模型的建立与求解
数学规划模型的建立与求解(建模)
数学规划模型的建立与求解
一般地，优化模型可以表述如下：
min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ， i = 1, 2, , m
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。
许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早上 8:00，问他们最早何时离开公司？
数学规划模型的建立与求解
Step 1. 寻求决策，即回答什么？ 1. 同学甲、乙、丙、丁的面试次序 1）同学甲、乙、丙、丁每个阶段面试的开始时间 2）先后次序 2. 离开时间 Step 2. 确定决策变量 1. 同学甲、乙、丙、丁参加第j阶段面试的开始时间ti,j； 2. 同学甲、乙、丙、丁面试结束时间：T1，T2，T3，T4 3. 离开时间：T=max{ T1，T2，T3，T4} 4. 先后次序：ri,j，0—1变量 5. 面试时间（已知）：ci,j Step 3. 确定优化目标 Min T
数学规划模型的建立与求解
张兴元 2009 年 3 月
数学规划模型的建立与求解
1．优化问题及其一般模型
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的 问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格， 使所获利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各 供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小 …………
数学规划模型的建立与求解
Step 4. 寻找约束条件
模型的建立与求解
三、模型的建立与求解1.不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。
参数与变量：d: 雨中行走的距离；t: 雨中行走的时间；v: 雨中行走的速度；a: 你的身高；b: 你的宽度;c: 你的厚度；q: 你身上被淋的雨水的总量；w: 降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积S=2ba+2ca+bc是不变的，可认为是问题的参数。
雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间t=d/v问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。
考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：q=t*(w/3600)*s*0.01(m3)=(d/v)*(w/3600)*s* 10(L)模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。
设d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米方,再假设降雨强度w=2厘米/小时, v是模型中的变量。
模型表明：被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。
若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中将行走t=200秒。
由此，可得你身上被淋的雨水的总量为q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔细分析，这是一个荒唐的结果，你在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了2.44升的雨水（大约有四酒瓶的水量），这是不可思议的。
因此这表明，我们得到的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。
按照建模的程序，需要回到对问题所作的假设，推敲这些假设是否恰当。
这时我们发现不考虑降雨的角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了。
2、考虑降雨角度的影响此时降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了。
设雨滴下落的速度为 u（米/θ，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度。
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
数学中的模型建立与求解
数学中的模型建立与求解模型建立和求解在数学中是非常重要的工作。
通过建立数学模型，我们可以描述和解决各种实际问题，从而推动科学和工程的发展。
本文将探讨数学中的模型建立与求解的过程，并介绍一些常见的数学模型解决方法。
一、模型建立的基本思路在数学中建立模型的过程，可以分为以下几个基本步骤。
首先，需要明确问题的背景和目标，了解问题涉及的具体内容和要求。
接下来，需要对问题进行抽象，将实际问题转化为数学问题。
这一步骤需要运用到数学的各个分支知识，比如代数、几何、概率等。
抽象过程中要注意将问题中的变量、约束条件等要素准确地转化为数学表达式。
最后，需要对建立的数学模型进行分析和验证，确保模型的合理性和适用性。
二、常见的数学模型建立方法对于不同类型的问题，有不同的数学模型建立方法。
下面介绍几种常见的数学模型建立方法。
1.线性规划模型线性规划是一种常见的数学模型，在经济学、管理学等领域中广泛应用。
线性规划模型的目标是在一定的约束条件下，最大化或最小化一个线性函数。
建立线性规划模型时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并考虑到变量之间的线性关系。
2.微分方程模型微分方程模型是描述动态系统行为的数学模型，常常用来描述物理学、生物学等领域中的问题。
构建微分方程模型时，需要根据问题所涉及的变量和其变化规律，建立微分方程。
然后通过求解微分方程，得到系统的解析解或数值解。
3.概率模型概率模型主要用于研究随机事件和概率分布。
建立概率模型时，需要明确随机变量、概率分布和事件的关系。
通过分析概率模型，可以计算事件的概率、期望、方差等指标，并用于实际问题的决策和预测。
三、模型求解的方法模型建立之后，需要进行求解得到问题的解。
常见的模型求解方法有以下几种。
1.解析解法对于一些简单的数学模型，可以通过解析的方法得到准确的解析解。
解析法通常使用代数、几何等数学方法，将问题转化为方程求解或函数图形分析的问题，并通过求解方程或分析函数图像，得到问题的解析解。
模型的建立与求解
模型的建立与求解模型一的建立与求解根据2003-2013年海平面高度数据情况(附件一)，运用优化后的灰色模型 理论，Matlab 语言编程预测出2020年及2050年的海平面高度。
设2003年为第一年，第k 年的海平面高度记为 X 。
k ，则有原始数据列将原始数据累加，得到一次累加生成数列x (1) =(x ⑴(1), x (1)⑵，，x (1) (k))，t其中 x (1)(t) x (0)( n),t =1,2，…，kn z 4对x (t)建立微分方程为 dx © ax ⑴二u (其中a ，u 为待定系数)dt所以此时时间响应函数为x(t -1) =(x (0)(1) - U )e^t U a a 对叠加数据还原x (0)⑴二x(t) - x(t -1)得到海平面高度的预测曲线：由上预测曲线可以发现，在2024年时的预测海平面高度已经超过 450毫米, 这显然有悖于事实。
在这种预测方式下得到的预测结果偏离了海平面高度变化的 客观发展，说明灰色预测模型不适用于中长期的预测， 据此我们进行了修正，提 出了针对海平面上升x (0) =(X (0)(1)，x (0"2)，，x (0)(k))进行中长期预测的优化灰色模型。
优化模型灰色模型的时间响应函数，其形式可写为x(t - • C2由于上式变化速度过快导致了海平面预测值增长速度偏大，因而选取较缓慢的二次函数右支作为激励函数x(t^ at2 bt c (其中a，b，c为待定参数)(1)求解待定参数a，b，c令丫=[x(0)(1)，x(0)(2)，，x(0)(k)]T；U 二[a,b,c]T；广1a a aA=：：：k k b所以丫二A*C ,得U =(A T A)」A T Y用最小二乘法求得u⑵由于得到的是a，b，c的估值x(t)是一个近似表达式(与原数列区分)，对函数表达式x(t)进行离散，做差还原得到x(0)(t) : x(0)⑴=x(t) - x(t - 1)通过以上建立Matlab程序求解得x(t) =4.467t2• 25.56t 50.12由此得到了海平面预测的拟合图:图2用改进后的灰色模型预测深圳海平面高度从而得到2020年、2050年海平面预测高度分别为 181.905mm 和449.925mm. 计算2003-2013年的海平面预测值与实际值的相对误差，得下图由图可看出预测的海平面高度在实际高度上下波动， 幅度不是很大，在短期 预测得到的数据中是有一定的误差的，但对于长期预测应该是具有较好的效果。
高中数学数学建模的基本步骤和应用
高中数学数学建模的基本步骤和应用在高中数学学习中，数学建模是一项重要的技能，它将已学知识应用于实际问题的解决过程中。
本文将介绍高中数学数学建模的基本步骤和应用。
一、基本步骤1. 问题理解与分析：首先，我们需要理解和分析给定的问题。
明确问题的背景、条件和目标，确保对问题有全面的理解，并能提炼出关键信息。
2. 建立数学模型：在理解问题基础上，我们需要建立数学模型来描述问题。
数学模型是对实际问题的抽象与简化，通常由数学方程、函数或图形表示。
选择合适的模型是解决问题的关键。
3. 模型求解：一旦建立了数学模型，我们就需要求解模型以得到问题的解。
根据具体情况，可以采用解析方法、数值方法或计算机模拟等方式进行求解。
4. 模型验证与优化：完成模型求解后，我们应该对模型进行验证和优化。
验证是指根据问题的实际情况，对模型的可靠性和实用性进行检验。
优化是指对模型进行修改和改进，以得到更准确和可行的结果。
5. 模型分析与应用：最后，我们需要对求解结果进行分析和应用。
分析是指对结果进行解释和说明，找出问题的规律和特点。
应用是指利用结果解决实际问题，为决策提供科学依据。
二、应用案例1. 食品配送问题：假设一家餐厅需要将食品从仓库送到不同的客户处，每个客户对食品的需求量不同，仓库到客户的距离也不同。
我们可以建立数学模型，将餐厅、仓库和客户看作点，建立起点、路径和终点间的数学关系。
通过模型求解，确定最佳配送路径，以提高配送效率和降低成本。
2. 疫情传播模型：在疫情爆发时，我们可以利用数学建模来研究疫情的传播规律和控制策略。
例如，可以建立传染病传播的差分方程模型，通过调整模型中的参数，预测疫情的传播趋势，评估防控措施的效果，为疫情防控提供科学依据。
3. 人口增长模型：人口增长是一个复杂而重要的问题。
通过建立人口增长的微分方程模型，我们可以研究人口数量的变化趋势和影响因素，了解人口增长与资源分配、环境保护等问题之间的关系，以制定科学的人口政策。
最优化模型的建立与求解
最优化模型的建立与求解在现代社会中，各种资源的有限性和复杂性给企业和组织带来了难以解决的问题。
通过数学对各个问题进行建模，并对问题进行求解，是现代数学所解决的核心问题之一。
最优化模型的建立与求解，是一种有效的方法，可以帮助企业和组织更好地规划和管理资源。
一、最优化模型的概念与分类最优化模型是指根据给定的约束条件，通过建立数学模型，求解出最优的决策方案的过程。
按照求解的方式，最优化模型可以分为解析求解和数值求解。
解析求解是利用数学公式进行精确求解，其求解过程较为简单，但适用范围受限，只适用于一些简单的问题。
数值求解是通过计算机进行迭代计算得到方程的近似解或最优解的方法，较为适用于复杂的、高维度的问题，但是需要注意求解误差。
在实际的应用中，最常见的最优化模型有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论等。
其中，线性规划是一种最基本的最优化模型。
其建模过程简单，使用广泛，并且可以通过现有的算法求解。
整数规划是指限制决策变量为整数的线性规划问题，其求解过程相对于线性规划较为复杂，但可以处理更加真实的实际问题。
非线性规划是指决策变量在一定条件下满足非线性约束的最优化模型。
动态规划和图论是一种最优化模型，在解决多阶段决策和网络设计等问题中起着重要的作用。
二、最优化模型的建立方法最优化模型的建立是将实际问题转化为数学公式的过程。
建立方法一般分为以下三步。
1. 确定决策变量和约束条件在建立最优化模型时，需要先明确问题的量化指标，即问题包含哪些参量，以及这些参量之间的关系。
在确定决策变量时，需要考虑决策变量的意义、类型、数量以及相互之间的约束关系。
在确定约束条件时，需考虑问题本身的实际情况，遵循可行性原则，不违反现实约束条件。
2. 确定目标函数目标函数是最优化模型中最重要的部分，它描述了最终优化的具体内容和目标。
在确定目标函数时，应优先考虑问题的核心目标，为保证目标函数的正确性，可能需要对其进行重新构造、转化和调整，以使其符合实际情况。
数学模型的建立与求解
数学模型的建立与求解数学模型是通过对实际问题进行数学抽象和描述来进行分析和求解的工具。
在现代科学和技术领域中，数学模型广泛应用于生物、物理、化学、经济、管理、社会等多个领域。
通过数学模型的建立和求解，可以更好地理解和预测实际问题的发展趋势，并为实际问题的解决提供科学依据和指导。
本文将围绕数学模型的建立与求解进行详细探讨。
一、数学模型的建立数学模型的建立是将实际问题转化为数学问题的一个过程，主要包括以下几个方面：1. 问题的描述在建立数学模型时，首先需要对实际问题进行准确的描述。
问题的描述应该具体、清晰、明确、完整，同时需要考虑到问题的背景、条件、目标等方面的因素。
只有准确描述了问题，才能建立对应的数学模型。
2. 变量的定义在建立数学模型时，需要定义一定数量的变量。
变量通常是指与实际问题相关的物理量、质量、时间、空间等。
通过对这些变量的定义，方便后续建立数学方程进行分析和求解。
3. 建立数学方程建立数学模型的核心是建立数学方程。
数学方程可以是代数方程、微分方程、偏微分方程等。
在建立数学方程时，需要根据实际问题的特点和要求，选择合适的数学模型，建立相应的方程。
方程的建立需要合理运用数学知识和建模技巧，对问题进行抽象和理想化，同时需要注意方程的可行性和可解性。
4. 模型的验证建立数学模型后，需要对其进行验证。
验证的过程是检验问题解决方案的正确性和可行性。
验证可以通过理论推导、数据比对、实验验证等方式进行。
只有验证通过，才能认可数学模型的有效性和可靠性。
二、数学模型的求解数学模型的求解是对建立的数学方程进行求解，以找到符合实际问题的解决方案。
数学模型的求解通常可以分为以下几个步骤：1. 分析数学方程在对数学模型进行求解时，首先需要对所建立的数学方程进行分析。
分析数学方程可以得到方程的特点、性质、解的形式和范围等信息。
通过分析，可以确定数学方程是否可以求解，求解的方法和步骤。
2. 选择求解方法在对数学方程进行分析的基础上，需要选择合适的求解方法。
利用Matlab构建数学模型及求解方法详解
利用Matlab构建数学模型及求解方法详解引言数学模型在现代科学研究和实际应用中起着重要的作用。
利用数学模型，我们可以准确地描述问题，分析问题，并提供解决问题的方法。
而Matlab作为一种强大的数学软件，能够帮助我们构建数学模型并求解问题。
本文将详细介绍利用Matlab构建数学模型的方法和求解模型的技巧。
一、数学模型的基本概念数学模型是对真实世界问题的简化和抽象，以数学语言和符号进行表达。
一个好的数学模型应当能够准确地描述问题的本质，并能够提供解决问题的方法。
构建数学模型的基本步骤如下：1. 确定问题的目标和限制条件：首先，我们需要明确问题的目标是什么，以及有哪些限制条件需要考虑。
这些目标和限制条件将在后续的模型构建中起到重要的作用。
2. 建立假设：在构建数学模型时，我们通常需要做一些合理的假设。
这些假设可以简化问题，使得模型更易于建立和求解。
3. 确定数学表达式：根据问题的具体情况，我们需要选择适当的数学表达式来描述问题。
这些数学表达式可以是代数方程、微分方程、最优化问题等。
4. 参数估计：数学模型中通常会涉及到一些未知参数，我们需要通过实验数据或者其他手段来估计这些参数的值。
参数的准确估计对于模型的求解和结果的可靠性至关重要。
二、利用Matlab构建数学模型的方法在利用Matlab构建数学模型时，我们通常可以使用以下方法：1. 利用符号计算工具箱：Matlab中提供了丰富的符号计算工具箱，可以帮助我们处理复杂的代数方程和符号表达式。
通过符号计算工具箱，我们可以方便地推导出数学模型的方程式。
2. 利用数值计算工具箱：Matlab中提供了强大的数值计算工具箱，可以帮助我们求解各种数学问题。
例如，求解微分方程的常用方法有欧拉法、龙格-库塔法等，都可以在Matlab中轻松实现。
3. 利用优化工具箱：在一些优化问题中，我们需要求解最优解。
Matlab的优化工具箱提供了多种求解最优化问题的算法，如线性规划、非线性规划等。
数值计算模型的建立与求解方法
数值计算模型的建立与求解方法1. 引言数值计算模型的建立与求解方法对于解决现实世界中的复杂问题至关重要。
在科学、工程、经济等领域，数值计算模型的建立和求解能够帮助我们分析和预测不同系统的行为，在决策制定和问题解决中发挥着重要的作用。
本文将介绍数值计算模型的建立与求解方法的基本概念、技术和应用案例。
2. 数值计算模型的建立数值计算模型的建立是指将实际问题抽象为数学模型，通过数值方法来近似求解。
在建立数值计算模型时，需要考虑以下几个关键因素：2.1. 问题的数学描述首先，需要将实际问题转化为数学形式，即用数学语言描述问题的基本规律和约束条件。
例如，在物理学中，可以用微分方程或偏微分方程来描述自然界中的物理现象。
2.2. 离散化接下来，需要将连续问题离散化为离散的数值问题。
通过将空间和时间分割成一系列小的单元或网格，用离散点上的数值代表连续函数的值，从而将原问题转化为离散的代数问题。
2.3. 边界条件的处理在建立数值计算模型时，还需要考虑问题的边界条件。
边界条件是指问题在定义域边界上的约束条件，它们对问题的求解和模拟结果具有重要影响。
合理地处理边界条件可以使数值计算模型更加符合实际问题的要求。
3. 数值求解方法数值求解方法是解决离散化的数值模型的关键。
在选择合适的数值求解方法时，需要考虑模型的特点、求解的精度和效率等因素。
以下是几种常见的数值求解方法：3.1. 迭代方法迭代方法是一类基于迭代过程的数值求解方法，常用于求解非线性方程、线性方程组和数值积分等问题。
其中最著名的迭代方法包括牛顿迭代法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
3.2. 数值积分方法数值积分方法是一类用于求解定积分的数值求解方法。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则等。
这些方法通过适当的数值近似，将积分问题转化为求和问题，从而得到数值积分的近似解。
3.3. 有限元方法有限元方法是一种广泛应用于结构力学、流体力学和电磁场等领域的数值求解方法。
模型的建立与解题方法
模型的建立与解题方法在科学研究和实践中，模型的建立与解题方法扮演着重要角色。
模型是对真实世界的简化和抽象，它能够帮助我们理解和解决实际问题。
本文将探讨模型的建立和解题方法，并且提供一些实用的技巧。
一、模型的建立模型的建立是将实际问题转化为数学或符号化的形式，包括确定问题的变量、关系和约束条件。
以下是一些常见的模型建立方法：1. 传统方法：通过观察和实证数据，利用统计学和数学建模技术，推导出相应的模型。
例如，在经济学领域，我们可以通过统计数据来建立宏观经济模型，以预测经济的发展趋势。
2. 半经验方法：结合实践经验和专家知识，构建模型。
在一些复杂的系统中，我们往往无法准确地描述所有的关系，此时，半经验方法可以提供一种有效的途径。
例如，在环境科学中，我们可以利用专家经验和先验知识，建立生态系统模型来预测生物多样性的变化。
3. 仿生学方法：从生物系统中汲取灵感，构建模型。
这种方法借鉴了自然界中生物的优秀设计思路，例如，我们可以通过借鉴鸟类的飞行原理，设计出更加高效的飞行器。
二、解题方法在模型建立好之后，需要采用适当的解题方法对模型进行求解，以获得问题的答案或者优化结果。
以下是一些常见的解题方法：1. 解析法：对数学模型进行数学推导和求解，得到精确解。
这种方法适用于问题的数学表述比较简单的情况。
例如，在物理学中，我们可以通过解析法求解经典力学问题。
2. 近似法：通过适当的近似和假设，简化模型，得到近似解。
这种方法在实际应用中非常常见，因为一些问题的解析解很难求得。
例如，天体力学中的三体问题，通常采用近似法求解。
3. 数值法：将模型离散化，转化为数值问题，通过计算机进行求解。
这种方法可以解决复杂的数学模型和大规模的问题。
例如，在工程学中，我们可以使用有限元法对结构进行强度分析。
三、建立与解题的技巧在模型的建立和解题过程中，以下是一些实用的技巧：1. 精确把握问题的要求和约束条件，确保模型的准确性和可行性。
2. 选择合适的数学工具和方法，针对具体问题进行适当的抽象和简化。
数学模型的建立与求解方法总结
数学模型的建立与求解方法总结数学模型在各个领域中具有广泛的应用，它通过定量的形式将实际问题抽象为数学描述，能够帮助我们深入理解问题的本质并提供解决方案。
在建立数学模型的过程中，我们需要选择适当的数学工具和求解方法。
本文将总结数学模型的建立与求解方法，并给出一些实际案例。
1. 数学模型的建立方法数学模型的建立过程包括问题的抽象、假设的设定、数学表达式的建立和参数的确定等步骤。
以下是建立数学模型的几种常见方法：(1) 经验法：基于经验和直觉来建立数学模型，适用于问题较为简单且已有相关经验的情况。
(2) 归纳法：通过观察现象和数据，总结规律后建立数学模型。
这种方法需要大量的实验数据支持，适用于问题较为复杂的情况。
(3) 解析法：通过解析表达式建立数学模型，将实际问题转化为数学方程。
这种方法适用于问题具有明确的物理和数学规律的情况。
(4) 统计法：通过统计数据和概率理论建立数学模型，适用于问题涉及到大量数据和随机性的情况。
2. 数学模型的求解方法数学模型的求解是指利用数学方法和计算工具得出问题的解析解或数值解的过程。
以下是常见的数学模型求解方法：(1) 解析解法：通过求解数学方程得到问题的解析解。
这种方法需要较强的数学能力和推导技巧，适用于问题具有明确解析解的情况。
(2) 近似解法：通过近似方法求解数学模型，如泰勒级数展开、插值法等。
这种方法适用于问题的解析解较难得到或者需要大量计算的情况。
(3) 数值解法：通过数值计算得出问题的数值解，如迭代法、数值微分和数值积分等。
这种方法适用于问题的解析解难以获得或者问题较为复杂的情况。
3. 实际案例数学模型的建立和求解方法非常灵活，并可以应用于各个领域。
以下是一些实际案例：(1) 病毒传播模型：通过建立病毒传播的差分方程或微分方程模型，预测疫情发展趋势，并制定相应的防控策略。
(2) 交通流模型：通过建立交通流的微分方程模型，优化信号灯控制策略，提高道路通行效率，减少交通拥堵。
数学建模的五个步骤
数学建模的五个步骤数学建模是指利用数学方法来解决实际问题的过程。
它在现代科学研究、工程技术等领域都有广泛的应用。
数学建模的过程可以分为五个步骤，包括问题理解、建立模型、模型求解、模型评价和结果解释。
下面将详细介绍这五个步骤。
第一步：问题理解问题理解是数学建模的第一步，也是至关重要的一步。
正确的问题理解能够确保后续建模过程的准确性和有效性。
在问题理解阶段，研究者需要明确问题的背景和要求，确定问题的范围和目标，以及搜集相关的实验数据和文献资料。
这些信息将有助于研究者在后续的建模过程中更好地进行模型的构建和求解。
第二步：建立模型建立模型是数学建模的核心步骤，它是将实际问题转化为数学问题的过程。
在建立模型时，研究者需要根据问题的特点和要求，选取合适的数学方法和工具，构建数学模型。
数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、最优化问题等等。
模型的构建需要充分考虑实际问题中的各种因素和假设条件，并进行适当的抽象和简化。
此外，研究者还需要对所选用的数学模型进行合理的验证和修正。
第三步：模型求解模型求解是数学建模中的关键步骤之一、在模型求解过程中，研究者需要选择合适的求解方法和算法，使用计算机软件或手工计算来解决所建立的数学模型。
求解的过程中，研究者需要考虑求解的效率和精度，以及结果的可靠性和实用性。
第四步：模型评价模型评价是对所建立的数学模型进行有效性和可行性的评估。
在模型评价过程中，研究者需要利用实验数据和实际情况进行模型的验证和检验。
评价的指标可以是模型的拟合度、预测精度、稳定性等等。
通过模型评价的结果，可以对模型进行合理的调整和改进，以便更好地解决实际问题。
第五步：结果解释结果解释是数学建模的最后一步，也是将数学模型的结果转化为实际应用的关键一步。
在结果解释过程中，研究者需要将模型的结果与实际问题进行对比和分析，解释模型的意义和结论，提出相应的建议和策略。
结果解释的目的是使模型的结果能够被决策者、管理者和其他利益相关方所理解和接受，并能够指导实际问题的解决和处理。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
数学模型的建立及数值求解
1.2.1 建模准备
了解问题的实际背景，明确建模的目的。 建模筹划：深入生产和科研实际以及社会生
活实际，掌握与课题有关的第一手资料，汇 集与课题有关的信息和数据。
1.2.2 建模假设
原型抽象和简化，准确把握本质属性。 简化掉那些非本质的因素，形成对建模有用的信息资源和前
提条件。 假设合理性原则有以下几点：
材料科学从最早的试错法的手工操作成为当代科学重 要支柱，数学的应用起着非常重要的作用。
当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的 方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透。
计算机模拟来部分代替实验，可以节约人力、物力和 财力，还可以避免发生故障或危险，甚至完成实验不 可能完成的任务。
1.2 建模步骤和原则
目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模 目的无关的或关系不大的因素。
简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确、有利于构造模型。 真实性原则：假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的
误差范围。 全面性原则：对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件。Fra bibliotek建模准备
建模假设
构造模型
F
F
模型应用 T 模型检验 T 模型分析
模型求解
对模型求解的数字结果，进行分析， 例如稳定性、灵敏度或误差分析。 如果不符合要求，就修改假设条件 重新建模，直到符合要求；如果符 合，还可以进行评价、预测或者优 化等方面的工作。
模型分析符合要求之后， 还需要回到客观实际中 进行检验，若不符合， 仍需对模型进行修复， 重新建模，直到获得满 意的结果。
固体受到辐照后产生的效应主要有三种类型：电离、蜕变和 离位（产生空位和间隙原子），其中空位是金属中最主要的 辐照效应，金属中空位研究是非常重要的。要研究空位，必 须要研究空位缺陷形成能。
数学建模的几个过程
数学建模的几个过程数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
下面将详细介绍这四个过程。
一、问题建模：问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。
具体步骤如下：1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。
2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。
3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。
二、模型建立：模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。
具体步骤如下：1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。
2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。
3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。
三、模型求解：模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。
具体步骤如下：1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。
2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。
3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。
四、模型验证：模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。
1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。
2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。
3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。
综上所述，数学建模的主要过程包括问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
模型建立与求解
1模型法背景建模本文对于背景建模采用非模型方法，其关键在于灰度值选取的假设规则。
本文采用混合高斯背景建模方法。
用K个高斯模型来描述背景像素值的分布。
它的基本思想是，对于缓慢变化的背景，可以用正态分布来表征像素灰度值的变化。
每一个背景像素的值都可以通过多个正态分布的加权和来描述。
所有背景建模算法的目标都是建立能够有效地描述背景变化的模型。
相应地，衡量背景模型有效性的主要标准是模型对动态背景的鲁棒性。
混合高斯模型考虑到背景运动的多模型，因此较之其他算法具有对动态背景更好的鲁棒性。
下面以灰度视频为例来描述混合高斯模型的算法流程。
对于彩色图像，只需要对各个颜色通道分别建立混合高斯模型即可。
假设背景静止不动，理论上只需要一个整数值就足以描述某背景图像像素点的灰度变化。
考虑到存在外界噪声，如摄像机噪声等因素，可以用一个高斯分布N切，动来描述某像素点x的灰度统计信息。
N恤，动就是单高斯背景模型，其中包含两个模型参数，均值尸与标准差6。
即使对于静止的背景，其成像灰度也会随着时间的推移而逐渐发生缓慢的变化，这就要求我们所建立的背景模型的参数必须随着时间不断更新。
为了适应背景变化，必须实时地更新模型参数。
以参数尸为例，可以使用如下公式实现模型参数更新。
世八二(1 _ CK)・/Z + & •比亡式中，□为t时刻的均值，a为更新率，x '为t时刻二像素点的灰度值。
单高斯模型通常只适合于一些静态不变场景，如室内场景，的背景建模，对于动态场景无法获得准确的背景模型。
而基于背景运动通常是多模的这一观点,采用多个高斯模型来模拟背景更加符合实际。
混合高斯模型，就是使用模型(x取3到x个高斯s>来模拟某个像素点的灰度分布情况。
我们以像素点二为例, 在像素点x的混合高斯模型定义为MoGtx,開<7心》肋;他(” #：,<?：) (2.2)式(2.2)中』砂是第*个高斯分量的权重£>：二1・“:是第丈个高斯分量i-1的均值，厲是第盘个高斯分屋的标准差，高斯分布定义为沖(才,出cr) = exp[- —_ ] (23)低口2十对于当前桢中的各个像素点JO只需要计算其属于对应府皿；的槪率值.并二偵化就可以得到检测給果。
数学模型的建立与求解
数学模型的建立与求解标题：数学模型的建立与求解引言：数学模型是将实际问题转化为数学形式的表达方式，通过建立和求解数学模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
本教案将从数学模型的基本概念和建立方法入手，逐步展开，详细介绍数学模型在各个领域中的应用及求解方法，帮助学生掌握数学模型的建立和求解技巧。
一、数学模型概述1. 什么是数学模型a. 数学模型的定义b. 数学模型的作用与意义2. 数学模型的分类a. 离散模型与连续模型的区别b. 数学模型的常用形式二、数学模型的建立方法1. 实例引入和问题定义a. 引入实际问题的背景和需求b. 确定问题的具体定义与目标2. 建立数学模型的基本思路a. 抽象问题为数学符号b. 选择合适的数学方法和工具3. 常见建模方法及案例a. 方程组建模：以线性方程组为例b. 最优化建模：以线性规划为例c. 概率统计建模：以概率模型为例三、数学模型在科学研究中的应用1. 物理学中的数学模型a. 物体运动模型：以自由落体为例b. 力学模型：以哈密顿力学为例2. 生态学中的数学模型a. 种群动力学模型：以Logistic方程为例b. 生物网络模型：以食物链模型为例3. 经济学中的数学模型a. 成本收益模型：以边际效益为例b. 外部性模型：以合作博弈为例四、数学模型的求解方法1. 解析解与数值解a. 解析解的求解方法和特点b. 数值解的求解方法和优势2. 解的存在性与唯一性分析a. 解的存在性的判断条件b. 解的唯一性的判断方法3. 典型求解技巧及案例a. 迭代法求解：以牛顿法为例b. 数值积分求解：以梯形法则为例c. 差分法求解：以有限差分法为例五、数学模型的评价与优化1. 模型的稳定性分析a. 稳定性的概念与判断方法b. 混沌现象与控制2. 模型的误差分析a. 误差来源与影响因素b. 误差的评估和减小方法3. 模型的优化方法a. 参数调整与模型拟合度b. 约束条件优化与灵敏度分析结语：本教案通过引入数学模型的基本概念和建立方法，详细介绍了数学模型在不同领域中的应用及求解方法，并探讨了模型的评价与优化方法。
数学建模中的模型建立与求解
数学建模中的模型建立与求解数学建模是一种通过数学模型描述和解决实际问题的方法，它在各个领域具有重要应用。
在数学建模过程中，模型的建立和求解是关键步骤，决定了最终的分析和预测结果。
本文将探讨数学建模中的模型建立与求解的方法和技巧。
一、模型建立模型建立是数学建模的基础，它要求根据实际问题的特点和背景进行合理的抽象和假设，将复杂的实际问题转化为易于处理的数学形式。
模型的建立需要遵循以下原则：1. 简化与拟合：模型应该尽可能简化实际问题，将其关键特点和变量进行提取和抽象。
同时，模型也需要与实际数据进行拟合，以确保模型的准确性和可靠性。
2. 合理性与可验证性：模型的建立应该基于科学的理论和推理，避免主观臆断和不合理的假设。
模型也需要通过实际数据和实验进行验证，确保其能够准确地描述和预测实际问题。
3. 可操作性与实用性：模型的建立需要考虑其可操作性和实用性，以便能够得到实际问题的解决方案。
模型应该能够提供可行的策略和可靠的结果，帮助决策者做出正确的决策。
二、模型求解模型求解是数学建模的核心，它要求通过数学的方法和工具对模型进行求解，并得到实际问题的答案和解决方案。
在模型求解的过程中，可以采用多种方法和技巧，包括数值方法、优化方法和统计方法等。
1. 数值方法：数值方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数值计算和近似算法来求解复杂的数学模型。
数值方法的优点是求解速度快，适用范围广，但精度相对较低。
常用的数值方法包括数值积分、数值逼近和数值解微分方程等。
2. 优化方法：优化方法是模型求解中常用的方法之一，它通过优化算法和数学规划来求解最优化问题。
优化方法的优点是能够得到全局最优解或近似最优解，但求解复杂度较高。
常用的优化方法包括线性规划、非线性规划和整数规划等。
3. 统计方法：统计方法是模型求解中常用的方法之一，它通过数据分析和概率统计来求解和预测实际问题。
统计方法的优点是能够考虑不确定性和随机性因素，但需要依赖大量的实际数据。
数学模型的建立与分析
数学模型的建立与分析数学模型是指将实际问题抽象化和数学化，使用数学符号和方程进行描述和解决的工具。
它在各个领域的科学研究、工程设计等方面起着至关重要的作用。
本文将介绍数学模型的建立与分析的基本过程和方法。
一、数学模型的建立数学模型的建立一般分为四个步骤：问题的描述、选择适当的数学工具、建立数学模型、模型的求解和验证。
首先，问题的描述是建立数学模型的第一步。
需要准确地描述问题的背景、目标和具体的约束条件。
这有助于我们明确问题的关键因素和参数。
接下来，选择适当的数学工具是建立数学模型的关键。
根据问题的特点和要求，可以选择代数方程、微分方程、概率论、优化理论等数学工具。
需要对所选择的数学工具有充分的了解和掌握。
然后，建立数学模型是将问题转化为数学语言的过程。
可以利用方程、不等式、函数等数学符号来描述问题的关系。
需要注意的是，数学模型应该简化和抽象问题的实际情况，以便进行求解和分析。
最后，模型的求解和验证是数学模型建立的最后一步。
可以使用数值方法、解析解法或计算机模拟等手段来求解模型，并将结果与实际情况进行比较和验证。
如果模型的结果与实际情况吻合度较高，那么此模型就可以用来解决实际问题。
二、数学模型的分析数学模型的分析是对数学模型进行定性和定量分析的过程。
通过数学分析，可以揭示模型的内在规律和性质，理解问题的本质并提出解决方案。
在数学模型的分析中，一般会涉及到以下几个方面：解的存在性和唯一性、稳定性、收敛性、最优性等。
解的存在性和唯一性是分析模型是否有解以及解的数量和性质。
稳定性是对模型解的行为和变化趋势进行研究。
收敛性是研究模型的解是否趋向于某个特定值。
最优性是研究如何找到使目标函数取得最优值的解。
在进行数学模型的分析时，需要运用数学分析的方法和理论。
例如，可以使用微分方程的稳定性理论、最优化理论、变分法等。
同时，还可以利用计算机模拟和数值计算等方法对模型进行分析。
通过数值计算，可以得到模型的近似解，并对模型进行灵敏度分析和参数优化。
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模型的建立与求解
模型一的建立与求解
根据2003-2013年海平面高度数据情况（附件一），运用优化后的灰色模型理论，Matlab 语言编程预测出2020年及2050年的海平面高度。
设2003年为第一年，第k 年的海平面高度记为()k X 0，则有原始数据列))()2()1(()0()0()0()0(k x x x x ，，，⋯=
将原始数据累加，得到一次累加生成数列))()2()1(()1()1()1()1(k x x x x ，，，⋯=，其中k t n x t x t
n ，⋯==∑=,2,1),()(1)0()
1( 对)(t x 建立微分方程为 u ax dt
t dx =+)1()(（其中a ，u 为待定系数） 所以此时时间响应函数为 a
u e a u x t x at +-=+-))1(()1()0( 对叠加数据还原 )1()()()0(--=t x t x t x
得到海平面高度的预测曲线：
由上预测曲线可以发现，在2024年时的预测海平面高度已经超过450毫米，这显然有悖于事实。
在这种预测方式下得到的预测结果偏离了海平面高度变化的客观发展，说明灰色预测模型不适用于中长期的预测，据此我们进行了修正，提
出了针对海平面上升进行中长期预测的优化灰色模型。
优化模型
灰色模型的时间响应函数，其形式可写为 21)1(C e C t x at +=+-
由于上式变化速度过快导致了海平面预测值增长速度偏大，因而选取较缓慢的二次函数右支作为激励函数 c bt at t x ++=2)(（其中c b a ，，为待定参数）
（1） 求解待定参数c b a ，，
令T k x x x Y )]()2()1([)0()0()0(，，，⋯=；T c b a U ],,[=；
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=11112k k A
所以 C A Y *=,得 Y A A A U T T 1)(-=
用最小二乘法求得U
(2)由于得到的是c b a ，，的估值)(t x 是一个近似表达式（与原数列区分），对函数表达式)(t x 进行离散，做差还原得到)()0(t x ：)1()()()0(--=t x t x t x 通过以上建立Matlab 程序求解得 12.5056.25467.4)(2++=t t t x
由此得到了海平面预测的拟合图：
图2 用改进后的灰色模型预测深圳海平面高度
从而得到2020年、2050年海平面预测高度分别为181.905mm 和449.925mm. 计算2003-2013年的海平面预测值与实际值的相对误差，得下图
图3 深圳海平面高度预测相对误差
由图可看出预测的海平面高度在实际高度上下波动，幅度不是很大，在短期预测得到的数据中是有一定的误差的，但对于长期预测应该是具有较好的效果。
BP 神经网络的建立与求解
BP 神经网络的建立
(1)对每一层的权值ij W 初始化，网络的权值一般在[0，1]之间取值.
(2)对输入数据的预处理，提供训练样本以及目标输出。
输入训练样本：
))(),(),((310k X k X k X X = 期望输出：))((k Y Y n =
(3)计算各层的输出.
对于第k 层第i 个神经元的输出k i x 有：
11
-+=∑=k j n k j ij k
i
x w U ，111=-+k n x ，θ-=+1in w ，)(k i k i U f x = (4)求各层的学习误差k i d ，对于输出层有m k =，有：
)()1(i m i m i m i k i Y X X X d --=
对于其他各层 1)1(+-=k i ij k i k i k i d w X X d
(5)修正权系数1)()1(--=+k
j k i ij ij X d t w t w η，其中η为学习速率
(6)当求出了各层各个权系数之后，可按给定品质指标判别是否满足要求，如果满足要求，则算法结束；如果未满足要求，则返回（3）执行。
BP 神经网络的求解：
为了使网络有更大的泛化能力，我们没有调用MATLAB 神经网络工具箱，而是选择编写源程序。
由于学习样本数量较少，品质较差，增大网络的训练次数，使之达到50000次，以便使神经网络学习时间充裕。
本实验因为样本数量少，为了测试网络的推测能力，测试阶段使用了与训练输入样本相同的数据，但对于输出样本添加了噪声，选取强度为0.01，避免了网络的过渡拟合。
激励函数选取Logsig 函数，为了使神经网络有较好的推测能力，使用了Premnmx 函数进行归一化操作。
本网络结构采用了如下图所示常规的三层网络结构形式：
包括输入层、中间层（隐含层）和输出层。
上下层之间实现全连接，而同一层的神经元之间无连接，输入神经元与隐含层之间是网络的权值，其意义是两个神经元之间的连接强度。
隐含层或输出层任一神经元将前一层所有神经元传来的信息进行整合，在整合过的信息中添加一个阙值，这主要是模仿生物学中神经元必须达到一定的阙值才会接触的原理，然后将整合过的信息作为该层神经元输入。
当一对学习样本提供给输入神经元后，神经元的激活值（该层神经元输出值）从输入层经过隐含层向输出层传播，在输出层的个神经元获得网络的神经输入响应，然后按照减少网络输出与数据样本之间的误差的方向，从输出层反向经过隐含层回到输入层，从而逐步修正各连解权值，这种算法称为误差反方向传播算法，即BP 算法。
随着这种误差逆向传播修正的反复进行，网络对输入模式相应的正确率也不断上升。
BP 算法的核心是数学中的“负梯度下降”理论，即BP 网络的误差调整方向总是沿着误差下降最快的方向进行，该三层BP 网络权值和阙值调整公式如下：
)()1(t E t ij ij
ij ωωηω+∂∂-=+ )()1(t E t jk jk
jk ωωηω+∂∂-=+ )()1(t B B E t B ij ij ij +∂∂-=+η )()1(t B B E t B jk jk
ij +∂∂-=+η
其中，E为网络输出与实际输出样本之间的误差平方和；η为网络的学习速
ω为t时刻输出层第i个神经元与隐含层第j个神经元的率即权值调整幅度；)
(t
ij
ω为1+t时刻输入第i个神经元与第j个神经元的连接权值；连接权值；)1
(+
t
ij
ω为t时刻输入隐含层第j个神经元与输出层第k个神经元的连接权值；
)1
(+t
ij
ω为1+t时刻隐含层第j个神经元与输出层第k个神经元的连接权值；B )1
(+t
jk
为神经元的阙值，下标的意义与权值相同。