y+1=0的点的集合,集合B表示直线x-y=0的点的集合,所以A∩B表示两条直线的交点,解所以A∩B={(1,1)}.6.(2020广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=()A.{-4,4,-2,2,0}B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x2,x∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=.,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.48.已知关于x的方程3x2+px-7=0的解集为A,方程3x2-7x+q=0的解集为B,若A∩B=.求A∪B.A∩B=,∴-∈A,且-∈B.由-∈A,设3x2+px-7=0的另一根为m.由根与系数的关系得m=-,解得m=7.∴A=,同理B=,∴A∪B=.9.(2020江苏南京师大附中高一月考)已知集合A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.(1)求A∪B;(2)若C={x|x∈A∩B,x∈Z},试写出集合C的所有子集.∵A={x|1≤x≤5},B={x|-2<x<3}.∴A∪B={x|-2<x≤5}.(2)∵A∩B={x|1≤x<3},∵C={x|x∈A∩B,x∈Z},∴C={1,2},集合C的子集有⌀,{1},{2},{1,2}.能力提升练1.(多选题)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A∪B=A的实数m的取值范围可以是()A.{m|-3≤m≤4}B.{m|-3<m<4}C.{m|2<m<4}D.{m|m≤4}A∪B=A,∴B⊆A.①若B≠⌀,则m+1<2m-1,解得m>2.∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.此时2<m≤4.②若B=⌀,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.综上,实数m满足m≤4即可.2.设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,若E满足A∪B∪E=N,则这样的集合E中最少含有的元素个数为()A.1B.2C.3D.4设集合A={x|x为合数},B={x|x为质数},N表示自然数集,∴A∪B中只比N中少两个元素:0和1.∵E满足A∪B∪E=N,∴E中的元素一定有0,1,并且还可以有其他自然数.∴集合E中最少含有元素个数为2.3.(2020湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=-1,k∈S,则集合∪T中的元素个数为()A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为=x x=,m∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=x x=-1,k∈S={0,1,2},∴= 0,,1,∴∪T=0,,1,2.∴集合∪T元素的个数为7个.4.(2020江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x2+px+q=0的两根α,β,根据根与系数的关系可得p=-4,q=3.5.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,求实数m的取值范围;(2)若A∩B≠⌀,求实数m的取值范围.A∪B=B,∴A⊆B,∴解得-6≤m≤-2,∴实数m的取值范围是[-6,-2].(2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2,解得m≥3,或m≤-11,∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3,∴实数m的取值范围是(-11,3).素养培优练(2020上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a-1≤x≤0},其中a∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<时,如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};当0<a<时,A∩B={x|-a≤x≤0};≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020_2021学年新教材高中数学第1章预备知识1集合1.2集合的基本关系学案含解析北师大版必修一
1.2 集合的基本关系学习目标核心素养1.理解集合的包含与相等的含义．(难点) 2．能识别集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)1．通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助子集、真子集的应用，培养逻辑推理素养．1．Venn图为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．2．子集文字叙述对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集．符号表示若a∈A⇒a∈B，则A⊆B．图形表示性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)空集是任何集合的子集，即∅⊆A．(3)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．思考1：符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：“∈”表示元素与集合的关系，而“⊆”表示集合与集合的关系．3．集合相等对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作A＝B．思考2：如何证明集合相等？提示：证明这两个集合互为子集．4．真子集对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作A B.1．设M＝{}1，2，3，N＝{}1，则下列关系正确的是( )A．N∈M B．N MC ．N ⊆MD ．N ⊇MC [由1∈M ，知N ⊆M .]2．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆DB [根据四边形的定义和分类，可知选B.] 3．集合{}0，1的子集有________个．4 [集合{}0，1的子集分别是∅，{}0，{}1，{}0，1.] 4．已知集合{}16⊆{}a 2，a ＋3，7，求实数a 的值．[解] (1)由已知，得16∈{}a 2，a ＋3，7，所以a 2＝16或a ＋3＝16，解得a ＝－4，4或13，当a ＝4时，a ＋3＝7，集合{}a 2，a ＋3，7的元素不满足互异性，所以，实数a 的值为－4，13.集合间的关系的判断【例1】 判断下列各组中集合间的关系．(1)A ＝{} |x x 是等腰三角形，B ＝{x |x 是等边三角形}； (2)A ＝{} |x x ()x －1＝0，B ＝{}0，1； (3)A ＝{} |x －1<x <4，B ＝{} |x x <5；(4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋12，n ∈Z ，B ＝{x ⎪⎪⎪x ＝12n ＋1，n ∈Z }．[解] (1)因为等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故B A .(2)A ＝B .(3)把集合A 与B 在数轴上表示出来，根据定义易得A B . (4)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝2n ＋12，n ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ |x x ＝n ＋22，n ∈Z ，又{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z {} |x x ＝n ＋2，n ∈Z ，所以AB .判断两集合关系的常用方法(1)化简集合，从元素的属性中寻找两集合间的关系； (2)利用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．提醒：在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观地帮助我们发现集合间的关系．[跟进训练] 1．设A ＝{}|x x ＝2n －1，n ∈Z ，B ＝{}|x x ＝2n ＋1，n ∈Z ，C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ，判断它们之间的关系．[解] 因为A ＝{} |x x ＝2n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2()n －1＋1，n ∈Z }⊆B ，B ＝{} |x x ＝2n ＋1，n ∈Z ＝{}x |x ＝2()n ＋1－1，n ∈Z ⊆A ，所以A ＝B .因为C ＝{} |x x ＝4n －1，n ∈Z ＝{x |x ＝2×2n －1，n ∈Z }⊆A ，又－3∈A ，但－3C ，所以C A .综上，C A ＝B .子集个数问题【例2】 已知{}1，2M ⊆{}1，2，3，4，5，试写出满足条件的所有集合M . [思路点拨] 先分析集合M 中元素的特点，然后分类列举．[解] 集合M 含有元素1，2，且含有3，4，5中的至少一个元素，依据集合元素的个数分类列举如下：含有3个元素：{}1，2，3，{}1，2，4，{}1，2，5；含有4个元素：{}1，2，3，4，{}1，2，3，5，{}1，2，4，5； 含有5个元素：{}1，2，3，4，5. 故满足条件的集合M 共有上述7个集合．1．解决此类问题，一般先分析集合元素的特征，然后按集合元素个数分类列举． 2．若一个集合有n 个元素，则它有2n个子集；有2n－1个真子集．[跟进训练]2．已知集合B ＝{}1，2，A ＝{}x |x ⊆B ， (1)写出集合A ；(2)判断B 与A 的关系．[解] (1)集合B 的子集分别是∅，{}1，{}2，{}1，2，所以A ＝{}∅，{}1，{}2，{}1，2；(2)B A .集合间的关系的应用 [探究问题]1．已知{}x |－1≤x ≤1⊆{}x |a ≤x ≤b ，试求a ，b 满足的条件． 提示：a ≤－1且b ≥1.2．已知{}x |a ≤x ≤b ⊆{}x |－1≤x ≤1，试求a ，b 满足的条件． 提示：对集合{}x |a ≤x ≤b 是否为空集讨论， 当{}x |a ≤x ≤b 为空集，即a >b 时，满足题意； 当{}x |a ≤x ≤b 非空时，－1≤a ≤b ≤1， 故a ，b 满足的条件是a >b 或－1≤a ≤b ≤1.【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 将集合间的关系转化为元素间的关系，由于B 可能为空集，故需分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上得m ≤4.1．对于本例中的集合A ，B ，是否存在实数m 使A ⊆B?[解] 若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<－22m －1>7 ，该不等式组无解，故实数m 不存在．2．若将本例中的“A ＝{x |－2≤x ≤7}”改为“A ＝{}x |x ≤－2，或x ≥7”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．[解] 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜2m －1，m ＋1≥1，解得m ≥6，综上得x ≤2或m ≥6.1．对于B ⊆A ，在未指明B 非空时，应分B ＝∅与B ≠∅两种情况讨论．2. 对于B ≠∅这种情况，在确定参数的取值时，可借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，由集合之间的关系，列出关于参数的不等式，解不等式求出参数的取值范围．1．在判断集合间的关系时，要注意数轴及Venn 图的应用，它可以直观的帮助我们发现集合间的关系，这是数形结合思想的应用．2．若一个集合有n 个元素，则它的有2n个子集；有2n－1个真子集． 3．由集合间的关系求参数的取值范围时，要考虑空集是否符合题意．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空集是任何集合的真子集．( )(2)任何一个集合不可能是其自身的真子集． ( ) (3)任何一个集合至少有两个子集．( ) (4)若A 不是B 的子集，则A 中至少存在一个元素不属于B . ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．集合A ＝{}x ∈N |0≤x <3真子集的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8C [因为A ＝{}0，1，2，所以其真子集的个数是23－1＝7.]3．设x ，y ∈R ，A ＝{}()x ，y |y ＝x ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫()x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 的关系是________．[答案] B A4．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． [解] (1)当A B 时，a >2. (2)当B ⊆A 时，1≤a ≤2.。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册
第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。
(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。
A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。
(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。
A 。
—920B 。
920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。
∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。
∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。
故选B 。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。
A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。
4。
（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。
A 。
12B 。
-12 C.-√32 D 。
-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。
5。
（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。
A.—13 B 。
±13C 。
—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。
2020-2021学年七年级数学北师大版第五章第六节《应用一元一次方程--追赶小明》同步练(有答案)
第六节 应用一元一次方程——追赶小明一、选择题1. 运动场环形跑道的周长为 400 米,小林跑步的速度是爷爷的二倍,他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发,5 分钟后小林第一次与爷爷相遇,小林跑步的速度是( )A.120 米/分B.160 米/分C.180 米/分D.200 米/分2. 父子二人早上去公园晨练,父亲从家跑步到公园需 30 分钟,儿子只需 20 分钟,如果父亲比儿子早出发 5 分钟,儿子追上父亲需( )A.8 分钟B.9 分钟C.10 分钟D.11 分钟3. 一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是3千米/时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,则两码头之间的距离为( )A.40 千米B.36 千米C.45 千米D.46 千米4. 甲、乙两列火车从相距 480 km 的 A,B 两地同时出发,相向而行,甲车每小时行 80 km,乙车每小时行 70 km,当两车相距 30 km 时,所用的时间为( )A.3 小时B.517小时C.3.5 小时D.3小时或517小时 5. 一列火车正在匀速行驶,它先用 20 秒的时间通过了一条长为 160 米的隧道(即从车头进入入口到车尾离开出口),又用 15 秒的时间通过了一条长为 80 米的隧道,求这列火车的长度.设 这列火车的长度为 x 米,根据题意可列方程为( )A.202160x +=15280x + B.20160x +=1580x + C.202160x -=15280x - D.20160x -=1580x -6. A 、B 两地相距500 km,大客车以每小时60 km 的速度从A 地驶向B 地,2小时后,小汽车以每小时90 km 的速度沿着相同的道路行驶,设小汽车出发x 小时后追上大客车,根据题意可列方程为 ( )A.60(x+2)=90xB.60x=90(x -2)C.60(x+2)+90x=500D.6x+90(x -2)=5007. 小华从家里骑自行车到学校,每小时骑15 km,可早到10分钟,每小时骑12 km 就会迟到5分钟,则他家到学校的路程是 ( )A.35 kmB.20 kmC.18 kmD.15 km8. 如图,跑道由两个半圆部分AB,CD和两条直跑道AD,BC组成,两个半圆跑道的长都是115 m,两条直跑道的长都是85 m.小彬站在A处,小强站在B处,两人同时逆时针方向跑步,小彬每秒跑4 m,小强每秒跑6 m.当小强第一次追上小彬时,他们的位置在 ()A.半圆跑道AB上B.直跑道BC上C.半圆跑道CD上D.直跑道AD上9. 一对父子在同一个工厂工作,父亲从家走到工厂需用30分钟,儿子走这段路只需20分钟,父亲比儿子早5分钟动身,儿子追上父亲需要的时间为 ()A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟10. 小华从家里骑自行车到学校,每小时骑15 km,可早到10分钟,每小时骑12 km就会迟到5分钟,则他家到学校的路程是()A.35 kmB.20 kmC.18 kmD.15 km二、填空题11. 某人计划开车用3 小时从甲地到乙地,实际每小时比原计划每小时多行驶16 千米,结果用了 2.5 小时就到达了乙地,甲、乙两地相距千米.12. 某轮船往返于A,B两港之间,逆水航行需3小时,顺水航行需2小时,水速是3千米/时,则轮船在静水中的速度是.13. 一列匀速前进的火车,从它进入320米长的隧道到完全通过隧道经历18秒钟,隧道顶部一盏固定的灯在火车上照了10秒钟,则这列火车的长为米.14. 轮船从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意,可列方程为.15. 已知A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为120千米/时,乙车的速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t=.三、解答题16. 甲、乙两人同时从A 地前往相距25.5 千米的B 地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的 2 倍还快 2 千米/时,甲先到达 B 地后,立即由 B 地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时已过了 3 小时.求两人的速度.17. 如图,已知数轴上点A 表示的数为-7,点B 表示的数为5, 点C 到点A,点B 的距离相等,动点P 从点A 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动的时间为t(t>0)秒.(1)点C 表示的数是;(2)点P 表示的数是(用含有t 的代数式表示);(3)求当t等于多少时,点P与点C之间的距离为2个单位长度.18. 如图所示,O 为一个模拟钟面圆心,M、O、N 在一条直线上,指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点O 转动,OA 的运动速度为每秒30°,OB 的运动速度为每秒10°,当一根指针与起始位置重合时,运动停止,设转动的时间为t 秒,试解决下列问题:(1)如图1,若OA 顺时针转动,OB 逆时针转动,t=时,OA 与OB 第一次重合;(2)如图2,若OA、OB 同时顺时针转动.①当 t=3 时,∠AOB= °;②当 t 为何值时,∠AOB=20°?答案1.B2.C3.B4.D5.B6.A7.D8.B9.B 10.D11. 24012. 15千米/时13. 40014. 226-x -226+x =3 15. 2或2.516. 设乙的速度是x 千米/时,则甲的速度是(2x+2)千米/时 ,根据题意得3x+3(2x+2)=25.5×2,解得 x=5,2x+2=12.答:甲、乙的速度分别是 12 千米/时、5 千米/时.17. (1)-1. (2)2t -7.(3)由题意得-7+2t=-1-2 或-7+2t=-1+2,∴t=2 或 t=4.18. (1)∵OA 顺时针转动,OB 逆时针转动,∴∠AOM+∠BON=180°,∴30t+10t=180,解得 t=4.5.∴t=4.5 时,OA 与 OB 第一次重合.(2)①由题意得∠AOM=30°×3=90°,∠BON=10°×3=30°, ∴∠AOB=180°-90°+30°=120°.②由题意得30t-10t=180°-20°或30t-10t=180°+20°,∴t=8 或t=10,即t 为8 或10 时,∠AOB=20°.。
2020-2021学年数学北师大版必修5：1-2-1 第1课时 等差数列的概念和通项公式
类型一 等差数列的判定
【例 1】 判断下列各数列是否为等差数列． (1)1,2,4,6,8； (2)7,7,7,7,7； (3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n； (4)a－d，a，a＋d. 【思路探究】 根据等差数列的定义进行判断，即判断从第 2 项开始每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．
【解】 (1)因为 2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2， 所以该数列不是等差数列． (2)因为 7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， 所以该数列是等差数列． (3)因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， (2m＋n)－(m＋2n)＝m－n， 所以当 n＝m－n，即 m＝2n 时，该数列是等差数列； 当 m≠2n 时，该数列不是等差数列． (4)因为 a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d， 所以该数列是等差数列．
规律方法 要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任 意的正整数 n，an＋1－an 是不是等于同一个常数，切记不可通过 计算 a2－a1，a3－a2，a4－a3 等几个有限的式子的值后，根据它 们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．因为 由特殊到一般得出的结论不一定正确．
判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3n－1； (2)an＝1n，－n1＝，1n，≥2； (3)an＝n2＋n.
类型二 等差数列的证明
【例 2】 已知函数 f(x)＝x＋3x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn －1)(n≥2，且 n∈N＋)确定．
(1)求证：x1n是等差数列； (2)当 x1＝12时，求 x100.
【思路探究】 (1)利用条件 xn＝f(xn－1)可以确定数列{xn}中 相邻两项的递推关系，要证明x1n是等差数列，按照定义，只需 证明xn1＋1－x1n或x1n－xn1－1(n≥2)是常数即可；
2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 213方程组的解集 课件(49张)
单的实际问题．(重点、难点)
情景 导学 探新 知
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡 翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡 百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为 x，y，z，则
x＋y＋z＝100， 5x＋3y＋13z＝100， 当z＝81时，x＝________，y＝________．
x＋y＋z＝70，
由题意得2x0＋3y0＋4z0＝2.5，解得yx＝＝5142，，
2z0＋3y0＋4x0＝2.3，
z＝4，
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下
坡路是4 km.
列方程组解应用题的一般步骤 (1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之 间的等量关系； (2)设：恰当地设未知数； (3)列：依据题中的等量关系列出方程组； (4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义； (6)答：写出结论．
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知 数及写结论时，都要写清单位名称．
[跟进训练] 4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经 过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地 所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的 速度为每小时136千米，乙的速度为每小时137千米．
课堂 小结 提素 养
知识： 求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化 二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程 的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二 次方程，因为这样可能产生增根． 方法： 1．代入消元法． 2．加减消元法．
2020_2021学年新教材高中化学第五章化工生产中的重要非金属元素3无机非金属材料课件新人教版必修
试分析传统无机非金属材料和新型无机非金属材料各有什么优点? 提示:传统无机非金属材料和新型无机非金属材料的比较:传统无机非金属材料 具有性质稳定,抗腐蚀耐高温等优点,但质脆,经不起热冲击。新型无机非金属材 料除具有传统无机非金属材料的优点外,还有某些特征如:强度高、具有电学、 光学特性和生物功能等。
3.(2020·宝鸡高一检测)SiO2是一种化工原料,可以制备一系列物质。下列说 法正确的是
A.图中所有反应都不属于氧化还原反应 B.硅酸盐的化学性质稳定,常用于制造光导纤维 C.可用盐酸除去石英砂(主要成分为SiO2)中少量的碳酸钙 D.普通玻璃是由纯碱、黏土和石英砂制成的,具有固定的熔点 【解析】选C化硅与碳 反应生成硅单质的反应有元素化合价的变化,属于氧化还原反应,故A错误;光导纤维的 成分是二氧化硅,不是硅酸盐,故B错误;碳酸钙溶于盐酸生成氯化钙和水以及二氧化碳, 二氧化硅和盐酸不反应,可以用盐酸除去石英砂(主要成分为SiO2)中混有的少量碳酸 钙,故C正确;玻璃是由纯碱、石灰石和石英砂制成的,玻璃属于混合物,没有固定的熔点, 故D错误。
提示:与氢氟酸反应产生氢气,体现了硅的金属性,与氢氧化钠溶液反应产生氢气, 体现了硅的非金属性。
2.硅的制备 (1)自然界中硅能以游离态和化合态形式存在吗? 提示:硅是一种亲氧元素,在自然界中总是与氧化合,以熔点很高的氧化物及硅 酸盐的形式存在,不能以游离态形式存在。 (2)用焦炭在电炉中隔绝空气还原SiO2制取粗硅时,为什么生成CO而不是CO2? 提示:制取粗硅时,工业生产中使用过量焦炭,发生反应C+CO2 2CO,因而产物 为CO。
(3)硅的还原性强于C,为什么C能从SiO2中还原出Si? 提示:反应2C+SiO2 Si+2CO↑之所以能发生,是由于该反应是高温条件下固 体间的反应,生成的CO脱离反应体系,从而使反应能继续进行。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.1.1 任意角
二、填空题(每小题5分，共15分) 9．已知角α终边所在的位置，请你完成下表：
10.－1 485°角是第 四 象限的角，与其终边相同的角中最 大的负角是 －45° .
解析：因为－1 485°＝－5×360°＋315°， 而315°∈(270°，360°)，所以－1 485°是第四象限角． 又－360°＋315°＝－45°，最大的负角是－45°.
11．终边在直线y＝ 33x上的角的集合S＝
{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}
．
解析：
在0°～360°范围内，终边在直线y＝
3 3
x上的角有两个：30°、
210°(如图)，
所以终边在y＝ 33x上的角的集合是 S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋180°＋2k·180°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α( D )
A．是第三Байду номын сангаас限角
B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角 D．不属于任何象限角
解析：因为点P在y轴的负半轴上，即角α的终边落在y轴的非
正半轴上，因此α不属于任何象限角．
2．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( B )
解：(1)由k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3(n∈Z)，知在给定的角的 集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°<k·90°＋45°<360°，得－92<k<72. 又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3. 所以在给定的角的集合中在区间(－360°，360°)内的角共有8 个． (3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
2020_2021学年高中数学第一章立体几何初步1.7.2.2棱台与圆台的体积课件北师大版必修2
【解】 设上、下底面半径分别为 r，R，过点 A1 作 A1D⊥ AB 于点 D，则 A1D＝3，∠BA1A＝90°.∵∠A1AB＝60°，
∴∠BA1D＝60°，∴AD＝taAn16D0°＝ 3，即 R－r＝ 3. 又∵BD＝A1D·tan60°＝3 3， ∴R＋r＝3 3，∴R＝2 3，r＝ 3.又∵h＝3， ∴圆台的体积 V 圆台＝13πh(R2＋Rr＋r2) ＝13π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2]＝21π.
于是 6πl＝20π，解得 l＝130，
∴圆台高 h＝ l2－R－r2＝ 1090－4＝83，
∴圆台体积
V＝
1 3
π·h·(R2
＋r2
＋
Rr)＝13
π×
8 3
×(16
＋
4
＋
8)
＝
224π 9.
类型三 实际应用问题 【例 3】 降雨量是指水平地面上单位面积降落雨水的深 度，今用上口直径为 32 cm，底面直径为 24 cm，深为 35 cm 的 水桶接收雨水，如果积水达到桶深的14处，则降雨量是多少毫米？
第一章
立体几何初步
§7 简单几何体的再认识
7.2 柱、锥、台的体积
第2课时 棱台与圆台的体积
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 棱台和圆台的体积
[填一填] 1 台体(棱台和圆台)的体积公式：V 台体＝3(S
上＋S
下＋
S上·S、下底面面积，h 为台体的高．特别
OE＝12AB＝10，∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
人教版高中数学必修1--第五章 章末回顾与提升
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第五章 三角函数
已知 α 为第三象限角，且
sin
32π－αcos π2 －αtan （－α＋π）
sin π2 ＋αtan （2π－α）
x－
3 2
(1＋cos
2x)＝12
sin
2x－
3 2
cos 2x－
3 2
＝sin
2x－π3
－
3 2
，
因此 f(x)的最小正周期为π，最大值为2－2 3 .
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第五章 三角函数
(2)当 x∈π6 ，23π
π 时，0≤2x－ 3
≤π，从而
π 当 0≤2x－ 3
π ≤2
π ，即 6
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第五章 三角函数
解析：∵函数 f(x)＝sin 2x＋π4 ＋cos 2x＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π4 ＋π4 ＝ 2 sin 2x＋π2 ＝ 2 cos 2x，
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第五章 三角函数
∴f(－x)＝ 2 cos (－2x)＝ 2 cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故选 项 A 正确；令 2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 kπ≤x≤π2 ＋kπ (k∈Z)，可得函数 y＝f(x)在0，π2 单调递减，所以选项 B 正确；
第五章 三角函数
[训练 1] 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边 在射线 y＝2x(x≥0)上．
2020-2021数学北师大版第一册教师用书：第4章 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较含解析
2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册教师用书：第4章§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较含解析§4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学习目标核心素养1。
了解三种函数的增长特征．(重点) 2．初步认识“直线上升”、“指数爆炸"和“对数增长"．(重点)3．尝试函数模型的简单应用．(重点、难点)通过三种函数的增长特征的实际应用,培养数学建模素养．三种函数的增长趋势y＝a x错误!y＝log a x错误!y＝xα错误!在错误!上的增减性增函数图象的变化趋势随x增大,近似与y轴平行．随x增大，近似与x轴平行．α值较小（α〈1），增长较慢;α值较大（α〉1）时，增长较快．增长速度①随x增大，y＝a x增长速度越来越快，并且当a 越大时,y＝a x增长的速度越快．②随x增大，y＝log a x增长速度越来越慢，并且当a越大时，y＝log a x增长速度越慢．③当x足够大时，一定有a x〉xα〉log a x。
思考：举例说明“指数爆炸"增长的含义?提示:如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时,数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4％，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x）的图象大致是(）A B C DD［设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意得，ax＝a（1＋0.104）y,故y＝log1.104x（x≥1)，∴y＝f(x）的图象大致为D中图象．]2．下列函数中,增长速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6xB[对数函数增长的速度越来越慢，故选B.］3．当x〉4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．b<c<a［三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x,y＝x4，y＝4x，当x＝4时,b＝log44＝1，a＝c＝44，所以a，b，c的大小关系是b<c<a.]4．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x）＝a1x2＋b1x＋6，g（x）＝a23x＋b2（a1，a2，b1，b2∈R).（1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；（2）在同一直角坐标系下画出函数f（x)与g(x）的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．[解]（1）依题意：由错误!有错误!解得a1＝4，b1＝－4,∴f（x）＝4x2－4x＋6.由错误!有错误!解得a2＝错误!，b2＝5,∴g（x)＝错误!×3x＋5＝3x－1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f（5）＝86万元,乙在今年5月份的利润为g（5）＝86万元，故有f(5)＝g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2）作函数图象如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润:当x＝1或x＝5时，有f（x)＝g（x）；当1〈x<5时,有f（x）〉g（x)；当5<x≤12时，有f(x）<g(x）。
2020-2021学年高中新教材北师大版数学必修第一册习题：第一章 4.1 一元二次函数 Word版
第一章预备知识§4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数课后篇巩固提升基础达标练1.将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为() A.y=(x+2)2+4 B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+4D.y=(x+2)2-2一元二次函数解析式为y=x2+1,∴顶点坐标(0,1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(-2,-2),可设新函数的解析式为y=(x-h)2+k,代入新的顶点坐标得y=(x+2)2-2.2.下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y=x2-2x-1的图象重合的是()A.y=2x2-x+1B.y=x2+2x+1C.y=x2-2x-1D.y=x2+2x+1经过平移后能与一元二次函数y=x2-2x-1的图象重合,∴a=1,观察选项,只有选项B符合题意.3.已知抛物线y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为()A.[2,+∞)B.[0,2]C.[2,4]D.[-∞,4]y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1;当y=3时,有x2-4x+3=3,解得x1=0,x2=4,∴当x=0或4时,y=3.又∵当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,∴2≤m≤4.4.(2020福建厦门双十中学高一月考)设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c,所以可知,在A中,a<0,b<0,c<0,不合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不合题意;C中,a>0,c<0,b>0,不合题意,故选D.5.将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(5,+∞)D.(-∞,5)y=x2-4x+a=(x-2)2-4+a,∴将一元二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的函数的图象的解析式为y=(x-2+1)2-4+a+1,即y=x2-2x+a-2,将y=2代入,得2=x2-2x+a-2,即x2-2x+a-4=0,由题意,得Δ=4-4(a-4)>0,解得a<5.6.已知一元二次函数y=-(x+1)2-1.(1)画出这个函数的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点;(2)抛物线y=-x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-(x+1)2-1?图象如图所示,抛物线y=-(x+1)2-1的开口方向向下、对称轴是x=-1,顶点是(-1,-1);(2)把抛物线y=-x2向下平移1个单位长度,再向左平移1个单位长度,就得到抛物线y=-(x+1)2-1.能力提升练1.(多选题)在平面直角坐标系中,对于一元二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中正确的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=(x-2)2+1,a=1>0,∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点为(2,1),当x=2时,y有最小值1,当x≥2时,y的值随x值的增大而增大,当x≤2时,y的值随x值的增大而减小;故选项A、B的说法正确,C的说法错误;根据平移的规律,y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x-2)2的图象,再向上平移1个单位长度得到y=(x-2)2+1的图象,故选项D的说法正确.2.(2020江西新余一中高一月考)一元二次函数y=-x2+2tx在[1,+∞)上最大值为3,则实数t=()A.±B.C.2D.2或2+2tx的图象的对称轴x=t,开口向下,①t≤1,则当x=1时,y=-12+2t=3⇒t=2,无解,②t>1,则当x=t时,y=-t2+2t·t=3⇒t=.3.当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2y=1时,有x2-2x+1=1,解得x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1.4.(多选题)(2020重庆一中高一月考)若关于x的方程x2-x-m=0在[-1,1]上有解,则实数m的值可能是() A.- B.1 C. D.4解析题中的方程即x2-x=m,则原问题等价于函数y=m和函数y=x2-x的图象在区间[-1,1]上有交点,一元二次函数y=x2-x的图象开口向上,对称轴为x=,故当x=时,y min=-;当x=-1时,y max=2,则实数m的取值范围是-,2.对照选项可得AB选项满足.5.如图,一元二次函数y=-x2+x+c的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值.(-2,2)代入y=-x2+x+c中,得-+c=2,解得c=,所以这个一元二次函数为y=-x2+x+.∵y=-x2+x+=-(x-1)2+5,∴此函数的图象的开口向下,当x=1时,函数有最大值5.素养培优练对于一元二次函数y=x2+4x+6,(1)指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)画出它的图象,并说明其图象由y=x2的图象经过怎样平移得来;(3)求函数的最大值或最小值.配方得y=(x+4)2-2可知图象开口向上,对称轴为直线x=-4,顶点坐标为(-4,-2).(2)作图如下.一元二次函数的图象可以看作先将y=x2的图象向左平移4个单位长度,向下平移2个单位长度得到.(3)由图可知,函数在x∈R内没有最大值,当x=-4时,函数有最小值,即y min=-2.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2020-2021学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.1 简单旋转体课件 北师大版必修2
所围成的几何体 侧面：不垂直于旋转
叫作圆柱
轴的边旋转而成的 ____曲__面_____；
名 称
定义
相关概念
圆 锥
以直角三角形的 __一__条__直__角__边___ 所在的直线为旋 转轴，其余各边 旋转而形成的曲 面所围成的几何 体叫作圆锥
高：在旋转轴上这 条边的长度； 底面：垂直于旋转 轴的边旋转而成的 ____圆__面_____； 侧面：不垂直于旋 转轴的边旋转而成 的__曲__面_______；
步
§1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1．问题导航 (1)连接圆柱(圆台)两底面的圆心的连线与其底面有怎样的位 置关系？ (2)有同学说：“直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周所 形成的几何体是圆锥．”这种说法对吗？ (3)圆台中，上底面半径r、下底面半径R、高h与母线l之间有 怎样的关系？
图形表示
名
定义
相关概念
称
以_直__角__梯__形__垂_直___ _于__底__边__的__腰___所
母线：无 论转到什
在的直线为旋转
圆
么位置，
轴，其余各边旋
台
这条边都
转而形成的曲面
叫作侧面
所围成的几何体
的母线
叫作圆台
图形表示
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体是圆柱．( √ ) (2)直角三角形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体是圆锥．( × ) (3)直角梯形绕其腰所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几 何体是圆台．( × ) (4)圆以一条直径所在的直线为轴，旋转180°围成的几何体是 球．( √ )