二次根式概念ppt课件
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数学八年级下册二次根式二次根式的概念PPT公开课
知识点1 二次根式的概念
知识点12 二次根式的有概意念义的条件
知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件 第1课 二次根式的概念
如： 3 ， 65 知第识1课点3二二次次根根式式的有概意念义的综合运用
第知1识课点2 二二次次根根式式的有概意念义的条件 知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件
有意义？ 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
知识点3 二次根式有意义的综合运用
1 知识点1 二次根式的概念 （1） ； 第1课 二次根式的概念 2x－1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件
解：∵2x－1>0， 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念
解：∵3x≥0， ∴x≥0.
(3)
x－1 3
；
解：∵x－1≥0，
∴x≥1.
x (4)x－2 解：∵x≥0 且 x－2≠0，
∴x≥0 且 x≠2.
知识点3 二次根式有意义的综合运用
8．(例 3)若式子 x－2 ＋ x－3 有意义，求 x 的取值 范围． 解：∵xx－－23≥≥00.， ∴x≥3.
9.已知 y＝ x－4 ＋ 4－x ＋4，则yx 的值为( A )
D． －3
13.下列式子不是二次根式的是( D )
A. 5 知识点2 二次根式有意义的条件
知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念
C. 知识点1 二次根式的概念 3 第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念 知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
知识点12 二次根式的有概意念义的条件
知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件 第1课 二次根式的概念
如： 3 ， 65 知第识1课点3二二次次根根式式的有概意念义的综合运用
第知1识课点2 二二次次根根式式的有概意念义的条件 知第识1课点2二二次次根根式式的有概意念义的条件
有意义？ 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
知识点3 二次根式有意义的综合运用
1 知识点1 二次根式的概念 （1） ； 第1课 二次根式的概念 2x－1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件
解：∵2x－1>0， 知识点2 二次根式有意义的条件
第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念
解：∵3x≥0， ∴x≥0.
(3)
x－1 3
；
解：∵x－1≥0，
∴x≥1.
x (4)x－2 解：∵x≥0 且 x－2≠0，
∴x≥0 且 x≠2.
知识点3 二次根式有意义的综合运用
8．(例 3)若式子 x－2 ＋ x－3 有意义，求 x 的取值 范围． 解：∵xx－－23≥≥00.， ∴x≥3.
9.已知 y＝ x－4 ＋ 4－x ＋4，则yx 的值为( A )
D． －3
13.下列式子不是二次根式的是( D )
A. 5 知识点2 二次根式有意义的条件
知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
1 第1课 二次根式的概念
知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念
C. 知识点1 二次根式的概念 3 第1课 二次根式的概念
第1课 二次根式的概念 知识点2 二次根式有意义的条件 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念 知识点1 二次根式的概念 第1课 二次根式的概念
二次根式的概念
前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0 时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当 a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，
b满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
归纳 若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0， 可得a=0.
2x 1
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜ 1 ，
2
即当x≥2或x＜
1 2
时，
x 2 有意义．
2x 1
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0 时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当 a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，
b满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
归纳 若 y a a b ，则根据被开方数大于等于0， 可得a=0.
2x 1
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜ 1 ，
2
即当x≥2或x＜
1 2
时，
x 2 有意义．
2x 1
课堂小结
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
二次根式
在有意义条 件下求字母 的取值范围
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 ___2__m；若面积为S m2，则边长为___S__m．
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
第1课时二次根式的概念ppt课件
2.式子 3x 6 有意义的条件是
（A）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为___0___．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) a 1 ;
(2) 2a 3;
(3) a ;
(4)
2.
5a
解：(1) a-1 0，a 1.
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 a (a 0) 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
得a=0.
练一练 已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平 方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2) x 3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零，
（A）
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为___0___．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) a 1 ;
(2) 2a 3;
(3) a ;
(4)
2.
5a
解：(1) a-1 0，a 1.
你们是根据 哪些特征猜 出的呢？
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足 道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 a (a 0) 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
得a=0.
练一练 已知|3x-y-1|和 2x y 4 互为相反数，求x+4y的平 方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2
【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范
围内有意义？（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2) x 3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零，
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
人教版八年级二次根式知识点总结课件
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
第1部分 第1章 第4节 二次根式
二次根式及相关概念(2013.11) 1．二次根式 形如 a(a①≥0 )的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式 最简二次根式必须同时满足以下条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
3．同类二次根式 几个二次根式化成② 最简二次根式 后，如果③ 被开方数 相同，这 几个二次根式称为同类二次根式．如 8与 2是同类二次根式．同类二次根 式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
(2 2)2＝8②；由①＋②得：x2＋y2＋z2－xy－yz－xz＝－2＋8＝6.
当代数式是由分式和二次根式结合时，常忽略分母不
为 0 而出错
(2019·恩施二模)使式子 x2x－＋11有意义的 x 的取值范围是
A．x≥－1
B．x≥－1 且 x≠±1
(
)
C．x＞－1 【错解】 A
D．x＞－1 且 x≠1
＝ 2a
＝ （a＋b）2－c2·c2－（a－b）2
4
4
＝ a＋2b＋c·a＋2b－c·c＋a2－b·b＋2c－a
＝ p（p－a）（p－b）（p－c）.
这充分说明海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也
称公式①为海伦—秦九韶公式．
3．(2019·新泰期中)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九 章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个 三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S＝
先将各二次根式化为④ 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
(1)二次根式的乘法： a· b＝⑤ ab (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的
除法： a＝⑥ b
a b (a≥0，b＞0)；
人教版八年级下数学16.1二次根式优质课件
x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
为_____0_．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
课堂检测
基础巩固题
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
连接中考
3.（2018•苏州）若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33 C.
D.-1 a
1 2
2.（2018•达州）二次根式 2x 4中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
二次根式的概念 经典课件(最新版)
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
初中数学课件
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初 中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
当堂练习
初中数学课件
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
初中数学课件
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号，a叫做被开方数.
要点提醒
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
初中数学课件
典例精析
例1 下列各式是二次根式吗?不含二次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
二次根式二次根式的概念八年级数学下册PPT公开课
－x2－3， yx(xy＞0)．
解： 15， x－3(x≥3)， （x＋1）2， 中被开方数依次是 15，x－3，(x＋1)2，yx
yx(xy＞0)是二次根式，其
二次根式性
例1 当x 是怎样的实数时，x - 2 在实数范围内有 意义？
解：要使
x - 2 在实数范围有意义， 必须 x-2≥0， ∴ x≥2．
3掌握若二次根式有意是义整的数条，件则. 自然数n 的值为 （算3术）平方根的式．子，叫做二次根式．
（一3般）地由，我们把形≥0如，得（a为a≥0任）何的实式数子．叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
当2．边式长子为a＋4，1a2－，22有时意，义不，符则合实实数际a情的况取，值舍范去围；是( )
分别表示3，S，65 的算术平方根． 3(2)用若40块大小相同是的整正数方，形则地自板然砖数刚n 好的把值这为个过道铺满，求这种地板砖的边长．
总结 请比较 a 和0 的大小．
掌握二次根式有意义的条件.
必须 x-2≥0，
2．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( )
解：由x2＋1≥0，得x为任意数
（2）中得到的式子有什么意义？
∴ x≥2．
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.
人教版
第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念讲解及习题练习
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_____3 __，面积为S 的正方形 的边长为___S ____．
解： 15， x－3(x≥3)， （x＋1）2， 中被开方数依次是 15，x－3，(x＋1)2，yx
yx(xy＞0)是二次根式，其
二次根式性
例1 当x 是怎样的实数时，x - 2 在实数范围内有 意义？
解：要使
x - 2 在实数范围有意义， 必须 x-2≥0， ∴ x≥2．
3掌握若二次根式有意是义整的数条，件则. 自然数n 的值为 （算3术）平方根的式．子，叫做二次根式．
（一3般）地由，我们把形≥0如，得（a为a≥0任）何的实式数子．叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
当2．边式长子为a＋4，1a2－，22有时意，义不，符则合实实数际a情的况取，值舍范去围；是( )
分别表示3，S，65 的算术平方根． 3(2)用若40块大小相同是的整正数方，形则地自板然砖数刚n 好的把值这为个过道铺满，求这种地板砖的边长．
总结 请比较 a 和0 的大小．
掌握二次根式有意义的条件.
必须 x-2≥0，
2．式子a＋1a－2有意义，则实数a的取值范围是( )
解：由x2＋1≥0，得x为任意数
（2）中得到的式子有什么意义？
∴ x≥2．
当a＞0 时， a 表示a 的算术平方根，因此 当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.
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第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念讲解及习题练习
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为_____3 __，面积为S 的正方形 的边长为___S ____．
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15
布置作业
作业：第5页16.1，第1,7题
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16
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
1 a1
3 a 32
2
1
1 2a
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10
开动你的脑筋,你一定行!
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
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11
(1) 代数式 是a 二次根式吗?
答:代数式 a 只有在条件a≥0的情况下,才属于二次根式!
二次根式是属于有特殊条件的代数式.
(2) 2 2 是二次根式吗？
复习
1、如果x 2 4 ，那么
x ±2 2、如果 x 2 3 ，那么
x 3
3、如果 x2 a(a， 0)
那么 x
a
x
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； ；
4
强哥我都知道，同学们知道吗？
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5
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
m 213.一0 个，长则方2 它形的的宽围为栏，长m是。宽的6 5 2倍，面积为
(1) xx 1 55 (2) 1 x2 (3) 1x 3x
解：(1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5 有意义.
(2) 因为不论x是什么实数，都有 1 x 2 ＞0.
∴当 是任何实数时， 1 x 2 有意义.
（3）由题意可知：13
x x
0 0
∴当 -1≤ x ≤3时，1x 3x 有意义.
而 2x22x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
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13
说一说:
下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a2 2a 2
⑸ m32
⑷ x ( x 0 )
a9
⑹ a1 (a3)
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14
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
答：符合条件(1)被开方数 2 2 为非负数; (2) 含
有二次根号，所以 2 2 是二次根式．
(3) 代数式 a2(a2), 1(x0) 是二次根式
吗?
x
答:是的,二次根式的被开方数可以是整式或分式.
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12
注意
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次
根式的代数式，不能称之为二次根式；
式子a做a叫二0 次根式。
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8
例1
当x是怎样的实数时， x 在2实数范围内 有意义？
解：由 x ，2 得0 x 2 当 x 时2 ， 在x实数2 范围内有意义。
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零即大于等于零； ②分母中有字母时pp，t课件要. 保证分母不为零9 。
求下列二次根式中字母的取值范围：
3、关系式中h 5，t2用含有h的式子
表示t，则t为 h 。
5
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6
新授:
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
b3
65
h 5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a0)的式子叫做二次根式 .
a
被开方数
二次根号
读作“根号 a ”
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7
归纳: 二次根式的定义
一般地，代数式形如 ( ) 的
16.1.1二次根式（概念）
数学
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1
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2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3