第四章_4(误差统计)
第四章 几何公差与几何误差检测-4
② 保证机床工作台、刀架的运动精度则对导轨提出直线度 “ ”或平面度“ ”
③ 安装齿轮的箱体孔为保证齿轮的正确啮合，提出孔心线的
平行度“
”；
④ 定位孔、分度孔一般不用尺寸公差而是标“ 寸误差的累积。
”以避免尺
(3)满足功能要求的前提下应选用测量简便的项目
同轴度“ ”常用圆跳动“ ”代替,不过 应注意,圆跳动是同轴度和圆度形状误差的综合, 故代替时给出的圆跳动公差值应略大于同轴度公 差值,否则会要求过严。
图样上是否注出几何公差要求的原则：①凡几何公差要求用一般机床加 工能保证的，不必注出，其公差值要求应按GB/T1184-1996《形状和位置 公差未注公差值》执行。②对于那些对形位精度有特殊要求的要素，应按 标准规定在图样以公差框格的形式注出，但请注意：几何公差无论标注与 否，零件都有几何精度要求。
1、形状误差及其评定
●形状误差是指实际单一要素对其理想要素的变动量。 理想要素的位置应符合最小条件。
实际被测轮廓线的直 线度误差值为f1。
未注公差各分H、K和L三个公差等级（它们的数值分别见 附表4-4至附表4-7 ），其中H级最高，L级最低。 ❖ 圆度的未注公差值等于直径尺寸的公差值，但不得大于径 向跳动的未注公差。 ❖ 圆柱度的未注公差可用圆柱面的圆度、素线直线度和相对 素线间的平行度的未注公差三者综合代替。其中每一项公 差可分别由各自的未注公差控制。 ❖ 平行要素的平行度的未注公差值等于要求平行的两个要素 间距离的尺寸公差值，或者等于该要素的平面度或直线度 未注公差值中较大值，基准要素则应选取要求平行的两个 要素中的较长者。
（2）基准中心要素： 基准中心要素相对于 理想边界的中心允许 偏离时。如同轴度的 基准轴线。
2、有时IP、ER、MR都能满足同一功能要求，但 在选用时应注意它们的经济性和合理性，下面 就单一要素孔、轴配合的几个方面来分析独立 原则IP与包容要求ER的选择。见P106.
统计学第四章课后习题答案
第四章一.思考题1、一组数据的分布特征可以从哪几个方面进行测度？答：可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的形状，反映数据分布的偏态和峰态。
2、怎样理解平均数在统计学中的地位？答：平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。
从统计学思想上看，平均数是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然结果。
3、简述四分位数的计算方法。
答：四分位数是一组数据排序后处于25%和75%位子上的值。
四分位数是通过3个点将全部数据等分成4分，其中每部分包含25%的数据。
中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值和处在75%位置上的数值。
它是根据为分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置，该位置上的数据就是四分位数。
4、对于比率数据的平均数为什么采用几何平均？答：几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，主要适用于计算平均比率。
当所掌握的变量值本身是比率的形式时，采用几何平均法计算平均比率更为合理。
5、简述众数、中位数、平均数的特点和应用场合。
答：众数是数据中出现次数次数最多的变量值。
主要应用于分类数据。
中位数是一组数据排序后处于中间位置的变量值，其适用于顺序数据。
平均数也称均值，它是一组数据相加后除以数据个数的结果，是集中去世的主要测量值，它适用于数值型数据。
6、简述异众比率、四分位差、方差、标准差的使用场合。
答：异众比率主要适合测度分类数据的离散程度，对于顺序数据以及数值型数据也可以计算异众比率。
四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。
方差和标准差适用于测度数值型数据的离散程度。
7、标准分数有哪些用途？答：首先是比较不同单位和不同质数据的位置。
其次是和正态分布结合起来，求得概率和标准分值之间的对应关系。
还有就是在假设检验和估计中应用。
测量学讲稿第四章 测量误差及测量数据
第四章 测量误差及测量数据初步处理通过前几章的学习，我们会发现：水准测量中闭合路线的高差总和往往不等于零；用经纬仪观测同一水平角，上下半测回的角值不完全相同；同一段距离往返丈量的结果也不一定相等。
这些差异现象的存在，表明测量观测值中含有误差。
§4—1 测量误差及测量精度1，误差概念及误差来源1）观测对象的量是客观存在的，称为真值。
2）真误差：观测值为i l （n i ,,2,1 ），某观测值的真值为x ，则两者差数x l i i （n i ,,2,1 ） （4—1）称为真误差3）产生原因：人，仪器，外界条件。
这三者称为观测条件。
4）同精度观测：在相同的观测条件下进行的一组观测，得到的观测也应相同称为同精度观测。
2，误差分类及特征1，误差分类：根据观测误差对观测结果的影响性质，可将其分为系统误差和偶然误差： （1）系统误差系统误差是在一定的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小均保持不变，或按一定规律变化着的误差。
产生的原因：主要是使用的仪器和工具不够完善及外界条件改变所引起的。
如水准尺的1m 刻画与1m 真长不等，水准仪的视准轴与水准轴不平行，大气折光对测角的影响等。
系统误差对观测成果具有累积作用，应设法消除部分或全部的系统误差，方法有：1）在观测方法和程序上采取必要措施，如水准测量中的前后视距保持相等，分上下午进行往返观测，三角测量中正倒镜观测，盘左、盘右读数，分不同的时间段观测等；2）分别找出产生系统误差的原因，利用已有公式，对观测值进行改正，如对距离观测值进行必要的尺长改正、温度改正、地球曲率改正等。
（2）偶然误差偶然误差是在相同的观测条件下作一系列观测时，误差符号和大小都表现出随机性，即大小不等，符号不同，但统计分析的结果都具有一定的统计规律性。
偶然误差是：由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件的影响等原因造成的。
如仪器本身构造不完善而引起的误差，观测者的估读误差，照准目标时的照准误差等，不断变化的外界环境，温度、湿度的忽高忽低，风力的忽大忽小等，会使观测数据有时大于被观测值的真值，有时小于被观测值的真值。
4 第四章 均数的抽样误差与t分布
统计推断包括两个方面： 统计推断包括两个方面： 参数估计（ 1、参数估计（总体均数的可信区 间估计） 间估计） 假设检验（均数的假设检验） 2、假设检验（均数的假设检验） 两样本均数必较（ 检验、 ⑴、两样本均数必较（u检验、 检验） t检验） 多样本均数必较（ 检验） ⑵、多样本均数必较（F检验）
t分布
（t - distribution） distribution）
从正态总体中随机抽取含量为n 从正态总体中随机抽取含量为n的若 干样本，由样本算得样本均数x 干样本，由样本算得样本均数x，x服从 正态分布， 则称为正态变量。若已知µ 正态分布，x则称为正态变量。若已知µ， 但未知σ 为了应用方便，可用s代替σ 但未知σ，为了应用方便，可用s代替σ， 求得σ 的估计值S 正态变量x 求得σx的估计值Sx，正态变量x可作变量 变换：t=(x变量变成t变量。 变换：t=(x-µ)/Sx, x变量变成t变量。每 个样本x可算得一个t变量， 个样本x可算得一个t变量，所有可能含量 的样本的t值构成t变量总体， 分布。 为n的样本的t值构成t变量总体，即t分布。
可信区间的两个要素
1.准确度 反映在可信度1 1.准确度：反映在可信度1–α的大 准确度： 小上，即区间包含总体均数的概率大小。 小上，即区间包含总体均数的概率大小。 概率越大越准确。 概率越大越准确。 2.精度 反映在可信区间的长度上。 2.精度：反映在可信区间的长度上。 精度： 长度越小越精密。 长度越小越精密。 在 n 确定的情况下，二者是矛盾的。 确定的情况下，二者是矛盾的。 (α ↓, tα.ν ↑) 如提高可信度 ，则区间变 在可信度确定的情况下， 长。在可信度确定的情况下，增加样本 减小区间长度， 例数 (SX ↓, tα，减小区间长度，提高 ↓) .ν 精度。 精度。
第四章 放射性测量中的统计误差
第四章放射性测量中的统计误差核事件发生的数目，例如，在一定时间内放射性原子核的衰变数，带电粒子在介质中损耗能量所产生的离子对数，都具有随机性，亦即统计涨落。
在粒子探测器中测量的粒子计数，也有统计涨落。
研究这些现象，对于了解核事件随机性方面的知识，对于合理地安排放射性实验，正确地处理测量数据和分析测量数据及指标，是必要的。
本章着重讨论放射性测量中的一些统计涨落计算问题。
§1 核衰变数和计数的分布问题的提出：在任何一次放射性强度的测量中，即使所有的测量条件都保持不变，如源的活度，源的位置，仪器的各项指标等。
若多次记录探测器在相同的时间间隔中所测到的粒子数目，就会发现，每次测到的计数并不完全相同，而是围绕某个平均数往上，下涨落。
我们把这种现象叫做放射性计数的统计涨落。
这种统计涨落，不是由于测量条件的变化引起的，而是由于原子核衰变的随机性引起的，它是一种客观现象。
既然是客观现象，这种涨落本身有什么规律性呢？（规律：事物之间的本质联系），这是本节要讨论的问题。
一、二项分布①二项分布假定有许多相同的客体，其数目为N，它们中的每一个都可以随机地归为A类或B类。
设归为A类的概率为p，归为B类的概率为p+q=1。
现考虑试验后归为A类的数目为ξ，可以证明ξ为随机变量。
ξ服从二项分布。
个客体中发现有n个属考虑ξ取值为n的概率。
设从N于A类的概率为P（n）。
N个客体是不可区分的，对于n个客体归为A 类的概率为p n ，还有（N 0-n ）个客体归为B 类的概率为从N 0个中取出n 的组合数为n N q -0)!(!!000n N n N C n N -=故从N 0个客体中发现有n 个属于A 类的概率为nN n n N q p C n P -=00)( 这是二项分布的概率密度。
②二项分布的期望值和方差对于一种分布，通常用两个特征量—数学期望和方差来描述。
数学期望在物理学中也叫平均值，它表示随机变数取值的平均值。
分析化学第四章误差与实验数据的处理
x
第三章误差与实验数据的处理
三、随机误差的区间概率
这样，对于任何正态分布，测定值落在区间(u1u2)的概 率 P(U ,U ) 相应地可由标准正态分布算出：
1 2
P(u1 xu2 )
1 2
u2
u1
e
1 u2 2
du
实际应用中，把每个区间的积分结果计算好，列成表供查用。 例1：某标样中Co的标准值为1.75%，σ=0.10，求分析结果大 于2.00 %的概率。
n 1 ( xi x ) n 1 i 1 2
n 1 2 d i n 1 i 1
在上例中,如用S来衡量,则:
2 2 （0.3） （0.2） ...... (0.3) 2 S甲 0.26 10 1
2 2 （0.1 ） （0.7） ..... (0.1) 2 S乙 0.41 10 1
2 1 n u) ( x i n i 1
第三章误差与实验数据的处理
（三）平均值的标准偏差
总体（母体）：一定条件下无限多次测定数据的全体。
样本：随机从总体中抽出的一组测定值。
样本大小（样本容量）：样本中所含测定值的数目。
第三章误差与实验数据的处理
如果从同一总体中随机抽出容量相同的数个样本， 由此可以得到一系列样本的平均值。 m个n次平行测定的平均值： X 1 , X 2 , X 3 , X m
误差和实验数据的处理
❖误差表示分析结果偏离真值的程度， 而偏差表示数据分散的程度。
14
四、系统误差与随机误差
1、系统误差
又称为可测误差，它是由于分析过程中某些固 定的原因造成的，使分析结果偏低或偏高。 A特点 重复性；单向性；可测性 B产生原因： （1）方法误差（重量分析中，沉淀的溶解损 失、共沉淀现象、灼烧过程中沉淀的分解或挥
4
27
置信度高，置信区间大。区间的 大小反映估计的精度，置信度的 高低说明估计的把握程度。 例5：书p114：17
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三、 可疑测定值（cutlier）的取舍
在实验中得到一组数据，个别数据离群 较远，这一数据称为异常值、可疑值或极端 值。若是过失造成的，则这一数据必须舍去。 否则异常值不能随意取舍，特别是当测量数 据较少时。
▪σ：无限次测量的标准偏差
▪μ真值：无限次测量的平均值
或总体平均值
▪对于无限次测定，结果落在
μ±σ 范 围 内 的 概 率 是 68.3% ；
落 在 μ±2σ 范 围 内 的 概 率 是
95.5%；落在μ±3σ范围内的概
率是99.7%。
▪ 这种测定值在一定范围内出
现的几率称为置信度p。
y f x
在无系统误差存在的前提下，μ= xT 6
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则， 从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这 2000mL样品水是供分析用的总体，如果从 样品水中取出20个试样进行平行分析，得到 20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样 品水的一个随机样本，样本容量为20。
7
5、绝对偏差、相对偏差、样本平均偏差 2 2 几率(1-p)称为显著性水平α。
2
(完整版)第四章误差与实验数据的处理-答案
第四章误差与实验数据的处理练习题参考答案1. 下列各项定义中不正确的是( D)（A）绝对误差是测定值和真值之差（B）相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率（C）偏差是指测定值与平均值之差（D）总体平均值就是真值2. 准确度是（分析结果）与（真值）的相符程度。
准确度通常用（误差）来表示，（误差）越小，表明分析结果的准确度越高。
精密度表示数次测定值（相互接近）的程度。
精密度常用（偏差）来表示。
（偏差）越小，说明分析结果的精密度越高。
3. 误差根据其产生的原因及其性质分为系统误差和（随机误差）两类。
系统误差具有（重复性）、（单向性）和（可测性）等特点。
4. 对照试验用于检验和消除（方法）误差。
如果经对照试验表明有系统误差存在，则应设法找出其产生的原因并加以消除，通常采用以下方法：（空白试验），（校准仪器和量器），( 校正方法)。
5. 对一个w(Cr)=1.30%的标样，测定结果为1.26%，1.30%，1.28%。
则测定结果的绝对误差为（－0.02%），相对误差为（－1.5%）。
6. 标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。
（√）7. 比较两组测定结果的精密度（B）甲组：0.19％，0.19％，0.20％，0.21％，0.21％乙组：0.18％，0.20％，0.20％，0.21％，0.22％（A）甲、乙两组相同（B）甲组比乙组高（C）乙组比甲组高（D）无法判别8. 对于高含量组分（>10%）的测定结果应保留（四）位有效数字；对于中含量组分（1%～10%）的测定结果应保留（三）位有效数字；对于微量组分（<1%）的测定结果应保留（两）位有效数字。
9. 测定的精密度好，但准确度不一定好，消除了系统误差后，精密度好的，结果准确度就好。
（√）10. 定量分析中，精密度与准确度之间的关系是( C)（A）精密度高，准确度必然高（B）准确度高，精密度也就高（C）精密度是保证准确度的前提（D）准确度是保证精密度的前提11. 误差按性质可分为（系统）误差和（随机）误差。
第四章抽样误差与假设检验
分布的界值
t分布的界值
t分布界值示意图，表示阴影的面积
习题
一、名词解释
1.抽样误差 2.均数标准误 3.置信区间
习题
3.σ未知且n较小时，按t分布计算总 体均数的可信区间
双侧 1 可信区间为：
X t 2， SX
思考
总体均数可信区间与 参考值范围的区别和联系？
第三节 t 分布
X ~ N,(标,准正2 )态分布与U统计量
U X ~ N (0,1) n
实际研究中未知，用样本的标准差S作为
的一个近似值(估计值)代替，得到变换后的 统计量并记为
4.30
154.1-
94
9.40
13.70
154.7-
191
19.10
32.80
155.3-
255
25.50
58.30
155.9-
216
21.60
79.90
156.5-
116
11.60
91.50
157.1-
63
6.30
97.80
157.7-
20
2.00
99.80
158.3-158.9
2
0.20
100.00
注意区别：
SX
SX n
S 和S X
和 X
第二节 总体均数的估计
参数的估计
点估计：将样本统计量作为 总体参数的估计
区间估计：按预先给定的概率确定 一个包含未知总体参数的范围，称 为参数的可信区间或置信区间 (confidence interval,CI)
第四章第4节定位误差的分析与计算 (2)
例中由于工件的重力作用使 得工件向单一方向位移，故
j,y
TD
Td 2
X
（也叫定位副制造不准确误差）。
刀的位置不动
工序基准的位 置变化了 工件的线条已组合在一起，可在PPT编辑状态下移动黄色的线条进行演示。
上述两项定位误差是相 互独立存在的，所以对 于工序尺寸A总的定位 误差为
d (B) j,b(B) j,y(B) 0 2h tan 2h tan
例题
工件底面已加工过， △jy ＝0
图a为零件图，图 b 铣顶面工序中，H尺寸定 位基准与设计基准重合，不存在△jb。而图c 铣台阶面工序中，A尺寸由于基准不重合而 存在△jb，设计基准在H+TH与H-TH之间变 化，∴△jb=2TH 。
工件的定位基准(基面)和定位元件工作表面 本身存在制造误差会引起基准位移误差；
上述两种情况都会引起工件的工序基准偏 离理想位置，引起工序尺寸产生加工误差。
工件的工序基准沿工序尺寸方向上发生的
最大偏移量称为定位误差，用 d 表示。
（也叫定位副制造不准确误差）。
定位误差
定位误差 d 包括两个部分：
当心轴垂直放置时：
仍以上述工件钻孔为例，在立式钻床上钻孔并保证工 序尺寸A。从下图可看出，工序基准偏移范围，是以 心轴轴线为圆心，直径为最大配合间隙的圆。
工序基准为孔的轴线--图中 蓝色的点，它可以在粉色 的圆内任意位置处。 工序基准偏移的方向是向 四向方向的，也可以说成 是双向或多向的偏移。 在工序尺寸方向上的偏移 即图中的Z向(正反两个方 向)上的偏移，造成了基准 位移误差
d (H ) j,b(H ) j,y(H ) 0 0 0
对于工序尺寸B，它的工序 基准和定位基准都是K2平 面，由于平面K1与K2之间 存在垂直度误差( 90o ), 因此，在调整好的机床上加 工一批工件时，将引起工序 基准位置发生变化，故工序 尺寸B也随之产生加工误差， 其定位误差为：
第四章测量误差统计分布
1 n
x1
x
1
n
~ n 1
2 i
2）当xi ~ N ( , 2 ),互独立，已知，则 xi ~ N (0, 2 )，有
1 n
x1
x
n 1
i
~ n 1
2
3）当xi ~ N , 2 ，且未知时，有
x1 x ˆ s
y2 1 2 y i n 1 2
n
~ (n 2)
变量的N 0, 2 形式，且yi间要保持相互独立。
可见当未知且要用x 取代时，通过正交变换 ，使yi变量变成适合构造
4, 分布函数值与数表
用数值积分法计算τ(n-2) 的分布函数值和 p.分位值.
x x 0
F ( x) n 2 (t )dt
0
t 2 n4 (1 ) dt n2 n 1 (n 1) ( 2 )
1 ( n2 )
1 ( n2 )
( P.145. 附表1) ( P.147. 附表2)
x
x
n2 (t )dt
x
x
t 2 n4 (1 ) dt 1 p n2 n 1 (n 1) ( 2 )
x
2
n
~ t n 1
2 i
x / ~ N (0,1) n i 2 2 2 xi / ~ ( n 1) 2
有: T
n 1 n
，
nT n 1 T
2
T n 1与 n 1的关系
3) τ分布的概率密度
例：对 X ~ N ( , 2 )
第四章随机误差与系统误差
正态分布的概率计算
p p(x)dx 0.6827 2
p p(x)dx 0.9545 2 3
p p(x)dx 0.9973 3
σ前的系数1、2、3，与置信概率有关，称为置信因子，在不确定 度评定时，又称包含因子，以区别于传统统计理论
常用的非正态分布
1、均匀分布（矩形分布） P(x)
例
对某一量进行10次测量，测量结果和计算结果见表所示。是判别该测 量结果中有无系统误差。
测量 序号
测得 值
残差
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
102.7 102.5 102.3 101.9 101.6 101.4 101.2 101.1 100.9 100.7
+1.07 +0.87 +0.67 +0.27 -0.03 -0.23 -0.43 -0.53 -0.73 -0.93
6
4、反正弦分布（U形 分布）
p(x)
1 ................x a a2 x2
0..............................x a
标准偏差
（x） a
2
-a
0
+a
3.随机误差的评定
随机误差按统计方法来评定，如用算术平 均值来评定测量结果的数值，实验标准偏 差、算术平均值实验标准偏差来评定测量 结果的分散性。
解：从表中计算结果中可以看出，残差有规律地由大到小，由正到负。 说明测量结果中有线性变化的系统误差。
用残差核算法解：前5次测量残差之和为2.85，后5次测量残差之和为2.58.两者之差⊿=2.85-（-2.58）显著不为零。所以可以认为有可变线 性误差存在。
统计第四章
补充
平均差有时候也可以用中位数来求：
∑ X −M AD=
i
d
n评价Biblioteka 优点：（1）反应灵敏，每个数据都参与了计 算，所以能较好地反映次数分布的离散程度。 （2）意义明确。如果将一个观测值与平均数 的离差看作误差，平均差就是误差平均的结果， 离差有正有负，和为0，所以取绝对值。 缺点：计算时用绝对值，不适合进一步代数运 算，这大大限制了它的应用范围。
四分位差
Q3 − Q1 Q= 2 1 × N − Fb Q1 = Lb + 4 ×i f 3 × N − Fb Q3 = Lb + 4 ×i f
百分位差
P 9 0 − P1 0 P9 3 − P7
二、 百分等级分数
百分等级是指某个数值在以一定顺序排列的一组观察 值中所对应的百分位置，用PR表示。它是百分位数的 逆运算。由此可见百分等级分数和百分位分数是不同 的。百分位分数是预先确定分布中的某个百分点，然 后根据这个百分点去求相应的百分位分数；百分等级 分数则相反，是事先已知次数分布中的一个原始分数， 求这个原始分数在分布中所处的相对位置——百分等 级。 百分等级分数：次数分布中低于某个原始分数的次数 百分比，即原始数据在常模团体中的相对位置。
第三节 标准差的应用
一、相对差异量 绝对差异量数与其集中量数的比。 二、应用
种类
1、四分差系数：Q ' D ' = Q D × 1 0 0 %
M
d
2、平均差系数：A ' D ' =
AD ×100% M AD A' D ' = ×100% Md
3、差异系数、变异系数、相对标准差、标准差 系数：
s s CV = × 100% = × 100% M X
第四章 设定误差(20140422)讲解
第四章模型的设定误差我们已经知道OLS方法是计量经济学的重要估计工具，是回归模型参数估计的核心方法。
该方法经常用于对大量数据集的分析，因为它是在对方程做出最简单的一组假定条件下推导出来的。
并且，由此得到的参数估计不仅具有令人满意的统计性质，还能得到一系列统计分布，这为进一步的统计推断建立了基础。
但是，上述所做的一切，即建立的样本回归模型距离真实的理论模型相差多远？包括变量和模型的函数形式。
对这一类问题的分析就是模型的设定误差分析。
本章主要内容：1、设定误差的概念。
2、设定误差的表现类型。
变量引起的设定误差——遗漏变量、多余变量3、测量误差——解释变量具有测量误差、被解释变量具有测量误差、解释变量和被解释变量均具有测量误差。
4、设定误差的检验。
内容可参见教材，庞皓，计量经济学，科学出版社，2005年，第九章。
第一节设定误差概述一、什么是设定误差一个计量经济模型能否正确地描述和解释经济现象（被解释变量）与影响因素（解释变量）之间存在的真实的客观关系，被称为模型的设定问题。
计量经济模型是对变量间经济关系因果性的设想，若所设定的回归模型是“正确”的，主要任务是对所选模型的参数进行估计和假设检验。
但是如果对计量模型的各种诊断或检验总不能令人满意，这时应把注意力集中到模型的设定方面。
考虑如下问题：所建模型是否遗漏了重要的变量？是否包含了多余的变量？所选模型的函数形式是否正确？随机扰动项的设定是否合理？被解释变量和解释变量的数据收集是否有误差（测量误差）？所有这些，在计量经济学中被统称为设定误差。
在设定模型时包括以下内容，模型中解释变量的构成、模型的函数形式以及随机扰动项的若干假定等。
如果关于这些内容的设定与客观实际（真实模型）不一致，利用计量经济模型来描述经济变量的关系时，就会产生误差，我们把这种误差称为设定误差。
二、设定误差的类型从误差来源看，设定误差主要包括 1、变量的设定误差包括遗漏相关变量（欠拟合），误选无关变量（过拟合）。
误差理论_第四章_不确定度
第一节 测量不确定度的基本概念
三、不确定度的应用领域
一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制，以 及商品流通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控 制和建立质量保证体系的质量认证活动； 建立、保存、比较溯源于国家标准的各级标准、仪器和 测量系统的校准、检定、封缄和标记等计量确认活动； 基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以及 实验室认可活动； 用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评 定，以及对测量和测量器具的设计和合格评定。
3
15
第一节 标准不确定度的评定
几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计
（3）示值误差
某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而 制造的，经检验合格，其最大允许误差为 a
按均匀分布考虑，故标准不确定度为 u ( x) a 0.6a
3
（4）仪器基本误差
设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量 时，可能达到的最大误差限为 a
情形3 按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由 度 eff（或 ） 1 1 1 1
2 ( s) 2 s
2 (u ) 2 20 u
第二节 标准不确定度的评定
A类评定的自由度
最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式
n 1
最终的不确定度
第一节 测量不确定度的基本概念 六、不确定度评定方法的分类
A类评定（type A evaluation of uncertainty） 指用对样本观测值的 统计分析 进行不确定度评 定的方法。 B类评定（type B evaluation of uncertainty）
指用 不同于统计分析 的其他方法进行不确定度评 定的方法。
误差原理第四章 最小二乘法
——在温度 下铜捧长度的测得值；
i
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0x1,y0x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
根据误差方程，我们可列出正规方程 又
将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
4.2精度估计 一、测量数据的精度估计 1. 等精度测量数据的精度估计
例4-4 试求例4-1中铜棒长度的测量精度。 解 已知残余误差方程
可得残余误差为
则标准差为 2．不等精度测量数据的精度估度估计
标准差为
式中 ——测量数据的标准差
2. 不等精度测量的情况 不等精度测量的情况与等精度的类似
例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
测量数据 l i 的标准差为
求解不定乘数的方程为
解得 估计量的标准差为 因 故
例4-6 已知 x1 35.3 ，测得x i x j 的值为 l i j ，并已知 l12 69.5 l13 4.4, l14 28.3, l23 64.4, l24 42.1, l34 21.9 试用最小二乘法求 x2 , x3, x4 及其误差。
x (1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量， 所得结果 r 即可作为其近似值。
(2)利用部分方程式进行计算。
例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
取方程组中前二式，令 v1 0,v2 0，则可得 R 1 与 R 2
的近似值，即
将函数在 R10 , R20 处展开，取一次项，有
代入残差方程，得线性残差方程 五、对同一量重复测量数据的最小二乘法
第四章 误差分析
n
i i
w
i 1
i
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时
（3）对数平均值（logarithmic mean）
设两个数：x1＞0，x2 ＞0 ，则
x1 x2 x1 x2 x2 x1 xL x1 x2 ln x1 ln x2 ln ln x2 x1
说明：
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值 对数平均值≤算术平均值 如果1/2≤x1/x2≤2 时，可用算术平均值代替
n
x1 x2 ... xn x n
适合：
x
i 1
i
n
等精度试验值 试验值服从正态分布
（2）加权平均值(weighted mean)
加权和
w1 x1 w2 x2 ... wn xn xW w1 w2 ... wn
wi——权重
w x
i 1 n
2 2 2 若 1 2 2
则判断两方差无显著差异，否则有显著差异
单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ：
左侧（尾）检验 ：
若
2 2 (1 ) (df )
则判断该方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小
右侧（尾）检验 若
2 2 (df )
则判断该方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大 （3）Excel在 检验中的应用
2
4.5.1.2 F检验(F-test) （1）目的：
对两组具有正态分布的试验数据之间的精密度进行比较 （2）检验步骤 ①计算统计量 设有两组试验数据： x1(1) , x2(1) ,, xn (1) 和 x1(2) , x2(2) ,, xn (2) 1 2 都服从正态分布，样本方差分别为 s12 和 s12 ，则
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图4-45
σ对正态分布曲线的影响
σ大,曲线平坦(随机变量x分散，随机误差大)， 曲线平坦( σ小,曲线陡峭(随机变量x集中，随机误差小)。 曲线陡峭(
图4-45
思考题： 思考题：随机变量 x落在 x1 至 落在 x2 范围内的概率是多少？ 范围内的概率是多少？
F ( x) = ∫ y ( x)dx
反映了统计量的瞬时聚集中心 其规律可以反映出系统变值误差的规律
(2)各组极差 (2)各组极差 R i = ( xmax - xmin)
反映了统计量的瞬时分散程度 其规律可以反映出系统随机误差的变化
点图分析法
误 差
系统 常值 误差 系统 变值 误差
工件顺序 极 差
随机误差
工件组序
4.4 机械加工表面质量
步骤1： 步骤 ：绘制正态分布图
xmin = 70
±3σ＝０.1２ ＝ ２
x = 70.08 xmax = 70.2
步骤2： 步骤 ：标准化变换
z1 = ( xmax − x ) / σ = (70.2 − 70.08) / 0.04 =3
z2 = (x − xmin) / σ = (70.08− 70) / 0.04 = −2
3、正态分布曲线的作用 、
由于小概率事件通常是不会发生的（ 由于小概率事件通常是不会发生的（ 忽略0.27%的可能性 ） ， 完全正常的切削 的可能性） 忽略 的可能性 加工中， 加工中，取 T（工件公差） > 6σ 即可满足要求。 （工件公差） 即可满足要求。
工序能力系数： 工序能力系数： Cp =T / 6σ
（1）车刀安装高了（刀尖高于工件中心）； 车刀安装高了（刀尖高于工件中心） （2）刀具磨损明显； 刀具磨损明显； （3）毛坯余量不一、硬度不匀； 毛坯余量不一、硬度不匀；
请问：工件加工误差有何规律？ 请问：工件加工误差有何规律？
4.3.1 加工误差的性质
系统误差 常值 — 大小方向保持不变 变值 — 大小方向按一定规律变化 随机误差 — 大小方向变化是随机性 粗大误差—意想不到的非正常变化现象 粗大误差 意想不到的非正常变化现象
(1) 正态分布曲线的主要特征参数
算术平均值
1 x = ∑ xi n i =1
n
n
随机变量的标准差
1 2 σ= ∑ ( xi − x ) n i =1
随机变量的分布概率密度
(x − x) y ( x) = exp[− ] 2 2σ σ 2π 1
2
(2) 正态分布曲线的主要特点
随机变量为平均值的频数最高(出现最多 随机变量为平均值的频数最高 出现最多) 出现最多
+0.2 0
mm
xmin = 70
实际均值与设计均
±3σ＝０.1２ ＝ ２
值不重合说明什么？ 值不重合说明什么？
x = 70.08 xmax = 70.2
概率分布图中的加工误差
实际均值与设计均值(公差带中心 不重 实际均值与设计均值 公差带中心)不重 公差带中心 合说明什么？ 合说明什么？ 加工时工艺系统存在常值性系统误差 工件尺寸的实际分布中心-公差带 ε： ε=工件尺寸的实际分布中心 公差带 工件尺寸的实际分布中心 中心=70.1-70.08=0.02mm 中心 工艺系统的随机误差为： 工艺系统的随机误差为： 6σ=6*0.04=0.24mm σ
P= ϕ( Z 1)+ ϕ( Z 2）
(X1、x2位于x的异侧。) 的异侧。
例4-3
+ 镗床上镗孔， 镗床上镗孔，要求孔径 φ 70 0 0.2 mm 。
实际加工后， 实际加工后，孔径尺寸按照正态分 布， x = 70.08mm, σ = 0.04mm。 试计算这批工件的合格品率和不合 格率。 格率。
思考题（ ） 思考题（2）
孔径设计尺寸：φ 70
ε x设计,公差带中心 = 70.1
常值性系统误差ε可 常值性系统误差ε 能是什么原因造成的？ 能是什么原因造成的？
+0.2 0
mm
xmin = 70
±3σ＝０.1２ ＝ ２
如何消除常值性系 统误差ε 统误差ε ？
x = 70.08 xmax = 70.2
4.3.2 分布图分析法
生产（ 大批量 正常 生产 （ 无变值性系统 误差， 各随机误差间相互独立 ， 没 误差 ， 各随机误差间相互独立， 有起主导作用的因素） 有起主导作用的因素 ） 中的客观规 律是： 律是：
加工误差符合正态分布曲线
1、正态分布曲线 、
随机变量的分 布概率密度
随机 变量
图4-44
x1
x2
2、工件尺寸概率计算 、
查表计算法。 查表计算法。
图4-35 工件尺寸概率分布
(1)正态分布曲线的标准化 正态分布曲线的标准化
ϕ (z )
z = ( x − x) / σ
y (x)
z
(2) 表4-2 工件尺寸概率计算
ϕ (z) =
1 2π
∫
z
0
z exp[ − ]dz 2
2
经过标准化后的z 随机变量 x经过标准化后的 经过标准化后的 相对于纵轴是左右对称的。 相对于纵轴是左右对称的。 表4-2仅列出右半部分的数据 仅列出右半部分的数据 即z=[0,+5]
5、分布图分析法的主要缺点 、
1、事后诸葛亮（马后炮） 事后诸葛亮（马后炮） 需要有一定的统计量才能说明问题 2、难以区别混杂系统变值误差与随机 误差。 误差。
4.3.3 点图分析法 课下自习) 点图分析法(课下自习 课下自习
1、设定每组统计的工件个数 k 2、顺序加工若干工件并逐个测量 取统计量： 3、取统计量： (1)各组平均值 xm i = ( x1+…+ xk)/k
加工表面质量包括哪些内容？ 1、加工表面质量包括哪些内容？ 2、机器零件的使用性能包括哪些内容？ 机器零件的使用性能包括哪些内容？ 3、加工表面质量将对使用性能产生什么 影响？ 影响？
4.4.1 加工表面质量(要求：掌握 要求： 要求 掌握)
1、加工表面的几何形貌 、 (1)表面粗糙度 表面粗糙度 (2)表面波纹度 表面波纹度 (3)表面纹理方向 表面纹理方向 2、表面层材料的物理力学性能 、 (1)表面层的冷作硬化 表面层的冷作硬化 (2)表面层的残余应力 表面层的残余应力 (3)表面层的金相组织变化 表面层的金相组织变化
基本内容
基本概念介绍与举例 加工精度影响与分析 加工误差统计与分析 机械加工的表面质量 机械加工过程中振动
4.3 加工误差统计与分析
加工误差的性质 评价加工精度的分析方法 分布图分析法 点图分析法
举例( 加工误差的性质) 举例( 加工误差的性质)
加工一批工件（ 有孔， 外圆… 加工一批工件 （ 有孔 ， 外圆 … ） ， 若考 虑以下影响因素： 虑以下影响因素：
系统误差的解决措施
系统常值误差 — 调整消除 系统变值误差— 系统变值误差 自动补偿
随机误差(random error)的分析 随机误差 的分析
实际生产中的原因是多方面的， 实际生产中的原因是多方面的，错综复 杂。应用单因素分析法往往需要花费较 大的代价。 大的代价。 加工误差的统计分析方法的实质是： 加工误差的统计分析方法的实质是： 的实质是 根据加工误差的统计规律寻找突破口。 根据加工误差的统计规律寻找突破口。
损。
控制： 根据零件使用工况 ， 选择其加工方 控制 ： 根据零件使用工况，
法及其加工过程中的刀具运行方向。 法及其加工过程中的刀具运行方向。
4.4.3（3）表面冷作硬化↑，耐磨性↑ （ ） 耐磨性↑
原因： 冷作硬化使表面层金属的显微硬 原因 ：
度提高， 摩擦副的弹塑性变形减少， 度提高 ， 摩擦副的弹塑性变形减少 ， 耐 磨性提高， 但太硬， 磨性提高 ， 但太硬 ， 将引起金属组织疏 金属剥落等，影响耐磨性。 松、金属剥落等，影响耐磨性。 控制： 根据不同材料的磨损量与冷作硬 控制 ： 化程度的变化规律， 化程度的变化规律 ， 确定最佳冷作硬化 硬度。 硬度。
举例
计算随机变量 x落在 x1 至 x2 落在 范围内的概率。 范围内的概率。
计算过程
根据： 根据： 得:
z = (x − x) / σ
z1 = ( x − x1 ) / σ z 2 = ( x2 − x ) / σ
查表4-2， 查表 ，得 ϕ( Z1)、ϕ( Z2)
范围内的概率P: 则随机变量 x落在 x1 至 x2 范围内的概率P: 落在
ymax
x
±3σ(6σ)原则 3σ(6σ)原则
x落在 落在±3σ范围内的概率为 范围内的概率为99.73%(参见表 参见表4-2)。 落在 范围内的概率为 参见表 。 通常小概率事件是不会发生的。 通常小概率事件是不会发生的。
（±3σ)
x 对正态分布曲线的影响
x 影响曲线的左右位置; x 的变化主要是系统常值误差引起的。
Cp =1.33 ⇒T = 0.32mm
∴0.24mm≺T ≤ 0.32mm
3、正态分布曲线的作用 、
确定工序能力（p152表４－６） 判断加工误差性质（正态分布
曲线是由系统常值误差和随机误差形 成的） 成的）
确定合格品率及不合格品率
4、其它分布曲线（p147） 、其它分布曲线（ ）
1、 平顶分布曲线 、 ２、双峰分布曲线 ３、偏态分布曲线
4.4.3（2）表面纹理 （ ） 呈圆弧状、 通常 表面纹理 呈圆弧状 、 凹坑状有利 于提高耐磨性； 对于运动副而言， 于提高耐磨性 ； 对于运动副而言 ， 表面纹 理与运动方向一致有利于提高耐磨性。 理与运动方向一致有利于提高耐磨性。
原因： 储存润滑油 ， 减少运动过程中的磨 原因 ： 储存润滑油，
孔小
其中：可修复品率 其中： =0.5- ϕ(-2) = 0.50.4772 =0.0228=2.28%