高等数学 函数的极值与最大值、最小值

则函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值；（极小值）
o
（2）若 x ∈U (x0 ,δ ) 时， f ′(x) 的符号保持不变，
则点 x0 不是 f (x) 的极值点．
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y
+−
o
x0
x
y
−
+
o
x0
x
（是极值点情形）
y
+
y−
+
o
x0
x
−
o
x0
x
（不是极值点情
第三章
第五节 函数的极值与最大值、最小值
（Extremum & Extremes of Function）
一、复习引入 二、极值的第一充分条件 三、极值的第二充分条件 四、最值问题 五、小结与思考练习
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一、复习引入（Introduction）
1．极值定义 设函数 f (x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0 是 (a,b) 内的一点，如果存在 x0 的一个邻域U (x0 ) ，对于 U (x0 ) 内的任何点 x ，有
3. 最值问题 （1）学会解最值问题 （2）学会利用函数的最值证明不等式
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课后练习
（1）自学课本 例7、例8和例9 （2）习题3-5 1（偶数题）；4（2）；5；10
思考练习
1．下列说法是否正确？ （1）驻点就是极值点，极值点就是驻点 （2）驻点一定是 极值点
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明； 注 2：当 f ′′(x0 ) = 0 时，本定理失效！
例如，函数 f (x) = x3 时，本定理失效！
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例 3 求函数 f (x) = (x2 − 1)3 + 1的极值．
解题思路：
（课本 例 2）
（1）求出 f ′(x), 并求出 f (x) 全部驻点；
= 1,
f
(0)
= 1,
f
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
1 2 p−1
为最小值，故 ∀x ∈[0,1] ，原不等式
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
成立。
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内容小结
1. 复习了函数极值的概念（理解） 特别注意： 最值是整体概念而极值是局部概念.
2. 介绍了判断极值点的两个充分条件（注意使用条件） 学会利用这两个充分条件判断是否极值点
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由费马引理知，驻点（Stagnation Point），即导数为 零的点是函数可能的极值点。
除驻点外函数还有没有其他的点是可能的极值点？ 在可能的极值点中究竟哪些点是极值点？ 是极值点时，是极大值点还是极小值点呢？
研究极值到底有什么用？……
为此，这节课我们就来研究函数极值点的两个充分 条件，并在此基础上讨论最值问题！
将函数在驻点和导数不存在的点的函数值同端点函数
值进行比较，其中最大者为 f (x) 在［ a,b ］上的最大值， 最小者为 f (x) 在［ a,b ］上的最小值．
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Байду номын сангаас
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例 5 求函数 f (x) = x4 − 4x3 − 8x2 + 1 在 [−2, 2] 上的最大 值和最小值． （课本 例 5）
（3）极值点一定是 驻点
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2．（1993. 数学五考研）已知某厂生产 x 件产品的成本为 C = 25000 + 200x + 1 x2 （元） 40
问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，
应生产多少件产品？
形）
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应当指出的是，
除驻点是函数可能的极值点外，导数不存在的点
也可能是函数的极值点．
例如，对于函数 f (x) =| x | ，我们曾经证明过它在
x = 0 处导数不存在，但 (0,0) 点显然是极值点！
1
又如，对于函数 f (x) = x3 ，y′(0) 不存在．
假设函数 f (x) 在闭区间[ a,b ]上连续，则 f (x) 在[ a,b ] 上一定取得最大值和最小值．（最值定理）
但是，函数的最大值和最小值会在哪里取得呢？
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我们来看一下下面的几幅图：
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
通过观察可以发现，函数在[ a,b ]上的最大值和最小值， 只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，
（2）验证全部驻点的二阶导数 f ′′(x) 是否为零。
如果驻点的二阶导数 f ′′(x) 不等于零，则利用第 二充分条件判定；
如果驻点的二阶导数 f ′′(x) 等于零，此时，第二 充分条件失效，可利用第一充分条件判定。
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例 4 设 f (x) 的导数在 x = a 处连续，且 lim f ′(x) = −1 ， x→a x − a
例 1 求函数 f (x) = 3 6x2 − x3 的极值．（老师讲解）
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例 2 设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 内 连续，其导函数的图形如右图所 示，试确定函数 f (x) 的极大值和 极小值点的个数.（课本例 4）
提示：（1）从图形可以看出， f ′(x1) = f ′(x2 ) = f ′(x3 ) = 0
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
（课本习题 3-5 第 5 题（1））
因为当 x ≠ 0 时 y′ = 1 > 0 ，故由第一充分条件知 3 3 x2
x = 0 不是 y = 3 x 的极值点.
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根据上述讨论，我们可按下列步骤来求函数 f (x)
的极值点和相应极值：
（1）求出导数 f ′(x), 进而求出 f (x) 全部驻点或 导数不存在的点； （2）考察 f ′(x) 在各个驻点或导数不存在的点的 左、右邻域内符号的变化，判定该点是否为极值点， 如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值 点； （3）求出 f (x) 的极值．
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解：设房租为 x 元，获得的收入设为 f (x) ，
则租出去的公寓数为：
50 − x −1000 = 3500 − x
由题意知：
50
50
f (x) = (x −100) ⋅ 3500 − x = −x2 + 3600x − 35000
50
50
令 f ′(x) = −2x + 3600 = 0 ， 得： x = 1800 。 50
（2）通过导数的符号判定
x
=
1
e 是唯一的极值点
e
例 7 一房地产公司有 50 套公寓要出租.当月租金为 1 000 元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加 50 元 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月 需花费100 元的维修费.试问房租定为多少可获得最 大收入？（课本习题 3－5 11） （解答见下页）
f (x) ≤ f (x0 ) 或 f (x) ≥ f (x0 ) , 则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值），点 x0 是 f (x) 的一个极大值点（或极小值点），函数的极大值、
极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点．
2．费马（Femat）引理 如果函数 f (x)在 点 x0 可导， 而且在点 x0 取到极值，则 f ′(x0 ) = 0.
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二、第一充分条件（The First Sufficient Condition）
定理 1（第一充分条件） 设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻
o
域U (x0 ,δ ) 内连续，在去心邻域U (x0 ,δ ) 内可导．
（1）若 x ∈ (x0 − δ , x0 ) 时， f ′(x) > 0 ，( f ′( x) < 0) 而 x ∈ (x0 , x0 + δ ) 时， f ′(x) < 0 ，( f ′( x) > 0)
解题思路：
（1）求出 f ′(x) ，并找出驻点和导数不存在的点。 （2）计算函数在驻点和导数不存在的点的函数值， 并计算处端点的函数值，并比较大小。
应当指出的是，在研究函数的最值问题的时候，常常 会遇到一些特殊情况，此时，上述步骤可以适当简化，
（1）若函数 f (x) 在[ a,b ]上单调，则其最大（小） 值必然在区间[ a,b ]的端点上取得；
证明： 设 f (x) = x p + (1− x) p ，
则 f ′(x) = px p−1 − p(1− x) p−1 ，
f ′′(x) = p( p −1)x p−2 + p( p −1)(1− x) p−2 ，
令
f
′( x)
=
0 ，解得 x
=
1 2
；而
f
′′
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
>
0，
f
(1)
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
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（2）若 f (x) 在区间[ a,b ]（或 (a,b) 或 (−∞, +∞) 等）上 连续且可导，在 (a,b) 内有唯一驻点 x0 ，且 f (x0 ) 为极大 （小）值，则 f (x0 ) 必为 f (x) 在[ a,b ]上的最大（小）值；
（3）在实际问题中，若目标函数 f (x) 在[ a,b ]上连续，
在( a,b )内可导，且有唯一驻点 x0 ．如果能根据实际 问题的性质可以断定 f (x) 确有最大（小）值，而且一
定在区间内部取得，那么 f (x0 ) 必为最大（小）值．
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例 6 讨论函数 y = xx (x > 0) 的最值问题．
解题思路：
（1） y′ = xx (1 + ln x) (x > 0) ，得驻点为 x = 1
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三、第二充分条件（The Second Sufficient Condition）
定理 2（第二充分条件） 设函数 f (x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ′(x0 ) = 0 ， f ′′(x0 ) ≠ 0 ．则
（1）若当 f ′′(x0 ) < 0 时，函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值； （2）若当 f ′′(x0 ) > 0 时，函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值；
x→a
x→a x − a
（3） f ′′(a) = lim f ′(x) − f ′(a) = lim f ′(x) = −1 < 0
x→a
x−a
x→a x − a
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四、最值问题（Extreme Problems）
在很多学科领域与实际问题中，经常遇到在一定条件下 如何用料最省、成本最低、时间最短、效益最高等问题， 这类问题我们称为最优化问题. 在数学上，它们常归结为 求某一个函数（称为目标函数）在某个范围内的最大值、 最小值问题（简称为最值问题）．
且在 x = 0 处导数不存在。 （2） 根据驻点与导数不存在点左右两端的 符号确定是否极值点。
答案：有 ( x1, f (x1)) 和 (0, f (0)) 两个极大值点； 有 ( x2 , f (x2 )) 和 ( x3 , f (x3 )) 两个极小值点。
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